1 - ÚVOD Pětisemestrová přednáška "Algebra a teoretická aritmetika" je základní algebraickou přednáškou pro posluchače učitelského studia s matematikou, která má významné postavení v celkové koncepci přípravy budoucích učitelů matematiky. Tato skripta jsou prvním dílem učebního textu k této přednášce a pokrývají zhruba látku probíranou v ní v 1. a 2. semestru. Skripta jsou napsána tak, aby obsah, forma a pokud možno i sled jednotlivých částí co nejpřesněji odpovídaly platným osnovám. Výklad je při tom veden se snahou, aby v rámci daných možností byl co nejnázorněj ší a pokud možno co nejpochopitel-r.ější i tem čtenářům, jejichž dosavadní matematické znalosti a představy nejsou zrovna nej lepší. Na druhé straně však zdůrazněme, že pojmy, s nimiž se v textu pracuje, jsou svou logickou stavbou poměrně jednoduché a posluchačům zčásti známé ze střední školy, takže jsou přímo předurčeny k uvedení do vysokoškolského studia matematiky a k rozvíjení vhodných matematických návyků. Získaných poznatků se pak bezprostředné využí-" á v dalších matematických disciplinách (především v geometrií) a při aplikacích v řadě jiných oborů. Netřeba snad zvlášt zdůrazňovat, že algebra není pouze teoretickou matematickou disciplinou, ale že typická je její aplikovatelnost a široké použití v každodenní praxi (např. mezi nejčastěji řešené úlohy v každém odvětví průmyslu nebo zemědělství patří maticové úlohy nebo úlohy vedoucí na řešení soustav lineárních rovnic, atd.) Po formální stránce je látka probíraná co nejpodrobněji, přičemž se vždy výslovně připomínají drobná úskalí a důležité maličkosti, které by méně zkušený čtenář často přehlédl. Z těchto důvodů má podrobné studium poznámek a komentářů přinejmenším stejný význam jak "učení se" definic a vět. Totéž platí i pro důkazy jednotlivých tvrzení, které jsou zde (na rozdíl od některých jiných disciplin) v převážné většině naprosto přirozené, průzračné a bez umělých obratů. Z metodických důvodů jsou důkazy tvrzení buä řádně provedeny nebo je uveden přesný odkaz. Občasné výzvy k samostatnému provedení, resp. ověření drobných maličkostí mají také svůj smysl a čtenář by se rozhodně měl o ně pokusit. Většina zaváděných pojmů'je ilustrována na příkladech (volených obvykle záměrně tak f aby k nim nebyly nutné žádné další matematické znalosti), přičemž jsou uváděny i příklady negativní. Ve skriptech je užívána běžná symbolika, většinou známá ze střední školy. Nově zaváděná označení jsou pak řádně vysvětlena v textu. Důkazy jednotlivých tvrzení a řešení příkladů jsou opticky odděleny od ostatního textu uzavřením do hranatých závorek. Pro označování základních číslených množin je použito těchto standartních symbolů: N ,. „ , množina všech přirozených, čísel Z . , . množina všech celých čísel Q . o . množina všech racionálních čísel R . . . množina všech reálných čísel K . . . množina všech komplexních čísel Na konci textu uvedený seznam literatury je pouze velmi stručným výčtem několika dostupných titulů. Z nich připomeňme především světoznámou sovětskou Kurošovu učebnici [6], která dnes již v jedenácti vydáních a ve stotisícových nákladech je základní vysokoškolskou učebnicí algebry po více než 35 let. V seznamu uvedené sbírky úloh [8] - [12] pak obsahují dostatečné množství různě obtížných příkladů k procvičení probírané látky. 3 - ;cnma je ■ šk, aby přičemž - známá .ns vy™ mim do. h množ;;.;. pomeňme která I ech je i let. iosta-robíra- I. OPAKOVÁNÍ A DOPLNĚNÍ STŘEDOŠKOLSKÉ LATKY § 1. Základní logické pojmy. V matematici' se zabýváme studiem vlastností různých objektů a vztahů mezi nimi. K označovaní matematických objektů užíváme různých symbolů. Některé z nich mají pevný význam a nazýváme je konstanty (například symboly 1, zr, y'2, atd.): jiné takový přesné stanovený význam nemají, ale můžeme za ně konstanty vhodným způsobem dosazovat a nazýváme je proménné. U proměnných musí být vždy vymezena množina těch objektů, jejichž symboly můžeme za proměnné dosazovat (například "přirozené číslo x", "přímka p", atd.). Výrok je sdělení, o němž má smysl říci, t c je pravdivé nebo nepravdivé. Hovoříme pak o pravdivém výroku, resp. nepravdivém výroku. Například sdělení "Praha je hlavním městem ČSSR" je pravdivým výrokem, resp. sdělení "Číslo sedm je sudé" je nepravdivým výrokem. Může se však stát, že dané sdělení je výrokem, o němž však momentálně neumíme rozhodnout, zdali pravdivým Či nepravdivým. Takovým je například výrok "Mimo naši sluneční soustavu žijí myslící bytosti". Každému výroku V se přiřazuje jeho pravdivostní hodnota p( V) takto: je-li výrok V pravdivý, klademe p(V) = 1; je-li výrok V nepravdivý, klademe p(V) - 0. Logické spojky nám umožňují z jednotlivých výroků tvořit další, složitější výroky. Nejběžněji se používá pět následujících logických spojek, které mají své ustálené názvy i označení, jak je přehledně uvedeno v následující tabulce (kde a, b značí libovolné výroky): Název logické spojky Označení Slovní vyjádření ~\a není pravda, že a negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence a a b a y b a =>b á<* b a a (současně) b a nebo b jestliže A, pak b a právě když b Každou z uvedených logických spojek popíšeme nyní tak, že uvedeme, jaké pravdivostní hodnoty přiřazujeme výroku, utvořenému s její pomocí (a to v závislosti na pravdivostních hodnotách výchozích výroku). Vznikne tak tzv. tabulka pravdivostních hodnot, která má pro negaci dva řádky a pro ostatní logické spojky Čtyři řádky. P(A) ptw) 1 0 0 P(A) P(B) p04 A B) p(,4 V 5) p(i4 =» 5) 1 1 1 i 1 i ! I 0 0 I 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 i i 1 i 1 Tabulka I Rozeberme si nyní podrobněji jednotlivé logické spojky. Negace libovolného výroku A se dá vždy bez problémů správně utvořit obratem "není pravda, Že A", Tato formulace bývá však jazykově poněkud kostrbatá, a proto se snažíme i v matematice tvořit negace výroků bez užití tohoto obratu. Například místo "není pravda, že Číslo 7 je dělitelné' třemi" řekneme jistě raději "číslo 7 není dělitelné třemi" , atd. Konjunkce výroků působí obvykle nejméně potíží. Z tabulky vidíme, že výrok A a B je pravdivý jedině v případě, že oba výroky A, B jsou pravdivé. Disjunkce A v B je pravdivá, je-li pravdivý alespoň jeden z výroků A, B (to jest jeden, resp. druhý, resp. oba dva). Zde tedy při použití spojky "nebo" dochází k odchylce od běžné hovorové řeči, v níž se spojka "nebo" téměř vždy používá ve smyslu vylučovacím {"Přijedu v sobotu nebo v neděli", atd). Implikace A => B je nepravdivá pouze v jediném případě, a sice, když výrok A je pravdivý a výrok B je nepravdivý. Ve všech ostatních případech je implikace pravdivá. Zejména je nutné si uvědomit, že implikace A => B je vždy pravdivá v případě, že výrok A je nepravdivý (a to bez ohledu na to, jak vypadá výrok B). Ekvivalence A *> B je pravdivá v případě, Že oba výroky A, B jsou současně pravdivé nebo současně nepravdivá. Výroky A, B pak nazývame též ekvivalentními výroky. Velká Část matematických úvah představuje vlastně tvoření a zápis ekvivalencí Z častěji používaných připomeňme následující dvě, které ukazují, jak je možné vyjádřit negaci konjunkce a negaci disjunkce dvou výroků A, B: -](A A B) o 1A V 1B ~\(A V B) o 1A A 1B O správnosti obou tvrzení se můžeme přesvědčit z následující tabulky pravdivostních hodnot; - 5 - p(B) P(1a) p(1b) pCl(A a b)) —— — p(1a v -]b) p(=\(a v b)) p(ia a nfi) 1 li 0 0 0 0 0 0 ! 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 i 1 1 1 1 1 Tabulka 2. Podobným způsobem (viz tabulka 3) lze ukázat, Že například: (1) A o B o (A =*5) a (B =>A) (2) A =*B «• ~\B => "1/4 tj. ekvivalenci je možno vyjádřit pomocí konjunkce dvou implikací; resp. implikace A => B je ekvivalentní implikaci 1b => ~1j4 . P(B) POA) P(1b) p(A = *B) p(1b **~\A) p(B <*A) p {A p((A=>B)A(B*>A)) l 1 0 0 1 1 1 1 1 i 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 J 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 3 1 1 Tabulka 3. Všimněme si, že sdělení obsahující nějakou proměnnou, například "celé číslo x je vetší'než 1", není výrokem. Z tohoto sdělení se stane výrok (ať už pravdivý nebo nepravdivý) teprve tehdy, až za proměnnou x dosadíme nějakou konstantu z příslušné množiny, z níž můžeme konstanty volit, v našem případě tedy některé konkrétní celé číslo. Při tom je zřejmé, že takovéto sdělení může obsahovat případně i více proměnných (například "reálné Číslo x je menší než reálné číslo y" obsahuje dvě proměnné x, y atd.). Sdělení obsahující proměnné, z něhož se stane výrok teprve po dosazení (přípustných) konstant na místo proměnných, se nazývá výroková funkce (nebo též výroková forma). Je-li V(xl, . . . , ij výroková funkce obsahující proměnné xt, , . . , xn, pak její definiční obor (pokud není vymezen jiným způsobem), je množina všech «-tic (a, , . . , , an) takových, že V(ai . . . . ř an) je výrok. Obor pravdivosti výrokové funkce ,...,*„) je pak množina těch w-tic z de- finičního oboru, po jejichž dosazení za proměnné obdržíme pravdivý výrok. Z výrokové funkce můžeme tedy utvořit výrok tím, že za všechny proměnné dosadíme konstanty z definičního oboru této výrokové funkce. Stejně Častá a obvyklá je však i jiná možnost, tzv. kvantifikace proměnných, jejíž pomocí utvoříme z výrokové funkce tzv. kvantifikovaný výrok. Spočívá v tom, že nějak udáme počet objektů, pro něž z výrokové funkce obdržíme pravdivý výrok. Ta část výroku, v níž je tento počet udáván, snazývá kvantifikátor. Příkladem kvantifikátoru jsou vazby: "každý", "právě jeden', "alespoň jeden", "nejvýše jeden", "právě Čtyři", atd K tomu poznamenejme, Že zejména při používání obratů "alespoň jeden" a "nejvýSe jedem', které jsou v. matematice velmi časté, je nutné si vždy uvědomovat jejich plný význam (tj. 'alespoň jeden" znamená totéž co "existuje", resp. "jeden nebo více"; podobně "nejvýSe jeden' znamená "žádný anebo jeden".) Tedy například z výše uvedené výrokové funkce "celé číslo x je větší než 1" je možné utvořit třeba tyto kvantifikované výroky: "každé celé číslo x je vetší než 1" (nepravdivý výrok) "právě jedno celé Číslo x je větší než 1" (nepravdivý výrok) "alespoň jedno celé číslo x je větší než 1" (pravdivý výrok) "nejvýše jedno celé číslo x je větší než 1" (nepravdivý výrok), atd. Nejběžněji používanými jsou následující dva kvantifikátory, které mají i své ustálené názvy a označení: a) obecný kvantifikátor, který vyjadřujeme slovy "pro každý prvek (z definičního oboru výrokové funkce nebo jeho části) platí..." a označujeme symbolem V . b) existenční kvantifikátor, který vyjadřujeme slovy "existuje (alespoň jeden) prvek (z definičního oboru výrokové funkce), pro který platí..." a označujeme symbolem 3. V matematických úvahách je třeba velmi Často provádět negace kvantifikovaných výroků. Jak již bylo řečeno dříve, nepoužíváme ani zde gramaticky kostrbatého obTatu "není pravda, že ...". Ukažme si nyní schematicky princip tvoření negace výroku s obecným, resp. s existenčním kvantifikátorem, s nimiž se v praxi nejčastěji setkáváme: a) výrok s obecným kvantifikátorem tvaru: "pro každý prvek z oboru U platí W" a jeho negace "existuje prvek z oboru U, pro který neplatí W" b) výrok s existenčním kvantifikátorem tvaru: "existuje prvek z oboru U, pro který platí W" a jeho negace "pro každý prvek z oboru U neplatí W, přičemž v posledním případě je možné podle okolností slovo "každý" nahradit někdy gramaticky vhodnějším slovem "žádný". K tomu jeStě poznamenejme, Že při tvoření kvantifikovaných výroků a jejich negací můžeme samozřejmě užít i jiných gramatických obratů, které vsak musí zachovávat daný smysl. Ukažme si to na následujícím příkladu. Mějme dán kvantifikovaný výrok: "každé auto na tomto parkovišti je Červené" který můžeme přeformulovat například do tvaru: "všechna -auta na tomto parkovišti jsou Červená", Negací tohoto kvantifikovaného výroku je pak výrok: "existuje auto na tomto parkovišti, které není Červené" který můžeme případně přeformulovat do tvaru: "alespoň jedno auto na tomto parkovišti není červené". Upozorněme v této souvislosti velmi důrazně na to, že negací výroku "každé auto na tomto parkovišti je červené" není výrok "žádné auto na tomto parkovišti není Červené" ani výrok "alespoň jedno auto na tomto parkovišti je modré", atd. Na závěr tohoto paragrafu si ještě stručně všimneme struktury matematických vět (tvrzení) a jejich důkazů. Této problematice je nutné důkladně porozumět a při dalším studiu tohoto textu (kde půjde vlastně o aplikace níže uvedených obecných zásad) se k ní případně vracet. Matematické věty mají nejčastěji tvar implikace výroků nebo ekvivalence výroků. Je-li matematická věta tvaru implikace výroků P => T, pak se výrok P nazývá předpokladem věty a výrok T tvrzením věty. Je-li implikace P => T pravdivá, pak říkáme též, Že P je postačující (nebo též dostatečná) podmínka pro T, resp., že T je nutná podmínka pro P. K důkazu matematických vet tvaru implikace P ■* T užíváme obvykle a) dôkaz přímý, který spočívá v tom, že z platnosti předpokladu P řadou platných implikací odvodíme platnost tvrzení T, tzn. hledáme výroky Ax.....An tak, že platí: P-A, ; At=> A2.......Ani+An;An*>T b) důkaz nepřímý spočívá v přímém důkazu věty 1t "IP (uvědomme si, Že podle (2) platí P =*■ T právě když platí 1t — IP a z logického hlediska je tedy jedno, platnost které z obou uvedených implikací dokazujeme). Předpokládáme tedy, Že je pravdivý výrok 1t (jinak řečeno, není pravdivé tvrzení T) a řadou platných implikací dokážeme, Že pak není pravdivý předpoklad P. Určitou modifikací nepřímého důkazu je tzv. důkaz sporem, kdy předpokládáme plat- - 8 - nost P a II a řadou platných implikací pak odvodíme spor s některým z předpokladů nebo s jiným výrokem (sporem rozumíme situaci, kdy nějaký výrok a jeho negace mají být současně pravdivé - je zřejmé, Že tato situace nemůže nastat). Znamená to tedy, Že musí platit T. Matematická věta tvaru ekvivalence A o B se dokazuje většinou tak, Že dokážeme 'vláSť platnost implikace A •* B a implikace B =*■ A (a to metodami popsanými výše). Uvědomme si, že správnost této úvahy vyplývá z (1), kde jsme ukázali, že A *»• B je ekvivalentní s konjunkcí {A => B) A (B => A). Někdy mívají matematické věty také tvar: "jestliže platí výrok P. pak výroky Aí ..... Án (n > 2) jsou ekvivalentní*. (Poznamenejme, Že pojem ekvivalentních výroků, který jsme zavedli pro dva výroky, můžeme lehce rozšířit na libovolný konečný počet výroků Alt A (n > 2) takto: řekneme, že výroky AY..... A jsou' ekvivalentní, jestliže platí A. <*■ A , pro každé i, j = 1, . .-. , n). Věta tohoto tvaru se většinou dokazuje tak, že za předpokladu platnosti výroku P dokážeme platnost implikací: (3) Al <*A2, A2 ~A3.......>An^An, An=*Ax . Uvědomme si, že odsud již okamžitě vyplývá ekvivalentnost výroků Ax , . , An. Bylo by samozřejmě také možné při důkazu postupovat přímo podle definice ekvivalentních výroků a za předpokladu platnosti P dokazovat všechny ekvivalence A . ■**• A. (zřejmě pro i ^ i). Tento postup by však byl jistě zdlouhavější. Konečně poznamenejme, Že pořadí výroků A An ve (3) zřejmě není podstatné; bylo by jistě možné vyjít od libovolného z výroků A. , . . . , A a dokazovat n implikací tvaru ...,At^A., Af => Ak , . . . v nichž se každý z výroků A x , . . . , An objeví právě jedenkrát jako předpoklad a jedenkrát jako tvrzení. Nepřesně, ale názorně řečeno - je pouze nutné, aby se nám "kruh implikací uzavřel" Zvláštním typem důkazu matematické věty je důkaz matematickou indukcí Matematickou indukcí není možné dokazovat jakoukoliv matematickou větu, nýbrž jenom ty věty, které tvrdí, Že za určitých předpokladů platí výrok V{n), pro všechna celá Čísla n> nQ, kde n je nějaké pevné celé číslo (nejčastěji je «0= 1). Důkaz matematickou indukcí pak probíhá ve dvou krocích: za daných předpokladů a) dokážeme platnost výroku V(nQ) (3) předpokládáme, Že výrok V(n) platí pro n = nQ, nQ+ 1 , . . . , k a za tohoto předpokladu dokážeme platnost výroku V(k + 1). Věta je pak dokázána. Předpoklad provedený v p) se nazývá indukční předpoklad. Poznamenejme, že ve velké většině důkazů matematickou indukcí se z indukčního předpokladu využije pouze to, Že platí V(k) a z platnosti V(k) se již odvodí platnost V(k + 1). Mohlo by se tedy zdát, Že stačí indukční předpoklad "redukovat" na předpoklad platnosti V(k). V dalším však budeme provádět několik důkazů matematickou indukcí, kde podobna "redukce" nebude možná. V těchto případeel je potom nutné podle potřeby rozšířit krok a) o důkaz platnosti výroku ^(«0 + O, připadne dalších (použijeme-li například z indukčního předpokladu platnost V(k) a V(k I), pak zřejmě musí být k > n + 1, a tedy v kroku a) je nutné dokázat platnost ('''(«,,) a V(n0+ ])). § 2 Základní množinové pojmy. Se základními množinovými pojmy se na střední škole běžně a ve značném rozsahu pracuje. Nebudeme zde tedy opakovat podrobně vše, co by měl každý ze střední školy znát, ale připomeneme pouze ta základní fakta, která budou pro náš další výklad nezbytně nutná. Symbol x E A Čteme obvykle "x jc prvkem (množiny) A" nebo "x patří do A" nebo "x leží v Ä". Z gramatických důvodů není vhodné používat slovní obrat "x (je) element A". Skutečnost, Že prvek x nepatří do množiny A, budeme označoval symbolem x € A. Jestliže množiny A, B maji tytéž prvky, pak říkáme, že jsou si rovné a píšeme A = B. Množiny můžeme popisovat různými způsoby - například výčtem prvku, pomocí pevní-, dohodnutých symbolů nebo jako obor pravdivosti určité výrokové funkce. Je-li tedy například V(x) výroková funkce s definičním oborem D, pak {x \ x e D, V(x)} nebo. stručněji {x e D \ V(x)} značí obor pravdivosti této výrokové funkce, tj. množinu všech prvků x e/l, pro které platí V{x). Konkrétně třeba: {x \x E N, 6 < x < 10} = {6, 7, 8, 9} {x \x e N, 6 < x < 6} =

je libovolná (tzv.indexová) množina Nechť Af je množina pro každé i G I. Pak: sjednocení množin A(, i G / je množina U A = {x\BLCI :xGA }, mi ' u 'o -11 - Průnik množin A. . i E I je množina n A.= {x I pro v i G / : x G A.} , Uvědomme si, Ze předchozí definice zahrnuje sjednocení a průnik jak konečného, tak i nekonečného počtu množin (záleží při tom zřejmě na indexové množine i). Sjednocení, resp. průnik konečného počtu množin A í , . . . , An zapisujeme také často symbolem Al U . . . UAn, resp. 4,0... DAn . Jsou-li A, B dvě libovolné množiny, pak řekneme, že množiny A. B jsou disjunktní, je-li A fi E> = , resp. řekneme, Že A, B jsou incidentní, jestliže A 0 5^0. Definice: Nechť A,B jsou množiny. Rozdíl množin A ,B (v tomto pořadí) je pak množina A - B- {x\x E A A x € B] Je-li navíc B CA, pak množina A — B se nazývá komplement množiny B v množině A a označuje se symbolem B'A nebo jen stručně B". Poznamenejme, že s komplementy pracujeme v matematice obvykle v situaci, kdy roli množiny A hraje jistá dostatečně velká, tzv. univerzální množina a všechny uvažované množiny jsou pak automaticky chápány jako podmnožiny v A. Tak například při úvahách o množinách čísel hraje roli množiny A obvykle množina všech komplexních Čísel Vznikne-li však nebezpečí nedorozumění, pak je vždy nutné množinu A přesně specifikovat. Pro ilustraci základních množinových pojmů a prácí s nimi se na střední Škole Často užívají tzv. Veni.ovy diagramy. Při konstrukci Vennova diagramu se do obdélníku představujícího jistou základní množinu (v níž se všechny úvahy odehrávají) zakreslují jednotlivé množiny pomocí vhodně volených čar, a to tak, aby vzniklá pole umožňovala vyšetřovat všechny možné případy vzájemné polohy daných množin (tj. při n výchozích množinách musíme dostat celkem 2" polí). Je-li některá z množin prázdná, napíše se do příslušného pole symbol prázdné množiny. Prvek ležící v některé z množin se značí křížkem v příslušném poli Na obr. la je nakreslen Vennův diagram pro dvě množiny A, B znázorňující, že A C B. - 12 - \ A B a) b) Obr. 1 Pro lepší pochopení studovaných pojmů je dobré si občas kreslit jakési orientační náčrtky, zachycující podstatu dané situace. Obr. lb) zachycuje tímto způsobem stejnou situaci jako Vennův diagram la), totiž, že a C B. Je samozřejmé, že tyto náčrtky v Žádném případě nenahrazují důkazy tvrzení, ale pomáhají pouze názorné představě. Pro sjednocení, průnik a rozdíl množin lze odvodit celou řadu tvrzení z nichž si pro ilustraci uvedeme ngkolik v následující větě. Vgta 2.1. Nechť A, B, C jsou libovolné množiny, pak platí: ľ. a n B = B D a 2'. (4 n B) n c = a n (B n o 1. a u B = B U a 2. (a u b) u c = a u (b u q 3. a u (B n Q= (a u B) o (a u O 4. a n (B u o = {a n 5) u {a n o .5. 4 - cb u o = (4 - B) n 04 - Q 6. A - (B n o = (4 - S) u 04 - Q [Důkaz všech tvrzení se provádí stejným způsobem (dokazováním množinových inklusí). Pro ilustraci si dokážeme například 6.: "C "; x G a - (B n C) =* [x G .4 A x £ (B D C)] => [x G .4 A (x é B V x € O] ■* [x G 04 - 5) V x e 04 - C)] •» x G (a - B) u 04 - Q "D" : x G (4 - 5) U 04 - C) => [x G (.4 - 5) V x E (a - Q] [x G a A {x <ĚB VxGC)]' =*• [x G 4 A x é (B n C)] =>x Gyl - (B D Q , odkud pak dohromady dostáváme žádanou rovnost 6. ]. Poznamenejme, že vztahy laľ (resp. 2 a 2\ resp. 3 a 4, resp. 5 a 6) se nazývají - 13 - komutativní zákony (resp. asociativní zákony, resp. distributivní zákony, resp. de Morganova pravidla). Uvedená tvrzení lze zřejmým způsobem rozšířit na sjednocení a průniky systémů obsahujících případní? i nekonečně mnoho množin. Na závěr tohoto paragrafu si ještě zavedeme pojem kartézského součinu množin. K tomu však potřebujeme pojem uspořádaná dvojice prvků. Pro naše účely postačí intuitivní představa, že ke každýr dvěma prvkům x, y lze přiřadit nový prvek (x, y), nazývaný uspořádá-, nou dvojicí tak, že dvě uspořádané dvojice (x, y) a (V, jO jsou si rovny právě když x = x' a y = y*. V uspořádané dvojici (x, v) tedy záleží na pořadí prvků x a y, přičemž prvek x nazýváme první složkou a prvek y nazýváme druhou složkou uspořádané dvojice (x, y). ■ Analogickým způsobem lze pro n > 3 zavést pojem uspořádané rc-tice prvků, kterou označujeme symbolem (a , . . . , an). Při tom (a.....a ) ~ (bl.....bn) právě když a = bl A . - - A an = bn, tzn. právě když se rovnají odpovídající si složky. Definice: Nechť A, B jsou libovolné množiny. Pak množina A X B = {{x, y)\x £ A, y E B) se nazýva kartézský součin množin A, B (v tomto pořadí). Z definice kartézského součinu je zřejmé, že množiny A X B a B X A jsou obecně různé. Je-li například A = {a} , B = {bv b2] , pak A X B = {(a, ôx), (a, b2)} , resp. B X A = {(6,, a), {by a)} a tedy A X B B X A. Dále je zřejmé, Že je-li některá z množin A, B prázdná, tzn. A =

, pak je i jejich kartézský součin prázdnou množinou, tzn. A X B = . Analogickým způsobem zavádíme kartézský součin množin Ax, . . . , An (n > 2) jako množinu (1) A1X... XAn= {(a,----, an)\at eAr i = 1, 2, ...,«} Je-li A=A2 = . . . = 4 = -4, značíme kartézský součin (1) symbolem A" a nazývame jej «-tá kartézská mocnina množiny A. Například tedy /?3= (O, j>, z) \x, y, z G/i} je množinou všech uspořádaných trojic reálných čísel. - 14 - § 3. Základní vlastnosti celých Čísel Na střední škole byla odvozena celá řada vlastností celých čísel a pravidel pro počítaní i ni Víme, Že ke každému celému Číslu a se dá přiřadit jeho absolutní hodnota |a j . definovaná následovné: f a je-li a > 0 \a\-< ( —a je-li a < 0 Bezprostředně z této definice plyne, Že pro každá dvě celá čísla a, b platí: |a. b\ = |,a| . |ď| \a + b \ < \a \ + \b \ (dokažte si sami oba vztahy!). Dále si zopakujme základní vlastnosti délitelnosti celých Čísel. Definice: Nechť a, b jsou celá Čísla; řekneme, Že a dělí b (označujeme a \ b), jestliže existuje celé Číslo z tak, Že b - a . z v opačném případě říkáme, že a nedělí b (píšeme pak a\b) . Poznamenejme, Že misto obratu "a dělí b" můžeme použít též obratu "6 je dělitelné a" nebo "a je dělitelem b". Zvláštní roli při dělitelnosti celých Čísel hraje Číslo nula. Přímo z definice dělitelnosti totiž plyne, Že a |0 pro každé a G Z , tj. každé celé číslo dělí nulu a dále, že 0 | b právě když b = 0, tj. nula dělí pouze nulu. Všimněme si dále, že každé celé číslo b je vždy dělitelné čísly 1, —1, b, —b. Tato čísla se nazývají nevlastní dělitelé čísla b. Všichni ostatní dělitelé (pokud existují) se nazývají vlastní dělitele' Čísla b. Přirozené číslo p > 2 se nazývá prvočíslo, (resp. složené Číslo) jestliže má (resp. nemá) pouze nevlastní dělitele. Některé základní vlastnosti celých Čísel, které souvisí s dělitelností, popisují následující věty. Věta 3.1. Nechť a, b, c G Z, pak platí: 1. a\a 2. a\b A b\c =>a\c 3. a \ b a a \ c => a \ (b . x + c . y) pro každé x, y E Z 4. a\b h b =t 0=* \a \ < \b\ - 15 - 5. a\b a b\a** \a\ = \b | 6. a /e vlastním dělitelem b o a\b a 1 < |a| < |6| (pto fa^o) [Dôkaz: 1. zřejmé, neboť a - a . \ 2. zřejmé, neboť 6 = a . zv c = ô . z2 => c = a. {zi. z2) 3. zřejmé, neboť Ď = a . z1, c = a . z2 => bx + cy = a(zxx + z2y) 4. a\b=^b = a.z;zEZ,z^O. Přechodem k absolutním hodnotám dostaneme \b\ = \a \ . \z\, odkud plyne, Že \a \ < \b\. 5. "=*" plyne ihned ze 4: "•*=" |a | = | b | => Ď = ± a = a . (± 1) A a =b . (±1), odkud dostáváme, Že a\b A b\a 6. "=*■" dostaneme užitím 4. "■*=" plyne přímo z definice vlastního dělitele ] Věta 3.2. (Věta o dělení se zbytkem celých čísel) Nechť a, b jsou celá čísla, b 0. Potom: existují celá Čísla q, r, splňující: (1) a = b . q + r , 0 0 a dále je (xQ+ 1) . \ b \ > a, tzn. xQ . \ b | + |ž> | > a, odkud dostáváme, Že ä —'x . \b | < \b \ , neboli po dosazení ze (2): (3) r< \b\ Nyní označme: r xQ je-li b > 0 ? = < ^ -x0 je-li b < 0 Při tomto označení dostáváme z (2) a (3) hledaný vztah (1). - 16 - II. důkaz jednoznačnosti vyjádření (1). Předpokládejme, Že existují q, a', r, r'GZ, splňující: a - b . q + r , 0 \b \ , což je spor. Musí tedy být q - q', odkud pak také r - r , což znamená, Že vyjádření (1) je jednoznačné, j Číslo q (resp. r) z vyjádření (1) se nazývá podíl (resp. zbytek) po dělení čísla a čísiem b. Vidíme tedy. že zbytek r po dělení čísla a číslem b je definován jednoznačné a nabývá právě jedné z hodnot 0, 1, . . . , | b \ — 1. Uvedomme sí, Že věta o děle ní se zbytkem není vlastně nic jiného, než přesně zformulovaný (a dokázaný) algoritmus pro dělení dvou celých čísel, používaný již na základní Škole. Definice: Nechť m je pevné přirozené Číslo a nechť a, b G Z. Řekneme, že čísla a, ť jsou kongruentní podle modulu m a píšeme a = b (mod m), jestliže m\b - a. Věta 3.3. Nechť m je pevné přirozené číslo a nechť a, b G Z. Pak následující výroky jsou ekvivalentní: (i) a = b (mod m) (ti) čísla a, b dávají po dělení Číslem m stejný zbytek (iii) čisla a, b se liší o celý násobek čísla m (tj. 3z ez tak, Se- b - a + z . m). [Důkaz: "(i) ■* (ii)"; nechť platí (i) a nechť a = m . qt + r,, b = m . q2 + r2 , kde 0 (iii)": nechť platí (ii), tzn. a == m . qt + r, b = m . q2 + r. Potom r - a - mq,= b - rnq2, odkud b = a + iq2 — qt) ■ m, kde zřejmě (q2 — ]) a dokážeme je pro n + 1. Nechť tedy plfú^.....a)a. Pokud p\an + l, pak jsme hotovi Nechť tedy p\un + l Pak je (p, an+1) = l a podle Části 2. této věty je p \a . ... . a , Podle indukčního předpokladu pak p \ a. pro nějaké i - í, . . . , n , ] Věta 3.6. Každé přirozené číslo a > 1 lze rozložit na součin prvočísel, a to až na jejich pořadí jednoznačně. [Důkaz:!, existence rozkladu; provedeme sporem. Předpokládejme, Že existují přirozená Čísla, která nelze rozložit na součin prvočísel a nej menši z nich označme w. Pak ale w není prvočíslo, tzn. musí mít vlastního dělitele b, a tedy: w = b . c, kde 1 < b < w, í < c < w. Ale b i c lze rozložit na součin prvočísel (jinak spor s minímalítou w), a tedy w = b ,c má stejnou vlastnost; spor. II. jednoznačnost rozkladu (až na pořadí); nechť (5) a mPl, ... . pn * qt.....qs jsou dva rozklady přirozeného Čísla a na součin prvočísel Jednoznačnost, (až na pořadí Čt nitelů) nyní dokážeme matematickou indukcí vzhledem k n. a) pro n - i .,.; a prvočíslem, tzn. musí být i s = 1 8) předpokládejme, že pro všechna přirozená Čísla, mající alespoň jeden rozklad na součin méně než n prvočísel je tento rozklad jednoznačný (až na pořadí). Vezměme přirozené číslo a, pro něž platí (5). Potom pn \qv ... .qjt tzn. podle V. 3.5.3. je pn \ q{ pro nějaké s. Poněvadž jde o prvočísla, musí být p •= q(, takže po zkrácení čísiem p - q. v (5) a užití indukčního předpokladu dostaneme žádanou jednoznačnost. ] Věta 3.7. Prvočísel je nekonečně mnoho. [Důkaz; provedeme sporem; předpokládejme, že existuje pouze konečně mnoho prvočísel, například pí,„.,,p. Číslo a = p,, p ..... p + 1 lze podle předchozí věty rozložit na součin jistého počtu prvočísel, tzn. jinak řečeno, Číslo a je dělitelné jistým počtem prvočísel. Ale a nemůže být dělitelné Žádným z prvočísel p. (1 < i < n) (jinak, užitím V.3.1.3. dostaneme, že pŕ j 1, spor), a tedy existuje alespoň jedno prvočíslo různé od pí, . . . , pn ; spor. ] § 4. Relace Pojem relace patří dnes v matematice mezi základní pojmy, s nimiž se studenti na střední škole setkávají velmi záhy. Definice. Nechť A, B jsou libovolné množiny. Pak libovolná podmnožina p kartézského součinu A X B se nazývá relace mezi množinami a a B (v tomto pořadí). Je-li (x, y) e p, pak říkáme, Že prvek x je v relaci p s prvkem y. Naopak, jestliže (x, y) é p, pak říkáme, že prvek x není v relaci p s prvkem y. Příklad 4.1.: 1. Nechť A = {a, b, c, d}, B - {x, y, z} ; pak p = {{a, y), (c, y), (c, z)} je relace mezi množinami A a B. 2. Nechť A = N, B = N; pak p = {(x, y) G N X N\y - x je kladné Číslo] je rela- - 20 - ce mezi A a B. Je zřejmé, že v tomto případě je (x, y) G p právě tehdy když číslo x je menší než číslo y (při uspořádání Čísel podle velikosti). 3. Nechť A, B jsou libovolné množiny; a) zřejmě S B | 3x G A tak. Že (x, y) G p} se nazýva obraz relace p . Pozna'mka: označení Dom, resp. Im jsou v matematice běžně používané zkratky slov "domain", resp. "image", což jsou anglické ekvivalenty pro výrazy "definiční obor", resp. "obraz". Někdy se místo obratu definiční obor ( resp. obraz) relace p používa té? obratu první (resp. druhý) obor relace p. Příklad 4.2.Definiční obory a obrazy relací z příkladu 4.1. jsou zřejmě: í. Dom p = {a, c}, Im p = {y, z} 2. Dom p = N, Im p = N - {1} 3. pro prázdnou relaci p je Dom p = 0 , Im p = $ pro univerzální relaci p je Dom p = A, Im p = B . - 21 - Definice. Nechť p je relace mezi množinami A & B ; nechť a je relace mezi množinami B a C Pak relace o o p — {(x, y)EA x C\3b EB tak, že (x, b) E p a (ô, y) E a) se nazýva složená relace z relací p a a. (symbol a o p Čteme buď a kolečko p nebo a po p). Příklad 4.3.: Nechť A = {a, b, c, d}, B = {x, y, z}, C = {k, l, m, n] ; nechť P = {(a. v), (c, y), (c, z)} ; a = {(x, fc), (x, /). (x, m), (x, n), (y, k), (y, n)}. Potom je a o p = {(a, fc), (a, n), (c, k), (c, n)} . Poznámka: Pro větší názornost si můžeme relace mezi množinami znázorňovat grafický, zejména jsou-li množiny konečné. Je-li například p relací mezi A a B, pak si znázorníme prvky obou množin jako body v rovině a bod r E A spojíme orientovanou Šipkou s bodem s E B právě tehdy, když {r, s) E p . Například pro relace p, a z příkladu 4.3. dostáváme "graf": Obr. 2. Pomoci těchto "grafů" si můžeme schematicky znázornit i další pojmy, jako například skládání relací. Je zřejmé, že při relaci o o p vede orientovaná šipka z bodu r E A do bodu t E C právě když tuto Šipku lze "složit" ze šipky patřící do relace p a Šipky patřící do relace a . Někdy je také užitečné danou relaci p mezi konečnými množinami A a B znázornit tabulkou, která má dva řádky a tolik sloupců, kolik uspořádaných dvojic z A x B patří do p . Je-li (a, b) E p, pak prvek a napíšeme do horního řádku ta- bulky a prvek b napíšeme pod něj. Například pro relace p a a z příkladu 4.3. dostáváme tabulky: Pl ■ k \n I ___I__i Věta 4.1. Nechť p je relace mezi A a B, a je relace mezi B a C, r je relace mezi C a D. Pak platí: t o (a o p) - (r o o) o p■ . [Dôkaz: je zřejmé, že r o (a op) I (r o a) c p jsou relace mezí a a D , jejich rovnost dokazujeme jakožto množinovou rovnost. "C" nechť (x, y) G t o (o o p) libovolné; pak podle definice složené relace existuje c e C tak, Že (x, c) G a 6 p A (c,,y) G t , a tedy existuje Ŕ G 5 tak, že (x, &) G p A (b, c) E o , Nyní opět užitím definice složené relace dostáváme, že (b,y) E r q o a konečně, že (x, y) G (r o ct) o p. Dohromady tedy: r c (a o p) C (r o a) c p „ "2" Inkluse r o (c o p) d (r q a) o p se dokáže zcela analogicky. ] Definice. Nechť p je relace mezi množinami A a Ä Relace p"1 mezi množinami Ä a A definovaná vztahem p>= {(u, v) E B X A \ (v, u) G p} se nazývá relace inverzní k relaci p . Poznámka: z předchozí definice plyne, že (u, v) E p'1 právě tehdy, když (v, w)Gp. Znamená to tedy, Že Dom p"1 = Im p , Im p'1 = Dom p . Znázorníme-li si relaci p "grafem", pak zřejmé "graf" relace p'1 získáme tak, že všechny šipky z p ponecháme, ale změníme pouze jejich orientaci. VSta 4.2.:' Nechť p je relace mezi A a B, a je relace mezi B a C Pak platí. 1. (p;1)'1 = p 2. (g o p)"1 - p"1 o q'1 . [Důkaz: 1. je zřejmé z definice inverzní relace 2. zřejmě (o o p)"1 i p1 o a"1 jsou relace mezi C a. A ; jejich rov- p a c c v y z x ! ! X x\ __L , k _____ --T------f / \m j i______L no st dokazujeme jakožto množinovou rovnost. "C" nechť (u, v) E (o o p)'1 libovolné; potom podle definice inverzní relace je (>•, i() £ o o p a podle definice složené relace pak existuje b E S tak, že ()•, b) E p a (b, u) G a. Potom však (b, v) E. p'1 a (w. b) E a"1 a podle definice složené relace je («, v) E p'1 o a1. Dohromady tedy (a o p)"'C p*1© a"1. "3° Inkluse (a o i)"1 3 P~le ff'1 se dokáže zcela analogicky. ] Na závěr tohoto paragrafu se budeme zabývat speciálním, avšak v praxi se Často vyskytujícím typem relace mezi a a B, a sice případem, kdy a, B 0 a /! = Ä Definice: Nechť A/ je .eprázdná množina. Pak libovolná podmnožina p kartézského součinu M X M se nazývá relace na množině A/. Množinu M spolu s relací p označíme symbolem (A/, p) a budeme říkat, že (M, p) je množina s relací. Pro x, y EM budeme místo (x, y) E p psát obvykle xpy, resp. místo (x,y) é p budeme psát xpy. Příklad 4.4. ľ 1. Nechť A/ = {a, b, c, d} ; pak p = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c)} je relace na množině Aí. • ■" 2. Nechť M je libovolná (neprázdná) množina. Pak a) prázdná relace p = je relací na A/ b) univerzální relace p = M X M je relacŕ na M c) množina {(m, m) \m E M} je relací na M, kterou nazývame relace rovnosti (pa M) a označujeme symbolem t (řecké písmeno jota). Je charakterizována tím, že každý prvek z M je v relaci právě sám se sebou. 3. Nechť M = 2A , kde /l je libovolná množina. Potom je M ^

ypx (iii) antisymetrická, jestliže: x, y G M A xpy A ypx => x = y (iv) transitivní, jestliže: x, y, z G M A xpy A ypz * xpz (v) úplná, jestliže: x, y G M libovolné *=> xpy V ypx . Poznámka. Předchozí definice bude hrát v dalším zásadní roli, a proto je nutné ji bezpečně zvládnout Ukažme si, jak se poznají jednotlivé typy relací z uzlového grafu (viz a)), resp. z tabulky relace (viz b)): - 25 - reflexivní: a) každý bod je opatřen smyčkou b) v hlavní diagonále tabulky jsou jedničky symetrická: a) mezi dvěma různými body jsou buď dvě nebo žádná šipka b) tabulka je symetrická podle hlavní diagonály antisymetrická: a) mezi dvěma různými body je buď jedna nebo žádná šipka b) dvě různá políčka symetrická podle hlavní diagonály neobsahují dvě jedničky úplná: a) každé dva body jsou spojeny šipkou (tedy mimo jiné je každý bod opatřen smyčkou) b) v diagonále jedničky a dvě různá políčka, symetrická podle diagonály obsahují alespoň jednu jedničku. U transitivní relace je situace zejména v tabulce poněkud složitější (i když je možné ji také popsat), a proto se jí zde nebudeme zabývat. Jinou charakterizaci těchto základních typů relací na množině nám podává následující věta. Věta 4.3. Nechť (M, p) je množina s relací Pak platí: 1. relace p je reflexivní «*■ i C p (kde i značí relaci rovnosti na M) 2. relace p je symetrická ■*> p = p'1 3. relace p je antisymetrická <*■ pHp^Ci 4. relace p je transitivní «* p o p Q p [Důkaz: 1. zřejmé 2. 's=*" nechť p je symetrická relace na M. Dokážeme, Že p = p"1 G ako množinovou rovnost). Nechť tedy (x, y) E p libovolné; tzn. xpy. Potom je ypx, neboli (y, x) G p, odkud (x, v) e p"1. Platí tedy p C p"1 a opačná inkluse se dokáže analogicky. Dohromady pak je p = p"1. "*»" předpokládejme, že p = p"1; nechť xpy, Xzn. (x, y) G p = p"1. Potom však (y, x) G p, tzn. ypx a relace p je symetrická. 3. "=*" nechť p je antisymetrická relace na M; nechť dále * (x, y) € p n p"1 libovolné, tzn. xpy A ypx. Ale p je antisymetrická, a tedy x = y, neboli (x, y) G t. Tedy p O p"1 C t. "*=" nechť pOp-'Ci; nechť dále xpy A ypx. To ale znamená, že {X, y) e pi n p"1, a tedy (x, y) G i, neboli x = y. Relace p je pak antisymetric- - 26 - ká. 4. "=*" nechť p je transitivní a nechť (x, y) G p o p libovolné. Pak podle definice složené relace existuje w E. M tak, že xpw a wpy. Ale z transitivnosti relace fi plyne, Že xpy, neboli (x, y) G p . Je tedy p o p C p. "«=" nechť p o p C p a nechť xpj' a ypz. Podle definice složené relace pak (x, z) E p o p C p, tzn. xpz. Relace p je tedy transitivní. ] Poznamenejme ještě, že symetrie a antisymetrie se navzájem nevylučují (například relace rovnosti na M je zároveň symetrická i antisymetrická) a dále, že úplná relace musí být vždy reflexivní Následující tabulka 5 nám udává,které z výše definovaných vlastností mají množiny s relací z příkladu 4.4. (označované zde 1. - 5. stejně jako v příkladu 4.4.). Je užitečné si každou jednotlivou odpověď podrobně samostatně ověřit! .' 1. 2. 3. 4. 5. a) b) c) reflexivní ne ne ano ano ano ano ano symetrická ne ano ano ano **) ne ano antisymetrická ne ano *) ano ano ano ne transitivní ne ano ano ano ano ano ano úplná ne ne ano *) ***) ne ne *) ano, je-li M jednoprvková, jinak ne * *) ano, je-li A =

11 4. /I = R; 5 = R; položme /(x) = sin x, pro každé x G R 5. A = R; B = [1, 1]; položme /(x) = sin x, pro každé x G R Poznámka: Z definice zobrazení plyne,' Že dvě zobrazení / : A -*■ B, g : C ~* D jsou rovná (stručně píšeme / = g), jestliže a) a - C (tj. rovnají se definiční obory) b) B = D (tj. rovnají se obory hodnot) c) /(x)' = g(x) pro každé x G A (tj. rovnají se předpisy). V opačném případě (tj. není-li splněna alespoň jedna z předchozích tří podmínek) zobrazení nejsou rovná (stručně píšeme /¥= g). J Vidíme tedy, že například zobrazení z příkladu 5.1.4. a 5.1.5. nejsou rovná, i když předpis v obou případech zní stejně. Poznámka: 1. Je-li /) CR, í CR, pak zobrazení /: A -*■ B se obvykle nazývá (reálná) funkce (jedné reálné proměnné). Tato zobrazení se podrobně studují v matematické analýze. » 2 Zobrazení, jehož definičním oborem je množina N všech přirozených čísel, se obvykle nazývá posloupnost. Tedy například zobrazení / z příkladu 5.1.3. je posloupnost. U posloupnosti bývá zvykem značit obrazy prvků pomocí indexů, tzn. místo /(«) psát například fn apod. 3. Systém všech zobrazení množiny A do množiny B budeme v dalším označovat - 29 - . symbolem BA . Je tedy BÁ ----- {f\f: A->B}. Je-li například A = {a, b, c) tříprvková a B = {x, v} dvouprvková množina, pak má množina BA celkem 23= 8 prvků, tj. existuje právě 8 různých zobrazení A do B (zkuste si je všechny vypsat!) Obecné lze pak ukázat, že má-li množina A n prvků a množina B má s prvků, pak B' má s" prvků (což svým způsobem zdůvodňuje použité označení). 4. Pro úplnost ještě poznamenejme. Že nČkdy se (i na střední škole) při studiu zobrazení vychází z obecnějšího pojmu "zobrazení / z množiny A do množiny B" (všimněte si, Že je zde navíc písmenko "z"), který se od naší úvodní definice zobrazení liší pouze v tom, že podmínka (1) je nahrazena obecnější podmínkou (2): (2) ke každému x E A existuje nejvýše jedno y E B tak, Že (x, >•) E f. My však tento pojem v dalším nebudeme potřebovat, a proto se jím nezabývame. Definice: Nechť / : A B je zobrazení Pak zobrazení / se nazývá (i) injektivní (nebo též prosté), jestliže každý prvek z množiny B má (při zobrazení f) nejvýše jeden vzor (tj. jeden nebo žádný) (ii) surjektivní (nebo též zobrazení na), jestliže každý prvek z množiny B má (při zobrazení f) alespoň jeden vzor (tj. jeden nebo více) (iii) bijektivní (nebo též vzájemně jednoznačné), je-li zároveň injektivní i surjektivní, tzn. jestliže každý prvek z B má při zobrazení / právě jeden vzor. Poznámka: O každém z výše definovaných typů zobrazení je nutné mít jasnou názornoi představu. Je tedy mj. nutné vědět jak se dokazuje, že nějaké konkrétní zobrazení je Si není injektivní či surjektivní. Je-li tedy / : A -*■ B zobrazení a chceme-li dokázat, že a) / je injektivní, pak pro libovolné dva prvky ay, a2 E A, které jsou různé, tj. a1^:o2, dokážeme, že f(ai)*f(a2). ' Někdy je v tomto případe technicky výhodnější postupovat ekvivalentním způsobem, tj. vezmeme dva prvky av a2 E A takové, že f(ax) = /(a2) a dokážeme odsud, Že ay= a2 . b) / není injektivní, pak musíme najít dva (konkrétní) prvky ay a2 E A takové, že a2 a fia^ - f(a2) c) / je surjektivní, pak vezmeme libovolný (obecný) prvek b E B a najdeme k němu vzor, tj. prvek a E A i - 30 - takový, že fia) = b d) / není surjektivní, pak musíme v 3 nalézt konkrétní prvek, který při zobrazení / nemá Žádný vzor. Příklad 5.2.: 1. Nechť A je libovolná neprázdná množina. Zobrazeni id : A ~* A definované': id ix) - x, pro každé x £ A , se nazývá identické zobrazení (nebo též identita) na. množino A. Zřejmé id. je bijektivní zobrazení. 2. Nechť A, B jsou libovolné neprázdné množiny; nechť b E b je pevný prvek. Zobrazení / ; A -* B definované: f(x) = bQ, pro každé x G A, se nazývá konstantní zobrazení. Zřejmé platí, že konstantní zobrazení je injektivní (resp. surjektivní, resp. bijektivní) pravé když A (resp. B resp. A i B) je jednoprvková množina. 3. Zobrazení / definovaná v příkladu 5.1. mají tyto vlastnosti: 1. není injektivní, není surjektivní 2. je bijektivní 3. je injektivní, není surjektivní 4. není injektivní, není surjektivní 5. není injektivní, je surjektivní. Definice: Nechť /: A -*• B je bijektivní zobrazení. Definujme zobrazení f1: B-+A takto: pro libovolné b E B položíme f~1(b) = a, kde a E A je vzor prvku b při zobrazení / (z definice bijektivního zobrazení plyne, Že takovýto prvek a existuje, a to jediný). Zobrazeni f"1 nazýváme inverzní zobrazení k /. Příklad 5.3.: 1. Identické zobrazení idA : A -> A je bijektivní (viz příklad 5.2.1). Pro inverzní zobrazení (idA)~1: A -+ A zřejmě platí: (idA )_1= idA 2. Zobrazení / : Z -* S (sudá Čísla) definované vztahem fix) = 2x, pro Vx € Z je bijektivní (viz příklady 5.1.2. a 5.2.3.). Inverzní zobrazení S -»• Z je pak zřejmě definováno vztahem / ""1 (s) = ST , pro V s E S (tj. s sudé). Věta 5.1.: Nechť f : A -> B je bijektivni zobrazení. Pak platí: 1. f~l:B-*A je bijektivni zobrazení 2 (f-1)'1-/ [Důkaz: 1: plyne ihned z definice inverzního a bijektivního zobrazení ľ zřejmé (f~ 1)"1: A -*■ B a podle předpokladu je f: A -* B. U obou zobrazení jsou tedy rovné definiční obory i obory hodnot a zbývá dokázat rovnost předpisů. Nechť x E A libovolné a nechť f(x) - y G B. Pak ale f"1 (y) - x, odkud dostáváme: (/ ') '(v) = v - /(.v). ] Definice: Nechť f: A ■-* B, g : B -*■ C jsou zobrazení. Zobrazení (g o f) : A -*■ C definované: (g o f)(x) - gifíx)) pro každé x G A se nazýva složené zobrazení ze zobrazení f a g (y tomto pořadí). Věta 5.2.: Nechť /': A -+ B, g : B -* Q h : C -* D jsou zobrazení, pak platí: h o {g o f) = (h o g) o f, [Důkaz: zřejmě je h o (g o f) : A -*■ D, resp. (h e g) o f : A -+ D. Dále, pro libovolné x E. A je (h e (g o /))(*) = h((g o f)(x)) = h(g(f(x))) = (/i o £)(/{*>} = = ((/; o g) o f)(x), odkud již dostáváme tvrzení věty. ] Poznámka: Rozebereme-li si definicí složeného zobrazení, pak zjistíme, že skládání zobrazení není vlastně nic jiného, než v předchozím paragrafu popisované skládání relací (je nutno si pouze uvědomit, že složením dvou relací, které mají vlastnost (1) obdržíme relaci, která má opět vlastnost (1)). Z tohoto hlediska je potom V. 5.2. pouze specielním případem V.4.1. (a nebylo ji tedy nutné ani dokazovat). Dále vidíme, že o skládám dvou zobrazení hovoříme pouze v případě, Že definiční obor druhého zobrazení je roven oboru hodnot p'rvního zobrazení. Schematicky zachycuje celou situaci obr. 4. Poznamenejme ještě, že symbol g o / čteme buď "g kolečko f" nebo g po f . Věta 5.3. Nechť f : A -*■ B je zobrazení. Pak platí: 1. f c idA »/; idBof = f 2. f je bijektivni <♦ f'lc f'= idA, f '« f'1 = idg . - 32 - f D ft k a z: i. zřejmé, dostaneme bezprostředním rozepsáním 2 je-li / bíjektivní zobrazení, pak existuje inverzní zobrazení f ! B •* A. a platí: /'~!o / : A -* A. Zřejmě je idÁ: A-* A Dále, nechť x E A je libovolný: potom: (f~la f)(x) - f'Hfix)) - x = M, (x), a platí tedy f~lof= id , . Zbývající rovnost se dokáže analogicky, j ABC f S f) (x) gof Obr. 4 Věta 5.4.: Nechť f : A B, g B ~* A jsou zobrazení taková, ie gof- idÁ Potom platí f je injektivní zobrazení a g je surjektivní zobrazenú [Důkaz: nechť g o f = idA , I. dokážeme, že / je injektivní zobrazení. Nechť ay a%EA tak, Že fiaí) - = f(a2). Potom: a, ■ idA (ot) - (g o /Xa,) ■ gť/lflj)) ■ g(Äa2)) - (£ o /)(aJ) = říí4(aí ) = «,, a tedy / je skutečně injektivní. II. dokážeme, že g je surjektivní zobrazení. Nechť x E A je libovolný prvek. Potom: x = faL (x) = (g o /)(x) s #(/(x)), tzn. prvek /(x) je vzorem prvku x pri zobrazení f, a tedy g je surjektivní ] Poznámka: pripomeňme, že tvrzení předchozí věty není možné zesílit tzn., že zobrazení / ani g nemusí být obecně bijektivní, jak by se snad mohlo na první pohled zdát. Ukažme si to na následujícím příkladu. Nechť A = B = N (množina všech přirozených čísel); nechť zobrazení / :. A -* B, - 33 - .:>.. resp, g : B -» A jsou definována: f 1 pro x = 3 f(x) - x + 1, pro V x G /4, resp. g(x) = 2 (zkuste si nejprve samostatně obě zobrazení graficky znázornit!). Zřejmě je g o / = idA (uvažme, Že (g o f/Kx) = g(/(x)) = g(x + 1) = (x + 1) - 1 = x), přičemž však / není surjektivní (neboť i G B nemá při zobrazení / žádný vzor) a g není injektivní (neboť 1 2 a g(l) - g(2)), a tedy / ani g nejsou bijektivní Důsiedek: Nechť f : A -* B, g : B -*■ A jsou zobrazení. Pak platí: g o f~ id , f o g — idB o f, g jsou bijektivní a g = f~l , f D ô k a z: "=*" použijeme-li dvakrát předchozí větu, dostáváme, že / í g jsou bijektivní Dále zřejmě g : B A, f'1: B -* A. Dokážeme rovnost předpisů. Nechť h E B libovolné; potom (protože / je bijektivní) existuje jediný prvek a G A s vlastností: f(a) ~ b. Pak ale f ~1 (b) = a = idA (a) = (g o f)(a) = g(f{a)) = g(b). Tedy g -f~l. "<=" plyne z V.5.3.2 ] Definice: Nechť / A -*• B je zobrazení; nechť M je neprázdna podmnožina definičního oboru A (tzn. C4). Pak zobrazení h : M-+B definované: Hni) = = /(m), pro každé m EM, se nazývá zúžení zobrazení / na množinu M a obvykle se značí symbolem f\M. Poznámka: Je-li dáno zobrazení f : A -*■ B, pak vidíme, Že při konstrukci zúženého zobrazení f\M M B se změní pouze definiční obor. Je vSak nutné si uvědomit, že zúžením zobrazení se mohou podstatně změnit některé jeho základní vlastnosti, jak ukazuje následující příklad. Příklad 5.4.: Nechť / : R -*■ R je zobrazení definované: /(x) = xJ, pro V x G R. Nechť M je množina všech kladných reálných čísel. Pak zúžení f\M : M -+ R je definované (f\M)ix \ = x2, pro V x EM. Při tom zobrazení / není injektivní, zatímco zúžení f\M injektivní je. - 34 - § ó. Uspořádané množiny. V tomto a v následujícím paragrafu budeme blíže studovat relace na (neprázdná) množ? ■:. M, které splňují některé z dfíve definovaných speciálních vlastností. Definice: Nechť (M, p) je množina s relací, která je reflexívní, antisymetrická a trans tivní Pak se relace p nazývá uspořádání a (M, p) se nazývá uspořádaná množina. Je-li navíc relace p úplná, nazývá se pak lineární uspořádání a (M, p) se nazývá lineárně uspořádaná množina nebo krátce řetězec. Úmluva: 1: relaci uspořádání budeme v dalším při obecných úvahách obvykle značit symbolem < (5ti "menší nebo rovno"). Poznamenejme, že takto použitý symbol « nemá zde obecně nic .společného se srovnáváním čísel podle velikosti, které se na střední škole znázorňuje též symbolem < , 2: Místo x' < y budeme podle potřeby též psát y > x (obojí znamená, že prvek x je v relaci uspořádání s prvkem y) . 3: Pro: x < y r\ x ¥= y budeme používat stručného označení x < y nebo též y > x (Čti "x je menší než y"). Takto zavedená označení zjednoduší naše další vyjadřování (uvědomme si výhodnost použitého symbolu; se symbolem p by zřejmě podobné "triky" nebyly možné). Následující příklady si samostatně podrobně zdůvodněte! Příklad 6.1. 1. Relace inkluse C na množině 2A (viz příklad 4.4.3) je relací uspořádání Při tom (2A, C) je lineárně uspořádaná množina právě když množina a je prázdná nebo jednoprvková (tj. právě když 2A je jednoprvková nebo dvouprvková). 2. Relace dělitelnosti | na množině N (viz příklad 4.4.4.) je relací uspořádání. Při tom (N, I) není lineárne uspořádaná množina 3. Na množině N všech přirozených čísel definujme relaci < jakožto relaci tzv. "přirozeného uspořádání" (tj. uspořádání Čísel podle velikosti, kdy x < y právě když y - x je nezáporné číslo). Potom relace'* < je relací lineárního uspořádání a (N, <) je lineárně uspořádaná množina Podobně můžeme definovat přirozené uspořádání < například na množině všech celých - 35 - čísel Z, resp. racionálních čísel Q, resp. reálných Čísel R a dostáváme pak lineárně uspořádané množiny (Z, <), resp. (Q, <), resp. (R, <). Poznámka: Uspořádanou množinu {M, <) můžeme (zejména, je-li M konečná) graficky znázorňovat následujícím způsobem: prvky množiny M znázorníme jako body v rovině tak, aby v příparě, že je x Obr. 5a Obr. 5b Obr. 5c Definice: V uspořádané množině (M, <) se prvek m E M nazývá: (i) nejmenší, jestliže pro VxEM piati: m < x (ii) největší, jestliže pro VxGikf platí: x < m (iii) minimální, jestliže neexistuje prvek x G A/ s vlastností: x < m (iv) maximální, jestliže neexistuje prvek x E M s vlastností: m < x. Dále, dva prvky x. y € M se nazývají srovnatelné, jestliže x < y nebo v < x V opačném případě se prvky x, >• nazývají nesrovnatelné. Příklad 6.3.: 1. Nechť uspořádaná množina (M, < ) je zadána hasseovským diagramem na obr. 6. Obr. 6 Potom: nej menším prvkem je a; největší prvek neexistuje; minimálním prvkem je a; maximálními prvky jsou b, e. Nesrovnatelné jsou dvojice prvků b, c, resp. 6, d, resp. b, e, resp. c, d. Všechny ostatní dvojice prvků jsou srovnatelné prvky. - 37 - ; nej větší a zároveň jediný 1; nej vetší ani maximální 1; největSí ani maximální Poznámka: ověřujeme-li o nějakém prvku m E M, že je minimálním prvkem uspořádané množiny (M, <), pak obvykle je technicky nejvýhodnější postupovat tak, že dokazujeme implikaci: x E M a x < m => x = m . Analogicky, dokazujeme-li, Že m EM je maximální prvek uspořádané množiny (M, K), pak dokazujeme implikaci: x E M a m < x =^ x - m . VSta 6.1.: Nechť (M, <) je uspořádaná množina. Pak platí: 1. v (M, <) existuje nejvýše jeden nejmenší prvek a nejvýše jeden největSí prvek 2. je-li m EM nejmenší (resp. největSí) prvek, pak m je take'minimální(resp. maximální) prvek a žádné další minimální (resp. maximální) prvky v uspořádané množině (M, <) neexistují 3. (M, <) je lineárně uspořádaná *> každé dva prvky množiny M jsou srovnatelné. [Důkaz: 1. nechť m, m' jsou nejmenší prvky v {M, <). Potom je m < m' (neboť m je nejmenší) a zároveň m' < m (neboť m' je nejmenSí). Z antisymetrie relace < pak dostávame, že m = m'. Analogicky se ukáže existence nejvýše jednoho nej-většího prvku. 2. nechť m EM je nejmenší prvek v (M, <)■ Nechť x EM A a x < m Poněvadž m je nejmenším prvkem, musí však být m < x. Dohromady dostáváme x - m, což znamená, Že m je minimální prvek v (M, <). Zbývá ukázat, že žádné další minimálni prvky, různé od m, v (M, <) neexistují. Nechť tedy m'EM je minimální prvek. Pak je m < m' (protože m je nejmenší), odkud plyne (z toho, Že m' je minimálni), že m = m". 2 U uspořádaných množin z príkladu 6.2. platí: 1. nejmenší a zároveň jediný minimální prvek je maximální prvek je {a, b) 2 nejmenší a zároveň jediný minimální prvek je prvek žádný neexistuje (zdůvodněte proč!) 3. nejmenší a zároveň jediný minimální prvek je prvek neexistuje. - 38 - 3. plyne ihned?z definice lineárního uspořádání a definice srovnatelných prvků. 1 Poznámka; všimněte si dobře typického obratu použitého v důkazu 1. Části předcite-u vety. Dokazujeme-li v matematice. Že něčeho existuje nejvýše jeden exemplář, pak obvykle postupujeme tak, že předpokládáme existencí -t m exemplářů, o nichž dokážeme, že jsou si rovny. Věta 6.2.: Nechť {M. <) je lineárně uspořádaná množina Potom: prvek m €Af je minimální (resp. maximální) <*■ m je nejmenší (resp. největší). {Důkaz: tvrzení dokážeme pro minimální a nejmenší prvek; pro maximální s největší prvek je důkaz analogický. nechť m je minimální a nechť x € M je libovolný prvek. Poněvadž (M, <) je lineárně uspořádaná, je x < m nebo m < x. Ale z x < m plyne x - m (neboť m je minimální), a tedy vždycky je m < x, což znamená, Že m je nejmenším prvkem. plyne ž V. 6.1.2. ] Vidíme tedy, že v lineárně uspořádané množině pojmy minimální prvek a nejmenší prvek (resp. maximální prvek a největší prvek) splývají. § 7. Ekvivalence a rozklady. Definice: Nechť (M, p) je množina s relací, která je reflexivní, symetrická a transitivní Pak relace p se nazývá ekvivalence (na množině M). Relaci ekvivalence budeme obvykle značit symbolem - . Příklad 7.1.: 1. Nechť M je libovolná neprázdná množina. Pak relace rovnosti na M a univerzální relace (viz příklad 4.4.2.c), resp. b)) jsou relacemi ekvivalence na M (jak vyplývá z tabulky 5.). 2. Relace kongruence podle modulu . m (viz příklad 4.4.5.) je relací ekvivalence na množině Z všech celých Čísel (opět plyne z tabulky 5.). 3. Nechť /: A -* B je zobrazení; na množině A definujme relaci ~ takto: pro x, y £ A položme x ~ y právě když f(x) = f(y) . Potom relace - je relací ekvivalence na množině A (podrobně si sami dokažte!). Poznámka: Na dané neprázdné množině M lze zřejmě definovat mnoho různých relací ekvivalence. Označme si symbolem &(M) množinu všech relací ekvivalence na M. Uvědomíme-li si, že ekvivalence na M je vlastně jistá podmnožina kartézského součinu M X M, pak je ja,mé, že (&(M), C) je uspořádaná množina. UváŽíme-li, Že relace rovnosti a univerzální relace jsou ekvivalencemi na M (viz příklad 7.1.1.), pak je jíž jednoduché ukázat, že relace rovnosti je nejmenSím prvkem a univerzální relace je největSím prvkem uspořádané množiny (ÍS(AÍ). £) - Definice: Ne hť M je libovolná neprázdná množina. Pak rozklad na množině M je systém 771 neprázdných podmnožin množiny M, splňujících: (i) X, Y E 771 a X¥*Y «* X n Y = 0 (ii) UI (JT E 771) = M Prvky systému '771 se nazývají třídy rozkladu Tlí , Poznámka: Nejnázorněji si pojem rozkladu"na množině můžeme přiblížit náčrtkem asi takového tvaru., jako je na obr. 7. Na něm je schematicky znázorněn Obr. 7 rozklad 771 = {X, Y, U, V, W] mající celkem 5 tříd Tento obrázek je samozřejmé pouze orientační, protože například jak počet tříd rozkladu, tak počet prvku v jednotlivých třídách múze být libovolný (ať už konečný nebo nekonečný). V každém případe je vsak 771 ^0. - 40 - Dokazujeme-li, že 772 je rozklad na množině M, pak z předchozí definice plyne, že je nutné ověřit tři podmínky, a sice, Že: a) každá třída rozkladu je neprázdnou podmnožinou v M b) dvě různé třídy rozkladu 171 jsou disjunktní (tuto podmínku je technicky nejvý-hodnějŠí dokazovat tak, že předpokládáme X, F E 771 , X H Y a dokážeme pak X - Y, obvykle jakožto množinovou rovnost) c) sjednocení všech tříd rozkladu Tľl je rovno celé množině M (zde opět technicky dokazujeme pouze inklusi M C U X (X E Tľl), protože opačná inkluse je triviálně splnená). Příklad 7.2.: 1. Nechť M = Z; pak množiny {x E Z\x < - 2} , {-2, -1, 0} . {x £ Zix je sudé kladné}, {x € Z |jc je liché kladné} tvoří rozklad na Z. Tento rozklad má 4 třídy, z nichž tři třídy mají nekonečně mnoho prvků a jedna třída má konečně mnoho prvků. 2. Nechť M - Z; pak 772 = { {x}|x E Z.} je rozklad na Z, který má nekonečně mnoho tříd, při čemž každá třída obsahuje právě jeden prvek. 3. Nechť M = R; pro libovolné celé číslo k označme symbolem / interval 4), dostaneme následující "tabulku": -41- Co = í • -•. ~2m > ~»l ,0 ,m , 2m ,.,.} C 2m+ I ,-íK+ 1 ,1 ,m+ 1 , 2m + 1 .,} C = í • • •, ~2m +2 , + 2 , 2 , m + 2 , 2m + 2 ,... } s . 1 cm j = í ..., -« - i , -1 , w -1 , 2m — 1 , 3m - 1 ,..,}/' Dále poznamenejme, že někdy bude technicky výhodnější používat definici zbytkové třídy ve tvaru: (2) C. = [x G Z\x = i (mod m)} i = 0, 1, . . . , m - 1 (ekvivalentnost vyjádření (1) a (2) plyne z V.3.3. uvědomíme-li si zřejmý fakt, že Síslo i (kde 0 < í < m 1) dává po dělení Číslem m zbytek i). Konečně, je nutné velmi důrazně upozornit na to, Že není možné navzájem porovnávat množiny zbytkových tříd podle dvou různých modulů. Není tedy například možné fící. že Z3 CZ4, i když použité označení Z3 = {CQ, Cv C2) , Z4 = [CQ, C,, C2, C3} by k tomu na první pohled mohlo svádět. Zřejmě však například třída C0 G Z3 (tj. CQ -= {. . . , 6, 3, 0, 3, 6, . . .}) a třída CQ G Z4 (tj. CQ = {. . . , -8, -4, 0, 4, 8, . . .}) jsou dvě naprosto rozdílné množiny, atd. Přesně řečeno - každá zbytková třída se váže vždy k jedinému modulu m, což by se správně mělo projevit i v použitém označení (například místo C. bychom psali třeba Cp). Z důvodů stručnosti zápisu však zůstaneme u výše zavedeného označeni Věta 7.1. : Nechť m je pevné přirozené' číslo. Pak systém zbytkových tříd podle modulu m (tj. Z =* [Ca, C,, . . . , C ,}) je rozklad na Z. ' m <■ 0' ľ m — 1 *.' ' [Dôkaz: z definice plyne, že Zm je systém neprázdných podmnožin (C, obsahu- iw-l je mimo jiné vždy číslo i) množiny Z a zřejmě platí, že U c. = Z. Konečné, nechť /—O C., C. G Zm a C^C^f Potom existuje x E C. n C., tzn. číslo x dává po dělení Číslem m zbytek i a současně zbytek /. Ale z věty o dělení se zbytkem víme, Že zbytek je určen jednoznačně, tzn musí být i = ]', odkud dostáváme, Že C( = C.. ] Mezi ekvivalencemi na množině M a rozklady na M je úzká souvislost, jak se ukáže z následujících vět. - 42 - Věta 7.2.: Nechť ~ je relace ekvivalence na množin? M, Pro a EM položme X , = {x E M \ x ~ a] . Potom systém množin: (3) {X \existuje a EM tak, že X - Xj rozklad na množme M, který budeme označovat symbolem M/~ a nazývat rozklad příslušný ekvivalenci ~ . [Důkaz: je zřejmé, že MH je systém neprázdných podmnožin množiny M a že platí U Xa (a G M) = M (plyne z toho, že a G Zbývá tedy dokázat vlastnost (i) z definice rozkladu. Nechť tedy X„,X. EM/~ a nechť X ni, ^f, tzn. existuje CL v li iJ prvek wEX íll Dokážeme, že pak X = X.. "C" nechť x E Xa libovolné; pak je x ~ a. Z toho, Ze w E Xa O Xb píyne, že w ~ a, vv ~ b. Je tedy: x ~ a A a ~ w A ~ 6, odkud x ~ 6, neboli x G JĹ.. Tím jsme dokázali, Že Xa C Xb . "D" dokáže se analogicky, j Poznámka: zápis (3) je nutno chápat v obvyklém množinovém smyslu, tj. tak, Že ve (3) jsou vypsány pouze různé třídy (jinak řečeno, jestliže pro a, a' E M je X - X , , pak ve (3) je ze tříd Xa, X zapsána pouze jedna). O skutečném počtu (různých) tříd rozkladu AÍ/~ se tedy ze zápisu (3) obecně nedá nic říci Příklad 7.3.: 1. Nechť M je libovolná neprázdná množina a nechť relace ekvivalence na M je a) relace rovnosti. Pak rozklad příslušný této ekvivalenci je zřejmě tvaru {{m} | m E M} , tzn. je to rozklad množiny M na jednoprvkové třídy b) univerzální relace. Pak rozklad příslušný této ekvivalenci je tvaru {M} , tzn. je to rozklad množiny M mající jedinou třídu, a sice celou množinu M. 2. Nechť M - Z a za relaci ekvivalence vezmeme relaci = kongruence podle modulu m ( viz příklad 4.4.5.). Pak rozklad příslušný této ekvivalenci je roven rozkladu množiny Z na zbytkové třídy podle modulu m (plyne z (2)), tj. Z/= * {C0, C,,.. . , Cffl4} 3. Nechť f : A -* B je zobrazení a nechť ~ je relace ekvivalence na A definovaná v příkladu 7.1.3. (tzn. x ~ y o f(x) = /(y)). Rozklad A h příslušný této ekvivalenci budeme v dalším nazývat rozklad příslušný zobrazení f. Je to tedy rozklad na množině A, jehož třídy jsou tvořeny vždy právě těmi prvky z A, které se zobrazí (pomocí f) na stejný - 43 - prvek z B, tzn. Ah= {X I 3a G/4 tak, že Z = XJ , kde Xa= [x G A \f(x) = /(a)} . Věta 7.3.: Nechť Tľl je rozklad na množině M . Pro a, b G M položme: a ~m, b právě když existuje třída X G Tľl tak, Že a, b G X . Pak relace —m je relací ekvivalence na M, kterou budeme nazývat ekvivalence příslušná rozkladu 771 . [Důkaz: relace ~m je zřejmé reflexivní a symetrická. Dokažme, že je transitivní: nechť a, b, c EM, a ~m b, b ~m c. Pak existují třídy X, Y E Tľl tak, Že a, b EX, b, cEY. Tedy b E X n Y, což znamená, že X - Y. Potom však a, c EX, a tedy a ~m c, tzn. relace ~m je transitivní. ] Příklad 7.4.: 1. Nechť M je libovolná neprázdná množina a nechť 771 je rozklad na M tvaru: á) Tľl - {{/«} \ m EM], tzn. rozklad množiny M na jednoprvkové třídy. Potom ekvivalence príslušná"tomuto rozkladu je zřejmé relace rovnosti. b) 7/2 — {M} , tzn. rozklad množiny M mající jedinou třídu (rovnou celé množině M). Pak ekvivalence příslušná tomuto rozkladu je zřejmě univerzální relace. 2. Nechť M = Z a nechť 171 je rozklad na Z tvaru 771 = Z = f C , C, ,...,€ , J m 1 0 1 ' m-1 tj. rozklad na zbytkové třídy podle modulu m . Pak ekvivalence příslušná tomuto rozkla du je rovna relaci kongruence podle modulu m (neboť podle V.7.3., podle (1) a podle V.3.3. je: a ^b ■» a, b ECf pro nějaké i = 0, 1, . . . , m - 1 ■» a = b (mod m)). Poznámka: Uvědomme si, že rozklad příslušný ekvivalenci je pouze jedním pevným rozkladem z mnoha rozkladů, které na množině M můžeme zkonstruovat. Tak například rozklad na množině Z, příslušný relaci kongruence podle modulu m je právě rozklad Zm a Žádný jiný. Podobně, ekvivalence příslušná rozkladu je opět jediná z mnoha relací ekvivalence, které můžeme na množině M definovat. Na druhé straně je mezi ekvivalencemi na M a rozklady na M velice úzká spojitost. Přesněji řečeno, vyjdeme-li od jisté ekvivalence na M, utvoříme-li rozklad na M, příslušný této ekvivalenci a potom utvoříme ekvivalenci na M, příslušnou tomuto rozkladu, skončíme u původní ekvivalence, od níž jsme vyšli. Podobně, začneme-li s rozkladem, - 44 - dojdeme přes ekvivalencí k němu příslušnou opět k původnímu rozkladu. Přesně popisuje oj situaci následující věta. Věta 7.4.: Nechť M je libovolná neprázdná množina. Pak platí: 1. je-li ~ ekvivalence na M, pak: ~^ = ~ 2. />-//' 771 rozklad na M. pak: aíz-^rv = 771 [Důkaz: 1: zřejmě je ~ QM X M a ~Mj^ Q M X M, tzn. dokazovanou rovnost budeme dokazovat jako obyčejnou množinovou rovnost. "C": nechť (a, b) G ~ , tzn. a 6. Pak existuje třída rozkladu M/~ . která obsahuje prvky a, b: například nechť a, b g Xu (viz (3)). Potom podle definice třídy X je a - u. b - u, odkud plyne, Že a ~ b, tzn. (a, ď) g ~ a je tedy C -■ w/~ — "D" : nechť (a. ď) g ~ . tzn. a «» 6. Pak je zřejmě a g Xa, b & Xa, kde Äfl je jedna ze tříd rozkladu m/~ . Pak ale je a ~ 6» tzn. (a, b) g ~ a tedy 2: tvrzení dokazujeme opět jako množinovou rovnost. -'C" : nechť X G M/~/nL je libovolná třída. Pak existuje a g m tak, že X = A'a- - {.x G M \x - Ale poslední množina je právě jedna ze tříd rozkiadu 771 , tzn. X G m. Je tedy Mhm- ^ • "D" nechť X g 771 je libovolná třída. Vezměme libovolný prvek a e X. Pak ale: 1 = {x E M \.x -Ma] s X G . Je tedy 772 £ Ař/~m , ] - 45 - II. ZÁKLADNÍ ALGEBRAICKÉ STRUKTURY § 1. Struktury s jednou operací. V tomto paragrafu budeme studovat jisté speciální typy zobrazení (tj. vlastně relací), které se nazývají operace. Pojem operace vznikl zobecněním pojmů běžně známých ze střední Školy, jako je pojem sčítání či násobení Čísel (například reálných) nebo odečítání čísel (například celých), atd. Vidíme, že v těchto případech je vždy libovolné uspořádané dvojicí čísel z jisté Číselné množiny přiřazeno jediné, přesně určené číslo z téže množiny. Tato úvaha nás vede k následující definici. Definice: Nechť G je neprázdná množina. Pak libovolné zobrazení G X G -*■ G se nazývá operace na množině G. Je-li při tomto zobrazení uspořádané dvojici (a, b) ,G G X G přiřazen prvek c G G, pak budeme obvykle psát: a. b — c a hovořit o operaci • . Množina G spolu s operací . se nazývá grupoid a označuje symbolem (G, . ), Poznámka: 1. Pro označování operace na G (což je vlastně jisté zobrazení) se ukazuje jako nepraktické používat písmena a symboliku zavedenou v paragrafu o zobrazeních. Vhodnější je používat speciálních symbolů - nejčastěji jsou to: a) symbol ■ (tzv. multiplikativní symbolika); v tomto případě budeme hovořit o operaci "tečka" nebo také o operaci "násobení". Je-li a-b = c, pak prvek c budeme nazývat součinem prvků a, b (v tomto pořadí). B) symbol + (tzv. aditivní symbolika); v tomto případě budeme hovořit o operaci "křížek" nebo také o operaci "sečítání". Je-li a + b = c, pak prvek c budeme nazývat součtem prvků a, b (v tomto pořadí). Při tom je jistě jasné, že použitý symbol . (resp +) obecně nemá nic společného s násobením (resp. sečítáním) čísel. Poznamenejme ještě, Že podle potřeby můžeme operaci na G označovat i jinými, více či méně exotickými symboly, jako například o , * , □, a, atd. - 46 - 2. Z předchozí definice plyne, že grupoid (G, . ) je uspořádaná dvojice, sestávající z množiny G (která se též nazývá nosná množina) a operace , na G Rovnost dvou grupoidfi znamená tedy jednak rovnost nosných množí;] a jednak rovnost operací. Pojem operace na G tak, jak hyí výše definovali je možno bez problémů zobecnit na pojem tzv. 'Vární operace" (pro libovolné přirozené n), což je pak jakékoliv zobrazení G X G X ... X G (n-krát) -* G, tzn. předpis, který každé uspořáoané w-tici prvků • G přiřazuje jediný prvek z G. Příkladem n-ární operace na množině R může být třeba operace max (x , x., . . , x ), přiřazující každé uspořádané w-tlci reálných Čísel to Číslo, které je z nich maximálni. Pro n - I (resp. n ~ 2. resp. n = 3) se pak užívá nazvu unární (resp. binární resp. ternámí) operace. Unární operace na G není tedy nic jiného než libovolné zobrazeni G -> G (příkladem unární operace na N může být "operace přičítání jedničky", která každému přirozenému číslu x přiřadí číslo x + T). Binární operace je pak operací v našem slova smyslu, definovanou výše. Ve školské matematice í v našem dalším textu se budeme setkávat převážně s operacemi binárními a výjimečně s unárními. Některé vlastnosti binárních operací lze sice přenést na operace s-árni (n > 2), většinou vsak je toto zobecnění spojeno se značnými obtížemi Na druhé straně, přenesení vlastností binárních operací na unární operace je buď triviální nebo vůbec nedává smysí. Z těchto důvodů budeme v dalším studovat pouze vlastnosti binárních operací, které pro zjednodušení vyjadřování nazýváme stručně operacemi. Příklad 1.1. 1. Vezměme množinu celých Čísel Z. Pak obyčejné násobení Čísel . je zřejmě operací na Z. Tedy (Z, .) je grupoid. Podobně dostáváme grupoidy (Z, +), resp (Z, -), kde +, resp. - značí obvyklé sčítání, resp. odečítání čísel. Je jasné, :>e se jedná o různé grupoidy, i když nosná množina je ve všech třech případech stejná. 2. Vezmeme-li množinu přirozených čísel N, pak obyčejné odečítání Čísel není operací na N (neboť například 2 3 £ N, tzn. nejedná se o zobrazení NXN^N). Podobně třeba obyčejné dělení Čísel není operací na množině R všech reálných Čísel (neboť číslem 0 nelze dělit, tzn. například 1 : 0 není definováno, a tedy opět se nejedná o zobrazení R X R -* R). 3. Nechť a je libovolná množina. Pak sjednocení, resp. průnik, resp. rozdíl dvou podmnožin množiny a je opět (jednoznačně určená) podmnožina v a. Tedy sjednocení -47 - u, resp. pronik n, resp. rozdíl — jsou operace na množině 2A (tj. na systému všech podmnožin množiny A). Jsou tedy (2^ s U), resp. (2A, C\), resp. (2A, —) grupoidy. 4. Nechť A je neprázdná množina. Symbolem AA označujeme systém všech zobrazení množiny A do množiny A. Pro f, g EAA je zřejmě složené zobrazení g o f opět zobrazením A -* A, tzn. gofEÁA. Je tedy skládání zobrazení o operací na množině AA a (AA , o) je grupoid. e Operace na množině G je tedy, jak bylo výše řečeno, zobrazení G X G-* G, tj. jistý předpis, který každé uspořádané dvojici prvku z G přiřadí jediný prvek z G. Tento předpis je možno zadávat různým způsobem, jak jsme si ukázali již u zobrazení. Pokud je však množina G konečná, pak se ukazuje jako výhodné zadávat operaci na G pomocí tabulky (která se nazývá Cayleyho tabulkou), konstruované takto: do svislého i vodorovného záhlaví tabulky vypisujeme prvky množiny G (ve stejném pořadí). Výsledek operace pro uspořádanou dvojici (a, b) E G X G pak zapíšeme do toho políčka tabulky, v němž se protíná řádek označený "a" se sloupcem nadepsaným "b". Použití tabulky při definování operace ukazuje následující příklad. Příklad 1.2. Nechť G = {a, b, c, d} ; na G definujeme operaci * následující tabulkou: * a b c d a b a b c b a b c d c b c a c d a d a d Tab. 6 Potom {G, *) je grupoid, při čemž například: a * d = c, d * a = a, atd. Definice: Nechť (G, .) je grupoid. Jestliže platí: (i) a. (b.c) = (a. b) . c, pro V a, b, c EG (tzv. asociativní zákon) pak operace . se nazývá asociativní operace a ((?,.) se nazývá asociativní grupoid neboli pologrupa. i (ii) a.b = b.a , pro Va, b EG (tzv. komutativní zákon) pak operace . se nazývá komutativní operace a (G, .) se nazývá komutativní grupoid. - 48 - Příklad 1.3. r Ověříme-li asociativní a komutativní zákon u grupoidft z příkladu 1.1. a 1.2 (proveďte si podrobně sami!), dostáváme, že grupoidy: (Z, ). (Z, +), (2X, U), (2'*, n) jsou asociativní i komutativní; (Z. i není asociativní, není komutativní; U-'1, -•) je asociativní i komutativní v případě, že ,4 =0; jinak není asociativní ani komutativní; (AA , o) je vždy asociativní (viz V.5,2., kapitoly 1.); komutativní je v případě,. Že ,4 je jednoprvková množina, jinak není; í.G, *) z příkladu 1.2. není asociativní, není komutativní. ; Z předchozí definice vyplývá, že v pologrupě součin tři prvků (v daném poradí) nezáleží na jejich uzávorkování (které u tří prvku lze provést právě dvěma způsoby). Následující věta ukáže, že totéž platí v pologrupě i pro libovolný konečný počet n prvků (kde je počet možných uzávorkování samozřejmě obecně mnohem větší). Veta 1,1.: Nechť (G, .) je pologrupa; nechť a , a , . .. , a E G in > 2). Potom součin prvků a a .... a (v tomto pořadí) nezáleží na jejich uzávorkování. j D ô k a z: provedeme matematickou indukcí vzhledem k n. a) pro n = 2 tvrzení triviálně platí (3) předpokládejme, že tvrzení věty platí pro 2, 3, ...,«- 1 a dokážeme je pro n. Tedy pro 2 < /c < n součin prvků at, a . . . , a nezáleží na jejich uzávorkování; označíme jej symbolem a. .e,. ... . a. Necht* a označuje součin prvků a,,a,.,.,.,a pro jisté uzávorkování. Potom: a - 6.c, kde ô je součinem prvků a , . . . , a , resp. c je součinem prvků ar+1, . . . , a (kde r < n). Podle indukčního předpokladu součin prvků a .... , a nezáleží na uzávorkování, takže lze psát: b = a .(a2. .... .a )„ Odtud a z definice pologrupy dostáváme: a = b.c = (ar(a2. ... .ar)). c = ar((a2. ... .ar). c) = ar(ar ... .an) a výraz napravo již nezávisí na uzávorkování ] Definice: Nechť (G, ..) je grupoid. Prvek e G G se nazývá neutrálni prvek (nebo též jednička) grupoídu (G, .), jestliže platí: (1) a.e = a A e.a - a , pro každý prvek a E G . Z definice není vidět zda, resp kolik neutrálních prvků v grupoidu môže. existovat - 49 - Odpověď na tuto otázku nám dává následující věta. Věta 1.2.: V grupoidu existuje nejvýše jeden neutrální prvek. [Důkaz: nechť (G, .) je grupoid a nechť e, e' G G jsou jeho neutrální prvky. Pak platí: e.e'=e' (neboť e je neutrální prvek) a současně e.e'-e (neboť e' je neutrální prvek), odkud plyne: e' = e a věta je dokázána. ] Vidíme tedy, Že grupoid má buďto jeden nebo Žádný neutrální prvek V konkrétních příkladech postupujeme při hledání neutrálního prvku obvykle tak, že se nejprve snažíme jej "uhádnout" a ověřením (1) dokázat, že se opravdu o neutrální prvek jedná. Toto se nám většinou bez problémů podaří (viz příklad 1.4.). U složitějších grupoidů, u nichž nejsme schopni neutrální prvek "uhádnout", je výhodné postupovat způsobem demonstrovaným v příkladech 1.5. a 1.6. Příklad 1.4.: Vyšetřujeme-li existenci neutrálního prvku u grupoidů z příkladu 1.1. a 1.2, pak lehce zjistíme, že grupoid: (Z,.) má neutrální prvek 1; (Z, +) má neutrální prvek 0; (Z,-) nemá neutrální prvek; (2A , U) má neutrální prvek ; (2A, n) má neutrální prvek A; (2A , —) má neutrální prvek 0 v případě, že A=(j), jinak neutrální prvek nemá; (AA, o) má neutrální prvek idA. Konečně, grupoid (G, *) z příkladu 1.2. má neutrální prvek b (všimněte si, že v tomto případě grupoid není komutativní a je tedy nutno ověřovat obě rovnosti z (1), zatímco v komutativních grupoidech platí a.e = e.a, a stačí tedy ověřovat jenom jednu z rovností (D). Příklad 1.5.: Na množině Z X Z definujme operaci P takto: (av a2) a (bv b2) = 1, «2+ bt- 3), pro V(av a2\(h*2)GZXZ, kde + značí obyčejné sčítání čísel. Dostáváme tak grupoid (Z X Z, □) a chceme zjistit, zda má neutrální prvek. Předpokládejme, že jistá uspořádaná dvojice (z z2)GZXZ je neutrálním prvkem v (Z X Z, ľi). Z rovnosti (l) pak buď obdržíme podmínky určující z' a za, anebo odvodíme spor. V prvním případě jsme nalezli (jediný) neutrální prvek, ve druhém případě pak vyšetřovaný grupoid neutrální prvek nemá. V našem případe stačí ověřovat v <1) jenom jednu z obou rovností (poněvadž operace n je zřejmé komutativní), tzn. - 50 - pro libovolný prvek {av a2) g Z X Z musí platit: (a,, a%) o (z , z2) = (a , a ), ízn (flj + ?j+ 1, a2+ z2 - 3) = (a , a ). Tedy: í =a, a2+z2- 3 = a, odkud dostáváme z = -1, z - 3. Snadno ověříme, že dvojice (--1, 3) opravdu splňuje (1), tzn. (—1, 3) je neutrálním prvkem grupoídu (Z X Z, o). Příklad 1.6. Na množině Z X Z definujeme operaci a takto: íai.fla)a(6i;62)»(a1+ftl.aa)1 pro V(a,, a, ),(*>,, 6,) g Z X Z , kde + značí obyčejné sčítaní čísel. Chceme zjistit, zda grupoid (ZXZ.A) má neutrální prvek' Postupujeme stejně jako v předchozím příkladu. Předpokládejme, že (zt, z2)GZXZ je neutrálním prvkem. Pak pro libovolný prvek (a , a2) g Z X Z platí: (ar a2) a {zv z2) = (ňj, a2) a (zlf z2) a (av a2) = (a,,, a2). Po rozepsání dostáváme čtyři rovnosti: a1+z1=a1, a,= a2, z + a = a , z2= a2 , odkud pak: z = 0 A z2~ a , což není možné (neboť z2 nemôže záviset na a%\ Vidíme, že nás předpoklad existence neutrálního prvku vedl ke sporu, a tedy grupoid (Z X Z, a) neutrální prvek nemá. Poznámka: V dalším budeme místo termínu "neutrální prvek grupoidu (G, ..)" (tj. při multiplikativní symbolice) používat častěji stručnějšího termínu "jednička grupoidu .)". Pokud budem i používat aditivní symboliku (tj. operaci budeme značit symbolem +), pak místo "neutrální prvek grupoidu (G, +)" budeme obvykle říkat "nula grupoidu (G, +)*. Tato terminologie je motivována situací, kdy při obyčejném násobení (resp. sečítání) čísel hraje roli neutrálního prvku číslo 1 (resp. číslo 0). Stejná motivace bude i při zavádění rozdílných názvů v multiplikativní a aditivní symbolice pro jiné, v dalším definované pojmy. Definice: Nechť (G, .) je grupoid s jedničkou e; nechť a G G. Pak prvek x G G, pro který platí: i 2i a.x - e A x .a - e se nazývá inverzní prvek k prvku a (v grupoidu (G, .)). - 51 - i Poznámka: i. pouŽíváme-lť aditivní symboliku, tzn. máme-li grupoid (g, +) s nulou o, pak místo "inverzní prvek k prvku a" budeme říkat "opačný prvek k prvku a". Je to tedy takový prvek x EG, pro nějž platí: a + x = o r\ x + a = o. 2 o počtu inverzních prvků k danému prvku a v grupoidu (g, .) s jedničkou obecně nemůžeme nic říci. Například, v grupoidu (Z, .) k číslu 3 neexistuje žádný inverzní prvek, ze ímco k číslu -1 existuje jediný inverzní prvek (číslo -1). v grupoidu (g, *) z příkladu 1.2 (neutrálním prvkem je zde prvek b) k prvku a existují dva inverzní prvky: a, c. v grupoidu (Z, +) ke každému prvku existuje jediný opačný prvek, atd. Pro počet inverzních prvků k danému prvku hraje důležitou roli předpoklad asociativity operace, jak ukazuje následující věta Věta 1.3.: V pologrupě s jedničkou ke každému prvku existuje nejvýše jeden inverzní prvek. [Důkaz: nechť (g, .) je pol ogrupa s jedničkou e. Nechť a EG a nechť x, y jsou inverzní prvky k prvku a. Tedy podle definice je: a.x - e, x.a - e, resp. a.y - e, y .a = e . Potom však: x = x.e = x. (a.y) - (x.a).y - e.y - y, odkud dostáváme tvrzení věty. ] Poznámka: 1. z předchozí vety plyne, že když v pologrupě k prvku a existuje prvek inverzní, pak je jediný. v takovém případě budeme tento (jediný) inverzní prvek k prvku a označovat symbolem a"1 (při multiplikativní symbolice), resp. symbolem -a (při aditivní symbolice ). 2 při hledání inverzních prvků k danému prvku v pologrupě používáme v konkrétních případech podobných metod, jakých jsme používali při hledání neutrálního prvku, tj. v jednoduchých situacích se snažíme inverzní prvek "uhádnout" a ověřením (2) dokázat, že jsme "hádali" správně. Pokud se nám to nepodaří, pak podrobným řešením rovností (2) buď inverzní prvek nalezneme, anebo zjistíme, že neexistuje. Věta 1.4.: Nechť (G, .) je pologrupa s jedničkou e. Nechť a, b EG mají v (G,.) inverzní prvky a~l,b~l. Pak platí: 1. e_1= e 2. {a~l)-l=a 3. {a.b)-i=b~l.a-1 - 52 - [Důkaz: 1. a 2. plynou přímo z definice inverzního prvku. 3. rozepsáním dostáváme: (a.h).(b l.a ') = a.{b.b~l). a"1 - a.e.a'^ a.a~l= e (b l.ďl) . (a. b) = b~K {ar l.a). b = b~1. e. h = b~x. b = e a tedy prvek b~l.a~l je inverzním prvkem k prvku a.é, neboli b~lá~I= (a.fr)' '. j Zkusíme-li si rozmyslet a zobecnit naše zkušenosti z počítání s Čísly, zjistíme, že se bude zřejmS dobře piacovat s grupoidy, které budou mít několik z výše definovaných vlastností najednou; například budou asociativní, budou mít jedničku a každý jejich prvek bude mít jediný inverzní prvek. Tato úvaha nás vede k následující definici. Definice: Nechť (G, .) je pologrupa s jedničkou, v níž ke každému prvku existuje prve inverzní. Pak (G, .) se nazývá grupa. Je-li navíc operace . komutativní, pak se grupa (G, .) nazývá komutativní grupa (nebo též abelovská grupa). Příklad 1.7.: 1. Značí-li + obyčejné sčítání čísel, pak (Z, +), resp. (Q, +), resp. (R, +), resp. (K, +) jsou komutativní grupy. 2. Nechť . značí obyčejné násobení Čísel. Pak (Q {0},.), resp. (R - {0},.), resp. (K - (0},.) jsou komutativní grupy. Nechť G - {z e K | \z \ = 1} , tj. G je množina všech komplexních Čísel ležících na jednotkové kružnici. Pak (G, .) je komutativní grupa (která má zřejmě nekonečně mnoho prvků). Nechť n je pevné přirozené číslo a nechť Gn~ {z G K|z"= 1} , tzn. G je množina všech tt-tých odmocnin z jedničky (v oboru komplexních Čísel). Pak {Gn, .) je komutativní grupa (ktera má n prvku). Vidíme tedy, že grupa (Gn, .) môže sloužit jako příklad komutativní grupy, která má předem pevně daný, konečný počet n prvků. 3. Nechť A = {a, b, c) ; nechť G značí množinu všech bijektivních zobrazení A na A (kterých je celkem 6 - vypište si je!) a nechť o značí skládání zobrazení. Pak (G, o) je grupa, která není komutativní. [zřejmě (G, 0) je grupoid, který podle V. 5.2. kapitoly I je asociativní, v němž idA je neutrálním prvkem a k bijekci / je inverzním prvkem inverzní zobrazení Tedy (G, o) je grupa. Tato grupa není komutativní, neboť jsou-li /, g G G definovány: - 53 - f[a) = b. Kb)-c, f(c) = a, resp. g(a) = c, g(b) = b, g(c) = a, potom: (f o g)(a) = = Re) = a. ale (g o /)(a) = g(b) = Ď, a tedy je f o g * g o f\ . 4. Nechť n je pevné přirozené číslo. Na množině R"= {(ar a2, . . . , an) \a.G R} definujeme operaci + takto: pro libovolné (al, . . . , an), (b{, . . . , i )GR" položme: (a,, a,, , ... a ) + (6,, i,.....6 ) = (a, + b,, a. + b., . . . , a + b ') 12' n7 1 2 n v 1 12 2' n n ' kde symboly + na pravé straně značí obyčejné sčítání čísel (poněkud nepřesně, ale výstižně obvykle říkáme, že sčítání uspořádaných n-tic je definováno "po složkách"). Potom (R", +) je komutativní grupa [rozepsáním lehce zjistíme, že grupoid (R", +) je asociativní a komutativní, jeho neutrálním prvkem (nulou) je uspořádaná rc-tice (0, 0, . . . , 0) a opačným prvkem k (a1,a2,... ,a ) je prvek ( -ay a%, , , an)]. Je samozřejmé, že ne každý grupoid nebo pologrupa musí být grupou. Z dříve uvedených grupoidů, resp. pologrup nejsou grupami například: (Z, .) - neboť například k 3 neexistuje v (Z, .) prvek inverzní (Z, -■-) - není asociativní (2A, U) v případě, že A 0 ■• pak například k libovolné jednoprvkové podmnožině množiny A neexistuje v (2A , U) prvek inverzní (AA , o) v případě, že A je alespoň dvouprvková - pak k libovolnému neinjektivnímu zobrazení A -* A neexistuje v (AA, o) prvek inverzní, atd. Další důležitý příklad komutativní grupy, která má konečný počet prvků, ukazuje následující věta. Věta 1.5.: Nechť Z = {Cn, C,.....C ,} je množina zbytkových tříd podle mo- dulu m . Na množině Zm definujeme operaci + takto: pro C., C. G Zm libovolné' položíme: C. + C. = C , kde (3) r je zbytek po dělení čísla (i + /) Číslem m. Potom: (Zm, +) je komutativní grupa Poznámka: je zřejmé, že symbol + ve (3) značí obyčejné sčítání čísel Dále, z v. 3.3. kapitoly í plyne, že podmínku (3) je možné vyslovit dalšími dvěma ekvivalentními způsoby, a sice: (3') i + j - z . m + r a ' 0 < r < /n - 1 , kde z £ Z (3") i+j&r (mod m) A 0 < r < m - 1 . - 54 - [Dôkaz: 1. (Zm, +) je zřejmě grapoid. 2. dokážeme, že operace + je asociatívni; nechť tedy C\, C CEZ t j k m jsou libovolné zbytkové třídy. Označme C. + C.= C a (C.+ C) + Cfc= Cí< Podle (3') pak »!atí: / + /' = z,m + r a 0 íř + / + fc) = (z, + z2). m t í a 0 <5 < »i - 1. Podobně označme: C.+ C. = C a C.+ (C: + C.) = C . Potom platí: / * ' = z m + ř a J k z t J K U 3 0 < f < m - i. resp. i + t- m4k t u a 0 0, n > 0 nebo m = 0, « libovolné celé nebo « = 0, m libovolné celé plynou obě tvrzení přímo z předchozí definice. II. nechť m < 0, n < 0; potom: 1. gm.g" = (g"1.....g'1)-(áT1- • ■ ■ .g"1) =g-*. ■ ■ ■ .g"1 =gm+" -m krát -n krát (-m-w)krát 2 uvědomme si, Že z předchozí definice a z V. 1.4.3. (užitím matematické indukce) plyne, že pro libovolné přirozené k' je: g~k= (g~í)k= (g*)-1. Užitím tohoto faktu a užitím V. 1.4.2. dostáváme: (gm v = [(g-m r1 ľ = a(g-m r1 r" r1 = aer m r" r1 r1 = (g"m rn. - 57 - Ale m > O, n > 0. a tedy užitím I. dostáváme: ^_ my ři _ „( m).( n) — „m.n 111. případ m < 0, « > 0 a případ m > 0, « < 0 se dokáží analogickými úvahami jako 11. ] Poznámka: používáme-li aditivního zápisu operace, pak místo názvu (celočíselná) mocnina prvku a používáme názvu (celočíselný (násobek prvku a, který" je tedy definován a + a + . . + o,, je-li n celé kladné číslo j n krát na - j 0 , je-li n = 0 ' (—a) + (—a) + . . +(- a), je-li n celé záporné číslo -n krát V tomto případě mají potom tvrzení předchozí věty formálně tvar: !. (m a) + [n,a) - (m + n) a 2 « (m.a) - (n.m) . a Zde je potřeba dávat obzvláštní pozor na použité symboly, přesněji řečeno na to, Že jeden symbol je použit ve dvou různých významech (v 1. znamená symbol + nalevo operací v dané grupě a napravo sečí tání celých Čísel; ve 2. značí druhá tečka zprava násobení celých čísel a ostatní tečky značí celočíselný násobek!) § 2. Podstruktury struktur s jednou operací. Definice: Nechť ((?,.) je grupoid a nechť H je neprázdná podmnožina množiny G. Řekneme, Že podmnožina H je uzavřená vzhledem k operaci . , jestliže platí: a, b G H libovolné =*■ a.b G H . Poznámka: je-li (G, .) grupoid a podmnožina H C G je uzavřená vzhledem k operací . , pak můžeme na // zcela přirozeným způsobem definovat operaci, označme ji třeba a takto: pro a, b G H libovolné položíme: a A b = a.b (chápeme-li operaci jakožto zobrazení, tj. v našem případě , : G X G -* G a A : // X H -*■ //, pak vidíme, že A je zúžením zobrazení . na množinu H X H). Dostáváme tak grupoid (//, A). Z praktických důvodu zaveďme úmluvu, že operaci A na // budeme všude v dalším vždy značit stejným symbolem jako původní operaci na G, ti. symbolem . . Máme tedy grupoid (H, .), pro který zavedeme následující pojmenování. Definice: Nechť (G, .) je grupoid; nechť neprázdná podmnožina H CG je uzavřená vzhledem k operaci . . Pak grupoid (//, .) se nazývá podgrupoid grupoidu ((?,.}. .( Věta 2.1.: Nechť (//,.) je podgrupoid grupoidu (G, .). Pak platí: 1. {G, .) je asociativní =* (//,.) je asociativní 2. (G, .) je komutativní =*• (II, .) /e komutativní 3. prvek e je jednička v (G, .) A e E H ■* e /e jednička v (H, .). [Důkaz: všechna tři tvrzení plynou bezprostředně z definic, j Poznamenejme, Že Žádnou z implikací v předchozí větě nelze obecně obrátit Například v grupoidu (G, *) z příkladu 1.2. je ({ď}, *) podgrupoidem, který je asociativní, je komutativní a má jedničku d, zatímco celý grupoid ( G, *) není asociativní, není komutativní a prvek d není jeho jedničkou. Definice: Nechť (G, .) je grupa; nechť (//,.) je podgrupoid v (G, .), který je sám grupou. Pak (H, .) se nazývá podgrupa grupy (G, .). Věta 2.2.: Nechť (H, .) je podgrupa grupy (G, .). Pak platí: 1. jednička podgrupy (H, .) je totožná s jedničkou grupy {G, .) 2. inverzní prvek k prvku h E H v podgrupe (H, .) /> totožný s inverzním prvkem k prvku h v grupe (G, ,,). [Důkaz: 1. nechť eR značí jedničku (H,.), resp. eQ značí jedničku (G,.). Pak platí: eH.eH = eH a také eH.eG - eR. Tedy eH.eH = eH.eQ, odkud užitím zákona o krácení dostáváme, že eH = eQ . 2. nechť x značí inverzní prvek k prvku h v (H, .), resp. y značí inverzi k prvku h v (G,.). Potom je: h.x = eH = eQ, resp. h.y = eQ. Tedy h. x = - j' a užitím zákonů o krácení pak x = y. ] Poznámka: vzhledem k 2. části předchozí věty nemusíme rozlišovat inverzní prvek k prvku h EH v podgrupě Či v celé grupě. V obou případech budeme používat označení /T - 59 - Věta 2.3.: Nechť (G, .) je grupa; nechť H je neprázdná podmnožina v G. Pak následující výroky jsou ekvivalentní: (i) (//,.) je podgrupa grupy (G, .) (u) a, b & H libovolné =» a.bGH a a'1 G H (iii) a, b E H libovolné °* a.b~l G H (iv) a, b G H libovolné => a~x.b G H . [Důkaz: "(i) =» (ii)" plyne z definice podgrupy "(ii) =*■ (iii)" zřejmé "(iii) =» (iv)" nechť platí (iii) a nechť a, b G H libovolné. Pak podle (iii) je: a.cCl = eGH, tzn. e.a~l= a"1 G H, resp. e.b~x **_1eH Tedy a_1,Ď_1€/ř a opět podle (iii) je: a"1.*--a"1. (b'1)-1 G H. "(iv) =* (i)" nechť platí (iv); nechť a, b G H libovolné. Podle (iv) je: a~*.a = e G H, tzn a-1, e = a~lG H, tzn. a.b = (a'1)-1.b G H. Pak (i/,.) je pod-grupoid v ((7, .), který podle V.2.1. (část 1 a 3) je pologrupou s jedničkou, přičemž pro a £ f/ je a"1 £ H . Tedy" (H ,.) je podgrupa grupy (G,.) H Poznámka: předchozí větu Často používáme k technickému overení toho, zda v konkrétním případě je (H, .) podgrupou grupy (G, .). Obvykle k tomu používáme Část (ii), tzn. ověřujeme, že: \. HCG a H¥> 2. a, b G H libovolné <+ a.b G H 3. a G H libovolné ■* a"1 G H . Příklad 2.1.: 1. Je-li (G,.) libovolná grupa, pak ({e},.) a (G,.) jsou vždycky jejími podgrupa-ml Tyto podgrupy se nazývají triviální podgrupy grupy (G, .). Ostatní podgrupy (pokud existují) se pak nazývají netriviální podgrupy. 2 V grupě (K,+) jsou podgrupami například (R, +), resp. (Q,+), resp. (Z,+)-viz příklad 1.7.1. Na druhé straně například (N, +) je podgrupoidem, avšak není podgrupou v (K, +). 3. V grupě (R — {0}, .) z příkladu 1.7.2. jsou podgrupami například (Q — {0},.) nebo (R+, .), kde R+ značí množinu všech kladných reálných čísel.. - 60 - 4. V grupe (K-{0},.) jsou podgrupami například (R-{0},.) nebo (G, .), kde G = {z E K | | ž | =* 1} nebo (Gn, .), kde n je pevné přirozené číslo a Gn = = {z E K. |z" = 1} (viz příklad 1.7.2). Vidíme tedy, Že v grupě, která má nekonečně mnoho pivku mohou existovat jak podgrupy, které mají nekonečně mnoho prvků, tak podgrupy, které rnají libovolný konečný počet prvků. Samozřejmě, že v grupě (K, +), resp. v.grupě (R - {0}, ) existuje mnohem více podgrup, než jsme v předchozím příkladu uvedli. Na závěr paragrafu si ukážeme, jak vypadají všechny podgrupy v aditivní grupě celých Čísel (Z, +) a v aditivní grupě zbytkových tříd modul o m (Z +). m Věta 2.4.: Mějme grupu (Z, +), pro libovolné celé nezáporné číslo k označme symbolem k Z množinu všech celočíselných násobku čísla k, tzn k.Z = {n. k j «GZ libovolné] . Pak platí 1. (k.Z, +) je podgrupou grupy (Z, +) 2. všechny podgrupy v (Z, +) jsou právě grupy (k. Z, +), pro libovolné k>0 celé. (Důkaz: 1. plyne rozepsáním podle V.2.3. a poznámky za V. 1.8. 2. nechť (H, +) je libovolná podgrupa grupy (Z, +). Jestliže množina li neobsahuje žádné přirozené číslo, musí být H - {0} , a tedy je H - 0 Z. Nechť tedy II obsahuje nějaké přirozené číslo. Nejmenší přirozené číslo patřící do H označme k. Dokážeme, že potom H = k.Z. "C" nechť x El H libovolné; pak (podle věty o dělení se zbytkem) existují q, r E Z tak, že: x - q .k + r a 0 < r < k. Ale x E H, k E H, tzn. též ~q.k E H, odkud : a- + (-q.k) - r E H. Pak ale musí být r - 0 (jinak spor s volbou fc), a tedy x = = q.k E k.Z. "D" nechť x E fc.Z libovolné. Pak je x = n, k, kde «€Z. Ale k E H, a tedy také n.k = x E H. ] Vidíme tedy, že v grupe (Z, +) existuje nekonečně mnoho podgrup, které musí být výše popsaného tvaru. Specielně: 0.Z = {0}-, 1 .Z = Z, 2.Z je množina všech sudých 5ísel, atd. Podobným způsobem se dají charakterizovat všechny podgmpy v grupě (Zw, +) zbyt- - 61 - kových tříd modulo m. Pro libovolné přirozené číslo k, které dělí modul m (tzn. m je přirozené číslo) označme: Hk - íCtk\i = o, 1,...,£-J>. Pak lze dokázat, že platí: 1. (Hk , +) je podgrupou grupy (Zm . +) 2. všechny pudgrupy v (Zm, +) jsou právě grupy (Hk , +), kde A' G N a fc|m. Vidíme tedy, že grupa (Z , +) má právc tolik různých podgrup, kolik přirozených dělitelů má modul m. Vezmeme-li tedy například modul m = 6, pak číslo 6 má čtyři přirozené dělitele, a sice i, 2, 3, 6, a tedy podgrupami v (Zfi, +) jsou právě (#l9 +), (H2, +), (Ä3, +), (//6, +), kde //, = [C0, Cy Cr Cr C4, CS} = Z6, H2 = {C0, Ca. C4}. //3 = = {C , C3}, //Ď = {C0'j (pomocí tabulky 7 si sami ověřte, Že jde opravdu o podgrupy V (Z6, +)). § 3. Struktury s dvěma operacemi a jejich podstruktury. V tomto paragrafu se budeme zabývat algebraickými strukturami se dvěma operacemi. Pro tyto dvě operace budeme používat aditivního a multiplikativního způsobu zápisu. Při tom uvidíme, že zaváděné pojmy budou opět do jisté míry zobecňovat vlastnosti běžných struktur se dvěma operacemi, s nimiž jsme se setkali na střední škole, tj. celých, resp. racionálních, resp. reálných čísel s operacemi sečítání Čísel a násobení čísel. Definice: Nechť R je množina se dvěma operacemi + a . taková, že platí: (i) (R, +) je komutativní grupa (ii) (R, .) je pologrupa (iii) pro V a, b, c G R piati: (a + b).c~a.c + b.c (tzv. distributivní zákony) a . (b + c) = a .b + a .c Pak R s operacemi + a . se nazývá okruh a označuje se (R, +, .). Poznámka: operaci +, resp. . v okruhu (R, +, .) budeme nazývat sečítání, resp. násobení. Neutrálni (nulový) prvek grupy (R, +) se nazývá nula okruhu (/?,+,.) a označuje symbolem 0. Opačný prvek k prvku a v okruhu (R, +, .) budeme označovat symbolem —a. Místo: a + (-b) budeme používat stručného zápisu: a — b. Příklad 3.1.: 1. Značl-li +, resp. . obyčejné sčítání, resp. násobení čísel, pak (Z, +, .), (Q, +, .), ÍR, +, .), (K, +, .), (S, +, .), (Z(V2), +, .), (Q(V2), +, ■) jsou okruhy. Při tom S značí množinu všech sudých celých čísel, resp. Z(v/2) = {a + \ at b E Z} , Q(>/2) 35 a {a + V2 \ a, b EQ} . 2. Na množině R X R definujme operace + a takto: (o, 6) + (r, d) = (a + c, 6 + d) pro libovolné (a, b)%(c, d) E R X R (a, 6) . (c, d) = (a.c , b.d) (kde +, resp. . na pravé straně značí obyčejné sčítání, resp. násobení čísel). Pak (R X R, +, .) je okruh. 3. Nechť (R, +) je libovolná komutativní grupa; nechť 0 je neutrální prvek této grupy. Definujme na množině R operaci . takto: pro libovolné a, b E R položíme: a.b = 0. Pak (/?,+,.) je okruh, který se též nazývá nulový okruh. 4. Je-li R jednoprvková množina, například R = {r} , pak na R môžeme definovat operaci jen jedním způsobem. Položíme-li tedy: r + r = r, resp. r.r = r , pak (R, +, .) je okruh, který se též nazývá triviální okruh. Triviální okruh je jakýmsi "patologickým" příkladem okruhu, v němž obě operace splývají, a proto jej často budeme z našich úvah vylučovat. Věta 3.1.: Nechť Zm = {CQ< Cv . . . , cm_l) je množina zbytkových tříd podle modulu m. Na množině Zm definujeme operaci + (stejně jako ve V. 1.5.) a . takto: pro C, C. E Z položme C. + C = C, , kde r je zbytek po dělení čísla i + / Číslem m C.. C. = C5 , kde s je zbytek po dělení Čísla /./ číslem m. Pak (Zm, +, .) je okruh. [Důkaz: 1. (Zm, +) je komutativní grupa (viz V. 1.5.) 2. (Zm, .) je zřejmě grupoid; analogickým způsobem jako ve V. 1.5. se ukáže, Ze operace . je asociativní Je tedy (Zm, .) pologrupou. 3. dokážeme platnost distributivních zákonů; nechť tedy c., cf, ckEZn libovolné. Označme: (C, + c.) = cr a (C, + Cy) . Cfe = C,. Potom platí: - 63 - i +/ = z../« + r a O < r < m, resp. r.k = z2.m+s a O < i < m , odkud r = / +/' z^w a po dosazení: (i + / - z1m) . k = z^m + s, tzn. (1) i.k + j.k = (z^k + z2) . m + s a 0 < s < m Potom platí: Podobně označme: C.. C, i k C ; C C. u } k C a C.. C + C,. C = C,. /.A- = zym + u A 0 < u < m; j.k - z^.m + v A 0 < v < m, u + v - z .m + t A 0 < ŕ < m. odkud po úpravě a dosazení stejně jako výSe dostáváme: (2) i.k +j.k = (z3+ z4+ zs) . m + ř A 0) = a.,6 | Věta 3.3.: Nechť (R, +, .) /e okruh; a, b, a., b. E R; z je celé číslo. Pak platí: !. a . (a+ a + . . . + a ) = a.a +a.a„+...+a.a 2. (a. + a„+ . . . + a ) . a = a, .a + a„.a + . . . + a .a v 1 2 n 12 n 3. (a + . . . + a ) . (b, + . . . + b ) = a, .b + a, .&,+ . . . + a,.b +..,+ab+... 1 «vl m ' 11 12 1 m n 1 . . . + a n m 4. r . (a.b) - (z.a) . ô = a . (z.&) . [Důkaz: všechna tvrzení se lehce dokáží užitím matematické indukce. V tvrzení 4 je nutné si uvědomit, že symbol . je zde použit ve dvou významech - jednou pro celočíselný násobek a podruhé pro operaci násobení v okruhu. ] Poznamenejme, že pro zjednodušení zápisu součtu (at + . . . + an) n prvků v okruhu často používáme sumační symboliku, tzn. Za. . První tři tvrzení předchozí věty nám pak 1=1 1 udávají jistá pravidla pro práci se sumačními symboly v okruhu, a sice: n n n n nm nm 1. a. S a. - Z a. a. ; 2. (Sa,). a= Z a a ; 3. Sa.. 2 b = Z Za .b , = 1 ' ,= 1 ' ;'=1 ' í=l ' <=1 /=! ; *=!/=! ; - 65 - ! \ Definice: Nechť (R, +, .) je okruh. Je-li operace komutativní, pak (R, +, .) se nazývá komutativní okruh. Jestliže pologrupa (R, .) má jedničku, pak tato se nazývá jedničkou okruhu (R, +, .) a označuje se symbolem 1. Okruh (R, +, .) se pak nazývá okruh s jedničkou. Příklad 3.2.: 1. Všechny doposud uvedené příklady okruhů byly komutativní okruhy. Jednoduchý příklad nekomutativního okruhu uvedeme později v kapitole o maticích. 2. Okruhy (Z, +, .), (Q, +, .), (R, +, .), (K, +, .), (MJ2\ +, .), (Q(>/2), +, •) z příkladu 3.1,1. jsou okruhy s jedničkou. Jedničkou je zde číslo 1. Okruh (R X R, +, .) z příkladu 3.1.2. je okruhem s jedničkou. Jedničkou je zde uspořádaná dvojice (1,1). Okruh zbytkových tříd modulo m (Zm, +, .)' je okruhem s jedničkou. Jedničkou je zde třída C, . 3. Okruh sudých čjísel (S, +, .) je okruhem bez jedničky. Rovněž každý netriviální nulový okruh je okruhem bez jedničky. Definice: Nechť (R, +, .) je okruh; nechť pro nějaké a, b E.R platí: a =ŕ 0 A b # 0 A a.b = 0 . Pak prvky a,"b se nazývají dělitelé nuly v okruhu (R, +, .). Netriviální komutativní okruh s jedničkou, který nemá dělitele nuly se nazývá obor integrity. i. Příklad 3.3.: 1. Klasickým příkladem oboru integrity je okruh celých čísel (Z, +, .). Dále, okruhy (Q, +, .), (R, +, .), (K, +, .), (Z(V2), +, .), (QG/2), +, .) z příkladu 3.1.1. jsou rovněž obory integrity. 2 Okruh (R X R, +, .) z příkladu 3.1.2. není oborem integrity, protože má dělitele nuly (nulou tohoto okruhu je zřejmě (0, 0), přičemž například (0, 1), (1, 0) (0, 0), ale (0, 1) . (1, 0) = (0, 0)). 3. Okruh zbytkových tříd modulo 6 (Z6, +, .) není oborem integrity, protože má dělitele nuly (nulou je třída CQ, přičemž například C2> C3 ^ CQ, ale Cr C3 = CQ) . Na druhé straně, okruh zbytkových tříd modulo 7 (Z7, +, .) je oborem integrity (plyne ihned z tabulky 9b). Následující věta nám ukáže, pro která m okruh zbytkových tříd - 66 - (Zm, +, .) nemá dělitele nuly, tj. je oborem integrity. Věta 3.4.: Okruh zbytkových tříd modulo m (Z , +, .) je oborem integrity <*■ m je prvočíslo. [ D & k a z : "=*•" nechť (Zm, +, .) je obor integrity. Pak je netriviálním okruhem, a tedy musí být m > 2. Dále postupujme sporem; předpokládejme, že m je složené Číslo tzn. existují celá čísla r, s tak, že 1 2). Zřejmě (R, +, .) je komutativní okruh, tzn. zbývá dokázat, že (R {0} , .) je grupa Ale ( R - {0} , .) je pologrupa (zde se využil předpoklad neexistence dělitelů nuly!), a tedy podle V. 1.6. stačí ukázat, že v (R - {0} , .) platí zákony o dělení. Nejprve uvažme libovolný pevný nenulový prvek a E R. Pak množina {a. r \ r 6fi] má n prvků (podle V.3.5. totiž r, r2 ■* a.ri=£a.r2) a poněvadž je podmnožinou //-prvkové množiny R, musí být: (3) [a.r\rER} = R. Nyní, nechť a, b G R {0} libovolné. Pak ze (3) plyne, Že existuje r E R tak, že aj- = b, přičemž zřejmě musí být r E R - {0} . Dále je r a = b (plyne z komutativity operace .), a tedy v (R {0} , .) platí zákony o dělení Podle V. 1.6, je pak (R - {0},.) grupou. ] - 68 - Příklad 3.4.: 1. (Q, +> •), (R, +, .), (K, +, .), (Q(V2), +, •) jsou tělesa. Při tom + a . značí obyčejné sčítaní a násobení čísel, resp. QG/2) = {a + by/2\a, b e Q) (viz príklad 3.1.1.). 2. Na množině Q X Q definujme operace + a . takto: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) pro libovolné (a, ô), (c, d) e Q X Q (a, Ď) . (c, d) = (ac - 3bd, ad + bc) (kde napravo vystupuje obyčejné sčítání, odečítání a násobení Čísel). Pak (Q X Q, +, .) je těleso. 3. Okruh zbytkových tříd (Zm, +, .) je tělesem právě tehdy, když modul m je prvočíslo (plyne z V.3.4. a z V.3.6.). 4. Okruhy (Z, +, .), (S, +, .) a (Z(v/2), +, .) z příkladu 3.1.1. nejsou tělesa Podobně okruh (R X R, +, .) z příkladu 3.1.2. není tělesem, resp. nulový okruh není nikdy tělesem a též triviální okruh není tělesem. Dalším pojmem, kterým se budeme zabývat je pojem tzv. charakteristiky okruhu, resp. tělesa Definice: Nechť (R, +, .) je okruh. Jestliže existuje přirozené číslo k s vlastností: (4) k.x = x+ x+ ...+x = 0 pro každé x G R , ^_ _, j v Ä>krát pak nejmenší k s vlastností (2) se nazývá charakteristika okruhu (R, +, .). Jestliže žádné přirozené k s vlastností (2) neexistuje, pak řekneme, že okruh (R, +, .) má charakteristiku nula. Je-li okruh (R, +, .) tělesem, pak totéž říkáme o tělese. Příklad 3.5.: 1. Okruh (Z, +, .), resp. tělesa (Q, +, .), (R, +, .), (K, +, .) mají charakteristiku 0. 2. Těleso (Q X Q, +, .) z příkladu 3.4.2. má charakteristiku 0. 3. Okruh zbytkových tříd (Zm,+, .) má charakteristiku m (tzn. rovnou modulu). 4. Okruh má charakteristiku 1 právě když je triviálním okruhem. Zjišťujeme-li charakteristiku okruhu podle definice, pak musíme vyšetřovat výraz (2) pro každý prvek v G R, což samozřejmě muže být dosti zdlouhavé. Má-li však okruh jedničku, pak se celá situace zjednoduší, neboť pak stačí vyšetřovat výraz (2) pouze pro tuto - 69 - jedničku, jak ukáže následující věta. Věta 3.7.: Nechť (R, +, ,) je okruh s, jedničkou 1. Existuje-li přirozené Číslo k takové, že k. 1 = j + 1 + . . + \ = O, pak nejmensí takové k je rovno charakteristice okruhu k-krát (R. +, .). Neexistuje-li takové k, pak charakteristika okruhu (R, +, .) je nula [Důkaz: nechť k je nejmensí přirozené číslo s vlastností k. 1 = 0. Pak pro libovolné x e R je (užitím V.3.3.4.): k.x = k . (1 x) = (k. i) . x = 0.x = 0 a zřejmě k je nejmensí s touto vlastností Tedy (R, +, .) má charakteristiku k. Zbytek tvrzení plyne z definice charakteristiky. ] Jestliže je daný okruh oborem integrity (což splňuje například každé těleso), pak lze o jeho charakteristice říci ještě více. Věta 3.8.: Nechť (R, +, .) je obor integrity. Pak platí: 1. charakteristika (.R, +, .) je buď prvočíslo nebo nula 2. je-li charakteristika (R, +, .) rovna prvočíslu k, pak pro lib. r g R, r 0 jsou 0.r ,' \.r , 2.r , . . . , (k - l).r navzájem různé prvky a pro libovolné celé číslo z platí: z.r - i.r, kde i = z (mod k) a 0 < / < k — 1 i. je-li charakteristika {R, +, .) rovna nule, pak pro libovolné r G R, r 0 u libovolná různá celá čísla zítz2 je: zl.r^z2.r. [Dôkaz: 1. dokážeme sporem; nechť charakteristika (R, +, .) je k > 0 a nechť k je složené číslo, tzn. existují přirozená Čísla p, q tak, že 1 < p, q < k a p.q = k. Pak (užitím definice a V.3.3.3.) dostáváme: 0 = k. 1 = (p.q) . 1 = (p.\).(q. D-Poněvadž (R, +', .) nemá dělitele nuly, je p. \ = 0 nebo #,1 = 0, spor. Tedy charakteristika k je prvočíslo. 2. nechť i.r = j.r, kde 00 a platí: 0 ■- zyr zyr ~ (Zj z ) . (1 .r) - ((z2 z() , 1) . r. Ale (i?, +, .) nemá dělitele nuly , tzn. musí být (z ■■ z ) . 1 = 0, odtud však podle V.í.7. plyne, že charakteristika (R, +, J není nula, což je spor. Je tedy z .r #22.n ] Na závěr paragrafu se ještě stručně zmíníme o podstrukturách okruhu a těles. Definice: Nechť (R, +, ) je okruh; nechť S je neprázdná podmnožina v R, uzavřená vzhledem k operacím + a . Je-li (S, +, .) okruh (resp. těleso), pak jej nazýváme podokruh (resp. podtěleso) okruhu (i?, +, .). V případě, že (/?,+,.) je těleso, hovoříme o podokruhu télesa, resp. podtělese tělesa. Příklad 3.6.: Ukážeme všechny Čtyři možnosti, které mohou nastat. 1. Značí-li S množinu všech sudých Čísel, pak (S,+, .) je podokruhem okruhu celých Čísel (Z, +, .). 2. Okruh celých Čísel (Z. +, ,) je podokruhem telesa racionálních Čísel (Q, +, ,), 3. Nechť (R X R, + ,) je okf«h ; př-fkíadu 1.1-3- a r,eehf J = {(r. Ô) \f § R) Pak (|, +, .) je pedtllisem okruhu (R M R, *,.)« 4. Těleso raQionáiníoh čísel (Q, % ,) je pedtlleiem tšlesfl reálnýeh Čísel (R, +s.), (Zřejmě + a . v 1., 2., 4. znaSi obyffejné sčítání a násobení Čísel.) Poznámka: je-li (5, +, .) podokruh okruhu (R, +, .), pak nulové prvky obou okruhfi se zřejmě rovnají. Pro jedničky však totéž obecně neplatí - především nSkterý z obou okruhfi jedničku vůbec nemusí mít (viz příklad 3.6.1.), a i když oba okruhy jedničku mají, pak obě jedničky mohou být různé (nastane to v případe, Ze lRé S). Například v příkladu 3.6.3. je lRx R • (1, 1), zatímco ls ■ (1, 0). Jestliže je (S, +, .) podtělesem telesa (Ä, +, ,), pak ovSem \g* lR, tzn. obé jedničky splynou (neboť zřejmé (S - {0}, .) je podgrupou grupy (R - {0}, .)). Následující dvS vBty nám pak udávají kriteria .pro ovéfení toho, zda (S> +, .) je podokruhem okruhu, resp. podtělesem tělesa. - 71 - Veta 3.9.; Nechť (R, +, .} je okruh; nechť S je neprázdná podmnožina množiny R. Potom (S, +, ) je podokruh okruhu (R, +, .) právě když piati: d) a, b E S ■* a - b E S (ti) a, b E S a.b E S. [ D u k a z tv zení plyne ihned z definice podokruhu a z V. 2.3. (přeformulované do aditívni symboliky),. 1 Věta 3.10.: Nechť (R, +, .) je teleso; nechť S je alespoň dvouprvková podmnožina množiny R. Potom (S, +, .) je podtělesem tělesa (R, +, .) právě když platí: (i) a, h E S =* a ...... 6 € S f//j a, b E S a Ď 0 =* a.Ď-1 € 5. f D ô kaz: tvrzení opět plyne z definice podtělesa a z V. 2.3. ] Na závěr si ještě ukážeme, jak vypadají všechny možné podokruhy v jednom z nejdftleži-tějších okruhu - v okruhu celýcii čísel Poznamenejme, že pro k celé nezáporné jsme symbolem k Z označovali množinu všech celých násobku Čísla k, tzn. k,Z •- {n.k\n E Z] Věta 3.11.: Všechny podokruhy v okruhu celých čísel (Z, +, .) jsou práve okruhy (k.Z, t,.) pro libovolné k > 0 celé. f D ů kaz: I. pro libovolné k > Q celé je zřejmě 0 k.Z C Z a podle V. 3.9. je (fc.Z, +, .) podokruhem okruhu (Z, +, .). II. naopak, necht" (S, +, .) je libovolný podokruh okruhu (Z, +, ,). Pak (S, +) je podgrupou grupy (Z, +), a tedy užitím V.2.4. dostáváme, že S - k.Z pro pevné k > Q celé. ] Podobným způsobem lze pak ukázat, jak vypadají všechny podokruhy v okruhu zbytkových tříd (Z , +, .). Z úvahy za V.2.4. totiž bezprostředně plyne, že podokruhy v (Zm,+,.) jsou právě okruhy (Hk, +, .) pro libovolné přirozené k takové, Že k dělí m. Při tom symbol Hk označuje množinu: "*MC,J/=0, !,...,£*- 1}. Vidíme tedy, že například okruh (Z6,'+, .) má právě 4 podokruhy, a sice (Hl, +, .), (H2, +,.), (H3, +, .) a (#6, +, .), kde H= {CQ, Cv C2, C3, C4, C5} = Z6, fC0, C2. C4}, ff3 = = {C0, C3}, //6= {C0}), z nichž dva jsou podtělesy (a to (#2, +, .) a í//3, +, .); ověřte si - 72 - sami, že tomu tak je!). § 4. Číselná tělesa. V předchozích paragrafech této kapitoly jsme většinou pracovali s pojmy, které vznikly zobecněním pojmů známých v souvislostí s počítáním s čísly. Jedním z nich byl i pojem tělesa. Typické příklady těles jsme potom podle očekávání nalezli v různých číselných oborech (tzn. mezi podmnožinami množiny K všech komplexních čísel), přičemž za operace + a . bylo bráno obyčejné sčítání a obyčejné násobení Čísel. S pojmem tělesa budeme pracovat (samozřejmě kromě celé řady dalších pojmů) ve všech zbývajících kapitolách tohoto textu.. Abychom si situaci co nejvíce zjednodušili ( při zachování většiny podstatných vlastností), omezíme naše úvahy na tělesa, jejichž prvky budou čísla a operacemi na nich bude obyčejné sčítání a násobení Čísel. V tomto paragrafu si shrneme základní vlastnosti takových těles. Definice: Nechť íT. +, .) je podtělesem tělesa komplexních čísel (K, +, .). Potom (T, +, .) se nazývá číselné těleso. t Poznámka: operacemi v tělese komplexních čísel (K, +, .) jsou obyčejné sčítání a obyčejné násobení Čísel, a tedy i v každém číselném tělese jsou operacemi + a . automaticky obyčejné sčítání a násobení čísel. Proto všude v tomto paragrafu bude +, resp. značit obyčejné sčítání, resp. násobení Čísel. Dále poznamenejme, Že ve smyslu dříve zavedených úmluv bude a — b znamenat obyčejný rozdíl čísel a, b, resp. jŕ bude znamenat obyčejný podíl Čísel a, b (b 0). . Praktické zjišťování, zda (T, +, .) je číselným tělesem, provádíme pomocí následující věty. Věta 4.1.: Nechť T je podmnožina v K, obsahující více než jeden prvek. Potom (T, +, .) je Číselným tělesem právě když platí: (i) a, b ET ■* a - b ET (ii) a, b E T A b =Ŕ 0 => |' G T. [Důkaz: Věta je doslovným přepisem V. 3.10., a proto platí ] 73 Příklad 4 1.: 1. (Q, +, ). (R, +, .), (K, +, ) jsou zrcjmô Číselnými tělesy. 2. Označme Q(v'2) = {a + /> v'2 \a, b E Q} . Potom (Q(s/2), +, .» je Číselné těleso, fdfikaz: (použijeme předchozí větu); zřejmě Q(\/2) obsahuje více než jeden prvek. Dále. nechť a + b -y/2, c + /3), +, .), (Q(y'5), +, .). (0(\/7). +, ).....(Qi-y/p), +, •) {kde p je libovolné prvočíslo), jsou Číselná tělesa. 4. Označme Q^/2) = (a - b\/2 + c y^ I a, b, c G Q} . Potom ÍO; y'2), .) je číselné těleso (což se ukáže podobným výpočtem jako u 2.). 5 Při stejném označení lze stejným způsobem ukázat, že (Q(y3), +, .), (Q(y5), +,.). jsou číselná tělesa. 6. Označme Q(/) = {a + bi |a. b G Q} . Potom (Q(7), +, .) je číselné těleso, co? se ukáže opít obdobným výpočtem jako u 2 Části tohoto příkladu. Z předchozích příkladů vidíme především, že číselných těles je rozhodně nekonečně mnoho, a dále, že číselná tělesa se neomezují pouze na reálnou osu (viz příklad 4.1.6.). Rozebereme-li předchozí příklady, zjistíme, že všechna uvedená číselná tělesa obsahovala těleso racionálních čísel. Že tomu-tak musí být vždycky (tzn., že tedy těleso racionálních čísel je nejmenším Číselným tělesem), ukazuje 1. část následující vety. Věta 4.2.: Nechť (T, +, .) je libovolné číselné teleso. Potom plaň: 1. (T, +, ) obsahuje těleso racionálních čísel (tzn. TDQ) 2. (T, +, .) má charakteristiku nula. [ D ů k a z: 1, z definice tělesa plyne, že musí existovat prvek a G T. a # 0. Potom | = 1 G T, tzn. T obsahuje Číslo 1. SeČteme-li jedničku se sebou samou libovolný konečný počet-krát, pak výsledek opět musí ležet v t, a tedy T obsahuje množinu všech - 74 - přirozených Čísel. Dále: a a - Q & T, resp. pro libovolné přirozené Číslo n G T je -n = 0 n & 7 a tedy T obsahuje všechna záporná Čísla. Dohromady pak Z Cľ. Konečně / T leží i podíl libovolných dvou celých čísel (s nenulovým jmenovatelem) tzn. každé racionálni číslo. Dostáváme tak: Q Cľ 2. plyne ihned z V. 3.7. ] Pro úplnost pripomeňme, že 1. Část předchozí věty obecně nelze obrátit tzn jestliže M d Q , pak (M, +. .) obecně nemusí být Číselným tělesem. Napríklad, je-li M = - Q u {y/2} , pak zřejmě M D Q, ale (M, +, .) není Číselným tělesem (neboť y/2 EM ale V2 + V'2 = 2 V2 É m). Iíi VEKTOROVÉ PROSTORY §1 ; Vektorový prostor nad číselným tělesem Pojem vektoru a vektorového prostoru je jedním ze základních pojmů moderní matematiky, kterého se využ.vá nejenom v řadě disciplin ryzí matematiky, ale rovněž v mnoha aplikacích, a f už v přírodních vědách nebo jinde. Při zaváděni pojmu vektorového prostoru se oproti předchozí kapitole situace poněkud komplikuje v tom, že tentokrát vycházíme ze dvou algebraických struktur, a to z jisté komutativní grupy (V, +), jejíž prvky budeme označovat tučnými písmeny,a dále z jistého číselného tělesa (T, +, .). Mezi těmito dvěma strukturami pak budou platit určité vazby. Pro zjednodušen! vyjadřování si. zaveďme následující úmluvu. Úmluva: při zapisování algebraických struktur už nebudeme vždy důsledně vypisovat symboly operací .ako doposud, ale často budeme k označení celé struktury používat pouze symbol nosné množiny. Tedy např místo o grupě (V, +) budeme stručně hovořit o grupě V, místo o tělese í7. +, .) budeme stručně hovořit o tělese T, atd. Při tom je však třeba mít stále na paměti, že se jedná o zjednodušené označení, protože,jak víme, algebraickou strukturu nelze ztotožňovat pouze s její"nosnou množinou. Definice: Nechť (V, +) je komutativní grupa (jejíž prvky nazýváme vektory) a {T, +•, , je Číselné těleso. Nechť pro každé číslo t E T a každý vektor u E V je definován vektor t.u £ V tak, že platí: (i) t. (u + v) - /.u + t.v (ii) (t + s) u = t.u + s.u pro lib. t, s E T a u,v E V (íii) (/'.. s) u =t, (s. u) Úv) i u - u Potom V se nazýva vektorový prostor nad tělesem 7", Označení: Nulový prvek z (V, +) se nazýva nulový vektor a označuje se symbolem o. Opačný prvek k vektoru n E V se nazývá opačný vektor k vektoru u a označuje se symbolem u. Vektor t.u se nazývá součin Čísla t s vektorem u. Poznámka: výše definovaný součin čísla s vektorem je vlastně speciálním typem zobraze- - 76 - ní, a sice zobrazením T x V-*■ V, které se někdy nazývá vnější operace, na rozdíl od (binár ní) operace na množině, např. V, což je zobrazení V x V -* V, které se pak nazývá vnitřn operace V definici vektorového prostoru se setkáváme se třemi vnitřními operacemi a jednou vnější operací, při čemž některé z nich označujeme stejnými symboly (sčítání ve V. & sčítáni v 7 symbolem +, resp. násobení v 7" a součin Čísla s vektorem symbolem .). I když nemôže dojít k nedorozumění (vzhledem k tomu, že vektory z V a čísla z T odlišujeme graficky), je třeba si tuto skutečnost dobře uvědomit. Připomeňme, že máme-li korektně definovat nějaký konkrétní vektorový prostor, pak z předchozí definice plyne, že musíme 1 zadat číselné těleso T 2 zadat množinu vektoru V 3. zadat, jak je definováno sčítání vektorů 4 zadat, jak je definován součin čísla z T s vektorem z V 5 ověřit, že [V, +•) je komutativní grupa a že platí axiomy (i) - (iv) z definice vektorového prostoru. Přiklad 1.1. 1 Nechť 7' je libovolné Číselné těleso, n je pevné přirozené Číslo a nechť: T"= Ux,, . . . , x )\x.,. . . , x en' 1' ' n ' 1' 'n i (tzn. T" je množi.ia všech uspořádaných «-tic prvků z tělesa 7) je množina vektorů. Definujme pro lib. u = (uf, . . . , u ), v=(ľ ,...,ľ )6f a r G 77: u + v = (u, + v,, . . . , u + v ). ŕ.u = (/".«., . . . , /.ž/ ) kde symboly +, resp. .. na pravých stranách značí obyčejné sčítání, resp. násobení čísel (stručně říkáme, Že sčítání vektorů a násobení Čísla s vektorem je definováno"po složkách"). Pak (77*, +) je komutativní grupa (viz příklad 1.7.4, kap. II) a lehce se ověří, že platí axiomy (i) - (iv) z definice vektorového prostom. Tedy 77! je vektorovým prostorem nad tělesem 77. Poznamenejme, že nulovým vektorem je v 77" zřejmě uspořádaná m-tice (0,0, , . . , 0) a opačným vektorem k (u , .... un) je vektor (—u , . . . , —«„). Specielně, např. R3, Q5, K2, Q(v/2)4, atd jsou různé vektorové prostory tohoto typu. - 77 - 2. Vezmeme těleso R reálných Čísel; množinou vektorů bude množina všech polynomu o neurčité x, s reálnymi koeficienty, kterou označme R[x]. Sčítání vektorů definujeme jako obvyklé sčítání polynomů a součin Čísla s vektorem definujeme jako obvyklé násobení polyno mu reálným číslem, Lehce se overí, že (R[.v], +) je komutativní grupa a Že platí axiomy (i) - (iv). Tedy R[x] je vektorovým prostorem nad tělesem R. (Nulovým vektorem tohoto vektorového prostoru je pak zřejmě tzv. nulový polynom, tj. poly no m. jehož všechny koeficienty jsou nulové). 3. Nechť v je pevné přirozené Číslo: vezměme opět těleso R reálných čísel a množinou vektoru nechť je množina sestávající z nulového polynomu a dále ze všech polynomů o neurčité x, s reálnými koeficienty, stupně < n, kterou označíme symbolem R [x]. Tedy: Rn[x] = {aQx"+arxr'"^ . . . + an_,x + a„, . . . , an G R} . Sčítání vektorů a součin čísla s vektorem definujeme stejně jako v předchozím přikladu. Lehce se ověří, že (R [x], +) je komutativní gaipa a že platí axiomy (i) - (iv). Tedy R„[xJ je vektorovým prostorem nad tělesem R. 4 Nechť T je libovolné číselné těleso a V - {v} je libovolná jednoprvková množina. Sčítání vektorů a součin čísla s vektorem definujeme (jediným možným způsobem, a sice): v + v = v. resp. r. v = v, pro každé ř G T. Pak zřejmě {V, +) je komutativní grupa a platí axiomy (i) - (iv). Tedy V je vektorový prostor nad tělesem T, který budeme nazýva? nulový vektorový prostor (nad T). Je to tedy vektorový prostor, obsahující jediný vektoi -a to nulový, tzn. v = o. Poznámka: Uvědomme si, že množina vektorů V je vždy neprázdná, dále, že nulový vektor ve V existuje jediný a opačný vektor k libovolnému vektoru z V existuje rovněž jediný (to vše plyne ihned z faktu, že (V, +) je grupa). Při tom je potřeba důsledně rozlišovat symboly o a 0, tzn. nulový vektor a Číslo nula. Dále připomeňme, Že podle dříve zavedené úmluvy budeme místo u + (—v) psát stručně u - v. Následující věta nám pak dá další pravidla pro počítání s vektory. Věta 1.1.: Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T; nechť t,s G T, u, v G V lib. Pak platí: 1. t. (u — v) = ř.u - t.y 2. (ř — s) . u = t.u - 5.u - 78 - 3, ŕ.u = o t = O nebo u = o 4, t.(u) - ( -t).u - -(/.u) [D fi k a z: provedeme většinou užitím axiomů (i) - (iv) vektorového prostora i- i . (u ■— v) = t . (u + (-v)) + í. v - /.v = i . (n + (-v) + v) - r. v = f. u - t v 2. (r • >•) . u = (ŕ + (-v)) . u + s.u - s. u = (f + (-5) + s) u - 5.0 = ŕ.u - s.u 3. "*=": je-li t = O, pak O.u = (O - 0).u = O.u - O.u = o. podle 2.; .je-li u =o, pak to - f. (o o) = r.o - r.o = o, podle I. "=*": nechť ŕ. u = o a r =é 0. Potom u = i,u = .. ŕ).u = - • (ŕ. u) = k o = o ŕ t t 4. plyne z 1.2 a 3., a síce: ŕ.(—o) = /.(o - o) = í.o - r.o = o - í.u = -í.u, resp (-ŕ).u = (O - t).u = O.u ŕ.u = ŕ.u 1 Poznámka: pomocí předchozí věty můžeme upřesnit naší představu o počtu vektorů ve vektorovém prostoru. Je-li totiž V libovolný vektorový prostor nad Tf různý od nulového prostoru (jinými slovy řečeno - V obsahuje alespoň jeden nenulový vektor), pak musí prostor V obsahovat nekonečně mnoho vektorů. Vezmeme-li totiž libovolný vektor u£F, u * o a tvoříme součiny všech prvků z Číselného tělesa T (kterých je nekonečně mnoho) s tímto vektorem o, dostáváme nekonečně mnoho navzájem různých vektoru (je-li totiž ř(.o = r2.u. pro / f G T, pak (t - ř2).o = o, odkud podle V.i.i.3. je (t ■- t ) = 0S neboli /, = t2 ). §2. Podprostory vektorového prostoru. Definice: Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T. Neprázdná podmnožina W množiny V se nazývá podprostor vektorového prostoru V, jestliže platí; (i) u,v£!c libovolné => u + v g W (ii) t g T, u g W libovolné => t.o g W . Poznámka: 1. lehce se dá ověřit, (proveďte si podrobně sami!), že podmínky (i) a (ii) z předchozí definice jsou ekvivalentní následující jediné podmínce: (iii) u, v g W; t,s g T libovolné => t. o + s.v g W 2. Každý podprostor W vektorového prostom V musí vždycky obsahovat nulový vektor [je-li o g W libovolný, pak podle (ii) a podle V. 1.1.3 je O.u = = o g W]. Vidíme tedy, že se např. nemůže stát, aby dva podprostory vektorového prostom V byly disjunktní. - 79 - VSta 2.1.: Nechť W je podprostor vektorového prostoru V nad tělesem T. Pak W je sám vektorovým prostorem nad tělesem T. [Dôkaz: součet dvou vektorů z W, resp. součin čísia z T s vektorem z W jsou definovány stejné jako ve V, Definice podprostoru nám zaručuje, že jde o vnitřní, resp. vnější operaci na W. Dále. nechť u,v £ W lib.; pak (-l).v = -v 6 Iť a tedy u — V = u + ( -v) G W (podle V. 1.1.4 a definice podprostoru). Podle V.2.3., kap. II je pak (W, +) podgrupou komutativní grupy (V. +■), tzn. (IV, +) je komutativní grupou. Axiomy (i) - (iv) z definice vektorového prostoru jsou ve W zřejmě splněny (poněvadž jsou splněny v celém V). Tedy W je vektorový prostor nad tělesem T. ] Příklad 2.1.: 1. Nechť V je libovolný vektorový prostor nad tělesem T. Pak zřejmě W ~ {o} a W = V jsou vždy podprostory ve V. Tyto dva podprostory se nazývají triviální podprostory ve V. Všechny ostatní podprostory ve V (pokud existují) se pak nazývají netriviální podprostory ve V. 2. Uvažme vektorový prostor R3 (viz příklad 1.1.1). Potom např.: a) W. ~{(x, y. 0)1 x, y G R lib.} je podprostor vektorového prostoru R3 b) W2 = {(x, y, z)l x, y, z G R a x 2y + 3z = 0} je podprostor v R3 c) nechť (u, v, w) je pevný vektor prostoru R3 , potom W3={k. (u, v, vv) \k G R} je podprostor v R3 . Je vidět, že vektorový prostor R3 obsahuje nekonečně mnoho podprostoru Na druhé straně samozřejmě ne každá podmnožina v R3 je podprostorem R3. Např. W4 = ~ {{x, y, 1)1 x, y G R} není podprostorem v R3 (zdůvodněte proč!). 3. Uvažme vektorový prostor R[x] všech polynomů (viz příklad 1.1.2). Pak např.: a) Wt = {/(.*) G R[x] i f(x) « f(-x)} je podprostorem v R[x] b) W2={f(x) G R[x}\2/(0) + 3./(l) = 0} je podprostorem v R[x] c) vektorový prostor Rn[x] (viz příklad 1.1,3) je podprostorem v R[x]. Na druhé straně např. množina W3= {x2+ ax + b\ a, b G R lib.} není podprostorem v R[x]. Věta 2.2. Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T; nechť I je neprázdná - 80 - indexová množina a nechť pro každé a G í je W podprostor ve V Potom n W ie podprostor ve V, [D & k a ľ' množina O W je zrejme neprázdná (neboť obsahuje jistě nulový vektor o) Zbývá tedy ověřit platnost podmínek (i) a (ii) z definice podprostoru: nechť u.yG n W r £ T libovolné, Potom u, v e Wa pro každé a G /, a tedy (poněvadž W je podprostor.? je u + v G W a ř.u G W , pro každé a G /. Pak ale u + v G D R> a ř.u G H ] Oŕ€r/ Otri Poznamenejme, Že indexová množina I byla libovolná (neprázdná), a tedy předchozí věta platí jak pro konečný, tak pro nekonečný počet podprostoru. Stručně řečeno, věta tvrdí, že průnikem libovolného poctu podprostoru ve V je opět podprostor ve V. Tohoto faktu využijeme v následující důležité úvaze. Nechť M je libovolná podmnožina vektorového prostoru V (tzn, M obecně není podprostorem!). Pak existuje alespoň jeden podprostor, obsahující množinu M (např. celý prostor V má tuto vlastnost). Můžeme tedy utvořit průnik všech podprostoru ve V, obsahujících množinu M, který označme symbolem [M]. Tedy (1) [MJ = fW (W je podprostor ve V takový, že Wa 2 M) a platí následující tvrzení: Věta 2.3. Nechť M je libovolná podmnožina ve vektorovém prostom V. Potom: 1. [M] je podprostor ve V 2. [M] je nejmensí (vzhledem k ^) podprostor ve V, obsahující množinu M. jí) úkaz: 1: plyne ihned z V.2.2. 2: plyne z (1) a ze základních vlastností množinového průniku. ] Je-li množina M konečná, napr. M = {u,, . . . , ufc}, pak místo symbolu [{Uj, . . . , Uk}] budeme psát stručněji [u,, . . . , uA ]. V tomto případě je tedy [uak] = HWa (Wa je podprostor ve V takový, že u,.....ir.G Wa) Může se samozřejmě též stát, Že množina M je prázdná; v takovém případě zřejmě je [] = = {o} - Definice. Nechť M je podmnožina ve vektorovém prostoru V a nechť W = [M]. - 81 - Pak podprostor W se nazývá podprostor generovaný množinou M. Je-li specielně M - {u,, . . . , u. }, pak W se nazývá podprostor generovaný vektory u , ... .,u a vektory ufc se nazývají generátory podprostoru W. Uvědomme si, Že na rozdíl od průniku podprostoru, není množinové sjednocení podprostoru (dokonce ni dvou) obecně podprostorem daného vektorového prostoru. Například pro podprostory W1 a W2 vektorového prostoru R3 z príkladu 2.1.2., jejich sjednocení W1UW2 není podprostorem v R3 (neboť např. (1,1,0), (1,2,1) € R^U W2, ale (1,1,0) + + (1,2,1) = (2,3,1) ÉlťU W2). V dalším si nyní zavedeme pojem tzv. součtu podprostoru, ukážeme, že je podprostorem a jaký má vztah k množinovému sjednocení těchto podprostoru. Definice. Nechť W W2, . . . , Wk (k > 2) jsou podprostory vektorového prostoru V. Pak množina W2+ . . . + Wk definovaná: Wx+ W2+ . . . + Wk= {Ul+ u2+ . . . + ufc I u, G W1, u2 G W2.....ufc G Wk] se nazývá součet podprostoru Wl.....lVfc. Věta 2.4. Nechť W\, W2, . . . , Wk (k >2) jsou podprostory ve V. Pak platí: 1. součet podprostcň W1 + W2+ . . . + Wk je podprostorem ve V. 2. Wj+ W2+ . . . + Wk = [Wl U W2 U . . . U Wk], tzn. součet podprostoru Wj, . . . , Wk je roven podprostoru generovanému jejich množinovým sjednocením. [Důkaz: 1: zřejmě je Wt+ . ... +Wk 4= (neboť W.4-). Dále, nechť u, v G €r Wj+ . . . + Wk, t E T libovolné. Potom u = ux + . . . + ufc, v = v,+ . . . + vfc, kde ur v; G W., i = 1, . . . , k. Potom ale: u + v = (Ul+. . .+ uJt) + (v1+. . .+ vfc) = = (Uj + Vj) + . . . + (ufc +vk)EWl+ . . . + Wk t.u = t. (u,+ . . . + ufc) = ř.Uj+ . . . + t.uk 6 ..-.'+ W , a tedy W + . . . + W. je podprostor ve V. 2: vzhledem k (1) budeme dokazovat množinovou rovnost: 11',+ . . . + Wk = nua (Ua je podprostor ve V takový, že ÍA 5 WjU...U Wk) \ nechť u€Wl+... + Wk, potom u = u, + . . . + ufc, kde u( £ 1c(. Je tedy u,. £ í/ft, kde Ua je libovolný podprostor ve V takový, že í/a 2lC U...U W . Potom však ut+ . . . + uk - u E Ua, a tedy uSflĽ (í/a je podprostor ve Fa í/ ? u ... u h' ) "P": zřejmě je Wt £ H* + . . . + H^fc (neboť pro u. E IV. libovolný je u, = = o + . , + uŕ + . . . + o E W.+ . . . + W.), a-tedy W. U ... U W. Q W. + . . . + W. . Podle 1 části věty je však W + . . . + W podprostorem ve V, tzn. z vlastností množinového průniku pak již plyne žádaná množinová inkluse. ] Vidíme tedy, že součet podprostorů Wt + . . . + Wk je nejmenŠím podprostorem ve V. obsahujícím množinové sjednocení W1 U ... U W těchto podprostorů. Samozrejme, Že součet podprostorů obecně není roven jejicii množinovému sjednocení. Dále si uvědomme, že vyjádření vektoru d E W + . . . + W. ve tvaru u = u + . . + u„, kde u, EW,.....u. E W. 1 i k 1 ľ k k nemusí být jednoznačné. Obojí si ukážeme na jednoduchém příkladu, a to pro k - 2, což je situace, s níž se budeme v praxi nejčastěji setkávat. V tomto případe je tedy Wx + W2 = {u, + u2 I Uj E Wt, u2 E W2} = [Wl U lť2] Schematicky je tato situace znázorněna na obr. 8. Obr. 8 Příklad 2.2.: Ve vektorovém prostoru R3 mějme dány dva podprostory: - 83 - H>, - {(x, y, 0)1 x, j/ G R} .; B/a = {(M) 0, v)\ u, v G R} Zřejmě platí, že: W{ U lť2 = {(a, ž), c)la, Ŕ, r G R, Ŕ = 0 nebo r = 0}, resp. W{ + W2 = R3 Vidíme tedy, že M', U W2 £ H', + U'2 . Dále, vyjádření vektoru u G fť2 ve tvaru (2) u - u, + u2, kde u, G H',, u2 G W2 zde obecně není jednoznačné, neboť např. (0,0,0) E W + W přičemž třeba (0,0,0) = = (0,0,0) + (0,0,0) = (1,0,0) + (—1,0,0) jsou dvě různá vyjádření tvaru (2). Poznamenejme, že v tomto případě má každý vektor z W + W dokonce nekonečně mnoho různých vy jádření tvaru (2). Definice. Nechť W , W2, . . . , W (k > 2) jsou podprostory vektorového prostoru V. Součet podprostorů Wl, . . . , W se nazývá přímý součet a označuje W + W + . . . . + Wk, jestliže libovolný vektor u G Wt + . , . + Wk lze vyjádřit jediným způsobem ve tvaru: (3) u = Uj + . . + uk , kde Uj G Wl, . . . , u, G Wk Věta 2.5.: Nechť WW3, . . . , Wk (fc'> 2) jsou podprostory vektorového prostoru V. Pak součet podprostorů W , . .. , Wk je přímým součtem «*• pro každé i = - 1, 2, . . . , k platí: (4) W. O (Wj + . . . + H/.j + + . . . + Wk) = {o} . [Dôkaz: nechť součet podprostorů W,, . . . , je přímý a nechť pro 1 < / < /c je x G W n (W + . . . + W._ , +_ Wř+ j + . . . + Wk) libovolný. Potom je x = u, + . , + u. . + u. . + . . . + u ' kde u. G W., a dále x G W tzn. také —x G W.. Pak ale: o = Uj + . . . + u(l + (-x) + u.+ j + . . . + uk,, resp. o = o + o+ ... + o jsou dvě vyjádření nulového vektoru o ve tvaru (3), tzn. podle předpokladu musí být x = o. Tedy je W, n (M>1 + . . . + Wf_ t + W.+ i +...+' K^) £ {o}. Opačná inkluse je však triviální, tzn. dohromady platí rovnost. Poněvadž i bylo libovolné (s vlastností I < i < Är), platí všechny podmínky (4). "*=" nechť platí podmínky (4); nechť x E V libovolný a nechť x = u, + . . . + uk = u\ + . . . + u^, kde u„ u! E W{, i = 1,2, . . . , k jsou dvě vyjádření vektoru x ve tvaru (3). Potom pro libovolné i - 1,2,..., k dostáváme: (u. up,,= (uV Uj) + . . . + (u;_j - u._j) + (U;+1 - uř+1) + ... + (u; - ufc), tzn. (u. - u!) G W. n (Wl +....+ Wi_l +W„i+...+ Wk) odkud vsak podle (4) plyne, Že (ur - u!) = o, neboli u. = u!. Tedy vyjádření vektoru x ve tvaru (3) je jednoznačné a součet podprostorů W.,. « * , W. je přímý. ] Poznámka: rozepíšeme-li si předchozí vetu pro některá konkrétní k, pak dostáváme např.. pro k = 2: součet podprostorů W x, W2 je přímým součtem «*■ W C\W2={o} pro /v = 3; součet podprostorů W., W2, W3 je přímým součtem *> W1 n (W2 + W3) = fo) a a w2 n-{^1+ w3) = {o} a w3 n {wt+ w2) - {o} Příklad 2.3. Ve vektorovém prostoru R3 mějme dány podprostory: Wy = {(x,x,0)\x E R}, W2 = {(u,0,v)\u, v E R}, W3= {(0,k,k)\k E R} Potom užitím V.2.5. dostáváme, že a) součet podprostorů Wv W2 je přímý [je-li w E Wt C\W2, pak w = (x,x, 0) = = (u,0,v) =*■ x = 0, tzn. w = (0,0,0) a podle V.2.5. je součet přímý ] b) '"součet podprostorů Wt, W3 je přímý c) součet podprostorů W2, W3 je přímý d) součet podprostorů Wv W2, W3 není přímý [neboť např. Wt n (W2+ W3) = = W{ D R3 = W1 ¥"{o), a tedy podle V.2.5. součet není přímý ]. §3: Lineární závislost a nezávislost vektorů Definice: Nechť v je vektorový prostor nad t; nechť ur . . . , ufc je konečná - 85 - posloupnost vektorů z V. Pak vektor u = t, .u, + , , + t. u, , kde řt E ľ II k k 1 k se nazývá lineární kombinace konečné posloupnosti vektorů u,.....ufc nebo stručně lineární kombinace vektorů u,, . . . , u, Množina všech lineárních kombinací vektoru u,, . . . , ufe se bude označovat symbolem í.(u,, . ..... uk ), tzn. L(u,.....u. ) = {t. .u, + . . . + t. .u. Í t.......t, E 71 libovolné] Po/nánika: 1. všimněme si, že v předchozí definici hovoříme o "konečné posloupností vektorů u,, , . . , u. " Tímto obratem chceme říci, že je možné, aby se zde některý 7. vektorů vyskytoval případně vícekrát (tzn. může se stát, že a. = u., pro i # i) a dále, že vektory chápeme v uvedeném pořadí (tento fakt však bude hrát důležitou roli až v dalším paragrafu). Z důvodů stručnosti budeme však v dalším místo "konečná posloupnost vektorů u , . . . , u. " říkat obvykle pouze "vektory u,, . . . , uft". 2. Symbol i(u( .. . . , ufc) znamená množinu všech (možných) lineárních kombinací vektorů u,, . . . , u. , kterých je zřejmě obecně nekonečně mnoho Uvedomme si dále, že množina L(u., . , . , u ) obsahuje vždy mimo jiné: - každý z vektorů u,, . . - , u, (neboť u. = O.u. + . . . + O.u, , + Lu + O.u,,, + . , ■> 1' k i i I— 1 < í+1 . . . + 0.uk) - nulový vektor (neboť o = 0.u1 + . . . + 0.ufc). 3. V předchozím paragrafu jsme hovořili o podprostoru generovaném konečnou množinou vektorů. Je zřejmé, že místo "konečné množiny vektorů" můžeme vzít též "konečnou posloupnost vektorů" (případné opakující se vektory zde nehrají žádnou roli) a použít stejnou symboliku. Je-li tedy nl, . . . , ufe konečná posloupnost vektorů z V, pak (1) [Uj, . . . , uj = C\Wa (Wa je podprostor ve V takový, že u1, , . . , uk E Wj je podprostor generovaný vektory ut, . . . , ufc. Následující věta nám pak ukáže, že [u,, . . . , ufc] a L(u,, . . . , uk) jsou vlastně jedno a totéž. • Věta 3.1. Nechť V je vektorový prostor nad T; nechť u,.....ufe je konečná posloupnost vektorů z V. Pak platí: 1. L(xxv . . . , ufc) je podprostor ve V - 86 - 2, [Uj, . . . , ufc ] - I(Uj, . . . ,uk), tzn. podprostor generovaný vektory ul ,. . , , u je roven množině všech lineárních kombinací vektorů u......a [D fi k • z: 1. zřejmé (ověřením definice podprostoru) 2. vzhledem k (1) budeme dokazoval množinovou rovnost: (2) nWa (Wa je podprostor ve KAu,.....aá S Wa) = I(u,.....ufc). "O* plyne z vlastností množinového průniku, uvědomíme-li si, že L{ut, . . . , u.) je podprostor ve F (podle 1 části) a Že u. , . . . , u. E I(u., . . . , u, ) I re "I w "5" množina na levé straně (2) je podprostor ve V, obsahující vektory u,. . . , u , tzn. musí pak obsahovat také jejich libovolnou lineární kombinaci. ] Důsledek: Nechť V je vektorový prostor nad T, nechť u., . . . , u. je konečná posloupnost vektorů z V a nechť vt, . . . , E Ku,..... u. ). Pak platí: 1. L(vv . . . ,v3)Q L(u,, . . . , uft) (neboli [Vj, . . . , vj £ [u,, . .. .. , uj) 2. [Ul> . , uk, v,, . . . , vj = [u,----, uj [Důkaz: 1 plyne ihned z (1) a z předchozí věty, část 2. 2. inkluse "3" plyne z (l);dokažme inklusi Ale triviálně je u,,. . . , ufc E L(ul, . . , , ufc), resp. podle předpokladu je Vj, v E/.lUj, . . . , o. ). Podle Částí 1. je pak [u1? . . . , ufef v , . . . , vj £ ■ . . , ufe], Dohromady pak platí dokazovaná rovnost. J Vidíme tedy, že přidáme-li ke generátorům daného podprostoru W libovolný vektor, který je jejich lineární kombinací, dostáváme opět generátory W, resp. (totéž - jinak řečeno) odstraníme-li z generátorů podprostoru W vektor, který je lineární kombinací zbývajících, dostáváme opět generátory W. Příklad 3.1. 1. Rozepsáním se lehce ověří, Že např. R2= [(1,0), (0,1)] = [(1,1), (1,2)] = [(0,2), (1,1), (0,1)] - [(1,3), (2,1), (1,- 1),( 2,3)], atd. Vidíme tedy, Že vektorový prostor R2 je možno generovat dvěma a více vektory (zřejmě i nekonečně mnoha). Na druhé straně, prostor R2 evidentně nelze generovat jedním vektorem (neboť [(a, b)] = L ((a, b)) = {(k.a, k.b)\k E R} £ R2). 2. Ve vektorovém prostoru T" označme vektory: e, = (1,0, . . . , 0), e2 = (0,1,0, . ... 0), ._..,«« (0, ... , 0,1). - 87 - Pak píatí, že t" - [e,.... , en ], tzn. vektory e,, . . . , ew jsou generátory vektorového prostoru Tn (zřejmě pro libovolný vektor u = (u,.....un) G t" je u = u. .e, + . . . . . . + «n.en, tzn. 7"* C [e,, . . , , en ] a opačná inkluse je triviálni). 3 Ve vektorovém prostom Rn [x] označme vektory (tj. polynomy): f, = 1 .. f2 »Jt , f3 = x2 fn.M =x" . Pak zřejmě RWW = [fr. f2, . . . ,f„ + 1L tzn, polynomy 1, x, x2, .... x" jsou generátory vektorového prostom Rri[x]. Definice: Nechť V je vektorový prostor nad T a nechť (3) u. , . . u, je konečná posloupnost vektoru z V, Jestliže existují čísla t r E ľ, z nichž alespoň jedno je různé od nuly, tak, že (4) v"^ . + 0 pak říkáme, že vektory u5 , , . , u. jsou lineárně závislé. V opačném případě říkáme, že vektory ú1, . . . , ufc jsou lineárně nezávislé. Poznámka: vidíme, že pojem lineárni nezávislostí je negací pojmu lineárni závislosti. Explicitně vyjádřeno to znamená: " vektory u5, . .. . , u jsou lineárně nezávislé, jestliže pro všechna ŕ,.....tk € T, z nichž alespoň jedno je různé od nuly, platí tt.ul + . . . + /fr.ufr o" S touto definicí by se však zřejmě nešikovně pracovalo, a proto ji přeformulujeme dó ekvivalentního, ale praktičtějšího tvaru: "vektory u,, . . . , uft jsou lineárně nezávislé, jestliže platí: Praktické zjišťování závislosti Či nezávislosti daných vektorů (3) provádíme obvykle tak, že hledáme všechna čísla tv . . . , tk G t, splňující rovnost (4).Zjistíme4i, že (4) je splněno pouze pro t, = . ;• . = tk - 0, pak jsou vektory (3) lineárně nezávislé. Je-li rovnost (4) splněna i pro nějaké t{ ^ 0, pak jsou dané vektory lineárně závislé. Příklad 3.2. 1. Ve vektorovém prostoru R2 jsou např. vektory (1,0), (0,1) lineárně nezávislé; podobně vektory (1,1), (1,2) jsou též lineárně nezávislé (obojí dostaneme rozepsáním podle předchozího návodu). - 88 - Na druhé straně např. vektory (0,2), (1,1), (0,1) jsou lineárně závislé a podobně vektory (1,3), (2,1), (1,- 1), (—2,3) jsou též lineárně závislé (ověřte si sami!), 2. Ve vektorovém prostoru T" jsou vektory et = (1,0, ... , 0), e2 - (0,1,0, ...,0),..... ... , en = (0, . . . , 0,1) lineárně nezávislé (neboť, je-li /, .e.+ . . + í e = (0, ... , 0). pak = (0......0),. a tedy t, = t2 = .. . . = tn = 0). 3.. Ve vektorovém prostoru Rn [x] jsou vektory (polynomy) ř. - l, f.; - x . f , = = x" lineárně nezávislé (je-li ft„ 1 + t2,x + . . . + í,+,.*n = o, kde o značí nulový polynom, tj polynom, jehož všechny koeficienty jsou rovny nule, potom je t1 - i2 = ... . = ř- = 0, neboť dva polynomy se rovnají právě když se rovnají jejich koeficienty u stejných mocnin x). Jestliže uvažov; ná posloupnost vektorů obsahuje pouze jediný vektor, např u, pak je zjišťování lineární závislosti či nezávislosti velmi jednoduché, neboť z předchozí definice a z V. 1.1.3. plyne (rozmyslete sí podrobně jak!), Že platí: (5) vektor u je lineárně závislý <*■ u = o O trošku složitější je situace, když uvažovaná posloupnost (3) obsahuje alespoň dva vektory. Kriteria lineární závislost! nám pro tento případ udává následující věta. Věta 3.2. Nechť V je vektorový prostor nad T, nechť k>2 a u, ,'u2, . . . , uk€ V Pak následující výroky jsou ekvivalentní: (i j vektory Uj, .. . . , ufc fsou lineárně závislé (HJ 3 i (1 < / (ii)" nechť Uj, , . , ufc jsou lineárně závislé. Pak existují Čísla řj, . . . , t E T, z nichž alespoň jedno je nenulové, tak, že ř1.u, + . . . + ffcufc = o. Nechť např. t. 0. Pak ale úpravou z předchozí rovnice dostáváme: uí = - rui - • • • - f-lu,-. -f uím - • • • fUk ll U li 'i což znamená, že vektor u, je lineární kombinací zbývajících vektorů. "(ii) => (iii)" plyne přímo z 2. části důsledku V 3.1. "(iii) =» (i)" nechť platí (iii); pak ale u, G [u(...... ufc] = = [ur .... u.^. u.+ 1. . . . . uJ = L(Ul, .... u,_x, u(+1. . . . , uk), tzn. u( =p,U1+ ... ... + p, , u, , + ptJ_, u.^," + ... + ptu. , kde p. G 7. Pak po úpravě dostáváme: - 89 odkud již plyne, že vektory Uj..... u. jsou lineárně závislé. ] Poznámka: je třeba si uvědomit, že Část (ii) předchozí věty nám zajišťuje pouze existenci vektoru, který iz> vyjádřit jako lineární kombinaci zbývajících vektoru. Nelze tedy obecně tvrdit, že každý z lineárně závislých vektorů u , u2..... , ufc se dá vyjádřit jako lineární kombinace zbývajících vektorů. Např, ve vektorovém prostoru R2 jsou vektory: u, = (0,1), u2 - (1,1), u3 = (0,-2) lineárně závislé (neboť 2.ut + 0.u2 + l.u3 = o), ale přitom je zřejmé, že vektor a2 nelze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u., u3 . Důsledek. Nechť V je vektorový prostor nad T a nechť-(3) je konečná posloupnost vektorů z V. Pak platí: 1. obsahuje-U posloupnost (3) nulový vektor, pak je lineárně závislá 2. obsahuje-li posloupnost (3) dva stejné vektory, pak je lineárně závislá 3. je-li nějaká posloupnost vybraná ze (3) lineárně závislá, pak je i (3) lineárně závislá 4. je-li (3) lineárně nezávislá, pak každá posloupnost vybraná ze (3) je lineárně nezávislá. [Důkaz: všechna tvrzeni důsledku plynou přímo z definice lineární závislosti, resp. z předchozí věty. ] Na závěr paragrafu uvedeme nyní větu, která patří k nejdůleŽitéjším větám celé teorie vektorových prostorů. Veta 3.3. (Steinitzova veta o výměně). Nechť V je vektorový prostor nad T; u,, . , ,ur,v,.....VjSK Nechť vektory u,.....ur jsou lineárně nezávislé a nechť u. g L(y1, .... v^), pro i = 1, . . . , r. Potom platí: 1. r . . . , v,) [D ů k a z: provedeme matematickou indukcí vzhledem k r. a) nechť r = 1; pak je jistě r . . . , vs € L{uv> v2> .. . . , ví), a tedy podii: důsledku V.3.Í. je Z(Vj, .... v^) í Z(ur v2, . . . , vs). Opačnou inkluss dostaneme stejným zpfisobem (užitím předpokladu Uj G L(\1, . . . , ví)). a tedy platí žádaná rovnost L(ylt v2....., vi) = Z(u1,v2.....v,). (3) předpokládáme, že tvrzení věty platí pro 1,2, . . . , r - 1 (/■ > 2) a dokážeme je pro r. Podle předpokladu a předchozího důsledku jsou vektory Uj, . . , , ur t lineárně nezávislé, tzn. (podle indukčního předpokladu) r — I ...,vs) = /,(ui,...,u,_1)vř,....,ví) Ale podle předpokladu věty je ur G Z,^.....vs) = Z/CUj, . . . , u. j, vr, . . . , vs). odkud především plyne, že r - i v-/1-! -•■•~£=1Vi +ru,--fivr+1-----f ^ 'r r r r r Podle důsledku V.3.1. (užitím (7) a (8)) dostáváme, že L(uv . . . , uř_,, vr, . . . , V4) = = Z-ÍUj, ... , u,, vr+1... . . , ví). Odsud a z (6) pak plyne, že L(v1.....v ) = = Z,(Uj...... tt . v + j.... , v^), což je Žádaná rovnost. ] §4. Báze a dimenze vektorového prostoru Definice: Nechť V je vektorový prostor nad T. Konečná posloupnost vektorů Uj, . . - , un z F se nazývá báze vektorového prostoru V, jestliže platí: (i) vektory Uj, . . . , u jsou lineárně nezávislé (ii) vektory Ut, . . . , nn generují vektorový prostor V, tzn. [ut, . . . , un ] - V. - 91 - Poznámka: místo obratu "konečná posloupnost vektoru u}, . , . , u^ je bází V" budeme častěji říkat stručně "vektory ur . . . , un jsou bází F". Dále si uvědomme, Že předchozí definice nezaručuje existenci báze ani nic neříká o počtu bází ve v. Celou situaci si nejprve ilustrujme na několika příkladech. Príklad 4.1.: Z příkladů 3.1. a 3.2. bezprostředně plyne, Že: 1. vektory (1,0), (0,1) jsou bází vektorove'ho prostom R2; podobně vektory (1,1), (1,2) jsou též bázs R2 Zřejmě vektorový prostor R2 má nekonečně mnoho rôznych bází. Na druhé straně, napf. vektory (0,2), (1,1), (0,1), resp. (1,3), (2,1), (1,-1), < 2,3). resp (1,2), (2,4), resp. (1.2) nejsou bází R2. 2. Vektory e, = (1.0, . . , 0), . . . , e = (0, . . . , 0,1) jsou bází vektorového prostoru T*. 3 Vektory ŕpolvnomy) f, - l,f2=.v, . . .f = x" jsou bází vektorového prostom R [x]. Príklad 4.2.: I Nulový vektorový prostor v = {o} nemá bázi (neboť libovolná konečná posloupnost vektorů z v má tvar o,o, . , o, a je tedy lineárně závislá). 2, Vektorový prostor R\x] nemá bázi (neboť Žádná konečná posloupnost vektoru (polynomů) z R[x] negeneruje celý prostor R[x]. Je-li totiž g,, . . . , g„ libovolná konečná posloupnost polynomů z R[x\ a jestliže polynom g. má stupeň k., potom jistě existuje přirozené číslo t s vlastností: i > ki pro každé i = 1, . . . , «. Pak ale např polynom g = xT se nedá napsat jako lineární kombinace polynomů g,. . . . , gn a je tedy tg,.....gj£ *[*]•)• Rozebereme-li si předchozí definici podrobněji, pak vidíme, že báze u,,...,ub vektorového prostoru v je z hlediska generátorů "nejchudobnejší" posloupností vektorů. Přesněji řečeno, pokud bychom některý z vektorů u,,,.., un vypustili, pak zbývající vektory už nebudou generovat vektorový prostor v (plyne z V.3.2. - rozmyslete si podrobně jak). Na druhé straně, z hlediska lineární nezávislostí je báze "nejbohaťšT posloupností vektorů z v, jak v dalším ukážeme. Definice: Řekneme, že konečná posloupnost vektorů u,. un z v je maximální lineárně nezávislá posloupnost vektoru ve v, jestliže