Matematika I, část I Soustava lineárních rovnic 2.5. Soustava lineárních rovnic Cíle Řešení soustav lineárních rovnic je úloha, která se velmi často vyskytuje nejen při řešení úloh v různých oblastech matematiky, ale také ve většině vědních disciplín. Dobré praktické zvládnutí jednoduchých úloh o řešení soustav lineárních rovnic je samozřejmým předpokladem využití vhodného matematického software. Definice 2.5.1. Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých x1, ... , xn ∈R nazveme množinu výrokových funkcí a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + ... + a2n xn = b2 (1) : : am1 x1 + ... + amn xn = bm , kde aij ∈ R, i = 1, ... , m, j = 1, ... , n, nazýváme koeficienty soustavy (1), b1, ... , bm je sloupec pravých stran, n-tici (x1′, x2′, ... , xn′)T ∈ Rn nazveme řešením soustavy (1), jestliže po dosazení za x1, ... , xn se stanou všechny výrokové formy pravdivými výroky. Jestliže zavedeme matice , b b , x x , aa aa aa mn mnm n n ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 11 1 221 111 BXA lze soustavu (1) psát ve tvaru A.X = B. Matice A se nazývá matice soustavy, matice - 101 Matematika I, část I Soustava lineárních rovnic ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = mmnm n n baa baa baa 1 2221 1111 BA matice rozšířená. Jestliže bk = 0 pro k = 1, ... , m, pak soustavu (1) nazýváme soustavou homogenních rovnic, jestliže je alespoň jedno bk ≠ 0, hovoříme o soustavě nehomogenních rovnic. Řešené úlohy Příklad Pro soustavu x x x x x x x 1 2 4 1 2 3 3 3 1 2 0 1 + − = − + = = − je =A 1 3 0 1 1 2 1 0 0 0 1 0 − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ matice soustavy, X = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 10100 00121 11031 1 0 1 4 3 2 1 BAB a, x x x x je rozšířená matice soustavy. Věta 2.5.1. (Cramerovo pravidlo). Je-li A matice typu (n,n) a det A ≠ 0, pak soustava A . X = B má právě jedno řešení ,)det,...,det,(det det T nAAA A X 21 1 = kde - 102 Matematika I, část I Soustava lineárních rovnic .n,...,,j, a...aba...a a...aba...a a...aba...a nnj,nnj,nn inj,iij,ii nj,j, j 21 111 111 11111111 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = +− +− +− A Důkaz : Vynásobíme rovnici A . X = B zleva maticí A-1 a dostaneme A-1 . A . X = A-1 . B a tedy X = A-1 . B. Vyjádříme-li inverzní matici a vynásobíme maticí B, dostaneme v i-tém řádku ∑∑ = + = + =−=−= n j ijij ji n j jji ji i ,det det detb)( det b.det)( det x 11 1 1 1 1 1 A A A A A A protože součet v předposledním výrazu je rozvoj det Ai podle i-tého sloupce. Existenci jiného řešení lze vyloučit sporem. Řešené úlohy Příklad Řešme soustavu rovnic x x x x x x 1 2 3 2 1 2 3 0 1 1 + − = = − = − . Řešení: ,,,, ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 111 110 031 011 010 101 011 011 130 011 010 131 321 AAAA det A = 1 ≠ 0, det A1 = 0, det A2 = 1, det A3 = 3. Podle předchozí věty je X = (0, 1, 3)T , tedy x1 = 0, x2 = 1 a x3 = 3. Můžeme provést zkoušku 1 3 1 0 1 0 1 1 0 0 1 3 0 1 1 − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ . - 103 Matematika I, část I Soustava lineárních rovnic Výklad Řešení soustavy pomocí inverzní matice Je-li A matice soustavy typu (m, n) a det A ≠ 0 (A je regulární), můžeme soustavu A.X = = B řešit násobením zleva inverzní maticí A-1 a dostaneme řešení dané soustavy X = A-1 . B. Řešené úlohy Příklad Řešme soustavu pomocí inverzní matice. x x x x x x x x 1 2 3 1 3 1 2 3 3 2 7 2 1 4 2 3 11 − − = − + = − + = − . Řešení: ,,det, ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− −− − =≠= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− = − 6104 5112 3132 16 1 016 324 102 231 1 AAA X = A-1 . B = 1 16 2 13 3 2 11 5 4 10 6 7 1 11 1 16 32 80 48 2 5 3 − − − − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ . . Věta 2.5.2. (Frobeniova). Soustava rovnic A . X = B má řešení, právě když h(A) = h(A|B). Označíme-li h(A) = h(A|B) = r a A je typu (m, n), pak v případě r = n (n počet neznámých) má soustava jediné řešení a v případě n > r má soustava nekonečně mnoho řešení, která můžeme zapsat pomocí (n - r) parametrů. Důkaz je obtížný a nebudeme jej provádět. - 104 Matematika I, část I Soustava lineárních rovnic Výklad Gaussova eliminační metoda řešení soustav lineárních rovnic Předpokládejme, že matice A′|B′ vznikne z rozšířené matice soustavy A|B úpravami: 1. Výměnou dvou řádků, 2. vynásobením řádku číslem různým od nuly, 3. vynecháním řádků se samými nulami, 4. přičtením k-násobku (k ≠ 0) řádku k jinému řádku. Pak soustavy A . X = B a A′. X = B′ mají stejná řešení. Správnost úvahy vyplývá z toho, že každý řádek rozšířené matice soustavy odpovídá příslušné rovnici. Uvedené úpravy můžeme s rovnicemi provádět. Úpravy 1 - 4 nemění hodnost matice A ani matice A|B. Frobeniovu větu budeme proto aplikovat až na vhodně upravenou soustavu rovnic. Užitím úprav 1 - 4 budeme postupně upravovat rozšířenou matici soustavy na trojúhelníkový tvar tak, aby aij = 0 pro i > j. Způsob úpravy ukážeme v následujících příkladech. Řešené úlohy Příklad Řešme soustavu rovnic x x x x x x x x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 5 7 3 5 2 2 2 3 3 14 + + = − + + = + + = + − = . Řešení: Úpravy rozšířené matice soustavy budeme zapisovat do následující tabulky. Poslední sloupec, pro jehož prvky platí a b i mij i j n + = = ∑ , , ..., ,1 1 - 105 Matematika I, část I Soustava lineárních rovnic je kontrolní a součet prvků v řádku matice rozšířené musí vždy po provedení úpravy ve všech sloupcích být roven příslušnému prvku ve sloupci kontrolním. A B ∑ úpravy 1 1 5 1 3 1 2 1 1 2 3 3− −7 5 2 14 0 10 6 16 r r r r r r 2 1 3 1 4 1 2 2 − − − 1 1 5 0 2 4 0 1 9 0 1 13 − − − − −7 12 16 28 0 10 6 16 2 2 3 2 4 2 r r r r + − 1 1 5 0 2 4 0 0 22 0 0 22 − − − −7 12 44 44 0 10 22 22 r r4 3− 1 1 5 0 2 4 0 0 22 0 0 0 − − −7 12 44 0 0 10 22 0 Po provedení úprav platí: h(A′) = h(A′ 12 − |B′) = 3 a podle Frobeniovy věty má soustava jediné řešení, které určíme řešením nové soustavy: x x x x x x 1 2 3 2 3 3 5 7 2 4 22 44 + + = − = − = , x3 = -2, x2 = 2, x1 = 1, tedy X = (1, 2, -2)T . - 106 Matematika I, část I Soustava lineárních rovnic Příklad Řešme soustavu rovnic x x x x x x x x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 3 1 2 3 1 2 2 1 + + = + − = − + − = + − = . Řešení: A B ∑ úpravy 1 1 1 1 1 3 1 2 3 2 1 2 − − − 3 1 1 1 − 6 2 1 2 − r r r r r r 2 1 3 1 4 12 − − − 1 1 1 0 0 4 0 1 4 0 1 4 − − − − 3 4 2 5 − − − 6 8 5 10 − − − vyměníme řádek r2 a řádek r4 1 1 0 1 0 1 0 0 − − − − 1 4 4 4 r r3 2+ 3 5 2 4 − − − 6 10 5 8 − − − 1 1 0 1 0 0 0 0 − − − − 1 4 8 4 2 4 3r r− 3 5 7 4 − − − 6 10 15 8 − − − 1 1 0 1 0 0 0 0 − − − 1 4 8 0 3 5 7 1 − − − 6 10 15 1 − − − Po provedení úprav platí h(A′) = 3 a h(A′|B′) = 4. Podle Frobeniovy věty nemá soustava řešení. - 107 Matematika I, část I Soustava lineárních rovnic Příklad Řešme soustavu rovnic x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1 2 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 0 2 0 4 2 6 3 4 0 2 4 2 4 7 0 + − − = − + − = − + + − = + − + − = . Řešení: A ∑ úpravy 1 1 0 3 1 1 1 2 1 0 4 2 6 3 4 2 4 2 4 7 − − − − − − − − r r r r r r 2 1 3 1 4 1 4 2 − − − −2 1 7 1 1 1 0 3 1 0 2 2 2 1 0 6 6 15 0 0 2 2 10 5 − − − − − − r r r r 3 2 4 2 3− + −2 3 15 5 1 1 0 3 1 0 2 2 2 1 0 0 0 9 3 0 0 0 12 4 − − − − − 3 44 3r r− −2 3 6 8 1 1 0 3 0 2 2 2 0 0 0 9 0 0 0 0 0 − − − − 1 1 3 −2 3 6 0 Soustava rovnic je homogenní a tedy vždy platí h(A) = h(A|B), neboť B = (0,0,0)T , tj. soustava má řešení. Není tedy nutno psát sloupec B. Hodnost h(A) = 3. Pro soustavu rovnic x x x x x x x x x x 1 2 4 5 2 3 4 5 4 5 3 0 2 2 2 9 3 + − − 0 0 = − + + + = − = - 108 Matematika I, část I Soustava lineárních rovnic zvolíme vhodně 2 (t.j. (5 - 3)) parametry: x5 = 6p a x3 = q. Pak dostaneme x4 = 2p, x2 = q + 5p a x1 = 7p - q. Řešení soustavy je x1 = 7p - q, x2 = 5p +q, x3 = q, x4 = 2p, x5 = 6p, p, q ∈ R. Výklad Určení inverzní matice užitím Gaussovy metody Mějme matice A a E obě typu (n, n). Budeme-li provádět v matici A úpravy uvedené pod body 1 - 4 Gaussovy eliminační metody pro řešení soustav rovnic a upravíme-li tak matici A na matici E typu (n, n), lze všechny provedené úpravy vyjádřit jako násobení matice A maticí B, kde A . B = E. Z toho je zřejmé, že matice B = A-1 . Proveďme stejné úpravy i pro matici E, t.j. E . B = E . A-1 = A-1 . To znamená, že takto vzniklá matice je inverzní maticí k matici A. Řešené úlohy Příklad Určeme inverzní matici k matici . ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 011 321 101 A Řešení: Matice A a E zapíšeme do následující tabulky. A E ∑ úpravy 1 0 -1 1 2 3 -1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 7 1 r2 - r1 r3 + r1 1 0 -1 0 2 4 0 1 -1 1 0 0 -1 1 0 1 0 1 1 6 2 2r3 - r2 1 0 -1 0 2 4 0 0 -6 1 0 0 -1 1 0 3 -1 2 1 6 -2 6r1 - r3 3r2 + 2r3 6 0 0 0 6 0 3 1 -2 3 1 4 8 14 . 1 6 - 109 Matematika I, část I Soustava lineárních rovnic 0 0 -6 3 -1 2 -2 . 1 6 . (- 1 6 ) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 2 3 1 2 1 6 1 3 − − − 4 3 7 3 1 3 A . A-1 = E E . A-1 = A-1 . 3 1 6 1 2 1 3 2 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − =− A Kontrolní otázky 1. Matice soustavy je matice vytvořená a) ze sloupce pravých stran 1 m(b , , b ),… b) z koeficientů soustavy ija , c) z n neznámých 1 nx , , x .… 2. Pokud sloupec pravých stran kb 0= pro k 1, , m,= … pak soustavu nazýváme a) soustavou homogenních rovnic, b soustavou nelineárních rovnic, a) soustavou nehomogenních rovnic. 3. Cramerovým pravidlem lze řešit a) jakoukoli soustavu lineárních rovnic, b) soustavu lineárních rovnic, pokud matice soustavy je singulární, c) soustavu lineárních rovnic, pokud matice soustavy je regulární. 4. Matematická věta, podle které se určuje počet řešení soustavy lineárních rovnic se nazývá a) Gaussova, b) Cramerova, c) Frobeniova. 5. Soustava lineárních rovnic má řešení⋅ =A X B a) vždy, b) právě když h( ) h( / ),=A A B - 110 Matematika I, část I Soustava lineárních rovnic c) pokud je počet neznámých a počet rovnic stejný.1x , , x… n 0 6. Gaussova eliminační metoda řešení soustav lineárních rovnic spočívá v úpravě rozšíření matice soustavy a) tak, aby ve sloupci pravých stran byly samé nuly, b) na trojúhelníkový tvar tak, aby ija = pro i j, 0 > c) na trojúhelníkový tvar tak, aby ija = pro i j.= 7. Homogenní soustava lineárních rovnic a) má vždy řešení, b) má vždy nenulové řešení, c) nemá řešení. Odpovědi na kontrolní otázky 1. b); 2. a); 3. c); 4. c); 5. b); 6. b); 7. a). Úlohy k samostatnému řešení 1. Řešte různými způsoby soustavy lineárních rovnic (Cramerovým pravidlem, pomocí inverzní matice a Gaussovou eliminací): a x y x y ) , 3 1 7 + = − = d x y z x y z x y z x y z e x y y z x z ) , ) , 4 2 6 4 7 5 2 14 2 8 5 11 3 3 7 1 6 3 24 4 7 13 5 6 − + = − + − = − + = − − − − = − = − = − + = b x y x y ) , 2 6 4 3 9 1 − = − = c x y z x y z x y z ) , 5 2 3 5 9 4 2 3 17 4− + = + − = − + + = − 43 ,12 9 f x x x x x x x x x g x x x x x x x x x ) , ) 4 2 7 2 0 5 3 9 2 3 3 5 5 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 − + = − + + = − − = − − = − + − = − + − = - 111 Matematika I, část I Soustava lineárních rovnic h x x x x x x x x x ) . 2 3 4 14 2 3 13 2 9 9 20 1 2 3 1 2 3 1 2 3 + − = − − + = + − = 2. Řešte soustavy lineárních rovnic: a x x x x x x x x x b x x x x x x x x ) , ) 3 4 2 2 2 3 2 2 6 0 2 2 3 4 4 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 + + = − + = + − = , − + = − + = − = e c x x x x x x x x x x x x x x x d x x x x x x x x x x x x x x x ) , ) 2 0 3 2 2 2 1 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 + − + = − + − = + − + = + + = − − + = − − − = − − + = + + = , 3 1 1 , , ,2 ,7 , ,4 , , x x x x x x x x x x x x x x x f x y z x y z y z 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 4 1 2 3 4 2 3 3 2 2 5 3 3 7 2 2 01 0 0 3 1 0 3 01 0 0 0 5x 0 01 0 − + − = − + − + = − + = − − − = + + = − + = − + = , 2 3 . ) , ) , ,2 , ,4 g x x x x x x x x x x x h x x x x x x x x x x x ) , ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 5x 1 2 4 1 2 3 9 0 2 4 8 2 5x 5 2 3 0 2 2 3 − + = − + = − − + = − + = − − + = − + = + − = + + = i x x x x x x x j x x x x x x x x x x ) , ) 2 3 3 3 4 3 4 5 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 2 3 4 − + = − + + = + + + = − − − = − + = − , , 0 0 , 0 3. Řešte soustavy homogenních rovnic: a x y y b x x x x x ) , ) 4 0 5x 3 0 5x 0 0 1 2 3 1 2 3 − = + = + + = − − = c x x x x x x x x x x x x d x x x x x x x x x x x ) , ) 4 2 0 0 2 0 2 0 2 0 3 3 2 4 5x 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 − + = + − = − + = − + = − + = − + = − − = + − = e x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x ) , ) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 3 4 0 4 2 0 2 0 2 2 2 3 0 2 0 − + + = + + − = − + − = + − − = − + + + + = = - 112 Matematika I, část I Soustava lineárních rovnic g x x x x x x x x x x x ) , 3 2 0 2 4 3 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 − − + 0 = − + − = + − = h x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ) . 4 2 2 3 4 2 2 2 3 2 2 3 4 2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 + + − + = + + + − = − + − − = + + − = 0 0 0 0 k . 4. Proveďte diskusi řešení soustav vzhledem k parametru k: a x y z x y z x y z k b x x x x x x x x x x x x ) , ) − + = − + = − − = − + = − + = − − + − = − + + = 2 1 3 0 4 3 1 1 2 0 1 2 4 2 3 4 1 2 4 1 3 4 5. Zvětšíme-li jednu stranu trojúhelníka o 11 cm a druhou stranu o 11 cm zmenšíme, dostaneme rovnostranný trojúhelník. Když první stranu vynásobíme čtyřmi, je o 10 cm větší než trojnásobek třetí strany. Vypočtěte velikosti stran trojúhelníka. 6. Kyselina sírová je složena z vodíku, síry a kyslíku. Poměr hmotnosti vodíku a síry je 1 : 16 a poměr hmotnosti kyslíku a síry je 2 : 1. Kolik každého prvku obsahuje 1323 g kyseliny? 7. Hutník má čtyři různé slitiny, které obsahují cín, olovo, vizmut a kadmium. První slitina obsahuje 20 kg cínu a 10 kg olova. Druhá obsahuje 12 kg olova a 6 kg cínu. Třetí obsahuje 10,5 kg vizmutu, 6,4 kg olova a 3,1 kg cínu. Poslední slitina obsahuje 10 kg vizmutu, 5 kg olova, 2,5 kg kadmia a 2,5 kg cínu. Jaké množství každé slitiny je třeba použít na přípravu slitiny, která by obsahovala 81 kg vizmutu, 75 kg olova, 15 kg kadmia a 40 kg cínu ? 8. Vypočtěte proudy (podle Kirchhoffových zákonů) ve všech větvích elektrických sítí podle obr. a, b, kde hodnoty jednotlivých odporů a elektromotorického napětí jsou: a) R = 1000 Ω, R1 = 50 Ω, R2 = 150 Ω, U = 2 V, b) U1 = 46 V, U2 = 62 V, R1 = 2 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 10 Ω, R4 = 4 Ω, R5 = 1,5 Ω, R6 = = 2Ω. a) b) U1 R1 I3I3 R3 R4 U2 R6 I4 I5C BI1 I6I1 R2 R A U B R1 R5A R2- 113 I2 I2 I6D Matematika I, část I Soustava lineárních rovnic Výsledky úloh k samostatnému řešení 1. a) (2, -5), b) nemá řešení, c) (2, 0, -3), d) (1, 1, -1), e) (5, 2, 3), f) (1, 5, -3), g) (3, 4, 5), h) nemá řešení. 2. a) (6 8 5 7 4 10 − −t t t, , ), b) (t+2, 2t, t), c) nemá řešení, d) ( )5 2 1 7 21 3+ − − +t t t t, , , , e) (r, 5r-4s-9, s, 7-3r+3s), f) (4-r, 5-r, r), g) (3-6t, 2-t, t), h) nemá řešení, i) (r, 2r+3s-3, s, 1-r+2s), j) (-2, 2-t, -3, t). 3. a) (0, 0), b) (2t, -t, 3t), c) (0, 0, 0), d) (3t, 2t, t), e) (7t, 3t, -2t, t), f) (-t, t, -3t, 2t), g) (t, 2t, 3t, 4t), h) (t, -t, 2t, 3t, 2t). 4. a) pro k = 3 nekonečně mnoho řešení, b) pro k ≠ -3 nemá řešení, pro k ≠ 3 nemá řešení, pro k = -3 nekonečně mnoho řešení. 5. Strany mají délku 43 cm, 65 cm a 54 cm. 6. 27 g vodíku, 432 g síry a 864 g kyslíku. 7. Je třeba 5,4 kg 1. slitiny, 45,6 kg 2. slitiny, 40 kg 3. slitiny a 120 kg 4. slitiny. 8. a) I1 ≈ 1,45 mA, I2 ≈ 0,48 mA, I ≈1,93 mA, b) I1 = 2A, I2 = 7A, I3 = 9A, I4 = 6A, I5 = = 3A, I6 = -4A. Kontrolní test 1. Řešte soustavu lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x 2x 5x 2x 5x 1 3x 2x x 1. − + − = + + = − − = 6 − 9 .− a) (1;9 b);1), (1;3; 2).− 2. Řešte soustavu lineárních rovnic: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4x 3x 6x 1 3x 5x 4x 10 x 2x 2x + + = + + = − + = a) (1;− b) (1;0), 1 18t; 3 2t; 2 11t), t R.− + − + ∈ - 114 Matematika I, část I Soustava lineárních rovnic 3. Řešte soustavu lineárních rovnic: x 2y 3z 3x y z 1 2x 4y 6z 3 . + + = + − = + + = 4 5 − 5 2 0 1 a) nemá řešení, b) ( 1 t;1 t;1 t), t R.− − − + ∈ 4. Řešte soustavu lineárních rovnic 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x 2x x 2x x 3x 5 4x 3x x 5 . + − = − + = + + = a) ( 1 b)t; 3 t; t), t R,− − + ∈ (4;1;1). 5. Řešte soustavu rovnic pomocí Cramerova pravidla: 2x 3y z 2 x 5y 4z 4x y 3z 4 . − + = + − = − + − = − a) (1 b) (5,3,9), ,6,10). 6. Řešte soustavu lineárních rovnic užitím Gaussovy metody: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2x x 4x 3x 1 x 2x 3x 4x 4x 3x 2x x 3 3x 4x x 2x 4 . + + + = + + + = + + + = + + + = a) ( b)t,1 t, t, t),− − ( 1 3t, t, t,1 t).− − − + 7. Řešte soustavu komplexních lineárních rovnic 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3x 2x x x 0 x x x 5x 2x x 3x x 0 . + − + = + − + = + + − = a) ( t b) (, 3t, 2t, t),− − 10t, 16t, t, t).− − 8. Řešte soustavu lineárních rovnic pomocí inverzní matice x y z 2x y z 2 4x y z 4 . + + = − + = − + + = a) (2 b),2, 3),− (1,2, 2).− - 115 Matematika I, část I Soustava lineárních rovnic Výsledky testu 1. b); 2. b); 3. a); 4. a); 5. b); 6. a); 7. b); 8. b). Průvodce studiem Pok ěli nejméně v 6 případech, pokračujte další kapitolou. V opačnémud jste správně odpověd případě je třeba prostudovat kapitolu 2.5. znovu. - 116