Matematika I, část I Inverzní matice a hodnost matice 2.4. Inverzní matice a hodnost matice Cíle Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic. Předpokládané znalosti Předpokladem dobrého zvládnutí látky je zejména znalost operace násobení matic. Definice 2.4.1. Inverzní maticí k čtvercové matici A řádu n rozumíme takovou čtvercovou matici A-1 řádu n, pro kterou platí: A . A-1 = A-1 . A = E, kde E je jednotková matice řádu n. Definice 2.4.2. Čtvercová matice A řádu n ≥ 2, jejíž determinant det A ≠ 0, se nazývá regulární. V opačném případě jí říkáme singulární (det A = 0). Věta 2.4.1. Nechť A je regulární matice řádu n ≥ 2 a A* je matice utvořená z algebraických doplňků * ikA prvků aik ∈ A. Pak platí .)(. det T* A A A 11 =− Matici (A* )T nazýváme adjungovanou maticí k matici A a značíme ji A ~ , tedy . ~ . det A A A 11 =− - 88 Matematika I, část I Inverzní matice a hodnost matice Důkaz : . det det det . det aaa aaa aaa .. det . ~ . det . nnnn n n nnnn n n E A A A A AAA AAA AAA A AA A AA *** *** *** = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ==− 10 010 001 00 00 00 1 1 1 21 22221 11211 21 22212 12111 1 Obdobně dokážeme A . A-1 = E. Řešené úlohy Příklad Určeme inverzní matici k matici . ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 521 145 023 A Řešení: jematicedet AA ⇒≠== 06 521 145 023 regulární - 89 Matematika I, část I Inverzní matice a hodnost matice . ,)( ~ , )()()( )()()( )()()( T* * *** *** *** ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − == ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − = =−=−=−==−= −=−==−=−=−= =−=−=−==−= − 246 31524 21018 6 1 246 31524 21018 232 41510 62418 2 45 23 13 15 03 12 14 02 1 4 21 23 115 51 03 110 52 02 1 6 21 45 124 51 15 118 52 14 1 1 6 33 5 32 4 31 5 23 4 22 3 21 4 13 3 12 2 11 A AA A AAA AAA AAA Příklad Řešme rovnici pro neznámou matici X: ... ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −− =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 89 21 23 45 01 12 X Řešení: můžeme danou maticovou rovnici zapsat ve tvaru A . X . B = C . (1) Protože det A = 1 ≠ 0, det B = -2 ≠ 0, jsou matice A, B regulární a můžeme vypočíst inverzní matice A-1 a B-1 . ., ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − −=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = −− 53 42 2 1 21 10 11 BA Vynásobíme-li rovnici (1) zleva maticí A-1 a zprava maticí B-1 , dostaneme: A-1 . A . X . B . B-1 = A-1 . C . B-1 , E . X . E = A-1 . C . B-1 , A-1 . C . B-1 . Dosadíme: ... ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 14 23 53 42 2 1 89 21 21 10 X - 90 Matematika I, část I Inverzní matice a hodnost matice Zkoušku provedeme dosazením do zadání. Příklad Jednoduchý způsob odesílání kódovaných zpráv spočívá v označení písmen abecedy celými čísly a odeslání zprávy jako posloupnosti čísel. Například zpráva NAPIŠ VČAS může být kódována jako 5, 8, 10, 21, 7, 2, 9, 8, 3. V této zprávě je N reprezentováno 5, A je reprezentováno 8 atd. Bohužel, takto kódované zprávy jsou snadno rozluštitelné. Abychom učinili dekódování obtížnějším, můžeme použít násobení matic. Nechť A je matice, jejímiž prvky jsou celá čísla a det A = ± 1, pak A-1 = ± Ukážeme způsob kódování a dekódování naší zprávy pomocí matice. ~ A . ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 232 352 121 A Kódovanou zprávu umístíme do sloupců matice . ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 3210 878 9215 B ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 486754 678380 283731 3210 878 9215 232 352 121 BA . Součin určuje kódovanou zprávu, kterou odešleme ve tvaru 31, 80, 54, 37, 83, 67, 28, 67, 48. Přijímající osoba může zprávu dekódovat násobením zleva maticí A-1 , neboť A-1 . A . B = = E . B = B. - 91 Matematika I, část I Inverzní matice a hodnost matice A-1 . A . B = .. B= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 3210 878 9215 486754 678380 283731 114 102 111 Tato technika kódování může mít i složitější varianty. Například nechť A1, A2, A3 jsou tři různé matice řádu 3, jejichž det Ai = ± 1 pro i = 1, 2, 3. Vyjádřeme naši zprávu třemi vektory .,, ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 8 9 2 7 21 10 8 5 321 bbb Pak můžeme zprávu kódovat násobením . ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3 2 1 33 22 11 3 2 1 3 2 1 00 00 00 c c c bA bA bA b b b A A A Zprávu můžeme odeslat ve tvaru .,, TTT 321 ccc Takto odeslanou zprávu můžeme dekódovat násobením zleva . ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − 3 2 1 3 1 3 2 1 2 1 1 1 3 2 1 1 3 1 2 1 1 00 00 00 b b b cA cA cA c c c A A A Definice 2.4.3. Nechť A = (aij) je matice typu (m, n). Považujme řádky za aritmetické vektory vektorového prostoru Vn. Hodnost matice A je r (značíme h(A) = r), existuje-li r lineárně nezávislých řádků matice A a každých r+1 řádků je lineárně závislých. - 92 Matematika I, část I Inverzní matice a hodnost matice Poznámka Hodnost matice A typu (m, n) bychom mohli definovat pomocí sloupcových vektorů z vektorového prostoru Vm. Obě definice vedou k témuž výsledku h(A) = r. Věta 2.4.2. Nechť A je libovolná matice typu (m, n). Hodnost matice A se nezmění při kterékoliv z následujících elementárních úprav: 1. záměně pořadí řádků (sloupců), 2. násobení jednotlivých řádků (sloupců) čísly ki ≠ 0, 3. přičtení k některému řádku (sloupci) lineární kombinace zbývajících řádků (sloupců), 4. vynecháním řádku, který je lineární kombinací zbývajících řádků. Důkaz: Žádná z uvedených úprav nemění počet lineárně nezávislých řádků či sloupců. Poznámka Dvě matice A, B, které mají stejnou hodnost h(A) = h(B), nazýváme ekvivalentními a značíme A ~ B. Řešené úlohy Příklad Určeme hodnost matice . ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − − = 2002 1120 1001 0121 A Řešení: Budeme upravovat matici A podle věty 2. Ke 2. řádku přičteme (-1) násobek 1. řádku a ke 4. řádku (-2) násobek 2. řádku - 93 Matematika I, část I Inverzní matice a hodnost matice 1 2 1 0 1 0 0 1 0 2 1 1 2 0 0 2 1 2 − − − − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ − − .( ) .( ) ~ ~ , 1 2 1 0 0 2 1 1 0 2 1 1 0 0 0 0 − − − − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 1 2 1 0 0 2 1 1 − − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 3. a 4. řádek můžeme vynechat (dle 4. bodu věty 2). Je vidět, že v upravené matici jsou dva lineárně nezávislé řádky, tzn., že hodnost matice A je dvě, h(A) = 2. Kontrolní otázky 1. Pro inverzní matici k čtvercové matici platí1− A A a) 1 1 ,− − + = + =A A A A E b) 1 1 ,− − ⋅ = ⋅ =A A A A E c) kde je jednotková matice.1 ,− ⋅ = ⋅ =A A E A E E 2. Čtvercová matice , jejíž determinantA det 0=A se nazývá a) singulární, b) nulová, c) regulární. 3. Inverzní matice k matici existujeA a) když A je singulární matice, b) vždy, když je čtvercová matice,A c) když A je regulární matice. 4. Adjungovaná matice je vytvořenáA a) z algebraických doplňků prvků matice (tj. matice transponovaná k původní matici ), T A A b) ze subdeterminantů prvků matice ,A c) z algebraických doplňků prvků matice .A 5. Hodnost matice A je číslo r, které udává a) maximální počet lineárně závislých řádků (sloupců) matice ,A b) maximální počet lineárně nezávislých řádků (sloupců) matice ,A - 94 Matematika I, část I Inverzní matice a hodnost matice c) hodnotu determinantu dané matice .A 6. Dvě matice nazveme ekvivalentní, když,A B a) mají stejnou hodnost, b) jsou stejného typu, c) se rovnají hodnoty jejich determinantů. 7. Při vynásobení libovolného řádku (sloupce) matice číslem kA (k 0, k 1)≠ ≠ se hodnost matice a) k krát zvětší, b) k krát zmenší, c) nezmění. Odpovědi na kontrolní otázky 1. b); 2. a); 3. c) 4. a); 5. b); 6. a); 7. c). Úlohy k samostatnému řešení 1. Vypočítejte inverzní matici A-1 k matici A a proveďte zkoušku: a) A = , b) A = − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 3 5 6 4 ,)c, ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −− − 86 40 13 21 A d) A = ,)f,)e, ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 201 112 004 331 102 123 110 101 110 AA g) A = ,)i,)h, ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0111 1002 1210 0112 001 011 111 001 010 100 AA j) A = 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ . - 95 Matematika I, část I Inverzní matice a hodnost matice 2. Řešte rovnici pro neznámou matici X: a) 2 3 12 7 3 0 24 3 . , b) . 1 4 16 9 5 2 44 15 − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ X X , ⎞ ⎟ ⎠ , ⎞ ⎟ ⎠ c) 4 7 7 1 1 3 5 5 . , d) . 1 2 9 12 2 1 7 9 − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ X X e) ...)f,.. ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 16 57 12 01 24 32 13 42 35 23 23 12 XX 3. Řešte rovnici pro neznámou matici X: a) X . ,.)b, ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 1189 554 11218 231 012 343 521 234 311 111 012 111 X c) X . 2 7 3 3 9 4 1 5 3 1 0 2 0 1 0 0 0 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ . 4. Vypočtěte hodnost matice: a) A = ,)c,)b, ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− −−=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 20107 412 053 053 241 57 32 CB d) D = .)f,)e, ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − 7711 4302 5215 1113 3411 113 021 130 112 15105 963 642 FM 5. Pro která x má matice A hodnost h(A) = 2 ? A = 2 3 1 4 1 0 3 2 1 x x− − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ . - 96 Matematika I, část I Inverzní matice a hodnost matice 6. Proveďte diskusi hodnosti matice A vzhledem k parametru p. A = 1 3 1 0 1 2 1 5 p ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ . 7. V anglicky psané zprávě je mezera označena 0, písmeno A označeno 1, B označeno 2, C označeno 3 atd. podle anglické abecedy. Zpráva byla kódována násobením zleva maticí A = − − − − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 1 1 2 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 a odeslána ve tvaru -19, 19, 25, -21, 0, 18, -18, 15, 3, 10, -8, 3, -2, 20, -7, 12. Dekódujte zprávu. Výsledky úloh k samostatnému řešení 1. a) A-1 = ,)c,)b, ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −− − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− 0 4 1 6 1 3 1 13 21 7 1 6 1 3 1 18 5 9 2 11 AA d) A-1 neexistuje (det A = 0), e) A-1 = f) A 3 3 2 7 8 5 6 7 4 − − − − − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ , -1 = 1 4 0 0 3 8 1 1 2 1 8 0 1 2 − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ , g) A-1 = ,)i,)h, ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− 2102 0 3 1 3 1 3 1 2 3 1 3 1 3 4 1001 011 110 100 001 010 100 11 AA - 97 Matematika I, část I Inverzní matice a hodnost matice j) A-1 = − − − − − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 . 2. a) X = ,)d,)c,)b, ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −− =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 65 43 12 31 52 18 14 50 XXX e) X = .)f, ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −− 1820 718 8 1 1834 1324 X 3. a) X = .)c,)b, ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − 336 135 51219 341 132 211 035 254 023 XX 4. a) h(A) = 2, b) h(B) = 2, c) h(C) = 2, d) h(D) = 1, e) h(M) = 3, f) h(F) = 3. 5. x = 2 7 . 6. h(A) = 2 pro p = 5, h(A) = 3 pro p ≠ 5. 7. Do your homework. Kontrolní test 1. Zjistěte, zda matice je singulární:A 3 5 0 1 0 2 . 2 3 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A a) ano, b) ne. 2. Zjistěte, zda matice je regulární:B 2 6 3 1 6 2 2 0 1 − −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ B . . a) ano, b) ne. 3. K dané matici A vytvořte matici adjungovanou :A 4 0 0 2 1 1 1 0 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A - 98 Matematika I, část I Inverzní matice a hodnost matice a) b) 2 0 0 3 8 4 , 1 0 4 −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ A 2 3 1 0 8 0 0 4 4 − −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ . − −⎝ ⎠ A 4. K dané matici A vytvořte matici inverzní 1 :− A 3 4 5 2 3 1 3 5 1 −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ A . .a) b)1 8 5 1 29 18 3 , 11 7 1 − − −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ A 1 8 29 11 5 18 7 1 3 1 − − −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ A 5. K dané matici A vytvořte matici inverzní 1 :− A 1 1 1 4 5 6 3 3 4 −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ A . a) 1 19 5 6 1 12 3 3 , 3 5 1 3 − − −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ A b) 1 2 1 1 2 1 2 3 0 1 − . −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A 6. Řešte rovnici pro neznámou matici :X 1 3 2 5 10 1 2 4 . 9 7 2 1 1 4 5 ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ =⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ X . ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎟ ⎟a) b) nemá řešení. 1 1 0 3 , 2 0 ⎛ ⎞ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ X 7. Vypočtěte hodnost matice :A 2 1 3 1 3 1 2 0 . 1 3 4 2 4 3 1 1 −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟= ⎜ ⎟− ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ A a) h( b)) 2,=A h( ) 4.=A 8. Vypočtěte hodnost matice :B - 99 Matematika I, část I Inverzní matice a hodnost matice 3 6 2 1 1 2 4 1 2 4 3 6 5 11 29 −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ B . a) b)h( ) 3,=B h( ) 2.=B Výsledky testu 1. b); 2. a); 3. a); 4. b); 5. b); 6. a); 7. a); 8. b). Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 6 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném případě je třeba prostudovat kapitolu 2.4. znovu. - 100