Zadání úloh pro  SEMINÁRNÍ PRÁCI Z GEOMETRIE 1


I. ČÁST (úlohy č. 1 – 12)



Termín odevzdání –  1.11.2013 ve 4. konzltaci z G1


Úkoly vypracujte na listy formátu A4 včetně náčrtů a konstrukcí. Odpovědi, výsledky, požadované
definice, apod. formulujte přesně, řešení ilustrujte vhodnými obrázky. Při řešení úloh využívejte
studijní literaturu.




1.      Jaké geometrické útvary mohou vzniknout

a)   jako průnik dvou polopřímek téže přímky,

b)   jako průnik dvou polorovin téže roviny.



2.  Napište slovní i symbolické definice následujících geometrických útvarů. Ilustrujte obrázky.

a)   Úsečka PR,

b)   polopřímka KL a polopřímka opačná k polopřímce KL,

c)   polorovina pM a polorovina opačná k polorovině pM,

d)  poloprostor ABCD a poloprostor opačný k poloprostoru ABCD.



3.      Definujte konvexní množinu bodů. Načrtněte konvexní úhel AVB tak, aby body A, V, B nebyly
kolineární (tj. neležely v přímce). Pomocí průniků dvojic polorovin, které lze určit body A, V, B,
zapište konvexní úhel AVB, úhel k němu vrcholový a vedlejší.



4.      Nekolineární body P, Q, R patří jistému konvexnímu geometrickému útvaru U.    Které další
body ještě určitě patří útvaru U.



5.      Zdůvodněte,  proč jsou osy dvou vedlejších úhlů navzájem kolmé.



6.  Načrtněte lomenou čáru, která je v dané rovině

a)        uzavřená a není jednoduchá,

b)        jednoduchá a uzavřená.

c)        Je dána jednoduchá uzavřená lomená čára A[0]A[1]A[2]…A[7,  ]A[0 ]= A[7]. Načrtněte
obrázek a užitím dané lomené čáry definujte mnohoúhelník  A[1]A[2]A[3]A[4]A[5]A[6]A[7].



7. Definujte pravý úhel (bez uvedení jeho velikosti) a kolmost dvou přímek a, b – jak pro
různoběžky a,b, tak pro mimoběžky a,b.



8.  Je dána kružnice k(S,r) a kruh K(S,r). Rozhodněte, zda bod S náleží vnitřku, hranici    nebo
vnějšku

     1. kružnice k

a) vzhledem k rovině, v níž leží,

b) vzhledem k prostoru, v němž leží.

2. kruhu K

a) vzhledem k rovině, v níž leží,

b) vzhledem k prostoru, v němž leží.


9.  Dokažte, že součet velikostí všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180^0.


10.  Je dán trojúhelník ABC. Nad jeho stranami AB, AC jsou vně sestrojeny čtverce  ABGF, ACDE.
Dokažte shodnost úseček EB a CF. (Návod: Najděte dva shodné trojúhelníky, z nichž shodnost úseček
EB a CF vyplývá.)


11.  Je dán trojúhelník ABC. Jeho vnitřní úhel při vrcholu A má velikost 60^0, vnitřní úhel při
vrcholu B má velikost 70^0. Určete součet velikostí jeho vnějších úhlů při vrcholech A a C. Seřaďte
jeho strany podle velikosti.



12.  V trojúhelníku ABC je AB > BC. Bod D je libovolný vnitřní bod strany AC. Dokažte, že AB  > BD.
(Návod: užijte větu o stranách a protějších úhlech v trojúhelníku a vlastnosti vnějšího úhlu
v trojúhelníku.)