Thaletova kružnice


Thaletova věta: Množina M vrcholů všech pravých úhlů v rovině, jejichž ramena procházejí dvěma
danými různými body A, B, je kružnice s průměrem AB s výjimkou bodů A,B.

Důkaz :

a)      Dokážeme, že platí :  Jestliže bod X patří množině M, pak je úhel AXB pravý.

Zvolme kružnici k se středem S, její průměr AB a bod X kružnice k, X ≠ A, X ≠ B (viz obr.1).
Trojúhelník ASX je rovnoramenný, velikosti jeho vnitřních úhlů při základně jsou shodné. Velikost
každého z nich označme α. Trojúhelník BSX je rovněž rovnoramenný a velikost jeho úhlu při základně
označme β. Vyjádříme-li součet velikostí všech vnitřních úhlů v trojúhelníku AXB, dostáváme vztah:

α + (α + β) + β = 180^0

Úpravou dostáváme

2 α  + 2β  =  180^0, tj.   α + β = 90^0, což je velikost konvexního úhlu AXB, a tedy konvexní úhel
AXB je pravý – což jsme měli dokázat.


b)     Dokážeme, že platí:  Jestliže je úhel AXB pravý, pak  bod X patří množině M, tj. leží na
kružnici k s průměrem AB, X≠A, X≠B. Použijeme nepřímý důkaz, tj. dokážeme větu obměněnou:
Neleží-li bod X na kružnici k s průměrem AB, pak konvexní úhel AXB není pravý.

·         Nechť bod X patří vnitřní oblasti kružnice k. Jestliže bod X leží mezi body A,B, pak úhel
AXB je přímý úhel a nikoliv pravý (obr.2). Neleží-li bod X mezi body A,B, sestrojme bod Y, který je
průsečíkem kružnice k s přímkou AX (obr.3). Konvexní úhel AXB je vnější úhel trojúhelníku  XYB a je
tedy větší než konvexní úhel XYB, tj. než konvexní úhel AYB. Konvexní úhel AYB  je však vzhledem
k části a) důkazu pravý. Konvexní úhel AXB je tedy větší než pravý úhel.




·          Nechť bod X patří vnější oblasti kružnice k. Jestliže bod X leží na přímce AB, pak úhel
AXB zřejmě není pravý (obr.4). Neleží-li bod X na přímce AB, sestrojme bod Y, který je průsečíkem
kružnice k s přímkou AX (obr.5).  Konvexní úhel AYB je vzhledem k části a) důkazu pravý . Tento
úhel je vnějším úhlem trojúhelníku XYB a konvexní úhel YXB ,

tj. konvexní úhel AXB, je tedy menší než pravý úhel AYB.

Z výše uvedeného plyne, že platí:  Neleží-li bod X na kružnici k s průměrem AB, pak konvexní úhel
AXB není pravý. Platí tedy : Jestliže je úhel AXB pravý, pak  bod X patří množině M, tj. leží na
kružnici k s průměrem AB, X≠A, X≠B – což jsme měli dokázat.


Závěr:  Množinou  M  vrcholů všech pravých úhlů v rovině, jejichž ramena procházejí dvěma danými
různými body A, B, je kružnice s průměrem AB s výjimkou bodů A,B. Tuto množinu nazýváme Thaletovou
kružnicí.