Je dán bod B a (nad-)rovina C v eukleidovském prostoru: B = [-1,5,7],
C = {[1,2,3] + r(1,1,-1) + s(2,1,0)|r,SGR)   ={x, -2x2-x3 = -6}.
Kolmý doplněk k C je
~C± = {Xi + x2-x3 = 0, 2X! +x2 = 0} ={ř(1,-2,-1)|řeR}.
Označíme body a vektory tak, že
(1)
C  = {x. u = 0, x. v = 0}
Hodláme určit vzdálenost v(B,C), a to pomocí charakterizace:
BC = min <^> BC _L C.
(2)
A. pata kolmice, vzdálenost
Pro C e C platí (2), právě když
ŠC.u = 0aěc.v = 0,
což po rozepsání (C = D + ru + sv) vede k soustavě lineárních rovnic
—>
ru . u + sv . u = DB . u,
—>
ru . v + sv . v = DB . v.
Dosazením vektorů ze zadání dostáváme
3r + 3s = -3, 3r + 5s = -1.
Tato soustava má jednoznačné řešení r = -2 a s = 1, tedy
C = D-2u + v=[1,1,5]   a  BC = (2,4, -2) = 2n.
Vzdálenost je
v(B,C) = |BC| = 2||n|| = 2 Vě.
B. kolmice, pata kolmice,
Kolmice k C procházející bodem B je
(K = B + C± = {e + řn|řeR}.
Pata kolmice C =    n C odpovídá řešení rovnice
(-1 +f)-2(5-2f)-(7-f) = -6.
Tato rovnice má jednoznačné řešení ŕ = 2, tedy
C = B + 2n = [1,1,5].
Vzdálenost je
v(B,C) = |BC| = 2||n|| = 2 VŠ.
C. zkratka
Rovnici (3) lze podle (1) obecně zapsat takto:
(DB + řn). n = DB . n + řn . n = 0.
Tato rovnice má jednoznačné řešení
BD.n 12 n. n b
tedy
BD. n
Vzdálenost je
BC =-n = 2n.
n. n
v(B>C) = |BC| = ^^=2VS.
n
V duchu (1) můžeme poslední výpočet vyjádřit také takto: