Kapitula 1 ZÁKLADNI POJMY g 1 : OKRUHY, TELESA V tomto paragrafu uvedenie základní algebraické'pojmy a jejich vlastnosti v takove'm rozsahu, jaky búde potřebný v dalším textu. V případe', re půjde o vlastnost známou z úvodního kurzu algebry, budeme se odkazovat na skripta L. Skuly [9 ]. Okruhem budeme všude v dalsíifi vzdy rozumět komutativní okruh s jedničkou, coz je tedy množina s'dv&má bihaVními operacemi (sčítaním, násobením), obvykle označovaná' Ä = (.#,+,.) nebo jen stručné'/?, při čemž : L C/í,+) je komutativní (abelovská) grupa 2. (Ä,.) je koinutativnŕpologrupa s jedničkou lft 3. násobenie distributivní vzhledem k sčítání, t.J. u, (b + c) = '±b -+ a.c , pro lib. a.b.c S-R. . NejjednodussVii príklady okruhu jsou : a) množiny Z, Q, R, K s operacemi obyčejného sčítání a násobení čísel bj množina G - {a + bi I a,b e Z } s operacemi obyčejného sčítaní a násobení čísel. Tento okruh nazyva'nie okruhem Gaussovych celých čísel. ■ q) okruhy.Zm = (2^ , + , . ) zbytkových tříd inodulo/n d) jednoprvkový okruh K = {0R }, který se nazýva triviální okruh. V tomto prípade" obe operace splývají a je 0R = \R (jinak je vždycky ~pR lft!!J. Terlto okruh budeme většinou z našich úvah vylučovat, t. zn. budeme uvazovat pouze netriviální okruhy. Příklad 1.1 : 'Na množine Z X Z definujeme operace + a , takto ; (x,.y) + (x',y) <* Íx+#',y+y') pro iib. x ,v,' yy S Z (,x,y) . {x ,y) = (x je , v. y ) kde symboly + , . na pravé strane značí'obyčejné sčítania násobenřcíspl. Dostavíme taktookruh 7. XZ = (Z X Z , +,. ), jehož jedničkou je zrejme prvek (1,1). Příklad 1.2: Nechf R je okruh a nechf n je pevné' přirozené'číslo. Kartézský souňn«X/< X.....X/? ( h - krát) označme R". Dále, symbolem R'""' označme mnozmu visech zobrazení z /?"do/ť,t.j. .: '.<:. Ri""' = lv> : R" -» ] . . *m Maril. J Na množina R'R l definujeme operace + a . takto : pró y\ií/ S polozíme C*. ttV,......'„> - *r......,„).*(r,,.......) Pt°,ÍM kde symboly ■ + , . na pravé strane značí sčítání, resp. násobení v okruhu R Je ihned vidřt, íe + a dále, že jsou splněny axiomy okruhu. Tedy (J?(Ä >, +,,) je okruh, jehož jedničkou je zřejmé zobrazení i definováno : Ve specielním případe pro n " 1 dostávame takto okruh RR = {RR ,+, . ), jehož prvky jsou tedy zobrazení z R'do Ä. Tento okruh budeme nazývat okruh funkcí (na R ). Definice : Nechť R je okiuli, prvek r e R se nazývá dél I I e I nuly v R , jestliže r * 0 a existuje s e R, s # 0 íot, ze r.j = 0. NelHvlálníokruh, který neobsahuje dělitele nuly, se nazývá obor integrity. příkladem oboru integrity Jsou výše zmíněné okruhy Z, Q, R, K, G, resp. okruh zbytkových tříd Zm v případe, ít m je prvočíslo (viz [oj, str. 58).'' Naopak, triviálni okruh, okruh ZXZ a okruh funkcí R" nejsou obory Integrity;'.' Následující víta pak udává' Jinou charakterizaci oboru integrity. Veta 1.1 : Nechť R je netriviální okruh. Pak R je oborem Integrity prává když v R platízákon o kráceni (I,), a, b, c e R , a j* 0, a. b = .a.c - b ' c) (D u k a z : I. nechť R jc obor integrity; je-li a.b - a.c . a 0, pak alb - C) ■ 0, t. 1«. podle předpokladu musí být b - c ■ 0, neboli b - c . U, nechf v R platí zákon o krácení; nechf a, b 6 R , n^o, a.b = 0. Pak ale lze psát : a.ft = 0 = a.0, t. zn. podle zákona o krácení je 4 = 0 a tedy /í je obor integrity.] Definice: Nechť R )e okruh. Prvek e S R- k ntmui existuje prvek inverzní (vzhledem k operaci násobenú, se. nazýva jednotka o k r u fi u R ■ Množinu v.iecli jednotek okruhu R budeme oznaéovat symbolem J {R) . Zrejmí jednička \R je vždy jednotkou okruhu R, t. zn. J{R) je neprázdná' množina, při čemž obecné má okruh více jednotek. Napr. okruh Z ma práve' 2 jednotky (a sice čísla * 1), resp. okruh G celých Gaussovych čísel má"4 Jednotky (čísla. — 1, i í), resp. v okruzích Q, R, K je kaídý nenulový prvek jednotkou, atd. Definice: Okruh .R , jehoz mnohna nenulových prvku R - (0R) je grupou vzhledem k operaci násobení, se nazýva teleso. Poznámka : vzhledem k tomu, ze operace násobení je .vsude v tomto textu komutativní, není nutné používat termínu komutativní teleso nebo pole, Jak se nekdy z důvodu rozlišení déla. Z definice dále vyplývá, ze téleso musí být vždy alespoň dvouprvkove^neboť R- [O^ ) je grupa, t. zn. neprázdná množina) a ie kaíďy nenulový prvek je jednotkou. Příkladem teíes jsou napr. Q, R, K, pri čemž ,to zdaleka nejsou všechny číselne množiny, které jsou tělesem vzhledem k operacím.obyčejného sčítání a násobení, jak ukážeme dalc. Na druhé strane, okruh Z , okruh funkcí RR a okruh Z X Z. Zrejme nejsou telesa. Definice : Nechť R = {R, +, . ) je okruh. Jerli podmnožina S C M vzhledem k operacím +, . okruhem (resp. tělesem), pak S se nazývá p o do k r u li (resp, p o d t é 1 e s o ) okruhu R a R se pak nazýva n a d o,k r u h okruhu (resp. telesa) S. Jeli navíc R tělesem, pak říkáme, ze S-Je p o do k ru h e m (resp. p o d t eí e s e m ) t él esa R, pri cemz R v tomto prípade nazýváme nadtélesem okruhu (resp. telesa) S. Je-li Ä podokruhem okruhu R a plalí-li 'j " '„ i Pak s nazýváme u n 11 ár n ím p o d o k r u h e m o k r u h u R . Například, okruh Z je unitárním podokruhem okruhu G . resp. okruh Z je podokruhem telesa R. resp. teleso Q je podtélesem tílesa K, Je-li R teleso - 8 - a uvázíme-li v okruhu funkcí RR- podmnožinu F všech konstantních zobrazení (t.j. zobrazení tvaru ■ * ls= (1,0) * (1,1) - lzxz a tedy podokruh S není unitárním podokruhem okruhu ZXZ nosí* (V) pro každé' .v & « ŕa* nejmensí lakové k se nazýva" charakteristika okruhu (resp. telesa) R. Říkáme pak, ze okruh (resp. teleso) R je charakteristiky k . Jestliže íádnépřirození k s vlastností (1) neexistuje, pak říkáme, ze okruh (resp. teleso) R je charakteristiky O . V našem případe, kdy R ma'jedničku 1 , lze určit charakteristiku, R, pouze vyšetřováním vlastností \R. jak ukazuje následující veta. Veta 1.2; Mech ŕ R je okruh (resp. teleso). Existuje-il přirozené k takové, ze k\R = 0R , pak nejmensí takové k je charakteristikou okruhu (resp. telesa) R. Neexistuj&li zadné takové' k , pak okruh (resp. teleso) R je charakteristiky O. [D ů k a z : nechť k je nejmensí přirozené číslo s vlastností : fc Or . P-ak pro libovolný prvek r e R je í: r = r + r + . . . + r = lfi r + jB .r + . . ne tvrzeru.] Vldúne tedy napr, ze triviální okruh je charakteristiky 1 , okruh Zm zbytkových tříd module m je charakteiisliky m , okruh funkcí R" je stej ne' charakteristiky jako je okruh R a všechny ostatnŕvyse 7.minovane/okruhy nebo telesa, t.j. Z, O. Q. R. K, Z X Z jsou charakteristiky O . I a m Definice : Afecft/ Ä = (Tí, +, . ) , = (ä', ©, o ) /.tou oAru/y; (resp. telesa). Zobrazení y : R ~* R' se nazýrá' h o m o m o r f t z m u s okruhu (resp, telesa j R do okruhu (resp. t íl e s a J R' , jestliže pro libovolné a.b e R platí; ¥> (a + frj - v7 («) ® ^(*) i f = ^ (a) © ^ (&) . Je-fí nav/ír zobrazení y injektivní, pak hovoííme o i z o m o r f i z m u R do R' nebo těí o vnoření R do R'. Je-li tp bijektivní, pak hovortme o izomorfizmu R na R' a tíkáme, ze R a. R' jsou Izomorfní. Poznámka : v dalŽíin budeme obvykle operace sčítání, resp. násobení v R a R' označovat stejnými symboly. Nemúíe dojit k nedorozumení, protoíe ze způsobu zápisu j e'patrne, ž'ďa "jäe o Operaci'v Ŕ' netio v R'.' Základní vlastnosti homoniorfizmu jsou probrány v [9]i uveďme si nyní pouze tuto vítu: Víta 1.3 : Nechŕ R, R' jsou okruhy; nechť ip-: R -» R' je hfímomoríizmus okruhu R do R'. Pak •((R) je. podokruhem v R'. ■;. [D u k a z : je

Ufi) je jedničkou f (R). (Obecne vsak nikoliv jedničkou R'V.). Tedy

l„j navíc součin e •<. .< Jo Jednotkou v Ä , právě kdyir.kazdé ,f((J.- 1„....... ,,*) je jednotkou v R . Odtud pakjií lehce plyne, ti množina /(Ä). vSech jednotek v /< tvoří (vzhledem k operaci, násobe-nív i? ) grupu. . Definice : Nechf R je okruh. Jestllíe pro a.b S R existuje jednotka e e J(R) tuk, fe platí: a = b.e, pak flkátne, íe prvek a le as o c to.,-van s prvkem b . a púíame ; a *V b . Jelikož relace je symetrická -' (jak bkde ukázáno nSi), budeme obvykla fikat, h prvky a., b j š.o u a - s o c i o v á n y ( v R ). -•' ■'■>• Vfjtn 2.2 : Nechť R je okruh; pak relace asoclovanosli ^ je relací ekvivalence na množina R. • '' (D.úk n : reflexivita : a 9 a . 1 , t. zn, a *» a pro libovolné' a e R . symetrie: nechf a b , t. zn. existuje «6/(S) tok, že a = b.e. Ale ŕ-1 G AR) o po vynásobení tímto prvkem dostávame : 6 »«.«■■', t.- zn. b *v a . transitlvlta : nechf a »\/ 6, 6 *w, t. zn. existují e/j e ./(/?) tak, ze a = &«, , b - c e, > t. zn. dosazením : o » e (e,.*-,)» pri. íeinz • Sj.e, e J (.R) .Tedy ŕ-Ve. J- Poznámka : z předchozí vě"ty plyne, ze relace asociovanostl ^ vytvn'ŕŕna R Jistý tozkiad. Tfídy toholo rozkladu Jsou tvořeny ví<\y navzájem asociovanými. prvky. Prvek 0R sam o sobe vždy vytváří jednu takovou třídu. Dále pak.všechny jednotky okruhu R tvoří další třídu tohoto rozkladu, neboť jsou asociova'ny s prvkem lfi . Je-li specielně' R tělesem, pak všechny nenulové prvky jsou navzájem asociovány (neboťjsou to jednotky) a tedy rozklad, příslušný relaci "v ma praví: dvé* výše zmiňované' třídy (_ O } « H - ( 0 ) . Z hlediska dělitelnosti je proto teleso pto nás nezajímavá a v dalších vKtach se omezíme na situaci, š níz se budeme nejčastěji setkávat, t. zn. na prípad, žo R je oborem integrity. Ve"ta 2.3: Nechť R je obor integrity; a,b SR. Pak platí : o i li , 1 1« . . [D ú k a z ; " — " je-li o *v b , pak existuje jednotka e S J(R) tak, ze a = b.e . Odtud pak b - a.e'x . Tedy je a]b, b \ á. •■ " *■ " nechť a I ft , 6 I a . Je-li a = 0 , pak musí být i-6 = (J a tedy a v. fc . Nech/ tedy urO. Pak existují prvky r.r' e fi tak, Že a.r - b , /J.ľ' = a , t. zn. po dosazení . a. ( rV ) = a = a.l . odkud podle V. 1.1. je r.r - 1 a tedy r.r e J {R). Potom vsak je a ->» 6 .' ] Víta 2.4 : Nechť R je obor Integrity , nechť a, b, a , b' SR. Pak 1. pro kaldou jednotku e 6 /(/<) a kaídý prcek r SR platí: e I r 2 /e-W a' -V/ a . 6' "i- b . pak al 6 praví' kdyí a\b' ■ [Důkaz : ad 1 ■ : platí r l.r - e. (e'.r) , t. zn. e I r. ad 2 : nechť a' -x- a , 6' "y 6, aíft . Pak užitím V.2.3. íze psát : a' I a, a I b . b 1 b' odkud vzhledem k transitivite' relace dělitelnosti i dostáváme: a' I b' s Opačná implikace se dokáže analogickyv J , . ' . Poznámka : z předchozích dvou vet vidíme, že každý prvek daného oboru integrity R je vždy dělitelný všemi jednotkami z i? a vsemi s ním asociovanými prvky. Zavedeme proto následující definici. Definice: Nechť1 R ft oborintegrity, nechť r SR. Pak víechny jednotky 2 R a všechny prvky asociované* s r se nazývají nevlastní dělitelé prvku r . Ostatní dělitele prvku r (pokud existuji) se nazývají v las t ní d e ■ 13 lit alt'. ' Nechť p S R je nenulový prvek, který není jednotkou v R Pak prvek p se nazýva reducibllní (resp. Ireducibilní ) v R . jestliže má (resp. nemá) vlastní dSlitete v R. Poznámka : jinými slovy ředěno, prvek p € Ä je ireducibilní v R . jestliže jej nelze napsat jako součin dvou prvků z Ä , z nichž žádný není jednotkou, ani není s prvkem p asociován. Z definice dále vidíme, že v telese (kde každý nenulový prvek je jednotkou) nema''vyšetřovaní reducibility a ireducibility smysl. Veta 2,5: Nechť R je obor integrity, nechť p . q S Ä a platí p 'V q . Pak : prvek p je ireducibilní v R práve když prvek q je ireducibilní v R. ■ [D u k a z : ze symetrie relace % plyne, že stačí dokázat pouze jednu implikaci. Nechť tedy p je ireducibilní v R a dále nechť e S J (R) je jednotka v R takova, že p = q e . Odtud plyne, ze q ■¥= Q , q jáj (R). Dale sporem : je-li q redticibilní, pak q ■ a ft , kde a.b p£'/(/?); a, i nejsou asociovaný s q. Pak ale p ■ q.e = (e.a).b, při cenu e. a, b fí J(R) a zrejme' aa, b nejsou asociovány'* p. Pak p je reducibilní, což je spor. Tedy q je ireducibilní ] Príklad 2.1 : Okruh. Z celých čísel ma'dvč jednotky, a sice - 1, t. zn. k danému číslu c e Z jsou asociovány puuze "t t- . Tedy číslo p£ Z jc ireduci-bilním prvkem v Z práve tehdy, když p I* 0 , p ±L a jeho jedinými děliteli jsotl čísla + 1, + p . Stručné* řečeno, p je iieducibilním prvkem v 7. pravé když absolutní hodnota z čísla p je prvočíslo. Definice : Nechť R je obor integrity, nechť M je neprázdni podmnožina R. Pak prvek t£R se nazývá společný dělitel množiny M v R . jestliže je lim ' pro každý prvek m £ M. Píšeme pak : t\M. Prvek d e R se nazýva' n e j r e" t s í společný d el i t e I množiny M v R . je-ll : (0. d \M (li) pro s 6 R s vlastností s\M je s\ d . V pfípadi, íe M je konečná množina, napi. M = [a, o, ,...,«„], pak hovofiine o společním děliteli (resp. ne/vetsím společném dČllteli) prvku a(, s,, . . . , an v R . Poznámka : z předchozí' definice obecne neplyne existence nejySlsTho' spoleclieho dělitele množiny M (aŕuz konečné nebo nekoneční). Na druhé straněno jednoznačnosti nejvetsího společného dělitele lze zcela obecneí.vysloyit tuto.vetu-; Veta 2.6 : Necht R /e obor Integrity a nechť existuje nefvelší společný dělitel dmnoíiny M v R. Pak D [r G R \r^d) je mnollna vSech nefvélíích ipóUlňfclt děliteli množiny M v R. I D B k a z : I. necht" q S R je neJvStŽI společný džlitel množiny M . Prvek d vsak splňuje : d\M , t. zn. podle definice je d\q . Analogicky je q | d , neboť d je podle předpokladu nejvétií společný délltel M . Tedy : d | o , q | d a podle V.2.3. je q"»d, t. zn. gSD . II. nechf q e C ; pak existuje jednotka e é J(R) tak,.ze q = d.e . Ale z toho, ze d je nejvžtéTspolečný dělitel M bezprostřední plyne, že d.e = q je takŕ nejvétsí společný dělitel množiny M v R . ] Kongruence, rozklad na zbytkové třídy. Věta: Nechť a, b jsou celá čísla taková, že b * 0. Potom existují celá čísla q, r splňující vztah: a = bq i r, 0 < r < | Ŕ |, přičemž toto vyjádření je jednoznačné. Poznámka: Je nutno si uvědomit, že zbytek r při dělení je vždy nezáporný, a to i při dělení záporným číslem. Např. a = -26, b = 8, q = -4, r = 6, protože -26 = 8 . (-4) + 6. Poznámka: Celá čísla a, b jsou nesoudělná, je-li jejich největší společný dělitel roven jedné. V opačném případě se nazývají soudělná. Největší společný dělitel čísel a, b budeme označovat NSD(o, b), nej menší kladný společný násobek NSN(<3, b). Eulerova funkce cp(n) vyjadřuje počet přirozených čísel menších nebo rovných číslu n, k J nesoudělných s n. Nechť n = p"1 . ... p"*1, pak platí 2. Platí a m b O m\(a - b). Čteme: Číslo a je kongruentní s číslem b podle modulu m. Dvě čísla kongruentní podle nějakého modulu m dávají při dělení tímto modulem m týž zbytek. Relace kongruence je ekvivalence na množině všech celých čísel (je reflexivní, symetrická a tranzitivní). Vlastnosti kongruencí: 1) p prvočíslo, pak a s b (mod p") => a = 6 (módp) Platí-li kongruence podle modulu, který je mocninou prvočísla, platí i podle modulu rovného tomuto prvočíslu. 2) a = b (mod m\), i = 1,2.....k => a s b (mod NSN(m/,t.„»Jt)) Platí-li kongruence podle několika modulů, platí i podle modulu rovného nejmenšímu společnému násobku těchto modulů. I k k k k 3) o, s bi (mod m), / = l,...,k => = ^b, (mod m), Y\a' s lT^ (m°d '")• /-i /-i /-i /-i Kongruence podle téhož modulu lze sčítat i násobit. Nechť v dalším platí a = b (mod m): 4) a + x m b + x (mod m), a .y = b .y (mod m) K oběma stranám kongruence lze přičíst stejné celé číslo a obě strany kongruence lze vynásobit týmž celým číslem. Obecně ale nelze obě strany kongruence dělit týmž celým číslem, např. 24 = 40 (mod 8), ale po vydělení čtyřmi 6 # 10 (mod 8). 5) m I z => a + z s b (mod w) Celé číslo, které je násobkem modulu, lze přičíst pouze k jedné straně kongruence. 6) a" s b" (mod m) Obé strany kongruence lze umocnit na libovolný přirozený exponent. 7) d\a a d\b a NSD(í*i»)=l =» - ■ - (mod m) d d Obě strany kongruence lze vydělit celým číslem nesoudělným s modulem. 8) ac = bc (mod mc) Obě strany kongruence i modul lze vynásobit týmž celým kladným číslem. 9) e I a a e I h a e | c => — = — (mod —) e e e Obě strany kongruence i modul l/e vydělit týmž celým kladným číslem různým od nuly. 10) a =b (mod m) a d i m => a = 6 (mod í/) Platí-li kongruence podle modulu m, platí i podle modulu rovného libovolnému kladnému děliteli čísla m, většímu nezjedná. Kulérová věta: m s N, m > 1, a e Z, NSD(fl, w) = 1, pak s 1 (mod m). Je-li specielně /> prvočíslo, které není dělitelem čísla a, pak platí ď 1 a 1 (mod p) (tzv. malá Fermatova věta).