rev. 8.5.2012
Postuláty kvantové mechaniky
(Skála L.: Úvod do kvantové mechaniky - ACADEMIA, Praha, 2005)
1. Postulát o vlnové funkci
Veškeré informace o stavu kvantověmechanického systému (částice) jsou obsaženy ve
vlnové funkci ),(),,,( ttzyx r
r
ψψψ == .
Vlnovou funkci obvykle značíme symbolem řecké abecedy, nejčastěji ψ (psí) neboφ (fí). Je to
obecně komplexní funkce tří prostorových souřadnic (např. kartézských) a času.
(V případě systému více částic závisí vlnová funkce na souřadnicích všech částic.)
Podle standardní (kodaňské) interpretace udává kvadrát absolutní hodnoty vlnové funkce
hustotu pravděpodobnosti ),( tr
r
ρ výskytu částice v místě o polohovém vektoru r
r
v čase t
),(),(),(),( *2
tttt rrrr
rrrr
ψψψρ ⋅==
Elementární pravděpodobnost dp nalezení částice v objemovém elementu dV v okolí bodu r
r
v čase t je pak rovna
Vttp d),(),(d
2
rr
rr
ψ=
Výslednou pravděpodobnost nalezení částice v dané oblasti prostoru pak můžeme určit
integrací předchozího vztahu přes uvedenou oblast. Odtud vyplývá základní podmínka
kladená na vlnovou funkci (normovací podmínka)
1d),(
2
=∫ Vt
V
r
r
ψ ,
ve které integrujeme přes celý prostor. Pokud tuto podmínku vlnová funkce nesplňuje, je třeba
nalézt vhodnou konstantu a tou ji vynásobit (normování vlnové funkce).
S pravděpodobnostní interpretací souvisí další požadavky, které klademe na vlnovou funkci.
Předpokládáme, že vlnová funkce je:
• kvadraticky itegrabilní,
• konečná,
• jednoznačná,
• spojitá a
• při konečných změnách potenciálu má spojité první derivace podle jednotlivých
proměnných
rev. 8.5.2012
2. Postulát o operátorech
Každé měřitelné fyzikální veličině je přiřazen operátor, který působí na vlnovou funkci.
Operátory značíme stříškou nad písmenem – např. Hˆ . Předpokládáme, že tyto operátory jsou
lineární a hermitovské. Linearita je nutná pro splnění principu superpozice: jsou-li 1ψ a 2ψ
vlnové funkce daného systému, pak i funkce 2211 ψψψ cc += je vlnovou funkcí tohoto
systému ( 1c a 2c jsou libovolné komplexní konstanty), hermitovské operátory mají reálná
vlastní čísla a mohou tedy reprezentovat fyzikální veličiny.
Základními operátory jsou:
kartézské souřadnice složky hybnosti vektor hybnosti
ψψ
ψψ
ψψ
zz
yy
xx
=
=
=
ˆ
,ˆ
,ˆ
,ˆ
,ˆ
,ˆ
z
ip
y
ip
x
ip
z
y
x
∂
∂
−=
∂
∂
−=
∂
∂
−=
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
h
h
h
⇒ ψψ ∇−= h
r
ipˆ ,
kde h je redukovaná Planckova konstanta, ∇ je operátor nabla – viz gradient v klasické
mechanice.
Operátory veličin, které jsou funkcí souřadnic a hybnosti, získáme dosazením za uvedené
operátory souřadnic a hybnosti. Ukažme to na příkladu kinetické energie kE a momentu
hybnosti L
r
kinetická energie
m
p
mvEk
22
1 2
2
== ⇒ ψ
ψψψ
ψψ ∆−=





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−==
mzyxmm
p
Ek
222
ˆ
ˆ
2
2
2
2
2
2
222
hh
r
moment hybnosti
prL
rrr
×= ⇒ 





∂
∂
−
∂
∂
−=−=
y
z
z
yipzpyL yzx
ψψ
ψψψ hˆˆˆˆˆ
a podobně pro yLˆ a zLˆ .
Připomeňme, že v kvantové mechanice existují veličiny, které nemají klasickou analogii,
typickým představitelem je spin.
Operátory obecně nekomutují. To znamená, že záleží na pořadí jejich působení na vlnovou
funkci. Snadno to lze ukázat například na dvou základních operátorech, kartézské souřadnici a
jí odpovídající složce hybnosti.
x
xi
x
ixpx x
∂
∂
−=
∂
∂
−=
ψψ
ψ hh )(ˆˆˆ
)(
)(
)(ˆˆˆ ψ
ψψ
ψψ +
∂
∂
−=
∂
∂
−==
x
xi
x
x
ixpxp xx hh
Definujeme tzv. komutátor dvou operátorů [ BA ˆ,ˆ ] ABBA ˆˆˆˆ −= , který je roven nule, pokud
operátory komutují, v opačném případě je nenulový. Vidíme, že pro výše uvedené operátory
platí [ xpx ˆ,ˆ ] hixppx xx =−= )ˆˆˆˆ( .
rev. 8.5.2012
3. Postulát o kvantování
Jediné hodnoty, které může měřitelná veličina A při jednotlivých měřeních nabývat, jsou
vlastní čísla An odpovídajícího operátoru Aˆ .
Vlastní čísla jsou dána řešením tzv. vlastního problému
nnn AA ψψ =ˆ ,
kde nψ je vlastní funkce odpovídající danému vlastnímu číslu nA . Zde předpokládáme
operátor s diskrétním spektrem vlastních čísel. Dále předpokládáme, že vlnové funkce nψ
tvoří ortonormální bázi příslušného prostoru a že tedy můžeme libovolnou funkci z tohoto
prostoru vyjádřit rozvojem
n
n
nc ψψ ∑= .
Střední hodnota veličiny A při mnoha opakovaných měřeních na systému popsaném vlnovou
funkcí ),( tr
r
ψ je dána vztahem
VtAtA
V
d),(ˆ),( *
∫= rr
rr
ψψ
Pravděpodobnosti np naměření jednotlivých hodnot nA jsou dány koeficienty rozvoje vlnové
funkce ψ do báze nψ
2
nn cp = .
rev. 8.5.2012
4. Postulát o redukci vlnové funkce
Měření fyzikální veličiny A s výsledkem měření An převádí měřený systém do stavu
s vlnovou funkcí nψ , která je vlastní funkcí operátoru Aˆ s vlastním číslem An.
Podle tohoto postulátu má měření v kvantové mechanice zásadní a neredukovatelný vliv na
měřený objekt. Díky redukci vlnové funkce nψψ → , nelze měřením zjistit, v jakém stavu ψ
se systém nacházel před měřením. Stav systému se nemění pouze tehdy, byl-li systém již před
měřením v některém z vlastních stavů nψ operátoru příslušného měřené veličině. To je rozdíl
oproti klasické mechanice, kde předpokládáme, že eventuelní vliv měření lze vždy
minimalizovat.
Chceme-li současně měřit několik fyzikálních veličin A, B, C, … na systému popsaném
vlnovou funkcí nψ musí být tato vlnová funkce vlastní funkcí všech uvažovaných operátorů
nnn
nnn
nnn
CC
BB
AA
ψψ
ψψ
ψψ
=
=
=
ˆ
ˆ
ˆ
Společný systém vlastních funkcí několika operátorů existuje pouze tehdy, pokud spolu tyto
operátory navzájem komutují
[ BA ˆ,ˆ ] = 0, [ CA ˆ,ˆ ] = 0, [ CB ˆ,ˆ ] = 0, …
Obráceně, pokud operátory spolu nekomutují, nemají společný systém vlastních funkcí a
příslušné veličiny nejsou současně měřitelné.
rev. 8.5.2012
5. Postulát o časové Schrödingerově rovnici
Je-li v čase 0tt = systém popsán vlnovou funkcí ),( 0tr
r
ψ , pak jeho následný vývoj je
popsán časovou Schrödingerovou rovnicí
),(ˆ),(
tH
t
t
i r
r r
r
h ψ
ψ
=
∂
∂
Zde Hˆ tzv. Hamiltonův operátor (hamiltonián) je operátor celkové energie. Pro částici
pohybující se v silovém poli, kterému odpovídá potenciální energie pE , můžeme psát
ppk E
m
EEH ˆ
2
ˆˆˆ
2
+∆−=+=
h
Řešení Schrödingerovy rovnice a tedy nalezení vlnové funkce ),( tr
r
ψ patří k základním
úlohám kvantové mechaniky.
Poznamenejme ještě, že uvedená rovnice je rovnicí nerelativistickou (časová proměnná a
prostorové proměnné nejsou v rovnici zastoupeny stejným způsobem).