Rovnice, nerovnice a jejich soustavy (lineární, kvadratické, iracionální) Repetitorium z matematiky Podzim 2012 Ivana Medková A) Rovnice a jejich řešení •Mnoho fyzikálních, technických a jiných úloh lze matematicky formulovat jako úlohu typu: • • Jsou dány výrazy L(x) a P(x) s proměnnou x. Určete hodnoty této proměnné z daného číselného oboru M, pro něž jsou si rovny hodnoty obou výrazů. Zapisujeme ROVNICÍ: • neznámá levá strana rovnice pravá strana rovnice 2 Kořeny rovnice (xk ) = hodnoty neznámé, pro něž je rovnice splněna Obor řešení rovnice (M) = číselný obor, ve kterém hledáme kořeny rovnice Definiční obor rovnice (D) = podmnožina množiny M, v níž jsou definovány výrazy L(x) a P(x) . Obor pravdivosti rovnice (K): Množina všech kořenů rovnice, 3 Postup řešení rovnic 1.1 ROZBOR – rovnici postupně upravujeme na rovnici, jejíž kořeny známe, nebo je snadno dokážeme určit. Důsledkové (implikační) úpravy – každý kořen dané rovnice je také kořenem rovnice získané její úpravou. Ekvivalentní úpravy – množina všech kořenů nové rovnice = množině všech kořenů zadané rovnice. - 4 Postup řešení rovnic Ekvivalentní úpravy: -Vzájemná výměna stran rovnice -Přičtení téhož čísla nebo výrazu s neznámou k oběma stranám rovnice. -Vynásobení obou stran rovnice týmž číslem nebo výrazem s neznámou, který je definován a různý od nuly v celém oboru řešení . -Umocnění obou stran rovnice přirozeným mocnitelem (jsou-li obě strany rovnice nezáporné v celém oboru řešení rovnice). -Odmocnění obou stran rovnice přirozeným odmocnitelem (jestliže jsou obě strany rovnice nezáporné v celém oboru řešení). -Zlogaritmování obou stran rovnice při témž základu, jsou-li obě strany rovnice kladné. - 5 Postup řešení rovnic 1.2 ZÁVĚR ROZBORU – určíme množinu M΄ všech kořenů/řešení rovnice získané důsledkovými úpravami. Množina M΄ M představuje všechna možná řešení dané rovnice. 1.3 ZKOUŠKA - zjistíme, které z prvků xk množiny M΄ jsou kořeny dané rovnice: Ø Postupně dosadíme každé z čísel xk do levé i pravé strany rovnice. Ø Platí-li L(xk) = P(xk), je xk kořenem dané rovnice. Ø Výsledkem zkoušky je získání množiny K všech kořenů rovnice. Ø Přitom platí: - 1 LINEÁRNÍ ROVNICE 6 = každá rovnice, kterou lze upravit na tvar : Při řešení mohou nastat tři případy. 7 A) y x B) y x C) y x b 1. 1 Řešení rovnic v daném oboru 8 Př.: Zjistěte, zda má rovnice řešení v oboru a)přirozených čísel (N) b)celých čísel (Z) c)kladných čísel (R+) Řešení: 1.2 Lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli 9 Stanovíme definiční obor (D) a po vyřešení rovnice zkontrolujeme, zda získané řešení vyhovují tomuto definičnímu oboru. a) Řešení: Ø Rovnice typu: Úlohy: 1.3 Lineární rovnice s absolutní hodnotou 10 1)Výrazy v absolutních hodnotách pokládáme rovny nule -> dostáváme tzv. nulové body. 2)Provedeme dílčí řešení pro každý interval, v němž nahrazujeme absolutní hodnoty výrazy bez absolutních hodnot, a to s ohledem na definici absolutní hodnoty. 3)Dostaneme tolik dílčích oborů pravdivosti Ki, kolik je intervalů. 4)Konečný obor pravdivosti K získáme sjednocením dílčích oborů pravdivosti. Řešení metodou intervalů: Ø Při řešení vycházíme z definice absolutní hodnoty výrazu M(x) obsahujícího proměnnou x, pro kterou platí: 2 KVADRATICKÉ ROVNICE 11 = každá rovnice, kterou lze vyjádřit ve tvaru : Při řešení mohou nastat tři případy. kvadratický člen lineární člen absolutní člen 12 A) Ryze kvadratická rovnice B) Rovnice bez absolutního členu C) Obecná kvadratická rovnice Je-li D > 0 => rovnice má právě 2 různé kořeny. Je-li D = 0 => rovnice má 1 dvojnásobný kořen. Je-li D < 0 => rovnice nemá v R řešení. 13 2.1 Vlastnosti kořenů kvadratické rovnice Má-li rovnice kořeny , platí: Důkaz: 14 2.1 Vlastnosti kořenů kvadratické rovnice Pro rovnici platí: Důkazy: (= normovaná rovnice, kde p=b/a, q= c/a) Vietovy vzorce => x1 ,x2 jsou kořeny dané rovnice 15 2.1 Vlastnosti kořenů kvadratické rovnice Př.1: Na základě Vietových vzorců určete kořeny rovnice Př.1: Najděte kvadratickou rovnici, jejímiž kořeny jsou čísla -3 a 8. Má-li rce ax2 + bx + c = 0 kořeny x1, x2, platí: kořenoví činitelé Má-li rce ax2 + bx + c = 0 dvojnásobný kořen x1 = x2, platí: 3 IRACIONÁLNÍ ROVNICE 16 = rovnice s neznámou v odmocněnci. Obsahují odmocniny z výrazů s neznámou. Upravujeme neekvivalentními úpravami, proto je zkouška nezbytnou součástí řešení těchto rovnic. 3.1 Rovnice obsahující jednu odmocninu Př.: Postup řešení: 1.Osamostatníme odmocninu 2.Umocníme obě strany rovnice (neekvivalentní úprava) 3.Dořešíme rovnici 4.Provedeme zkoušku Závěr: Řešení: Zkouška: 17 3 IRACIONÁLNÍ ROVNICE 3.2 Rovnice obsahující dvě odmocniny 3.4 Řešení rovnic pomocí substituce 3.3 Rovnice obsahující více odmocnin B) Nerovnice a jejich řešení •Jsou dány výrazy L(x) a P(x) s proměnnou x. Určete hodnoty této proměnné z daného číselného oboru M, pro něž platí: • • • • • Tento zápis se nazývá NEROVNICE. 18 Ekvivalentní úpravy: 19 ØVzájemná výměna stran nerovnice se současnou změnou znaménka. ØPřičtení téhož čísla nebo výrazu s neznámou k oběma stranám rovnice. ØVynásobení obou stran rovnice kladným číslem nebo výrazem s neznámou, který je definován a kladný v celém oboru řešení. Znak nerovnosti se nemění. ØVynásobení obou stran rovnice záporným číslem nebo výrazem s neznámou, který je definován a záporný v celém oboru řešení. Znak nerovnosti se změní v obrácený. ØUmocnění obou stran rovnice přirozeným mocnitelem (jsou-li obě strany rovnice nezáporné v celém oboru řešení rovnice). Znak nerovnosti se nemění. ØOdmocnění obou stran rovnice přirozeným odmocnitelem (jestliže jsou obě strany rovnice nezáporné v celém oboru řešení). Znak nerovnosti se nemění. ØZlogaritmování obou stran rovnice při témž základu větším než 1, jsou-li obě strany rovnice kladné v celém oboru řešení. Znak nerovnosti se nemění. B) Nerovnice a jejich řešení 20 1 Lineární nerovnice 3 Kvadratické nerovnice 2 Lineární nerovnice v podílovém tvaru 4 Nerovnice s absolutní hodnotou 5 Iracionální nerovnice Př.: Př.: Př.: Př.: Př.: Řešení: pomocí rozkladu kvadratického trojčlenu převedeme nerovnici na součinový tvar a řešíme analogicky jako nerovnici v podílovém tvaru. Řešení: metodou intervalů Řešení: umocněním, případně substitucí. C) Soustavy rovnic 21 Ø Soustavy lineárních rovnic – řešení metodou dosazovací nebo sčítací Ø Soustavy s kvadratickými rovnicemi – řešení metodou dosazovací Ø Literatura •Delventhal, K., M., Kissner, A., Kulick, M. Kompendium matematiky. Praha: Euromedia Group k. s., 2003. •Bušek, I. a kol. Základní poznatky z matematiky. Matematika pro gymnázia, Praha: Prometheus, 1992. •Odvárko, O. a kol. Funkce. Matematika pro gymnázia, Praha: Prometheus, 1996. •Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, 1998. • 22 23 Cvičení