- 75
Matematika I, část I Determinanty matic řádu n
2.3 Determinanty matic řádu n
Cíle
Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.
Definice 2.3.1.
Determinantem (řádu n) čtvercové matice A řádu n, jejímiž prvky aij jsou reálná (popř.
komplexní) čísla, nazýváme číslo, které značíme det A; A a definujeme takto:
1. Je-li n = 1, pak det A = a11.
2. Pro n ≥ 2 je
det
...
:
...
( )
...
:
...
...
:
...
... ( )
...
:
...
,
,
,
A A= = − =
= − + + −
+
=
+
−
−
∑
a a
a a
a
a
a a
a a
a
a a a
a a a
a
a a
a a
n
n nn
j
j j
j
n
n
n nn
n
n n nn
n
n
n
n n
11 1
1
1
1 1
1
11
22 2
2
12
21 23 2
1 3
1
1
21 2 1
1 1
1
1
n
kde matice A1j vznikne z matice A vynecháním prvního řádku a j-tého sloupce.
Výklad
1. Pro matici A řádu n = 2 platí
det A =
a a
a a
a a a a11 22
21 22
11 22 12 21= − , tj. od součinu prvků na hlavní diagonále odečteme
součin prvků na vedlejší diagonále.
Matematika I, část I Determinanty matic řádu n
.
.
.
.
+
-
.
.
.
.
+
Řešené
úlohy
Příklad Vypočtěte determinant matice
3 2
.
1 3
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
A
Řešení:
3 2
1 3
= 3.3 - 2.1 = 7.
Výklad
2. Pro matici A řádu n = 3 platí
det
( ) ( ) (
( )
A = = − +
= − − − + −
= + + − + +
a a a
a a a
a a a
a
a a
a a
a
a a
a a
a
a a
a a
a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11
22 23
32 33
12
21 23
31 33
13
21 22
31 32
11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31
11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31
)
.
=
=
Tento výpočet si snadno zapamatujeme podle tzv. Sarrusova pravidla:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- 76
Matematika I, část I Determinanty matic řádu n
Nejprve zapíšeme výrazy a11a22a33, a12a23a31, a13a21a32 utvořené „rovnoběžně s hlavní
diagonálou“ a pak odečteme výrazy a13a22a31, a11a23a32, a21a12a33, utvořené „rovnoběžně
s vedlejší diagonálou“ (viz schéma).
Řešené úlohy
Příklad Vypočtěte determinant matice
3 2 1
1 0 1
2 1 2
.= −
−
A
Řešení:
3 2 1
1 0 1
2 1 2
−
−
= [3.0.(-2) + 1.1.1 + 2.(-1).2] - [1.0.2 + 3.(-1).1 + 1.2.(-2)] =
= 1 - 4 - (-3 - 4) = 4.
Výklad
3. Pro výpočet determinantů matic řádu n ≥ 4 však neexistuje žádné obdobné pravidlo jako je
Sarrusovo, které platí pouze pro determinanty matic řádu třetího. Abychom nemuseli tyto
determinanty počítat jen na základě definice, seznámíme se s některými důležitými
vlastnostmi determinantů, s jejichž pomocí se výpočet zjednoduší.
Vlastnosti determinantů
Věta 2.3.1. (Laplaceův rozvoj). Pro čtvercovou matici A řádu n platí:
det A = A( ) .det− +
=
∑ 1
1
i j
ij
j
n
a ij - rozvoj determinantu podle i-tého řádku,
det A = A( ) .det− +
=
∑ 1
1
i j
ij
i
n
a ij - rozvoj determinantu podle j-tého sloupce,
- 77
kde matice Aij vznikne z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce.
Matematika I, část I Determinanty matic řádu n
D ů k a z se provádí indukcí vzhledem k n.
Poznámky
1. Determinant matice Aij nazýváme subdeterminantem vzhledem k prvku aij.
2. Součin (-1)i+j
. det Aij nazýváme algebraickým doplňkem prvku aij a značíme
Řešené úlohy
Příklad Vypočtěte determinant matice A =
1 0 1 1
2 0 1 2
3 3 1 1
0 1 1 1
−
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.
Řešení:
Tento determinant můžeme vypočítat rozvojem podle 2. sloupce.
det A = (-1)3+2
. 3 .
1 1 1
2 1 2
0 1 1
1 1
1 1 1
2 1 2
3 1 1
3 1 44 2
−
− + −
−
−
−
= − − + − = −+
( ) . . ( ).( ) ( ) 1.
Věta 2.3.2. Jestliže matice B vznikne tak, že některý řádek (sloupec) čtvercové matice A
vynásobíme číslem k ∈ R, pak platí det B = k.det A.
D ů k a z: Číslem k ∈ R vynásobíme například r-tý sloupec, pak
B =
a a ka a a
a ka
r r r n
n n r
11 1 1 1 1 1 1
1
... ...
: :
, , ,
, ,
− +⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟an n
.
Rozvojem podle r-tého sloupce dostaneme:
- 78
det B = ( ) . det ( ) det det .− = − =+ +
==
∑∑ 1 1
11
i r
ir ir
i r
ir ir
i
n
i
n
ka k. a k.B A A
Matematika I, část I Determinanty matic řádu n
Důkaz pro řádky je obdobný.
Řešené úlohy
Příklad Vypočtěte determinant matice
8 12
1 9
=A užitím věty 2.
Řešení:
8 12
1 9
4
2 3
1 9
4 3
2 1
1 3
12 5 60= = = =. . . . .
Poznámka
Z této věty vyplývá, že determinant, jehož jistý řádek (sloupec) tvoří samé nuly, se rovná nule.
Věta 2.3.3. Vyměníme-li ve čtvercové matici A navzájem dva řádky (sloupce), pak pro
takto vzniklou matici B platí: det B = - det A.
D ů pro sloupce je obdobný.k a z provedeme matematickou indukcí pro řádky,
Věta platí pro matici řádu druhého, neboť
a a
a a11 12
a a a a a a a a
a a
a a
21 22
21 12 11 22 11 22 21 12
11 12
21 22
= − = − − = −( ) .
Nechť nyní n ≥ 3 a předpokládejme, že tvrzení platí pro matice řádu (n - 1). Dokážeme, že
pak platí také pro matice řádu n. Nechť B je matice řádu n, která vznikne z matice A tak, že
vyměníme její i-tý řádek a k-tý řádek (i ≠ k). Zvolme j ≠ i, j ≠ k (1 ≤ j ≤ n) a proveďme rozvoj
determinantu matice B podle prvků j-tého řádku. Dostaneme
n n
j p j p
jp jp jp
p 1 p 1
det ( 1) a det ( 1) a det det ,+ +
= =
= − = − − = −∑ ∑ jpB B A A
- 79
Matematika I, část I Determinanty matic řádu n
podle indukčního předpokladu je det Bjp = - det Ajp.
Věta 2.3.4. Má-li matice A dva řádky (sloupce) stejné, pak det A = 0.
D ů k a z plyne z předcházející věty 3, když oba stejné řádky mezi sebou vyměníme.
Dostaneme
det A = - det A ⇒ 2 det A = 0 ⇒ det A = 0.
Věta 2.3.5. Nechť matice B vznikne tak, že k p-tému řádku (sloupci) čtvercové matice
A řádu n přičteme k násobek, k ∈ R, q-tého řádku (sloupce), p ≠ q. Pak platí
det A = det B .
D ů k a z provedeme pro sloupce.
Mějme matici
.,,
1,,1,1
1,,1,
1
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝ +−
+−
nnpnpnpnn
inpipipi
n
aaaaa
aaaa
a
LL
MMM
L
M
L
,,
,, 1,111,111
⎜
⎜
⎛ +− ppp aaaa
MM
L
1
⎜= ia LA
K p-tému sloupci přičteme k-násobek sloupce q-tého, p ≠ q a získáme matici
.,, ⎟
⎟
⎜
⎜
+= +− aakaaaa LLB
,,
,,
1,,,1,1
1,,,1,1
11,1,1,11,111
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+−
+−
nnpnqnpnpnn
inpiqipipii
npqpp
aakaaaa
aakaaaa
LL
MMM
MMM
LL
Rozvojem determinantu matice B podle p-tého sloupce dostaneme
- 80
Matematika I, část I Determinanty matic řádu n
∑ ∑
∑
= =
++
=
+
=−+−=
=+−=
n
i
n
i
ipiq
pi
ipip
pi
n
i
ipiqip
pi
aka
kaa
1 1
1
,detdet)1(det)1(
det)()1(det
AAA
BB
protože druhý součet, násobený číslem k, je vlastně determinant, v němž na místě p-tého
sloupce je q-tý sloupec. Tento determinant má tedy dva stejné (q-té) sloupce a podle věty 4 je
roven nule.
Důkaz pro řádky lze vést obdobně.
Poznámka
1. Větu 5 můžeme rozšířit:
Determinant matice A se nezmění, přičteme-li k p-tému řádku (sloupci) matice A libovolnou
lineární kombinaci zbývajících řádků (sloupců).
2. Větu 5 používáme při výpočtu determinantů vyšších řádů tak, abychom přičtením vhodné
lineární kombinace získali v některém řádku (sloupci) co nejvíce nul. Pak provedeme rozvoj
podle tohoto řádku (sloupce).
3. Užitím věty 5 můžeme matici převést na matici trojúhelníkovou. Pak platí
,.a..aa
a00
a00
aa0
aaaa
nn2211
nn
33
2322
1n131211
K
K
OM
M
K
=
tj. determinant se rovná součinu prvků na hlavní diagonále, což vyplývá přímo z věty 1.
- 81
Matematika I, část I Determinanty matic řádu n
Řešené úlohy
Příklad Vypočtěme determinant matice
.
1112
3211
1122
0121
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=A
Řešení:
Výhodné bude využít rozvoj podle 4. sloupce. Nejdříve 2. řádek násobený číslem (-3)
přičteme k řádku třetímu a 2. řádek přičteme k řádku čtvrtému. První a druhý řádek
opíšeme:
...)(det
:sloupce.podlerozvojprovedemeyníN
.
)(
det
234
157
121
234
157
121
11
4
0234
0157
1122
0121
3
1112
3211
1122
0121
42
−−−
−
=−−−
−
−=
−−−
−
=
−
−
−
−
=
+
A
A
Tento determinant můžeme vypočíst přímo Sarrusovým pravidlem nebo opět rozvojem
podle 3. sloupce po úpravách.
.)(.)(.)(
).(
det
144256
76
78
11
076
078
12121
234
157
121
31
=+−−=
−−
−−=
=−−
−
=
−
−−−
−
=
+
A
Příklad Úpravou na trojúhelníkový tvar vypočtěme determinant matice
- 82
Matematika I, část I Determinanty matic řádu n
.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
=
102
362
261
A
Řešení:
...
.
)(.
det
18361
300
160
261
2
5120
160
26122
102
362
261
==
=−
−
=
−
−
−
=
−
−−
−
=A
Kontrolní otázky
1. Jak se nazývá determinant, který vznikne z determinantu původní matice, kde jsme
vynechali i-tý řádek a j-tý sloupec.
a) algebraický doplněk prvku ija ,
b) subdeterminant vzhledem k prvku ija ,
c) geometrický doplněk prvku ija .
2. Při násobení determinantu číslem k ∈ R musíme vynásobit
a) všechny řádky determinantu,
b) libovolný 1 řádek (nebo sloupec) determinantu,
c) všechny sloupce determinantu.
3. Vyměníme-li v determinantu navzájem dva řádky (sloupce), pak nový determinant má
a) stejnou hodnotu jako původní,
b) dvakrát větší hodnotu než původní,
c) opačné znaménko než původní.
4. Kdy se determinant rovná 0?
a) Když všechny prvky hlavní úhlopříčky jsou rovny jediné,
b) když se dva řádky (sloupce) rovnají,
c) když je počet řádků menší než počet sloupců.
- 83
Matematika I, část I Determinanty matic řádu n
5. Sarrusovým pravidlem s provádí výpočet determinantů:
a) jakéhokoliv řádu,
b) řádu n 4,≥
c) třetího řádu.
6. Když k určitému řádku (sloupci) determinantu přičteme k-násobek (k jiného řádku
(sloupce) téhož determinantu, hodnota determinantu se
1)≠
a) nezmění,
b) k krát se zvětší,
c) k krát se zmenší.
7. Hodnota determinantu, který je upraven na trojúhelníkový tvar se rovná
a) součinu prvků na vedlejší diagonále,
b) součinu prvků v 1. sloupci,
c) součinu prvků na hlavní diagonále.
Odpovědi na kontrolní otázky
1. b); 2. b); 3. c); 4. b); 5. c); 6. a); 7. c).
Úlohy k samostatnému řešení
1. Vypočtěte determinanty:
a b c d e
f
a a
a a
g
tgx
tgx
) , ) , ) , ) , )
) , ) .
1 3
4 5
2 3
0 5
4 2
1 5
5 2
24 15
9 1
3
1
6
1
1 2
1
1
−
−
−
− −
− −
−
+ −
−
2. Vypočtěte determinanty pomocí Sarrusova pravidla:
a b c d
e f
x x
x
) , ) , ) , )
) , ) .
3 5 0
1 0 2
2 3 2
4 4 1
1 3 2
8 2 3
2 6 3
1 6 2
2 0 1
3 2 0
1 5 2
2 3 1
3 1 5
2 1 4
0 5 3
0
1 0 1
0 1
− −
−
−
− −
−
−
−
−
−
,
- 84
Matematika I, část I Determinanty matic řádu n
3. Řešte rovnice:
a
x
x
x
b
x x
x
x
) , )
1 2
3 3
2 1
0
1
2 1
1 1
0
−
= = .
4. Vypočtěte determinanty úpravou na trojúhelníkový tvar:
a b c) , ) , )
1 2 1 0
2 1 0 1
1 2 1 1
1 1 0 2
2 1 8 3
0 2 8 1
4 7 2 0
1 3 1 1
1 3 1 1 1
2 1 1 1 1
1 2 1 2 1
0 1 1 2 1
2 3 0 0 2
−
−
−
−
− −
− −
−
− −
− − −
− −
.
5. Vypočtěte determinanty:
a b c
d e f
) , ) , )
) , ) , )
− − −
−
− −
−
− − −
−
−
− −
− −
− −
−
− −
− −
− −
− −
− −
− −
1 0 2 4
4 1 2 0
3 1 1 1
0 6 1 1
2 1 2 1
1 2 3 0
4 0 1 1
0 3 1 2
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
1 0 0 1
2 5 3 1
1 1 1 1
1 2 1 0
2 3 4 1
0 2 1 1
1 7 2 8
3 5 4 2
4 3 5 2
4 3 6 2
9 6 2 5
8 6 10 12
,
.
6. Ukažte, že platí:
a x y z
x y z
x y y z z x b
x x
x x
y y
x x
y y
) ( )( )( ) , )
1 1 1 1
1
1
2
2 2 2
2
2
2
2
2
= − − − − − = .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
1. a) -17, b) 10, c) 22, d) 3 , e)
9
2
, f) (1 - 2a), g)
1
2
cos x
.
2. a) -8, b) 50, c) -18, d) -43, e) -125, f) (- x2
+ x).
- 85
Matematika I, část I Determinanty matic řádu n
3. a) x1 = 0, x2 = 2, x3 = -2, b) x1 = -1, x2,3 = 1.
4. a) 1, b) 0, c) -6.
5. a) 10, b) 6, c) 1, d) 1, e) -40, f) 24.
Kontrolní test
1. Vypočtěte determinant
cos x sin x
.
sin x cos x
−
a) cos b) 1, c)2x, 1.−
2. Vypočtěte determinant pomocí Sarrusova pravidla
3 2 4
1 5 3
2 4 3
−
−
− −
.
a) b) c) 1.39,− 8,−
3. Vypočtěte determinant pomocí Sarrusova pravidla
3 2 1
1 1 1
0 2 1
−
−
.
a) 1, b) , c) 2.1−
4. Vypočtěte determinant
x x x
x x x
x x x
−
−
− −
.
,a) 4x b) c)3 3
x ,− 3
4x .−
5. Vypočtěte determinant úpravou na trojúhelníkový tvar
1 3 7
2 0 1
6 2 2−
.
a) 20, b) 40, c) 20.−
- 86
Matematika I, část I Determinanty matic řádu n
6. Vypočtěte determinant úpravou na trojúhelníkový tvar
0 2 2 2
2 0 2 2
.
2 2 0 2
2 2 2 0
a) b) 58, c) 62.48,−
7. Vypočtěte determinant
5 3 2 4
10 2 2 10
.
5 6 8 5
0 1 1 1
−
−
−
a) b) 121, c)570,− 500.−
8. Řešte rovnici
2
x 4 9
x 2 3 0
1 1 1
= .
, x 6,= = , 6.a) x 1 b) c)1 2 1 2x 2, x 3= = 1 2x 1, x= − = −
Výsledky testu
1. b); 2. a); 3. b); 4. c); 5. c); 6. a); 7. a); 8. b).
Průvodce studiem
Pokud jste správně odpověděli nejméně v 6 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném
případě je třeba prostudovat kapitolu 2.3. znovu.
- 87