Goniometrické funkce a rovnice Repetitorium z matematiky Podzim 2012 Ivana Medková 2 1 GONIOMETRICKÉ FUNKCE OSTRÉHO ÚHLU délka protilehlé odvěsny délka přilehlé odvěsny délka protilehlé odvěsny délka přilehlé odvěsny délka přilehlé odvěsny délka protilehlé odvěsny délka přepony délka přepony C A B c a b přepona odvěsna odvěsna . β α C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\Velikost úhlů_Oblouková a stupňová míra.jpg 3 2 Velikost úhlů v obloukové a stupňové míře Jednotková kružnice k (S= [0,0]; r = 1) 2π Úlohy Př.1: Vyjádřete v míře obloukové: Př.2: Vyjádřete v míře stupňové: C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\IMG_0001.jpg 3 GONIOMETRICKÉ FUNKCE SINUS A KOSINUS 4 Orientovaný úhel α v základní poloze. Ke každému α ϵ R lze přiřadit 1!orientovaný úhel velikosti α (v obloukové míře), jehož počáteční rameno je polopřímka OI. Jednotková kružnice k (0; r = 1) Pro každé α ϵ R platí: sin α = yM , cos α = xM Funkční předpisy: Definice: C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\Sestrojení sin x.jpg 3.1 Graf funkce sinus 5 = sinusoida C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\Graf f sin x.jpg Je lichá: sin (-x) = - sin x. Je rostoucí pro x ϵ <-π/2 + 2kπ ; π/2 + 2kπ >, kϵ Z. Je klesající pro x ϵ < π/2 + 2kπ ; 3π/2 + 2kπ >, kϵ Z. Omezená v celém definičním oboru shora i zdola. Maximum [π/2 + 2kπ , 1], minimum [3π/2 + 2kπ , -1]. Perioda 2π: sin x = sin (x + 2kπ), kϵ Z. Je spojitá v R. Vlastnosti: C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\Sestrojení cos x.jpg 3.2 Graf funkce cosinus 6 = cosinusoida Je sudá: cos (-x) = cos x. Je rostoucí pro x ϵ <π + 2kπ ; 2π + 2kπ >, kϵ Z. Je klesající pro x ϵ <2kπ ; π + 2kπ >, kϵ Z. Omezená v celém definičním oboru shora i zdola. Maximum [2kπ , 1], minimum [π + 2kπ , -1]. Perioda 2π: cos x = cos (x + 2kπ), kϵ Z. Je spojitá v R. Vlastnosti: 7 C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\IMG_0009.jpg Příklady grafů funkcí: C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\IMG_0010 – kopie.jpg 1 2 1/2 C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\IMG_0010.jpg 8 C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\IMG_0011.jpg Příklady grafů funkcí: C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\Graf tg x.jpg C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\Sestrojení graf tg x.jpg 4 Graf funkce tangens 9 = tangentoida Je lichá: tg (-x) = - tg x. Je rostoucí pro x ϵ (-π/2 + kπ ; π/2 + kπ ), kϵ Z. Není omezená shora ani zdola. Maximum ani minimum neexistuje. Perioda π: tg x = tg (x + kπ), kϵ Z. Spojitost: Není definována pro x=(2k+1) π/2 ), kϵ Z. Vlastnosti: 5 Graf funkce cotangens 10 = cotangentoida C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\Sestrojení grafu cotg x.jpg C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\Graf cotg x.jpg Je lichá: cotg (-x) = - cotg x. Je klesající pro x ϵ (kπ ; π + kπ), kϵ Z. Není omezená shora ani zdola. Maximum ani minimum neexistuje. Perioda π: cotg x = cotg (x + kπ), kϵ Z. Spojitost: Není definována pro x=2kπ/2, kϵ Z. Vlastnosti: 11 6 Důležité hodnoty goniometrických funkcí C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\Důležité hodnoty goniometrických funkcí.jpg 12 7 Znaménka hodnot goniometrických funkcí C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\Znaménka hodnot goniom. funkcí.jpg 13 Úlohy Př.: Vypočítejte: C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\Základní vzorce.jpg 8 Vztahy mezi goniometrickými funkcemi 14 Základní vzorce: 15 Vztahy pro dvojnásobek a polovinu argumentu: 8 Vztahy mezi goniometrickými funkcemi C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\IMG_0013 – kopie.jpg C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\IMG_0013.jpg Součtové vzorce: C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\Součtové vzorce.jpg 16 Úlohy Př.: Zjednodušte goniometrické výrazy: 9 GONIOMETRICKÉ ROVNICE 17 Př.1: Řešte užitím substituce: 9.1 Základní goniometrické rovnice - jsou dány ve tvaru: některá z goniometrických funkcí sin, cos, tg, cotg reálné číslo 9.2 Složitější goniometrické rovnice – řešíme převedením na základní goniometrické rovnice (pomocí substituce, nebo s použitím vzorců pro goniometrické funkce). Př.2: Řešte užitím goniometrických vzorců: Př.1: Úlohy Úlohy 18 10 Další využití goniometrických funkcí: TRIGONOMETRIE Sinová věta: Kosinová věta: Užití sinové a kosinové věty: A C B b c a Např.: Při výpočtu výslednice dvou sil, které spolu svírají úhel α. β α Literatura •Delventhal, K., M., Kissner, A., Kulick, M. Kompendium matematiky. Praha: Euromedia Group k. s., 2003. •Bušek, I. a kol. Základní poznatky z matematiky. Matematika pro gymnázia, Praha: Prometheus, 1992. •Odvárko, O. a kol. Matematika pro gymnázia – Goniometrie. Praha: Prometheus, 1997. •Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, 1998. •Vošický Zdeněk. Matematika v kostce pro střední školy. Havlíčkův Brod: Fragment, 2003. • 19