10. Neurčitý a určitý integrál
Repetitorium z matematiky
Podzim 2012
Ivana Medková

Osnova:
•1 Neurčitý integrál
•2 Geometrická interpretace
•3 Základní vzorce pro integrování
•4 Určitý integrál
•5 Užití integračního počtu
• 5. 1 Obsah rovinného útvaru
• 5. 2 Další příklady využití
•
2

1 Neurčitý integrál
•Funkce F se nazývá primitivní k funkci f na intervalu (a;b), jestliže pro každé x є (a;b) platí:
•
•
•Množinu všech primitivních funkcí k dané funkci f nazýváme neurčitým integrálem funkce f a
zapisujeme:
•
•                                                                  přičemž
•
•
•
•
3
integrovaná funkce
integrační  proměnná
integrační  konstanta
integrační  znak
Výpočet neurčitého integrálu                    = integrování funkce f
diferenciál integrační proměnné

E:\ZÁLOHA_DAT_HPProbook5310m_5.11.2011\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Derivace,integraly_obrazky\IMG.jpg
4
Známe-li graf jedné primitivní funkce F k funkci f na intervalu J, pak grafy všech primitivních
funkcí k funkci f v intervalu J dostaneme posunutím grafu funkce F ve směru osy y.

2 Geometrická interpretace
Na obrázku jsou uvedeny grafy některých primitivních funkcí k funkci f(x) = 2x. Všechny tyto
primitivní funkce k funkci f(x) lze vyjádřit ve tvaru F(x) = x2 + C, kde C є R.

5
3 Základní vzorce
E:\ZÁLOHA_DAT_HPProbook5310m_5.11.2011\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Derivace,integraly_obrazky\IMG_0002.jpg

6
Existují-li v otevřeném intervalu J primitivní funkce k funkcím f(x), g(x) a jsou-li c1,
c2 libovolné konstanty, pak platí následující vztahy:
Úlohy:
Vypočítejte integrály:
a) ∫ (x3  - 6x2 + 5x – 4) dx = e) ∫ ((3x2 + 4x + 2) / 3x) dx =
b) ∫ (x – 1)2 dx = f) ∫ (3 ∙ 2x  - 5sin x + 1) dx =
      c) ∫ (2 – √x)2 dx =
d) ∫ (x – 1)2  (x2 + 1) dx = g)

7
4 Určitý integrál
Nechť F je primitivní funkce k funkci f v intervalu I. Rozdíl F(b) – F(a) funkčních hodnot funkce F
v libovolných bodech a, b tohoto intervalu se nazývá určitý integrál funkce f v mezích od a do b a
značí se:

Při výpočtu integrálu zpravidla využíváme tento způsob zápisu:
Horní mez
Dolní mez
Úlohy:
Vypočítejte integrály:

E:\ZÁLOHA_DAT_HPProbook5310m_5.11.2011\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Derivace,integraly_obrazky\IMG_0003 - Kopie.jpg
E:\ZÁLOHA_DAT_HPProbook5310m_5.11.2011\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Derivace,integraly_obrazky\IMG_0003 - Kopie - Kopie.jpg
5 Užití integračního počtu
•5. 1 Obsah rovinného útvaru
•
•
•
•
•
•
8
b) Obsah obrazce ohraničeného grafy spojitých funkcí f(x) a g(x):
a) Obsah křivočarého lichoběžníku:

Úlohy
•1)   Vypočítejte obsah rovinného útvaru, který je ohraničen křivkami  f: y = x2 + 1, y = 0, x =
-1, x = 2.
•
•2)   Vypočítejte obsah rovinného útvaru, který je omezen křivkou
 y = x2 - 4 a osou x.
•
•3)   Vypočítejte obsah obrazce ohraničeného grafy funkcí
•f: y = 2 - x2, g: y = x.
•
•
•
9

5 Užití integračního počtu
•
•5. 2 Další příklady využití
•
a)  Výpočet objemu rotačního tělesa
b)  Výpočet obsahu pláště rotačního tělesa
c)  Fyzikální aplikace (dráha přímočarého pohybu, práce)
•
•
•
10

Literatura
•Delventhal, K., M., Kissner, A., Kulick, M. Kompendium matematiky. Praha: Euromedia Group k. s.,
2003.
•Bušek, I. a kol. Základní poznatky z matematiky. Matematika pro gymnázia, Praha: Prometheus, 1992.
•Hrubý, D., Kubát, J. Matematika pro gymnázia – Diferenciální a integrální počet. Praha:
Prometheus, 1997.
•Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, 1998.
•Vošický Zdeněk. Matematika v kostce pro střední školy. Havlíčkův Brod: Fragment, 2003.
•
11