§ 4 . REÁLNA ČÍSLA
4.1. Definice : Označme E množinu všech mezer a dedekindovských řezů 1.druhu v mne žiné R racionálních čísel. Množinu E nazývame množinou reálných čísel, prvk množiny E se nazývají redíjú. čísla.
Je-li a e E dedekindovský, .nazveme jej raqípnábw^e^ejn. , je-li mezerou, -ňazv me jej ír^ignélnim fszem .
1 P oz n. á m k a::-  Je-li íedy a - \AuAt\   libovolné reálne číslo, neobsahuje horní tfída A 2  tohoto řezu nejmenši prvek .
Věta I   Definujme relaci .< mz množine E takto :   Pro a = L4,.42] , ŕ = lEi,B2] ptáň' c < £ právě tehdy, když f e Á\ c. B1 . Pak je < úplně uspořádáni-na
množině E. _ .. . x.j a.u._______       , ;.
Dôkaz:   zřejmý .
. 4.3, Definice ;   Označme i?+ množinu všech kladných racionálních .čísel. Pak je
[R -R+ , R*] .reálné, óíslo, které označím e symbolem 0 a nazývame je (reálnou) nulou. . :" ' -Reálne éisío a se nazýva kladné , je4i a >.Ů  a záporné , je-ii a <0 .
Značíme tedy stejným symbolem nulu v množině racionálních čísel i nulu v množine reálných čísel. Z kontextu však bude vždy zřejmé, o kterou nulu jde. Později tato dvé Čísla opět ztotožníme. (Je zrejmé, že 0 e E je racionálni řez) .
■-4.4. Veta t   Buďte a * [A%A%\   b = [Blf^2] libovolná reálná'čísla. Položme
_ C2 =■ fa *■ 0 | a e A2 \& e ^| . Ci = i? - Cy> ^ /g C " í^tA I.eE. •/
D-ů k a z :   Potřebujeme zřejmě dokázat že (1)   C2 * £ , C2 4= R , (2)   C2 je
konec v R , (3)' <C2 neobsaliuje nejmenší prvek . (1)   Buďte a € A2 J e 5Ž libovolné ,■ (Protože jsou a,b řezy v Ä', je .  ,"' ■ Ai -4= 0 t #2   a- tedy takové prvky existují). Pak je a v- p\ e C2 , takže C2 * <p . Jsou-li %eAVi i e B t  libovolné (takové prvky ze stejného důvodu také existují) je. £<•« pro" každé a e J42 ř.f < 01 pro "každé |5 e £2 •, takže £ + f' < 7 pro každé 7 e C2  a tedy £ľ2 t R .
150-
(2) Tvrzení, žé C2 je konec v- R je zřejmé, neboť A2,B2 jsou konce v R
(3) Bud* y e C-2 .libovolný . Pak existuji a. e A2 , § e B2 talc, že 7 = a + 6 Prvek a ale není nejmeňší v Az  a B není nejmenší v B2 , takže existují prvky
e A2 , 81 e B2 , a, < a , 8X < $. Pak je 7, ~ &(+ 8X < 7 , yx e C2, takíe ani 7 ne ni nejmenší prvek v C2 .
Věta je tím dokázána.   ; •
Nyní můžeme definovat-sčítání reálných čísel takto .:
Definice:   Buďte a = {AX,A%\, b^=[BiJS<i] libovolná reálna čísía. Položme
C7 & [ a + $ J a e Á% , §6 Bij , Cv ~R - C2. Pak klademe a + b      [C,,C2] .
Následující tvrzení je zřejmé : ■ '
Ijfeifc V#ta'Í   Buďte a,b,c libovolná reálná čisla. Pak platí i ■      (a)   a + b --ô -ŕa (komutativní zákon)
I ■ (b)       (b + c) = (a + b) + c. (asociativní zákon j ,
i
^-■'jP.tAžÉ^^ ]lr|.1l-r-ľ..;-rrr.:-1...:ľ.:.J..... ....f---'   - .....____-ľ
K důkazu monotónnosti sčítání reálných čísel potrebujeme následující tvrzení
;.4.7% VětaJ ..jBud* a =\A% JlA libovolné reálné číslo , 7 buď libovolné kladné racionálni
•        •.....       cfo/o, PaÄr existují čísla a e       8 e A2 jtak,_ze^8: ^ a =jy . tw=řww____ ^
Důkaz:   Zvolme a0 e .4j, Q0 e A2 libovolné. Pak jě 0„ - a0 > A' Protože je 7 >0 ..existuje takové přirozené číslo n , že «7> j3„. - a0 , takže Q!0 + ny > j50 . Pak ale a0 , aQ + 7 ■:,        2y , -? , aQ + ny je konečná posloupnost ra-. cionálních čísel taková, ze a0 e. Ax , a0 f ny e -42 ■ Bud* 0 < / < n - Z největšl celé číslo takové, že a0 f ly e Ax , Pak je a0   (l + l)y e A2 , takže k"dokončení důkazu stačí položit 0.= <xQ +ty : fi~ aQ + (! + l)y .       '-' • • " ■■•
?4.8, Věta í  -ifcdfe libovolná reálná čisla. Je-li a < b r je a + c <b + c . i
Důkaz;   Nechť á = [4, f42 ] ; b ■ = [5, ,52 ]| , c - [Č, 5C3 ] . J.e-li KÄ, je 4 i CÍ, , takže #2 C 42. Označme a + C - ÍDtrD21 b + c - [#t".'í?a 3 •
-151 -
Potřebujeme tedy dokázat, že _DÍ C E{. tj. E2 C D2 . ť
Je zřejmé, že E2 £ D2 . Podle předpokladu je iř2 C A2 , takže existuje at e ^42 - 52 , tj. a, eíj .,'Protože však ^42 nemá nejmenší prvek, existuje a2 e A2 , -<x2 < ctj. Protože je i?s  začátek v i? , je a2 e 5» . Nyní platí ocx - a2 > 0 , takže podle vety 4.7. existují "prvky 7j £ C\ ,   7, e C2 takové, že a, - a2 = T2 — 7i , tj. a,    yt « a2    y2 . Platí však o:2 -ŕ 72 e Z>2 ; pro libovolné £ e £2 je nyní £ = jS f 7 V kde j3 e £2 , 7 e C2 , jS > oí! , 7 >     . Je tedy £ = j3 + 7 > a, +71 = a2 + 7-, , takže ai + 72 i     ■ Tím je věta dokázána.
4^/VŽtg i   Í?ud3e a,i e E libovolná reálnáČísla. Pak existuje pravé jedno reálné číslo x
......takové, ze a + x ~ b „..„_..'.........
Důkaz:   Zřejmě stačí položit x - [Xx ,X2 ] > kde X2 = [ 0 — a j 0 e B2 , <xeA2}i Xx =R -X2 .
4.10. Definice ;   Bud"te a,b libovolná reálná.čísla. Řešení rovnice a + x = b značíme symbole:
b /- a a, nazýváme, je rgjdilem čísel b,a (v tomto pořadí) .
Číslo 0 — a značíme stručně —a a nazýváme je číslem opačným M číslu a .
Je zřejmé, že pro rozdíl dvou reálných čísel je snadné odvodit všechny běžné vlastnosti. Evidentní je rovněž fakt, že. číslo a je kladné (tj. a>.0) právě, tehdy, když čislo -a je. ' záporné, ('tj. —a < OJ.; ~(—a) - a apod.
...Analogicky jako součet se definuje i součin reálných Čísel. Především platí :
4.11. Věta :   Buďte a = [AlrÄ2\: b - ]fiiJB^\ libovolná reálná cisla. Polozme
C2 = ^oí . jS j a e A2 , J3 e B2 ] , C, =R - C2 . Pak je [Cl,C2] reálné číslo.. Důkaz:   Zcela analogicky, jako důkaz vety 4.4.
Nyní je oprávnená následující definice :
4.12. Definice :; Buďte a =. k4,^2], Z> = [5t,B2] libovolná reálná čísla. Utvořme [CltC2}
jako ve větě . 4.11. Pak definujeme
d . b : — [Ci,C2] . • * _ ;.
;   ',       . <-a).b=a:(-b):^-(a.b)
Důkaz následujícího íyrzení je zřejmý.
r.,4.13.. Věta ^   Bučíte' a.b.c libovolná reálná čísla. Pak platí:.
r (1)   a . b = b . a (komutativní zákon)
i (2) . a , lb , c) = (a . b) . c (asociativní zákon)
(3)   a . (b + e) - a . b + a . c (distributivní zákon)
i
^   a '    * ^ Prav? tehdy, kdys a =-0 nebo b = 0 .
■ 4,14.- Vétá%;J Buďte a,b e E , a- $ 0 , libovolná reálná čísla. Pak existuje právě-jedno reálné
^».*L^«*^^M9,~x.,tóÄovct.Jf a.j„x.   A... t        rjlťV. ^.......^..^...^,,, ...^^^.^
. íJD ů k a z.:   Je-li ž> - (9 , je podle věty .4.13. jediným řešením rovnice a : x =mb číslo x ■= (9 , Nechť tedy 6 4= 0 . Předpokládejme například, že a >0 , b> 0 . a = [AUA2] , b = [P^j " Položme J2 /? e £2 , a e A2 } J^-i?-^. Důkaz
toho, žé číslo # = [JS^ ,X2 ] je hledané číslo, .je zřejmý.
Je-li některé z čísei a,b záporné, je důkaz zcela analogicky.
Nyní je již zřejmé, jakým způsobem lze vybudovat aritmetiku reálných čísel. Nyní dokážeme některá tvrzení, týkající se struktury uspořádáni na i?.
' 4.15. Věta. r   Buď ó * M c. E libovolná množina reálných čišel. Pák platí : £1)  /e-fí M zdola ohraničená, existuje ínfEM
(2)   Je-li M shora ohraničená, existuje sup M .
Důkaz-. .(1)   Nechť M je zdola ohraničená. Poněvadž je E podle věty 2.4. řetězec, štaci zřejmě dokázat,'(viz definici L, 7.1.) , že existuje taková dolní, závora a množiny M , že ke každému x e E , x > a ,' existuje prvek y e M r y < x .„ Pak.-bu.de a = in/M. ■ 1
Položme A2 = '{ a |. a. e Ä , existuje ] e     tak, že a e        , A x = i? - A
Dokážeme, že .a. = [Ax ,A2 ] .= tnfE M .. ■  •. . -
(a)   Nejprve dokážeme, že -[AlrA2] je reálne Číslo, tj. A2 * 4>A2.-* R , A2 je konec v'i? a yi2 neobsahuje nejmenší prvek.'
Protože je M t (j> , je i X2 * 0 . neboť existuje. [XltX2] e M , X2 .
Podle předpokladu jě i/ zdola ohraničená, takže existuje y.= \Y\, Y-2 ] é£ tak, .že y < x pro každé x e M . Pak ale pro libovolný prvek £ e Fj /e § | A2., takže yl2 •*-K ■
Buď nyní a e A2  libovolný prvek a volme  ~ e K , í^a iíoovome. rrotoze exis-tuje [Xi,X2]   e M tak, té a e X2 a X2 je konec v R , je nutne  řel2   a tedy i | e .4 2 • Je.tedy _42  konec v Ä .
Buď'nyní es; e 42  libovolný. Je g e Z2 pro vhodný prvek \Xl,X2 \ e M . Protože však A'2 neobsahuje nejmenší prvek, existuje j0 e X2 , j3 < a . Pak je ale |S e ,42, a 4-2 íedy rovněž neobsahuje nejmenší prvek. . ;,-
Je íedy a:"= [AltA2] € E;'.
(b)   Nyní dokážeme, že a = infM .
Bud" x - [Xi,X2] e.íM libovolný prvek. Je-li £ el,  libovolný, je % e A2 , takže X2 C 4, . Pak ale 4'j C Xj a tedy a<x . To íedy znamená, že a je dolní závora-množiny M .
Bud" nyní x ~ [XllX2] e E : x > a libovolný prvek. Pak je Ax C      ; iakáe existuje a e Xt — A1 , tj. a e A2.. Podle definice množiny A2. existuje y = [YX:Y2] e M takový, že a e Y2 . Pak je ale 7} CIj , takže y < x . • '•
Je tedy a = infM . ■
(2)   Buď* M shora ohraničená. Množina M* všech horriich závor množiny M je tedy neprázdná a je zdola ohraničená, neboť každý prvek z M je její dolní zá-" vorou (a podle predpokladu je M # é) . Existuje tedy infEM+ podle (1) . Nyní je ale zřejmě sup^M = inf^M+ . (Srovnej s důkazem vety L, 7. 17.) .
r4.16..yéta 1   Uspořádaná množina reálných čišel f £ spojitá i (Viz definici I., 6.13.)
D u. k a z :   Je zřejmé, že .množina E je hustá,, tj, neobsahuje skoky. Z vety 4.15. ale plyne, že E neobsahuje ani mezery; je tedy každý řez v E dedekindovský.
. Z věty 4.16. také plyne, že pomocí řezu v množině' všech reálných óísel nelze definovat nové prvky. .       . •
Y záveru tohoto paragrafu musíme opět odstranit stejnou nesrovnalost jako v §§ 233 . Podle naší definice totiž racionální čísla nejsou zvláštním případem čísel reálných. Podle následujícího tvrzení, jehož.důkaz je zřejmý, váak můžeme racionální čísla ztotožnit s racionálními rezy. . ■• ■ * '    • .      -      '.■ -
. } "s 4
4,17. Věta :   Označme E{t) množinu všech racionálních řezů. Pro libovolné racionálni číslo a označme R.a : = {'fj fisÄ, | < a]   . ŕfc* /e [#a , i? -R'a] e £(r) a zobrazení f : Ř    E^ definované takto :
f (a) =[Ra rR - Ŕa] pro každé a e R, •
_ je isomorfismus vzhledem k uspořádáni < z vzhledem k operacím + a * . .
Jinou možnost konstrukce reálných čísel pomocí čísel racionálních- viz v MP , § 9 .
§5. OSLA KOMPLEXNÍ
6. í. Definice :   Bud £ množina reálných .čísel. Množinu £2 označme      a nazveme ji množinou komplexních prvky množiny JT se nazývají komplexní cisla.
6.2. Definice :   Buďte .v = [a.b] , y - [c\d] komplexni čísla. Pak klademe
x + y : = [a + c , b + d]
x . y / = [ac — bd , ad + bc\ . . ;•
6.3. Veta J   Buďte x,y,z libovolná komplexní cisla. Pak piati ;
(1) x + y = y + x (komutativní zákon pro sčitäni)
(2) x + (y + z) = (x + y) * z (asociativní zákon pro sčítáni)
(3) x . y = y . x (komutativní zákon pro. násobeni)
(4) x. ty . z) = (x . y). z (asociativní zákon pro násobeni)
(5) x . (y + z) = x . y + x . z (distributivní zákon) \
Dôkaz:   je jednoduchý, prenecháme jej čtenáři.
.AlJ^taj;   Označme u : = [1,0] , n : = [0,0] . Pak pro libovolné komplexni číslo x platí
(1) x "f" n = v
(2) x . n ~ n
x . u - x ^ v ___u'............... ______,....,.....„:______-w^,..^,,-,-,^-*,_________.....
Důkaz:   Tvrzeni plynou bezprostředně z definice. Evidentní je rovněž důkaz následujícího tvrzení
6.5. Věta :   Buďte a,b libovolná komplexní cisla. Pak existuje.práve jedno komplexni číslo x takové, že a + x-b.
D u k a z :   Nechť a = {ai,at] ,b = {bx,bt] .Položme a- = a, . b2- a2]-<,
pak je a + x « [a, +6, - + b2 - a2] = [&i,&2] * b . Že je řešení rov*
nice .a + .r'= b určeno jednoznačné., je evidentní .
6.6. Definice :   Buďte a.b libovolná komplexní čísla. Jednoznačné určené řešení rovnice
156
a i- x = h značíme symbolem b - a a nazýváme je rozdílem čísel b,a Číslo n -- a značíme stručná symbolem —a .
Následující tvrzení je zřejmé-
JUj 6.7. yjta :   Pro libovolná dvě komplexní čísla x,y platí :
(a)   x — x = n ■ 1
Pi. při
Ji 1
_____._(b)_(-x^ / -x . f—y> = - (x . y) = f-uj . (x .. y>! .
I 6.8. Definice :   Buď' x = [xy,x2] e K . Absolutní hodnotou čísla x nazýváme (reálné) číslo lil .-V2 + t>2 ■
| Je zřejmé, že platí
I
t,* ' ------------ -- -
f 6.9. Věta i  Pro libovolná komplexní čísla x,y platí
p,.lllllU«'lll»lll...... IM.
(a) |xj > í?  pro fcafde x í n , \n\ = 0
(b) |x . y\ «? M ; M .
f- 6.10. Veta : xsj> libovolné dvě komplexní čísla. Pak je x . y = n právě tehdy, když
D u 1c az:   I.   Je-li x. y = n , je |x| . M = |x , ý\ = M = 0. Protože |x| , |v| jsou reálná čísla, je |x| » 0 nebo |vi » 0 , takže podle věty 6.9. je x * n nebo y = n . ■
II.   Je-li x = « nebo y = n , je x . y = n podle definice 6.2.
r 6.11. Věta :   Budfte x,y e K , x 4 n , libovolná komplexní čísla. Pak existuje pravé jedno
....." - -• a -/?
Důkaz:   Nechť x = [a,b] , y = [c,d] . Položme z = [c,d] ■ ^^TJ"^- ' a2 + b2 ľa
ac bd -cb ad
ac + bd    ad - bc
a1 í &2 ' a2 + ô2" •
a2 c *.tó<2 - <zW + &2c     a2ď - abc + abč + b2d ■ '
Pak je x.z = [---—-YTTT----••-----] = [c4] = y
a~ + b a* -t o
Budte nyní v,w libovolná taková 'komplexní čísla, že x , v = xw - y .Pak je podle věty 6.7. xv- - xw = x (v — w) - n . Podle věty 6.10. je-tedy x - n nebo v - vj - n:. Podle předpokladu však je x\ n , takže je nutně v — w - n , tj. v =■ w .
Tím je věta dokázána. -
6.12. Definice ;   Buďte x,y e K., x t n , libovolná komplexní čísla; Jednoznačně určené řešení rovnice x . z = y -značíme symbolem     a nazýváme je podílem čísel'
y,* ■   \ - ■ .....'.....................
6.13. Veta \   Pro libovolná reáínáčisla a, b platí :
(a) .[a,G}+ {b,0\ = ia-ŕb,0}
(b) [a,0]. [b,0]=[a. b,0]
• a [a,0]
(c) 1-^,0] = f — .0]. pro b * 0
V  -b   1     [b,oy 1 -
i
(d).-.IM]|.= 1*|
Důkaz.: ■ zřejmý
j   6.14.; Důsledek J-  Položme- Ka = {[ a,0] | a e E j    Pa* /e zobrazení f : E -? £0 definova-
. né takto :
f(a) = [a,0] pro každé a e E , isomorfismus vzhledem k operacím + a » .
Ztotožníme-li nyní každé'reálne číslo a s komplexním Číslem [a,Oj., budou reálná čísla speciálním případem čísel komplexních.
Lze tedy vybudovat ^aritmetiku, komplexních čísel i bez zavedení symbolu i . Jeho zavedením se vsak usnadní symbolika.
6,15; .Definice:   Klademe í; = [0,1} ' Z definice 6.2. okamžitě plyne.:
1:6.16. Veta ;   z2 = - i .