GEOMETRIE 1 – tématické okruhy ke kolokviu

Rozhovor  u kolokvia bude veden na podkladě níže uvedených okruhů (každý si vylosuje dva okruhy) a
bude přihlédnuto též k výsledkům  písemné práce ze 4.konzultace.

1.       Hilbertova soustava axiomů eukleidovské geometrie. Axiomy a axiomatické pojmy.
Charakteristika a význam jednotlivých skupin axiomů.

2.       Axiomy incidence a uspořádání – uveďte několik příkladů axiomů incidence a uspořádání.
Dále uveďte příklady geometrických útvarů, které lze užitím axiomů incidence a uspořádání zavést
(včetně jejich definic a jejich symbolických zápisů).

3.       Konvexní a nekonvexní množiny bodů. Příklady. Věta o průniku dvou konvexních bodových
množin a její důkaz. Využití této věty pro určení některých konvexních bodových množin (konvexní
úhel, trojúhelník, čtyřstěn apod.)

4.       Konvexní a nekonvexní úhel. Grafické sčítání úhlů. Dvojice úhlů.

5.       Lomená čára, typy čar. Jednoduchá uzavřená lomená čára a její vnitřní a vnější oblast.
Využití.

6.       Mnohoúhelník. Konvexní a nekonvexní mnohoúhelník, příklady, definice. Čtyřstěn, konvexní
mnohostěn.

7.       Okolí bodu v množině (v rovině a v prostoru) a pojmy z něho odvozené – omezený útvar,
vnitřní, vnější a hraniční bod útvaru, vnitřek, vnějšek a hranice útvaru. Uzavřený geometrický
útvar, překrývající se a nepřekrývající se geometrické útvary.

8.       Trojúhelník. Vnitřní a vnější úhly trojúhelníku – definice a vlastnosti včetně jejich
důkazů.

9.       Vztahy mezi stranami a úhly trojúhelníku (trojúhelníková nerovnost, součet vnitřních úhlů
trojúhelníku – včetně důkazu, věta o stranách a protějších úhlech trojúhelníku včetně důkazu
vybrané části.

10.   Příčky trojúhelníku – definice a jejich vlastnosti. Princip důkazů některých tvrzení
týkajících se např. os stran, středních příček, těžnic atd.

11.   Čtyřúhelník. Čtyřúhelník konvexní a nekonvexní – definice. Třídění čtyřúhelníků, typy
čtyřúhelníků.

12.   Rovnoběžník – definice a základní vlastnosti včetně důkazů. Třídění rovnoběžníků.

13.   Shodnost, axiomy shodnosti. Shodnost úseček a úhlů. Shodnost trojúhelníků, věty o shodnosti
trojúhelníků.

14.   Shodnost úseček a úhlů a jejich užití k definicím dalších geometrických pojmů: osa úhlu,
pravý úhel, kolmost, střed a osa úsečky, kružnice, kruh.

15.   Množiny všech bodů s danou vlastností v rovině. Osa úsečky a osa úhlu (s uvedením definic)
jako množina všech bodů s danou vlastností (včetně principu důkazů uváděných tvrzení). Osy stran a
osy úhlů v trojúhelníku.

16.   Thaletova kružnice a Thaletova věta - princip důkazu. Využití.

17.   Axiomy spojitosti. Měření úsečky, délka úsečky. Funkce míra úsečky a její vlastnosti.
Velikost úhlu. Míra stupňová a oblouková. Funkce míra úhlu a její vlastnosti.

18.   Vzdálenost dvou bodů, vzdálenost dvou uzavřených geometrických útvarů. Vzdálenost bodu od
přímky a od roviny, vzdálenost dvou přímek, přímky a roviny a dvou rovin.

19.   Axiom rovnoběžnosti. Rovnoběžnost přímek a její vlastnosti. Rovnoběžnost přímky a roviny a
dvou rovin. Poznámky k historii axiomu rovnoběžnosti.