Úlohy o čtyřúhelnících


1. Narýsujte obdélník ABCD. Na straně AD zvolte bod K a na straně BC zvolte bod L tak, aby platilo
AK @ CL. Dokažte, že trojúhelníky ALD a BKC jsou shodné.


2. Narýsujte rovnoběžník KLMN a sestrojte středy jeho stran. Dokažte, že tyto středy jsou vrcholy
nového rovnoběžníku. Budete-li pokračovat dále v sestrojování středů stran nového rovnoběžníku,
zjistíte, že vždy středy stran jsou vrcholy nových rovnoběžníků.


3. Jak byste rozdělili (rozstřihli) pravidelný šestiúhelník na co nejmenší počet částí, ze kterých
byste složili rovnoběžník?


4. Obdélník má obsah 36 cm^2. Jaké mohou být délky jeho stran?  Který z obdélníků má nejmenší
obvod?


5. Obdélník má obvod 48 cm. Jaké mohou být délky jeho stran? Který  z obdélníků má největší obsah?


6. Určete obsah jednotlivých částí praporu, jestliže prapor má tvar obdélníku, jehož délky stran
jsou 30 cm a 20 cm,  je rozdělen na modrý klín tvaru trojúhelníku (strana 20 cm, výška 15 cm) a dva
shodné lichoběžníky  - bílý a červený.


7. Je dán rovnoběžník ABCD. Úhlopříčky tohoto rovnoběžníku jej rozdělí na čtyři trojúhelníky, které
jsou po dvou shodné. Dokažte. Jaké budou tyto trojúhelníky, jestliže rovnoběžníkem bude
kosočtverec?


8. Je dán rovnoběžník ABCD, délka jeho jedné úhlopříčky je rovna délce jeho jedné strany. Jakou
velikost mají vnitřní úhly tohoto rovnoběžníku?


9. Nakreslete několik  různých čtyřúhelníků, jejichž úhlopříčky jsou na sebe kolmé.


10. Velikost jednoho  vnitřních úhlů rovnoběžníku je 58°. Vypočtěte velikosti zbývajících vnitřních
úhlů rovnoběžníku.


11. Součet velikostí dvou vnitřních úhlů rovnoběžníku je 100°. Rozhodněte, zda tyto úhly jsou

a)      úhly sousední

b)      úhly protější

c)      libovolná dvojice vnitřních úhlů rovnoběžníku.


12. V rovnoběžníku ABCD je bod K střed strany BC a bod L střed strany CD. Určete, v jakém poměru
dělí úsečky AK a AL úhlopříčku BD.


13. Narýsujte libovolný konvexní čtyřúhelník ABCD a sestrojte středy všech jeho stran. Ověřte
(dokažte) že platí: Úsečky spojující středy sousedních stran konvexního čtyřúhelníku  rozdělují
tento čtyřúhelník na rovnoběžník a čtyři trojúhelníky.


14. Narýsujte libovolný konvexní čtyřúhelník ABCD, středy jeho stran označte K, L, M, N. Ověřte, že
čtyřúhelník KLMN je rovnoběžník.


15. V lichoběžníku ABCD  pro jeho základny platí: AB = 2 CD. Dokažte, že úhlopříčky tohoto
lichoběžníku dělí střední příčku na tři shodné úsečky.


16. Dokažte, že část střední příčky lichoběžníku vymezená jeho úhlopříčkami (tj. úsečka, jejímiž
krajními body jsou body úhlopříček), je rovna polovině rozdílu jeho základen.


17. Lichoběžník je svými úhlopříčkami rozdělen na čtyři trojúhelníky. V jakém vztahu jsou obsahy
těchto trojúhelníků?


18. Je dán lichoběžník ABCD, narýsujte jeho úhlopříčky AC, BD. Kolik dvojic geometrických útvarů,
které mají sobě rovné obsahy, můžete najít?


19. Kružnici se středem S je opsán rovnoramenný lichoběžník ABCD. Vzdálenost jednoho vrcholu  od
středu S je 7 cm, vzdálenost druhého vrcholu je 4 cm. Vypočítejte obsah lichoběžníku ABCD.


20. Vypočítejte poloměr kružnice vepsané do kosočtverce, jehož strana je bodem dotyku rozdělena na
úsečky dlouhé 6 cm a 4 cm.


21. Daný trojúhelník ABC doplňte bodem D na tětivový čtyřúhelník, kterému je možno vepsat kružnici.


22. Čtverec je rozdělen na 12 shodných trojúhelníků a 4 shodné čtverce (obr.)

Vypočítejte jakou částí obsahu původního čtverce je obsah trojúhelníku

a jakou částí je obsah čtverce.


23. Ověřte, že platí:

a)      Čtyřúhelníku můžeme opsat kružnici (čtyřúhelník tětivový), právě když součet velikostí
libovolných dvou protějších úhlů je 180°.

b)      Čtyřúhelníku můžeme vepsat kružnici (čtyřúhelník tečnový), právě když se součty dvou
protějších stran sobě rovnají.

c)      V každém tětivovém čtyřúhelníku je součin délek úhlopříček roven součtu součinů   délek
protějších stran (Ptolemaiova věta).