Mocniny, odmocniny, úpravy algebraických výrazů
Repetitorium z matematiky
Podzim 2011
Ivana Vaculová

1. Mocniny s přirozeným a celým
     mocnitelem
•Pro každé reálné číslo a a každé přirozené číslo n platí:
n činitelů
mocnina
Základ mocniny
(mocněnec)
mocnitel
(exponent)
2

Pravidla pro počítání s mocninami:
•Pro       a  ϵ R, n ϵ N platí:
3

Věty pro počítání s mocninami
4


2. n-tá odmocnina
základ mocniny (odmocněnec)
stupeň mocniny (odmocnitel)
matematický symbol pro odmocninu (odmocnitel)
hodnota n-té odmocniny
5

Pravidla pro počítání s odmocninami
Poznámka:
6

3. Algebraické výrazy
•= zápisy, ve kterých se mohou vyskytovat jak určitá čísla (konstanty), tak také písmena (proměnné)
a symboly aritmetických operací (+, -, √, ², atd.)
Proměnné zastupují čísla z určité množiny (obor proměnné). Tyto číselné množiny, ze kterých můžeme
za proměnné dosazovat, určují definiční obor daného výrazu (pro tyto hodnoty má daný výraz smysl).
Algebraickými výrazy jsou např.:
(objem rotačního kužele)
Algebraickými výrazy nejsou:
• Logický výrok = tvrzení, u kterého má smysl posuzovat pravdivost (např. 2 = 7)
•Výroková forma – z ní získáme logický výrok dosazením čísel za proměnné, např.:
7

3.1 Mnohočleny
•= zvláštní případy algebraických výrazů.
•= výrazy ve tvaru:
 x je proměnná
Je-li
Jde o mnohočlen n-tého stupně
kvadratický člen
lineární člen
absolutní člen
Mnohočlen 1. stupně = LINEÁRNÍ
                   2. stupně = KVADRATICKÝ
                   3. stupně = KUBICKÝ
8

Operace s mnohočleny
•SČÍTÁNÍ – sečteme koeficienty u členů se stejnými exponenty
•
•ODEČÍTÁNÍ  (ROZDÍL) –  odstraníme závorky (změníme znaménka u menšitele) a sečteme koeficienty u
členů se stejnými exponenty)
•
•NÁSOBENÍ – vynásobíme dle schématu a poté sečteme:
•
•                            (2x2 + 3x – 2) .  (4x -1)
•
•
9

•DĚLENÍ
•a) beze zbytku:                                  b) se zbytkem
•(2x4 - 3x3 + x2 -3x -1)/(x2 + 1)=2x2 -3x -1
•
•Postup:
•       1. Dělence i dělitele uspořádáme sestupně.
•       2. Vydělíme 1. člen dělence 1. členem dělitele (dostaneme 1. člen podílu).
•       3. Vynásobíme tímto členem dělitele a výsledný polynom odečteme od dělence a získáme
dělence pro další postup.
•       4. Opakujeme postup vždy s novým dělencem, dokud není zbylý polynom nižšího stupně než
dělitel.
•       5. Uvedeme předpoklady (dělitel musí být různý od nuly).
•
Operace s mnohočleny
10

•n-tá mocnina,  (a+b)n , n ϵ N
11
Operace s mnohočleny

•ROZKLAD MNOHOČLENŮ
•      = vyjádření ve tvaru součinu několika mnohočlenů, které se zpravidla už nedají dále
rozložit.
•
a)Vytýkáním před závorku:    Př.: (3x2y3 + 6xy2) = 3xy2 . (xy + 2)
b)Použitím vzorců:
•
12
Operace s mnohočleny

a)KRÁCENÍ = vydělení čitatele i jmenovatele stejným výrazem
•      ROZŠIŘOVÁNÍ  = vynásobení čitatele i jmenovatele stejným
•                                     výrazem
•
13
3.2 Lomené výrazy
Pro libovolné výrazy V1, V2, V3 (V2 ≠ 0 , V3 ≠ 0) platí:
krácení
rozšiřování

b)SOUČET LOMENÝCH VÝRAZŮ
•      = lomený výraz, jehož čitatel je součet čitatelů obou výrazů převedených na společného
jmenovatel a jehož jmenovatel je tento společný jmenovatel.
•
14
3.2 Lomené výrazy
Pro libovolné výrazy V1, V2, V3, V4  a pro všechny hodnoty proměnných, pro něž V2 ≠ 0 , V4 ≠ 0,
platí:

c)NÁSOBENÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ (součin)
•      = lomený výraz, jehož čitatel je součin čitatelů a jmenovatel součin jmenovatelů násobených
lomených výrazů.
•
15
3.2 Lomené výrazy
Pro libovolné výrazy V1, V2, V3, V4  a pro všechny hodnoty proměnných, pro něž V2 ≠ 0 , V4 ≠ 0,
platí:
Pozn.: Při násobení jednotlivé výrazy neroznásobujeme, naopak, snažíme se je vhodně rozložit a
podle možností i krátit.

d)UMOCŇOVÁNÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ
•       = umocnění čitatele i jmenovatele.
16
3.2 Lomené výrazy
Pro libovolné výrazy V1, V2 (V2 ≠ 0) a pro libovolné k ϵ N platí:

e)DĚLENÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ
•            pokud dělíme lomeným výrazem, znamená to, že násobíme jeho převrácenou hodnotou.
17
3.2 Lomené výrazy
Pro libovolné výrazy V1, V2, V3, V4  a pro všechny hodnoty proměnných, pro něž V2 ≠ 0 , V3 ≠ 0,
V4 ≠ 0, platí:

f)ZJEDNODUŠENÍ SLOŽENÉHO LOMENÉHO VÝRAZU
18
3.2 Lomené výrazy
Pro libovolné výrazy V1, V2, V3, V4  a pro všechny hodnoty proměnných, pro něž V2 ≠ 0 , V3 ≠ 0,
V4 ≠ 0, platí:

g)ÚPRAVY IRACIONÁLNÍCH LOMENÝCH VÝRAZŮ
•       - při těchto úpravách využíváme vzorce pro počítání s mocninami, odmocninami, mnohočleny i
vzorce pro operace s lomenými výrazy.
19
3.2 Lomené výrazy
Příklad:

•Vyjádření neznámé ze vzorce
20
4 Aplikace
Př.1: Ze vzorce pro objem rotačního kužele vyjádřete poloměr jeho podstavy:

Literatura
•Delventhal, K., M., Kissner, A., Kulick, M. Kompendium matematiky. Praha: Euromedia Group k. s.,
2003.
•Bušek, I. a kol. Základní poznatky z matematiky. Matematika pro gymnázia, Praha: Prometheus, 1992.
•Odvárko, O. a kol. Funkce. Matematika pro gymnázia, Praha: Prometheus, 1996.
•Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, 1998.
•
21