Exponenciální a logaritmické funkce a rovnice
Repetitorium z matematiky
Podzim 2011
Ivana Vaculová

C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Exponenciální fce_a větší než 1.jpg
C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Exponenciální fce _0a1.jpg
1 EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE
2
Graf:  exponenciální křivka
           (exponenciála)
0 < a < 1
a > 1
D(f) = R, H(f) = (0;∞).
Není ani sudá, ani lichá.
Je omezená zdola (ax > 0), není omezená shora.
Je klesající, tedy prostá.
Nemá maximum, ani minimum.
Je inverzní k funkci logaritmické.
Je spojitá v R.
D(f) = R, H(f) = (0;∞).
Není ani sudá, ani lichá.
Je omezená zdola (ax > 0), není omezená shora.
Je klesající, tedy prostá.
Nemá maximum, ani minimum.
Je inverzní k funkci logaritmické.
Je spojitá v R.

3
Úlohy
Př.2: Rozhodněte, zda je pravdivý výrok:
          Své rozhodnutí zdůvodněte. Využijte vlastností exponenciální funkce y = (0,4)x
Př.3: Rozhodněte, který ze vztahů 0<a<1, a>1platí, je-li:
Př.1: Na základě vlastností exponenciální funkce určete, které z následujících  mocnin
          jsou větší než jedna, rovny jedné, menší než jedna:
  Př.4: Rozhodněte, jaký vztah platí mezi čísly p, r :

C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Logaritmická fce – 0a1.jpg
C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Logaritmická fce – a větší než 1.jpg
2 LOGARITMICKÁ FUNKCE
4
Graf:  logaritmická křivka
0 < a < 1
a > 1
D(f) = (0;∞), H(f) = R.
Není ani sudá, ani lichá.
Není omezená zdola, ani shora.
Je klesající, tedy prostá.
Nemá maximum, ani minimum.
Je inverzní k funkci exponenciální.
Je spojitá v (0;∞).
D(f) = (0;∞), H(f) = R.
Není ani sudá, ani lichá.
Není omezená zdola, ani shora.
Je rostoucí, tedy prostá.
Nemá maximum, ani minimum.
Je inverzní k funkci exponenciální.
Je spojitá v (0;∞).

Úlohy
Př.1: Rozhodněte, který z výroků je pravdivý:
          Využijte vlastnosti logaritmických funkcí.

3 EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE
6
Při řešení exponenciálních rovnic využíváme pravidlo:
Př.1:
Př.2:
Př.3: Řešíme pomocí substituce
Nemá řešení

4 LOGARITMY A JEJICH VLASTNOSTI
7
Logaritmus čísla x o základu a je takové číslo y, pro které platí ay = x.
Např.: log 10 = 1, neboť 101 = 10
            log 100 = 2, neboť 102 = 100
Pro každé a > 0, a ≠ 1 platí:
Nechť a > 0, a ≠ 1 a nechť x1, x2 jsou
libovolná čísla. Potom platí:

5 LOGARITMICKÉ ROVNICE
8
Při řešení logaritmických rovnic využíváme pravidlo:
Př.1:
Podmínka:
x-1>0 , x>0
ÞD = (1;∞)

Literatura
•Delventhal, K., M., Kissner, A., Kulick, M. Kompendium matematiky. Praha: Euromedia Group k. s.,
2003.
•Bušek, I. a kol. Základní poznatky z matematiky. Matematika pro gymnázia, Praha: Prometheus, 1992.
•Odvárko, O. a kol. Funkce. Matematika pro gymnázia, Praha: Prometheus, 1996.
•Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, 1998.
•Vošický Zdeněk. Matematika v kostce pro střední školy. Havlíčkův Brod: Fragment, 2003.
•
9