- 92 - (i) vektory u,. . , un jsou lineárně nezávislé (ii) pro libovolné w 6 V jsou vektory u,, . . . , u , w lineárně závislé. Věta 4.1. Konečná posloupnost vektorů u .... , u je bází vektorového prostoru právě když je maximální, lineárně nezávislou posloupností vektorů ve V, ÍD ů k a z: "=*■": nechť u,,.....u je báze V; pak vekiory u,..... u jsou in 1 fl lineárně nezávislé a pro libovolný vektor w e V je w e [u,, . . . , u J = £(u , . . u ) Podle V.3.2. jsou pak vektory u., .... u w lineárně závislé a íedv u.. - u je maximální lineárně nezávislá posloupnost vektorů. "•*=": nechť ttj..... Un je maximální lineárně nezávislá posloupnost vektorů ve V. Pak Uj..... u jsou lineárně nezávislé. Dokážeme, Že jjUj, . u 1 = = V, neboli £,(u,. . ... U ) - V. Ale inkluse je triviální; naopak, nechť w £ V libovolné. Pak podle předpokladu jsou vektory ut...... UM . w lineárně závislé, tzn existu jí čísla řj, . . . , t t E T, z nichž alespoň jedno je různé od nuly, tak, Že Yui + - • • + Vu» + '.w = o Musí však být t 0 (jinak spor s lineárni nezávislostí vektorů ut.....u ), a tedy t t w = — — ut — . . . — £I(u,, . . . , un), což jsme chtěli dokázat, j Následující věta nám pak podá ješťé jednu charakterizaci báze vektorového prostoru. Víta 4.2.: Konečná posloupnost vektorů u1.....ufj je bází vektorového prostoru V právě když každý vektor w £ V je možno jediným způsobem vyjádřit ve tvaru: (1) w = /rUj + . . . + tn.VLn , kde tl.....tnET [Důkaz: "=>" nechť u,, .... u je báze V. Pak existence vyjádření (i) plyne z definice báze; dokažme jeho jednoznačnost. Nechť tedy: W = VU1 + • ' VU« = VU1 + • • ■ + ľn \ > kde tf 'i G T Pak odečtením a úpravou dostáváme {tl-rl).nl + ... + (t„-rn).u„ =o Vektory ut.....un jsou však lineárně nezávislé, tzn. musí být (t(— r.) = 0, neboli - 93 - t. - r., pro každé i = 1, . . , n. "<=" nechť každý vektor w G V se dá jednoznačné vyjádřit ve tvaru (1). Potom je V - ŕ.(u,, . . . , un) = [u,, . . . , uB ]. Zbývá ukázat, Že vektory u(.....un jsou lineárně nezávisle'. Nechť tedy: ,-. Vui • • • + VU„ = ° Zřejmě však je O.Uj + . . . + 0.un = o, a tedy z jednoznačnosti vyjádření (1) plyne, Že rt - . . - = tn - 0, tzn. iij, , . . , un jsou lineárně nezávislé. Dohromady pak dostáváme, Že vektory ut.....un jsou bázi V. ] Věta 4.3.: Nechť u%, . . . , un je báze vektorového prostoru V. Pak platí: 1. jestliže v......v je báze prostoru V, pak je m = n 2. jestliže vektory wt, . . . , w generují prostor V, pak z nich lze vybrat bázi 3. každou konečnou posloupnost lineárně nezávislých vektorů z V lze doplnit na bázi V. [Důkaz: 1. aplikujeme-li dvakrát Steinitzovu větu, dostáváme n ú m a m á n, odkud plyne, Že m = n. 2. podle předpokladu má prostor V bázi, tzn. musí být ľ#{o}. Nechť vektory wt.....vrs generují prostor V. Pak alespoň jeden z nich je různý od nulového vektoru a zřejmě je lze přečíslovat tak, Že wa, . . . , w, jsou lineám? nezávislé a Wj, . . . , w., w. jsou lineárně závislé, pro každé / s vlastností: / Úmluva: všude v dalším se budeme zabývat pouze konečnSdimenzionálními vektorovými prostory. Řekneme-li tedy, Že V je vektorový prostor nad T, bude to automaticky znamenat. Že F je konečnědimenzionální, tzn. buďto nulový prostor nebo vektorový prostor, v němž existuje báze. K tomu ještě poznamenejme Še k«Ždý podprostor koneCnídimenzionálního vektorového prostoru je sám také kanečngdimenzionálním vektorovým prostorem (plyne z V.2.1. a V.4.I.). V praxi se poměrně často setkáme s úlohou, Že ve vektorovém prostoru F, jehož dimenzi známe, např. dim V = n, ověřujeme, zda nějaká posloupnost sestávající z n vektorů je bází. V takovém případě stačí ověřovat pouze jednu z podmínek (i) a (ii) z definice báze, jak ukazuje následující veta. Věta 4.4. Nechť V je vektorový prostor nad T; dim V - n (> 1) a nechť us, ... ,nn je konečná posloupnost n vektorů z V. Pak následující výroky jsou ekvivalentní: (i) vektory ur . . . , un jsou bází prostoru V (ii) vektory u,.....u„ jsou lineárně nezávislé (iii) vektory u,.....un generují prostor V, - 95 [D ô k a z: "(í) =*■ (h)" zfejmé (piyne z definice báze) "(ii) =* (iii)" nechť u , . . . , un jsou íineárně nezávislé; podle. V.4.3.3. (vzhledem k predpokladu d i m V = n) však jsou vektory u., . . . , u bází prostom F, ízn. generují prostor V, "(iii) «* (i)" nechť u,..... u„ generují prostor V. Podle V.4.3.2. (vzhledem k tomu, Žc dim V - n) však jsou vektory u., .... u bází prostom V. ] Věta 4.5. Nechť ¥/' W2 jsou podprostory vektorového prostom V. Potom platí: 1. Wf C w2 => dim Wí < dim W2 2. W1 Q W2 a dim Wl = dim W\ =» Wl = W2 [D ô k a z; pokud W, = {o} nebo H;2 ={o}, pak obě tvrzení zřejmé platí. Nechť tedy W , W2 # {o} a nechť u......ur je báze H' , resp. vt.....vf, je báze W2 . Jestliže W Q W2, pak u,. € W2 = L(Vj, . . . , ví), / = i. .... r. přičemž vektory u.,, . . . . ur jsou lineárně nezávislé, tzn. jsou splněny předpoklady Steinitzovy vSty. Potom: 1. podle Steinitzovy věty je r \ ui+ • • •+>'„ tzn. potom (po úpravě): x + y = (xj + yx) . ux + . . + (xn + yn). un; t.x = (t.x}). u, +.....+ (t.xn) u„ odkud jíž plyne tvrzení vety. ] - 99 - IV. MATICE A DETERMINANTY §1: Pořadí a permutace Permutací libovolné množiny M se obecně rozumí každé bijeKtivní zobrazení množiny M na sebe samu. Naším cílem však není studium obecných vlastností permutaci libovolných množín, nýbrž permutace nám budou pouze pomocným nástrojem ke studiu dalších algebraických pojmů. Omezíme se proto v tomto paragrafu jen na výklad nejzákladnějších vlastností permutací konečné množiny M, řekněme rc-prvkové. Pro zjednodušeni vyjadřování budeme v dalším předpokládat, že množina M se skládá z prvních n přirozených čísel, tzn. M -= {1, 2,.....n). Definice: Nechť M = {1,2,.... n}. Pak libovolná uspořádaná n-tice utvořená z prvků množiny M se nazývá pořadí z n prvků 1,2,...,« nebo s tra čně pořadí. Nechť R - (r , . , . , r ) je libovolné poradí; řekneme, Že dvojice r., r je inverze v pořadí R, jestliže i r (tj. jestliže vetší z obou čísel předchází v daném pořadí Číslu menšímu). Pořadí, v němž celkový počet inverzí je sudé Číslo (resp. liché číslo) se nazývá sudé pořadí (resp. liché pořadí). Hovoříme pak též o paritě pořadí. Příklad 1.1. Nechť n = 8; potom pořadí (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) je sudé (celkový počet inverzí je 0); pořadí (3, 1, 2, 7, 5, 8, 6, 4) je liché ( celkový počet inverzí je 9). Celkový počet inverzí v danem konkrétním pořadí zřejmě nejrychleji zjistíme tak, že bereme odleva jedno Číslo po druhém a pro každé z nich spočítáme, kolik menších čísel stojí za ním (napravo). Sečtením těchto hodnot pak dostaneme celkový počet inverzí v daném pořadí. Definice; Nechť R = (r . . , , r ),■ S = (äj, . . . ;sn) jsou dvě pořadí; nechť existují indexy i tak, že s. - r., s. = r( a dále rk - $k pro k ť* i, j. Potom řekneme, že pořadí S vzniklo z pořadí R provedením jedné transpozice. Poznámka: jinými slovy řečeno - provedení jedné transpozice znamená vzájemnou záměnu dvou různých prvků v daném pořadí, přičemž všechny ostatní prvky zůstávají na původním místě. - 100 - Věta L L Nechť n je pevné přirozené číslo; pak platí: L z n prvků lze utvořit celkem n \ různých pořadí 2. všech n\ pořadí z n prvku lze seřadit tak, že každé následující pořadí obdržíme z předcházejícího provedením jedné transpozice. Při tom lze vyjít od libovolného pořadí. [Důkaz: připomeňme, že symbol ní (2ti "« faktoriá!") značí přirozené číslo defí váné; n\ = n . (n - 1) ..... 2.1 . DokazovatJbudeme obé části věty najednou, a to matem tíckou indukcí. a) pro n = i obě tvrzení triviálne platí 0) předpokládejme, že obě tvrzení platí pro 1, . . . , n — 1 a budeme je dokazoval pro n. Nechť (r . . . , r ) je libovolné pořadí z n prvků. Podle indukčního předpokladu, všech pořadí, která mají na posledním místě prvek r je celkem (n — 1)! a lze je seřadit tak, že následující vznikne z předchozího provedením jedné transpozice V posledním z těchto pořadí proveďme transpozici prvků r a r. (1 < / < « - 1) a stejnou úvahou jako výše do: neme (n - 1)! pořadí s prvkem r. na posledním místě. Takto vystřídáme na posledním míst: všech n prvků, čímž dostaneme všechna různá pořadí z n prvků, kterých je tedy n , (n í - «!. pn čemž následující pořadí vzniklo vždy z předchozího provedením jedné transpozice Větu K 2. Provedení jedné transpozice změní paritu daného pořadí. [D ů k a z: provedeme ve dvou krocích, nejprve pro transpozici sousedních prvků a potom pro transpozici libovolných dvcu různých prvků daného pořadí. a) nechť v pořadí R = (r . ... r{, r{+ .... , r ) je t inverzí. Provedením transpozice sousedních prvků r a r dostaneme pořadí -R' = ír,, . . . , r{+l, r.y ... , rn), v něm? je buď t i nebo t + 1 inverzí. Tedy /?' má opačnou paritu než R. b) nechť /? - (/^, . . . , r., . ... r ... , rn) je dané pořadí. Provedením transpozice prvků r. a r dostaneme pořadí /?' = (rr . . . , r., . . . , rt, . . . , r'n). Tuto transpozici však lze realizovat postupným provedením (j - i) + (j - ř - 1) - 2(/ - /) - i transpozic sousedních prvků. Ale číslo 2{j - i) - 1 je liché, tzn. užitím a) dostáváme tvrzení. ] Věta 1.3. Nechť n > 2; pak z celkového poctu n\ různých pořadí z n prvků je — sudých a ~~ lichých pořadí. 2 2 [Důkaz: tvrzení věty plyne ihned z V. 1.1. a V. 1.2. ] Definice: Nechť M = {1, 2, . . . , n} je konečná množina o n prvcích. Pak bijektivní zobrazení P množiny M na sebe se nazývá permutace množiny M nebo krátce permutace. Permutaci P definovanou: P(if) = jt, pro t = 1, . . . , «, budeme zapisovat ve formě dvouřádkové tabulky tvaru - 101 - p=i Poznámka: permutace množiny M je tedy bijekce M -* M, kterou zapisujeme ve tvaru dvouřádkové tabulky. Znamená to, že v horním i dolním řádku této tabulky musí být vždy nějaké pořadí z n prvků. Zřejmě lze tutéž permutaci P zapsat v uvedeném tvaru celkem n\ formálně různými způsoby (zaměníme-li pořadí sloupců v tabulce permutace). Všech těchto n\ zápisů permutace P je samozřejmě naprosto rovnocenných, i když nejčastěji bu- / 1 2 ... n \ deme permutaci zapisovat v tzv. základním tvaru: (,,,)• Příklad 1.2. Pro n = 5 jsou: /l 2 3 4 s\ / 3 2 1 4 S\ (,2 3 5 4 J ' ^ (,5 3 2 4 J ' ™»' tři formálně různé zápisy téže permutace (z celkového počtu 5! = 120 možných zápisů této jedné permutace). Věta 1.4. Počet razných permutací n-prvkové množiny je roven n\ [Důkaz:- zapíšeme-li každou permutaci v základním tvaru ^ jj. \ \ \\ j » pak různých permutací bude přesně tolik, kolik bude různých pořadí v dolním řádku. Těch je vsak n\, podle V.l.1.1. ] Definice: Permutace P se nazývá sudá permutace, resp. lichá permutace, jestliže součet počtu inverzí v horním a dolním řádku tabulky permutace P je sudé číslo, resp. liché číslo. Hovoříme pak též o paritě permutace. Poznámka: I když danou permutaci P můžeme zapsat n\ formálně různými tabulkami, je předchozí definice korektní, neboť při libovolném zápisu permutace P je parita horního a dolního řádku (chápaných jako pořadí) buď vždy stejná nebo vždy rozdílná. Tento fakt plyne z toho, že při přechodu od jednoho zápisu permutace P k jinému provádíme totiž jistý počet transpozic, a to současně v horním i dolním řádku. Věta 1.5. Nechť n > 2; pak z celkového počtu n\ různých permutací n-prvkové množiny je ^ sudých permutací a |* lichých permutací. [Důkaz: Každou permutaci zapíšeme v základním tvaru | ' * * j ■ Parita permutace je pak shodná s paritou pořadí v dolním řádku a věta plyne bezprostředně z V. 1.3. ] - 102 - Na za'vér paragrafu využijeme příležitosti, kterou nám permutace poskytují, a vrátíme se ' rátce k algebraickým strukturám. Jak bylo výše řečeno, permutace «-prvkové množiny M Iq bijekce M •* M, tedy zobrazení. Pro permutace tak platí všechny základní poznatky o Vizeních. uvedené dříve. Například můžeme permutace skládat (ve smyslu skládání zobrazeni), přičemž zřejmé výsledné zobrazení (tj. složení dvou óijekcí) je také bijekce M -v M I 1 2 ... n \ "i!i permutace Konkrétně, zapíšeme-li permutace P, R ve tvaru P - I . , XII ' * n I /í, l2 . . i V ; R~| . .- / ) - pak složením P a Ä (v tomto oořadí) dostaneme permutací VI '1 • • • >n I n ■ x > P ~ [ , j f j . Tedy. množina všech permutací n-prvkové množiny M s operací o skládání permutací je grupoid, který podle V.5.2., kap. i. je pologrupou. Platí však ještě via-, jak ukazuje následující veta. Věta 1.6. Množina všech permutací n-prvkové množiny, s operací o skládaní permutaci je grupou. Tato grupa je pro n > 3 nekomutativní. Důkaz: podle předchozí poznámky jde o pologrupu. Dále, zřejmě permutace 2 nj je jedničkou a k libovolné permutaci P= (j* j"\ existuJe inverzní permu- í/1 ' /" I • Tedy množina všech permutací n-prvkové množiny s operací o je II 2 . . n face, a sice iirupa. /1 2 3 \ /1 2 3 \ Nechť n > 3; pak pro P = ( 3 i 2 ! ! J > Ä 83 \l 3 2'.'.'. j Platí R 0 P^F * R (ověřte si detailně sami!), a tedy operace o není komutativní. ] Poznámka: Předchozí věta udává jeden z nejjednodušsích příkladů nekomutativní grupy. Tato grupa se obvykle nazývá grupa permutací (na n-prvkové množině M), nebo též symetrická grupa permutací stupně n. §2. Determinanty Jedním ze základních pojmů celé moderní matematiky je pojem matice. Teorie matic hraje ústřední úlohu v tzv. lineární algebře. Její výsledky se pak aplikují při řešení soustav lineárních rovnic, při studiu vektorových prostorů a v celé řadě dalších odvětví nejenom matematiky. Definice: Nechť T je Číselné těleso; m, n jsou přirozená čísla. Pak obdélníkové schéma tvaru: - 103 - D a2l a22 ■ ■ • U2n a , a ..... a kde a.. G 7", pro " 7=1, se nazývá matice ty. u min (nad tělesem T). Označení: A = (a..), typu min. Čísla G 3" se nazývají prvky matice 4. Matice A = {a..) typu m/n a matice B - (b..) typu p/q jsou si rovny, jestliže jsou stejného typu (tj. m - p A n = q) a je-li a, - b pro každé i, j. Poznámka: 1. Předchozí definice matice je sice názorná, ale přísně vzato, není zcela sorektní, neboť se v ní používá formálně nejasného a nepřesného pojmu "obdélníkové schéma" (a je pak nutné hovořit o rovnosti dvou matic). Zcela přesně by bylo třeba matici :;. pu mjn nad tělesem 7' definovat jakožto zobrazení / : {1,2, . , m) x £ 1, 2, . . . , n} -+ T, kde /((/, /)) = a.. Při této definici by však většina tvrzení o maticích byla formálně značně komplikovaná a ■.^přehledná. Ponecháme tedy definici matice tak, jak byla původně uvedena (tj. vypisujeme vlastně funkční hodnoty uvedeného zobrazení / do onoho "obdélníkového schématu"). 2. Každý jednotlivý řádek matice A typu mjn nad tělesem T můžeme zřejmě uvažovat jako uspořádanou n-tici prvků (tj. čísel) z tělesa T, tzn. jinak řečeno, jako vektor z vektorového prostoru Tn, Má smysl pak hovořit o sčítání řádků matice, násobení 'jílku číslem z T, lineární kombinaci řádků, lineární závislosti a nezávislosti radku, atd., a to ve smyslu uvedených operací, resp. pojmů tak, jak byly definovány ve vektorovém prostoru 7''. Matici A lze pak též chápat jako uspořádanou m-tici vektorů z T". Analogicky můžeme sloupce matice A chápat jako vektory z vektorového prostoru Tm a provádět s nimi tytéž úvahy. ' Definice: Nechť A - (a..) je matice typu mjn nad T. Potom: (i) je-li a.. = 0, pro každé i, j (tj. všechny prvky matice jsou rovny nule), matice x nazývá nulová matice (typu mjn) a označuje se symbolem 0mn (ii) je-li m = n (tj. počet řádků je roven počtu sloupců), matice A se nazývá čtvercová matice řádu n (iii) matice A' typu nim , která vznikne z matice A záměnou řádků za sloupce, tj. - 104 - fa. í 2 1 ml 1 1 n 2 n t n j se nazýva transponovaná matice k matici A. Ve zbývající části tohoto paragrafu se budeme zabývat pouze Čtvercovými maticemi řádu n nad pevným číselným tělesem T. Pro tyto matice nejprve zavedeme následující pojem: Definice: Nechť A = (a..) je čtvercová matice řádu n nad tělesem 7. Pak determinant matice A je Číslo z telesa T, označené de t A (nebo též \A [) a definované vztahem: de t A = a,, .a. kde /(/ ) značí celkový počet inverzí v permutaci f !• f \ \ použitých " \ '\ >2 ■ ■ ■ >n J řádkových a sloupcových indexů. Sčítání se provádí přes všechna různá pořadí (/,»-•• ./„) sloupcových indexů. Součin (_l)í(/>""'y , an. se nazývá člen determinantu. Poznámka: Rozebereme-li si předchozí definici podrobněji, pak vidíme, že determinant det A je číslo z T, které dostaneme sečtením celkem n\ členů determinantu (viz V. 11 i.i. Přitom každý jednotlivý člen determinantu je součinem n prvků matice A vybraných tak, Že z každého řádku a každého sloupce je vybrán právě jeden prvek a tento součin je "opatřen znaménkem + nebo -" podle toho, zda permutace utvořená z řádkových a sloupcových indexů vybraných n prvků je sudá nebo lichá. Dále je třeba si uvědomit zásadní rozdíl mezi pojmem matice (tj. jakýmsi obdélníkovým resp. Čtvercovým schématem) a pojmem determinantu matice (tj. pevným číslem z T). Příklad 2.1. Rozepišme si předchozí definici determinantu pro nejjednodušší případy, tj. «=1,2, 3. n - 1 11 i i n = 2 an ai2 ä2l U22 ai2M2l - 105 - n - 3 U. „ i 2 a!3 a 22 «2 3 °3l a32 a33 ííiríZ22-a33+a12-a23-a31 + ai3-a21-a32 ai3-a2 2-a31 aí2'a3Va3 3 fl!ra23-a32 Je videí, Že výpočet determinantu matice pouze na základe" definice by byl neúnosně zdlouhavý a pracný, zejména pro větší n. Např, pro n = 10 by bylo nutno spočítat přes tři a půl milionu desetičlenných součinů (neboť 10! = 3 628 800). Z tohoto důvodu uvedeme nyní několik vět, popisujících základní vlastnosti determinantů, které mnohdy výpočet determinantu podstatně usnadní. Všude v dalším v tomto paragrafu budeme symbolem A označovat čtvercovou matici A - (a.,), řádu n, nad tělesem T. Veta 2,1. Transponováním matice A se hodnota determinantu nezmení, ŕ/", det A' = = det A. a, . .a„ [Důkaz: Nechť (j, j2.....jn) je libovolné pořadí z n prvků. Pak součin .a se vyskytuje právě jednou v det A i det A'. Tento součin je Zřejmě »v 2>2 v det A vynásoben číslem (- l)ř, resp. v det A * číslem (-IY, kde r, resp. ä značí 1 2 ...n\ c //, /, . . ./V ■ /' celkový počet inverzí v permutaci však je r = s, odkud již plyne tvrzení. ] h h , resp. 2 . . n Věta 2.2. Nechť prvky k-tého řádku matice A mají tvar: (lkl = bkl + Ckl> ak2 = bk2 + Ck2> ■ a, - b. + c, kn krt kn a nechť matice B, resp. C se liší od matice A pouze v prvcích k-tého řádku, přičemž b . . . , b , resp. ckx > ■ • ■ > ck„ !e k-tý řádek matice B, resp. C. Potom: det A = det B + det C Schematicky zapsáno, platí: 11 \i +cki n 1 1 n b, + c. kn kn 1 i k 1 . a 1 n k n a .... a r! l nn c. , . . . c, Kí kn - 106 - [D u k a z: Tvrzení plyne přímo z definice determinantu, neboť pro každý člen determinantu det A platí: ( 'n\au . .... , (b . + ch. ).....a . =(.....i)I{/i—Jn\a * (-1) "!;;ŕ. a, . ..... c, Poznámka: Předchozí vetu lze zřejmé rozšířit pro libovolný konečný počet sčítanců v k-tém řádku matice A (dokáže se pomoci matematické indukce). Veta 2.3. Nechť matice B vznikne z matice A L záměnou dvou různý< .i řádků; potom je det B = - det A 2. vy násobení,,i jednoho řádku pevným číslem t G T; potom je det B - t.det A .. [Dôkaz: 1. Zaměňme v matici A k-tý řádek s r-tým řádkem, kde k r. Pak součiny vyskytující se v det A a det B zůstanou stejné, ale mají vždy opačná znaménka, /i k . . . ľ ... /A II . . . k ... r . . . n\ protože permutace ^ ; /; J a (;- /fc .. . ,-J mají (podle VI .2.) různou paritu. Potom však det B = - det A 2. Plyne přímo z definice determinantu, neboť vynásobíme-li v matici A např. &-tý řádek prvkem t E T1, potom: det 5 = 2(-l)/(/l,-,/»).ai. , ... ."/.a .....a = ř.S(-l/(/l '"","\aí......a. =ř.detA] - i 'fc 'n '1 'n Veta 2.4. Nechť v matici A 1. jeden řádek sestává ze samých nul, potom je det ^4 = 0 2. dva různé řádky jsou shodné; potom je det A = 0 5. řádek je t-násobkem jiného řádku (t G T lib.); potom je det A - Q 4. jeden řádek je lineární kombinací ostatních řádků; potom je det A = 0. [Důkaz: 1. plyne přímo z definice determinantu; každý Člen det A je totiž roven nule, poněvadž obsahuje nulu (a sice z toho řádku, který sestává ze samých nul). 2. zaměníme-li ty dva řádky matice A, které jsou shodné, pak matice A se zřejmě nezmění. Podle V.2.3.1. však musí být det A = - det A, tj. 2.det A = 0, odkud však dostáváme, že det .4 = 0. 3. plyne přímo z V.2.3.2. a z právě dokázaité části 2. 4. nechť např. k-tý řádek matice /i je lineární kombinací ostatních řádků. Pak det A lze podle poznámky za větou 2.2. vyjádřit jako součet (n - l) determinantů, - 107 - z nichž v§ak v každém je k-tý řádek násobkem nějakého jiného řádku. Podle části 3. této věty je však každý z těchto (n - 1) determinanto roven nule, a tedy det A = 0 + 0 + . . . + 0 = 0.] Věta 2.5. Hodnota determinantu matice A se nezmění, jestliže 1. k jednomu řádku matice A přičteme libovolný násobek jiného řádku 2. k jednomu ádku matice A přičteme libovolnou lineární kombinaci ostatních řádků 3. jeden řádek matice A ponecháme beze změny a k ostatním řádkům přičteme jeho libovolné násobky. [Důkaz: 1. plyne bezprostředné z V.2.2. a V.2.4.3. 2. plyne z poznámky za V.2.2. a z V.2.4.4. 3. plyne z 1, jejím opakováním. ] Poznámka: z věty 2.1. plyne, že ke každé z následujících vět, tj. V.2.2., V.2.3. a V.2.4. platí analogická věta, kterou získáme tak, že v původní formulaci slovo "řádek" nahradíme slovem "sloupec". Například platí tedy tvrzení: "jestliže v matici A je jeden sloupec lineární kombinací ostatních sloupců, potom je det A. ~ 0", atd. Tuto úvahu lze zřejmě uplatnit na každé tvrzení o determinantech matice, týkající se řádků matice. Dostaneme tak stejné tvrzení, týkající se sloupců. Analogicky naopak (tzn. z každého platného tvrzení o determinantech, týkajícího se sloupců dané matice, dostaneme záměnou slova "sloupec" za slovo "řádek" platné tvrzení, týkající se řádků.) Větu 2.5. (a odpovídající větu pro sloupce) Často využíváme při konkrétních výpočtech determinantů, kdy se přičítáním vhodných násobků jedněch řádků (resp. sloupců) k jiným řádkům (resp. sloupcům) snažíme matici upravit na takový tvar, z něhož již determinant lehce spočítáme. Například, dojdeme-li k matici A tvaru . Kí ai2 ■ ■ ■ ain \ \ 0 0 ... 0 a I (tj. vSude pod hlavní diagonálou jsou nuly), pak det A ~ a1 l.a32.....ann, jak plyne ihned z definice determinantu. Stejný výsledek (tzn. hodnota determinantu je rovna součinu prvků v hlavní diagonále) dostaneme, jestliže v matici jsou samé nuly nad hlavní diagonálou. - 108 - Ve zbývající Části tohoto paragrafu pak odvodíme ještě jeden způsob, jak zjednodušit výpočet determinantu. Definice: Nechť A = (af.) je čtvercová matice rádu n; nechť je zvoleno k jejích řádků a sloupců {k < n), a sice: 1 < /,< ?2 < . . . 2 a. . a, .... a, . , a. . a.....a, . . \ Vl lk>2 {k'k j se nazývá submatice matice A, určená řádky il, . . . , zfc a sloupci ft, . . . , / . Její determinant \M I se nazývá minor řádu k matice A. Zbývajícími (n - k) řádky a (« — /:) sloupci je určena submatice M matice A, která se nazývá doplňková submatice k submatici M a její minor \M | se nazývá doplněk mi-noru \M |. Označme sM - /, + i2 + . . . + L + /, + . . . + jk . Pak číslo (-1) M. \M\ se nazývá algebraický doplněk minoru \M\. Člen doplfiku \M\, vynásobený číslem (—1)M se pak nazývá člen algebraického doplňku minoru \M\. Příklad 2.2. Nechť A je čtvercová matice řádu 4 nad tělesem R A = Zvolíme-li i. = 1; L » 3; / ■ 2, /. = 3, tj. první a třetí řádek, resp. druhý a třetí sloupec, pak submatice M určená zvolenými řádky a sloupci je tvaru: M= (2 0) ' tZn* minor \M\~~6- Doplňkovou submatici je pak: M = ( 6 _3 ) ' tZn' dopln8k ,F| = +18' Dále jS SM= 1 + 3 + 2 + 3=1 9>ízn" algebraický doplněk minoru \M | je: (-1) M. \M\ = (-1)9.18 = -18. - 109 - Poznámka- OznaČíme-Íi s- součet indexů řádků a sloupců určujících doplňkovou sub-matici M, pak zřejmě platí: (~l)M - (-\)M, neboť sm+sm =2.(1 + 2 + ... + «) je sudé číslo, a tedy sM a sff musí být obě buď současně sudá nebo současně lichá. Tedy algebraický doplněk minoru \M\ je též roven Číslu {-\)M. \~M\, což lze někdy při praktických výpočtech s výhodou použít. Věta 2.6: Nechť A je čtvercová matice řádu n, nechť \M\ je minor řádu k matice A (k 2 a A, B jsou Čtvercové matice řádu n (nad T) tvaru: /1 0 ... 0\ A = 0 0 ... 0 \o o ...oj B = /o 0 . ..0 1 0 . . . 0 0 0____0 Pak přímým výpočtem zjistíme, že A.B - 0nn, kdežto B.A = B, což znamená, Ze A.B # B.A. Vidíme tedy, že násobení matic obecně není komutativní. Na druhé straně, násobení matic je však asociativní a násobení matic je distributivní vzhledem ke sčítání matic (samozřejmě za předpokladu, že všechny použité součty a součiny matic jsou definovány), jak ukazují ná-sledující dvě věty. Věta 3.3. Násobení matic je asociativní, tj. nechť matice A je typu min, B je typu n/p a C je typu p/q. Potom platí: A . (B.C) = (A.B) . C [Důkaz: Nechť platí předpoklady věty, přičemí A = (a..), B = (blf), C = (c(j). Pak matice A.B = (d..) je typu m/p, přičemž d{f~ 2 Dále pak (A.B) . C = (fjf) je p p n matice typu m/q, kde /.. = 2 d..c. = S 2 a..bijv.c , přičemž v posledním výrazu není •/ v= 1 ' v= 1 u = 1 " ' třeba v součinu za sumačními znaky závorkovat, neboť se jedná o součin Čísel (z T), pro který platí asociativní zákon. ■ p Podobně, matice B.C = (g(/) je typu njq, kde g{J = Zbív.cvf. Dále pak A . (B.C) = (hlf) je matice typu m/q, kde: -115 n n p p n h..- 2 a. .g -Za.. 2 ď x .= 2 Sa, .b .c =f . Dohromady tedy platí dokazovaná rovnost. ] Věta 3.4. Násobení matic je distributivní vzhledem ke sčítám matic, tj. 1. Nechť matice A je typu m/n, resp. B, C jsou typu n/p; potom platí A . (B + C) = A.B + A.C 2. Nechť matice F, G jsou typu mjn, resp. H je typu n/p: potom platí: (F + G) . H = F. H '■ G.H [Důkaz. 1. Nechť A = (a..) je typu m/n, resp. B = {bi}), C = (c„) jsou typu o/p. Potom i4 . (5 + C) = (úľ) je matice typu m/p, přičemž d,. = 2 a,..{b.. + c.,). Dále matice ^4.5 + = (f..) je matice typu m/p a platí: Dohromady tedy platí 1. 2. Dokáže se analogickým způsobem jako 1. ] Definice: Čtvercová matice řádu « (nad T), tvaru /i 0 0 ... 0 0 \ [O 1 0 ... 0 o \ \ 0 0 0 ... 0 1 / (tj. matice mající v hlavní diagonále samé jedničky a všude jinde samé nuly) se nazývá jednotková matice (řádu n). Věta 3.5. Množina všech čtvercových matic rádu n (nad T), s operacemi sčítání matic a násobení matic, tj. (MatMn(T), +, .), je okruhem s jedničkou. Tento okruh pro n > 2 není komutativní a obsahuje dělitele nuly. [Důkaz: Je zřejmé, že sčítání matic, resp. násobení matic jsou operace na množině Mat (T). Z vět 3.1. 3.3. a 3.4. pak ihned plyne, že (Mat AT), +, .) je okruh. Dále, pro libovolnou matici A S Matn|j(D zřejmě platí (ověřte si rozepsáním!), že - 116 - E .A - A.E =A n n a tedy jednotková matice En je jedničkou okruhu (Matnn(T), +, .). Z přikladu 3.2. pak plyne, že pro n > 2 tento okruh není komutativní a obsahuje dělitele nuly (nulou je zde zřejmě nulová matice řádu n, ízn. 0nn). ] Poznamenejme, že okruh (Mat(;;;(r), +, .), stručně též nazývaný "okruh matic", je jedním z nejjednoduSSích příkladů nekomutativního okruhu. Věta 3.6. Nechť A = (a..) je matice typu m/n, B ~ (b.,) je matice typu n/p. Pak platí: (A.B)' = B\A' (tj. transponovaná matice k součinu matic je rovna součinu transponovaných matic v opačném pořadí). [Důkaz: Matice (A.BY = (c.) je typu p/m, přičemž c je prvek stojící v matici n A.B v ;-tém řádku a í-tém sloupci, tzn. c..= S a...b... Dale pak matice B .A = (a..) je n n typu p/m, kde d,. = 2b. ..a., - S a...b. . = c, a tedy platí dokazovaná rovnost. ] Věta 3.7. (Cauchvova věta) Nechť A ~ (a..), B = (£>..) /50u čtvercové matice řádu n. 1} í) Pak platí: \A.B\ = \A\.\B\ [Důkaz: Uvažme matici H, řádu 2n, tvaru: Užitím Laplaceovy vety (a sice, rozvinutím podle prvních n řádků) dostáváme (O \H\ = \A | . \B\ - 117 - Nyní - ke každému z posledních n sloupců přičteme vhodnou kombinaci prvních n sloupců tak, aby na místě každého b.. vznikla nula (přesněji řečeno: k (rc+/)-tému sloupci přičteme 6^-krát 1. sloupec + . . . + Z?n/.-krát n-tý sloupec, pro /' = 1, . . . , n). Dostáváme tak matici I ail ••• "in Cll ■■■ Cl»\ a , ... a c .... c -10... o o ... o ^ 0 ... 0-1 o ... o n t v níž c„ - a,\.bi; + . . . + a, .b , - ľ, a., .b,., pro i, j = 1, . . . , n. Při tomto označení je tedy (c,.)-A.B. Rozvinutím podle posledních n sloupců matice K pak dostáváme: (2) \K\ = \A.B\ . (-1)". (_i)i + ».+ "+<«ti>+...+a« = \A.B\ . (-I)2-»-<»+i)= \A.B\ Ale úpravy, pomocí nichž jsme z matice H dostali matici K, nemění hodnotu determinantu (podle V.2.5.2. zformulované pro sloupce), a tedy \H\ - \ K\, odkud pomocí (1) a (2) dostáváme: \A \ . \B | = \A.B\, což je žádané tvrzení. ] Definice: Čtvercová matice A se nazývá regulární matice (resp. singulární matice), je-li \A \ i= 0 (resp. \A \ = 0). Důsledek: Nechť A, B jsou čtvercové matice stejného řádu n. Pak platí: matice A.B je regulární obě matice A i B jsou regulární. [Důkaz: tvrzení plyne přímo z definice regulární matice a z Cauchyovy věty. ] Definice: Nechť A je čtvercová matice řádu n. Matice X s vlastností (3) A.X = E A X.A=E - ' n n (pokud taková existuje) se nazývá inverzní matice k matici A a označuje se symbolem A~l. Poznámka: Ze (3) především plyne, Že inverzní matice (pokud existuje) musí být také čtvercová, řádu n. Dále, vzhledem k tomu, že (Matnn(T), .) je pologrupa s jedničkou En . 11 X (viz V 3 5.) a pojem inverzní matice je totožný s pojmem inverzního prvku v této pologrupS, mfiže k matici A existovat nejvýše jedna inverzní matice (podle V. 1.3.. kap. II) a označení A"1 je tedy korektní. Následující včta a její důsledek nám pak udává nutnou a dostatečnou podmínku existence inverzní matice a vzorec pro její výpočet. Věta 3.8. Nechť A - (a..) je čtvercová matice řádu n. Potom k matici A existuje matice inverzní A je regulární matice. [D ů k a z: "=*" nechť k A existuje inverzní matice A~l. Pak platí E - A.A"1 , odkud: ] = \En 1 = \A.A~1 | = \A \ . [A'1 [. Pak aleje \A j # 0, a tedy /í je regulární matice "<=" nechť A jc regulární matice, tzn. \A \ ^ 0. Označme: I A\ 1 A2\ ■ ■ ■ Anl a *= I Ai2 A22--' An2 A, A, ...A lil 2 n r. n matici, v níž na /, /-tém místč je A., (pozor na pořadí indexů!) tzn. algebraický doplnČK prvku, stojícího na/', /-tém místč v pôvodní matici A. Poznamenejme, že matice A* se nazývá yujungovana matice k matici A. Nvní dokážeme, že matice X=-^—.A* je inverzní maticí k matici A. Nechť A.X = , Ml -(c), tzn. c = -í— . la.. J... Potom ale: " \A\ k=i lk ,k - pru i = i je c. =—— . S a...A. = . M | = 1 (užitím důsledku Laolaceovv věty) " \A 1 ít = i 1 '* |/4 | - pro i / je c.. =-i- . S a,fr.^4.t = ~ ■ 0 = 0 (vÝraz Z a A je roven nule, neboť \A | í. = i ,fc /fe Ml fc=i ; podle důsledku Laplaceovy věty se jedná o determinant matice, v níž ř-tý a /-tý řádek jsou stejné). Vidíme tedy, že A.X - (c..) - En. -Analogickou úvahou se zjistí, Že X.A = En, tzn. dohromady dostáváme, že X = A"1 a tedy k matici A existuje matice inverzní. ] Důsledek: Nechť A je regulární matice. Pak: A~1 = (—^) • A * . [Důkaz: Tvrzení plyne ihned z 2. části důkazu předchozí vety. ] - 119- NSkteré jednoduché základní vlastnosti inverzních matic, resp. regulárních matic nám popisují následující dvě věty. Věra 3.9. Nechť A, B jsou regulární matice řádu n. Pak platí: L (A-1)-1 =A 2. (A.Br1 =B~i.A-i . j = JL 4..MT1 =(A-ly 3. \A~ \A [Důkaz: 1. a 2. plynou z V. 1.4., kapitoly II. a z V.3.8., uvědomíme-li si, že (Matnn(T), .) je pologrupa s jedničkou 3. zřejmě A.A~X = En, odkud podle Cauchyovy věty je: 1.4 | . \Al | = \En | = 1, tzn. \A~X \ = Jj-j 4. podle V.3.6. je: (A-l)'.A' = (/M~l)'= E\ = En a analogicky též 4* (A~lY - E , tzn. podle (3) je (A~1)' inverzní maticí k matici A', neboli platí 4. ] Věta 3.10. Nechť Mat (T) značí množinu všech regulárních matic řádu n (nad T). Pak (Mat (jT), .) je grupa, která pro n>2 je nekomutativní. [Důkaz: Zřejmě En E Matnm (T). Podle důsledku Cauchyovy věty, podle V.3.3. a podle V.3.8. ihned dostáváme, že (Matnn(7), .) je grupa. Dále nechť n > 2; vezměme matice A, B řádu n, tvaru: /O 0 ... 0 0 B = 1 0 0 ... 0 1 o \ 1 o... o o o, Potom zřejmě A, B jsou regulární, tj. A, B € Matnn(T) a platí A.B^BA (ověřte si výpočtem!). Tedy uvažovaná grupa není komutativní. ] Multiplikativní grupa regulárních matic řádu n (> 2) je dalším poměrně jednoduchým příkladem nekomutativní grupy. Poznámka: Všimněme si, že z V.3. 8. bezprostředně plyne, že při praktickém ověřování, zda matice X je inverzní maticí k A stačí ověřovat pouze jednu z rovností (3), tzn. rovností - 120 - A.X = E ; X.A ~ E n poněvadž druhá rovnost je již vynucena. (Je-li např. A.X = En, pak A je regulární a existuje matice A"1. Pak vynásobením výchozího vztahu zleva matic? A"1 a zprava maticí A dostáváme: A~l. (A.X) . A ~ A~l.En.A , tzn. po úprave: X.A = En.) §4. Hodnost matice V tomto paragrafu bude A = (a..) značit matici typu m/n nad Číselným tělesem T, tzn. ľa., a..... a. / 11 12 ln «2 1 «22 - - • "2n ml m 2 m n kde a., G T Jak již bylo dříve řečeno, řádky matice A můžeme chápat jako vektory z vektorového prostoru T". Potom vektory - řádky matice A generují v T" jistý podprostor W a my se v dalším budeme zajímat o jeho dimenzi. Podobně, sloupce matice A lze chápat též jako vektory - tentokrát z vektorového prostora T, přičemž tyto vektory - sloupce matice A generují v Tm jistý podprostor //. Je samozřejmé. Že T" a Tm jsou obecně dva zcela rozdílné vektorové prostory a totéž platí i o podprostorech W a H. Přesto však ukážame, že dimenze obou těchto podprostorů musí byt stejné, tzn. dim W - dim //. Definice: Nechť A = (a ) je matice typu m/n nad T. Pak dimenze vektorového podprostorů v T", generovaného řádky matice A, se nazývá hodnost matice A a označuje se symbolem h(A). Veta 4.1. Hodnost matice je rovna maximálnímu počtu jejich lineárne nezávislých řádků. [Důkaz: Tvrzení plyne ihned z definice hodnosti matice, definice dimenze, definice báze a z V4.1., kap. III. ] Poznámka: Z předchozího je zřejmé, že hodnost matice A je rovna nule právě když A je nulovou maticí. Je-li tedy matice A nenulová, pak její hodnost je rovna některému přirozenému číslu. - 121 - Další možnost vyjádření hodnosti matice nám ukáže následující věta. Poznamenejme k ní jeStě to, že pojem minoru řádu k matice A lze zřejmě stejným způsobem jako v §2 definovat i pro libovolnou (obecně obdélníkovou) matici A, typu m/n , za předpokladu, že k < min (m, n). Je-li však m i= n, nelze pak již samozřejmé hovořit o doplňku tohoto minoru. Věta 4.2. Nechť A je nenulová matice typu m/n. Pak hodnost matice A je rovna maximálnímu z rádo nenulových minoru matice A. [Dôkaz: Nechť A = (af.) je nenulová matice typu m/n. Pak zřejmě existuje minor \M |, řádu k > 0 tak, Že \M |=č 0 a všechny minory řádu většího než k (pokud vůbec existují) jsou rovny nule. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, Že submatice M je určena prvými k řádky a prvými k sloupci matice A. Chceme nyní dokázat, že h(A) = k. Ale platí: a) prvních k řádků matice A je lineárně nezávislých (v opačném případě by byly i řádky submatice M lineárně závislé a podle věty 3.2., kap. III., resp. věty 2.4. by byl |M| =0, což je spor) /?) r-tý řádek (k < r < m) matice A je lineární kombinací prvních k řádků (nechť tedy k k je \Df\ minorem řádu k + 1 , resp. pro j • •''* coZ však znamená, že r-tý řádek je lineární kombinací prvních k řádků.) Z a) a 0) plyne, že maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A' je roven Číslu k, a tedy podle V.4.I. je h(A) - k. ] Důsledek: Transponováním matice se její hodnost nezmění, tj. h{A) = h(A '}. [Důkaz: je-li A nulová matice, pak A' je též nulová matice a tvrzení platí. Nechť tedy A je nenulová matice a nechť h(A) = k. Pak podle předchozí věty existuje v A nenulový minor řádu k a vSechny minory řádu větSího než k jsou rovny nule. Uvažme nyní transponovanou matici A\ Vzhledem k tomu, že transponováním se nemění hodnoty mino-ríi (plyne z V.2.1.), existuje tedy i v matici A' nenulový minor řádu k a všechny minory řádu většího než k v A' jsou rovny nule. To ale znamená (opět podle předchozí věty), že h(A') = k, a tedy h(A) = h(Á*) ] Věta 4.3. Hodnost matice je rovna maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých sloupců. [D ů k a z: podle předchozího dôsledku a podle V.4.1. je hodnost matice A rovna maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků transponované matice A', tj. maximálnímu počtu lineárně nezávislých sloupců původní matice A. ] Z předchozích tvrzení již vyplývá, to, o. čem jsme hovořili na začátku paragrafu, a sice je-li A matice typu m/n, pak dimenze podprostoru (v T") generovaného řádky matice A je rovna dimenzi podprostoru (v Tm) generovaného sloupci matice A. V dalším si nejprve vSimneme případu, kdy matice A je čtvercová. Věta 4.4. Nechť A je čtvercová matice řádu n. Pak následující výroky jsou ekvivalentní: (i) matice A je regulární (ii) h(A) = n (iii) řádky matice A jsou lineárně nezávislé (iv) sloupce matice A jsou lineárně nezávislé [Důkaz: "(i) => (ii)" nechť A je regulární, tzn. |.4 i ^ 0. Pak z V.4.2. plyne, že h(A) = n - 123 - "(U) ■» (iii)" plyne z V.4.1. "(iii) =*• (iv)" plyne z V.4.1. a V.4.3. "(iv) => (i)" plyne z V.4.3. a V.4.2. ] Předchozí víta nám samozřejmé zároveň podává i charakterizaci singulární matice. Provedením obměn všech implikací totiž dostáváme, že ekvivalentní jsou též výroky: (i) matice A je singulární iii) h(A) Pro pevné / a / = 1, . ... , m. vidíme, že přidané sloupce jsou vždy lineární kombinací prvních n sloupců, a tedy je h(D) = h(A). Matici D však můžeme též chápat jako matici A.B, k níž jsme (zleva) přidali jistých n sloupců, tzn. pak zřejmě platí h{A.B) < h(D). Dohromady dostáváme, že h(A.B)2 tvoří například nenulové řádky poslední ma- tice, tj. vektory w, = (1,-1,2,4,0), w2 = (0,1,0,2,-2), w3 = (0,0,1,3,2), w4 = (0,0,0,4,6). ] - 129 - Jednou z dalších základních úloh lineární algebry je hledání inverzní matice k dané Čtvercové regulární matici Á, fádu n. Z dôsledku věty 3.8. víme, že: A~' - ( -j .. A * kde /4* je adjungovaná matice k matici ,4 a podle tohoto vzorce mflžemc též inverzní matici A"1 přímo spočítat. Je však videí, Že pro větší n bude výpočet príliš pracný (je třeba vypočítat jeden determinant matice řádu n a dále n1 det rminantfi matic řádu n - í). Proto si nyní odvodíme jednu poměrně jednoduchou a pro ruční výpočet celkem vhodnou metodu nalezení inverzní matice. Věta 5.4. Nechť A je regulárni matice řádu n nad T. Pak platí: 1. matici A ke konečným počtem elementárních řádkových úprav převést na jednotkovou matici E n 2. provedení řádkové elementární úpravy matice A je ekvivalentní vynásobení matice A zleva jistou regulární maticí řádu n. [D ô k a z: 1. podle předpokladu je h(A) = n, a tedy (podle V.5.2. a V.5.3.) matici A lze konečným počtem elementárních řádkových úprav převést na tvar, v němž v hlavní diagonále jsou nenulové prvky a pod ní jsou same' nuly. Vynásobením jednotlivých řádko vhodnými nenulovými čísly z T dostaneme v hlavní diagonále samé jedničky a pak konečným počtem elementárních řádkových úprav typu (iii) nad diagonálou samé nuly. Tedy dostaneme jednotkovou matici E . 2. rozepsáním se bezprostředně ověří, že a) záměna dvou řádků (/-tého a /-tého) matice A je ekvivalentní vynásobení matice A zleva maticí F, kde F) je matice vzniklá z jednotkové matice E (řádu n) záměnou /-tého a /'-tého řádku. Zřejmě ale |F| = — 1, tzn. matice F je regulární 0) vynásobení /-tého řádku matice A nenulovým číslem ř E T je ekvivalentní vynásobení matice A zleva maticí G, kde G je matice vzniklá z jednotkové matice En vynásobením /-tého řádku Číslem t. Ale | G \ = t i= 0, tzn. matice G je regulární 7) přičtení ř-násobku /-tého řádku k /-tému řádku matice A (kde i ~A j a t G. T libovolný) je ekvivalentní vynásobení matice A zleva maticí H, kde // je matice vzniklá z jednotkové matice E přičtením ŕ-násobku /'-tého řádku k /-tému řádku. Podle V.2.5.1. však \H\ = 1, tzn. H je regulární matice. ] Z předchozí věty už nyní přímo plyne metoda výpočtu inverzní matice k matici .4. Spočívá v tom, že elementárními řádkovými úpravami převedeme matici A na jednotkovou - 130 matici En a tytéž elementární řádkové úpravy paralelně aplikujeme na jednotkovou matici En, která nám nakonec přejde v hledanou inverzní matici A~l, neboť podle předchozí věty existují regulární matice Rt.....Rs takové, že: (Rs. ... .R2.R1).A=En což znamená, Že (Rs.....R2Ri)= A~X ■ Současně však <*,Ä^.í.-W,..... odkud tedy jako výsledek dostáváme matici .(/?.....RJ.R1) = A~*. Prakticky provádíme výpočet tak, že obě matice, tj. A a En, napíšeme .vedle sebe a oddělíme je svislou čarou. Pak provádíme zvolené elementární řádkové úpravy, a to současně pro obě matice najednou. Výsledné matice budeme mezi sebou oddělovat symbolem ~ . Příklad 5.3. K dané regulární matici A (nad tělesem R) nalezněte inverzní matici A~l. Při tom: /l 1 l\ A = 3 1 o/ [Řeše ní: /i 1 3 1 1 2 0 1 0 0 0 0^ \ fl 1 1 1 0 0\ /' 1 1 1 0 0\ 1 0 - 0 2 1 - 1 1 0 0 1 1 2 _1 2 1 2 0 0 \0 0 -1 — 1 0 1/ 0 1 Ä 0 -li 1 0 0 0 1 \ fl 0 0 1 1 1 2 l\ f 2 1 0 -1 l 1 -ř 2 2 0 1 0 -1 0 1 1 0 -1 j \o 0 1 1 0 -1 i Hledanou inverzní maticí je tedy matice A = 2 1 0 1_ f 2 V našich předchozích úvahách o vektorových prostorech jsme doposud vystačili vždy s jednou pevriou bází daného vektorového prostoru, vzhledem k níž jsme vyjadřovali například souřadnice vektoru, atd. Na závěr tohoto paragrafu budeme nyní vyšetřovat vzájemný vztah mezi dvěma bázemi daného vektorového prostoru, resp. vztah mezi souřadnicemi téhož vektoru v různých bázích daného prostoru. Ukážeme si, že v obou případech lze s výhodou použit maticového způsobu zápisu, Čímž se formálně značně zjednoduší naSe vyjadřování. Definice: Nechť V je vektorový prostor nad T a nechť (1) (2) v., . . . , v l n jsou dve jeho báz; Nechť dále je (3) v. - a,, .u + a„, ,u„ + . . . + a , .u I til 212 ni n 12-u1+a22.u2+ . . .+an2.un v - a, .u + a, ,u, + . . . + a .u n in l 2 n 2 nn n Pak matice .4 tvaru: A a2i a22 2n a , a , . . . a nl nl nn se nazývá matice přechodu od báze (1) k bázi (2). Poznámka: 1. rozebereme-li si předchozí definici, pak vidíme. Že matici A přechodu od jedné' báze ke druhé bázi prostoru V zkonstruujeme tak, Že /'~íý vektor druhé báze vyjádříme jako lineární kombinaci vektoru první báze a její koeficienty pak zapíšeme do /-lého sloupce matice A (pro /' = 1,2, . . . , n). Přitom je samozřejmé, že jak poťadí obou bází, tak i pořadí vektorů v těchto bázích je podstatné a nelze je nijak zaměňovat. 2. Matice přechodu od jedné báze k druhé bázi prostom V je vždy regulární (plyne ze (3) a z lineární nezávislosti vektorů druhé báze). Příklad 5.4. Ve vektorovém prostom R3 mějme dány dvě báze: (4) u, = (1,1,1), u2 = (1,1,0), u3 =(1,0,0) (5) Vj = (2,3,2), v2 = (3,1,2), v3 = (4,3,3) Lehce se ověří, že platí: v,= 2.u,+ u2 2.u. u2+ 2.u3, resp. u, = v, + v v 1 " I ' '2 T3' 2 odkud již plyne, že matice A přechodu od báze (4) k bázi (5), resp. matice B přechodu -4.V,- 5.v2+ 6.v3, v3 = 3.Ul+u3 u3 =-3^-3^+4^3 - 132 - od báze (5) k bázi (4) mají tvar: / 2 2 . 3 \ A = 1 -1 -1 2 , resp. • B = Vidíme tedy, že především je A <¥* B, ale na druhé straně se výpočtem lehce zjistí, že A.B - E3, a tedy B = A~l. Tedy, zaměněním pořadí bází (4) a (5) jsme dostali matici přechodu, která je k pôvodní matici přechodu inverzní. Následující věta ukáže, Že tomu tak mus být vždycky. Věta 5.5. Nechť (1), resp. (2) jsou dvě báze vektorového prostoru V nad T. Nechť A je matice přechodu od báze (1) k bázi (2). Potom A '1 je maticí přechodu od báze (2) k bázi (1). [Důkaz: nechť A = (a.,); pak podle definice matice přechodu od (1) ke (2) je: n v. — 2 a, ..u k = l kj' k ' Nechť dále B = (b..) je matice přechodu od báze (2) k bázi (1). Pak je: **fc rk'^r ' ■ r- 1 Po dosazení dostáváme: k - 1. 2 a,.... Sirt.T,*I(SW.'V /=!,...," k=l kj r=l k=l Podle V4.2., kap. III. se každý vektor z V dá napsat pouze jediným způsobem jako lineární kombinace vektorů dané báze. Zřejmě však je: v. = 0.v,+ . . . + O.v + l.v.+ 0.v/+,+ . . . + 0.vn , ;=1,...,« Porovnáním posledních dvou rovností pak dostáváme 0 pro r#/' J 2 b , .a, = )t=i rk kj 1 pro r = / což maticově vyjádřeno říká, že B.A = En, odkud již plyne, Že B = A~l. ] Poznámka: z definice matice přechodu plyne, Že zadáním bází (1) a (2) je jednoznačně určena matice přechodu od (1) k (2), tj. jistá regulární matice A. Podobně však, máme-li dánu bázi (1) a nějakou regulární matici A, pak je těmito dvěma údaji (pomocí vztahů (3)) jednoznačně určena báze (2) taková, Že matice A je maticí přechodu od (1) k (2). Stejně tak, zadáním báze (2) a regulární matice A je jednoznačně určena báze (1) taková, Že A - 133 je maticí přechodu od (1) k (2). Bázi (1) můžeme v tomto případě zkonstruovat např. užitím V,5.5. (tzn. ze vztahů (3), pomocí báze (2) a inverzní matice A~x). Zcela na závěr nyní ještě odvodíme, jaký je vzájemný vztah mezi souřadnicemi jednoho vektoru ve dvou různých bázích prostoru V. Je samozřejmé, že při změně báze se změní i souřadnice vektoru v. rtledem k bázi. Poněvadž mnohdy pro jednoduchost výpočtů je vhodná speciální volba báze, je důležité znát pravidla, podle nichž se mění souřadnice vektoru při změně báze. Touto otázkou, nazývanou též transformace souřadnic vektoru, se nyní budeme zabývat. Nechť tedy f 1) a (2) jsou dvě báze vektorového .prostoru V a nechť A - (a ) je matice přechodu od báze (i) k bázi (2). Dále, nechť w £ V je pevný vektor, přičemž w má v bá zi (1). resp. v bázi (2), souřadnice: resp. *x i; To ale znamená, že platí; (6) (7) w = xvu1+ . . . + xn.un w = yv\x + y .v • n n Dosadíme-li do (7) vztahy (3), dostáváme: (8) w = 2 v.v - 2 v . 2 au -2(1 a y) . u v ' j=i ' ' j=i 1 Jt = i K} K fe=i /=i ' Nyní však porovnáním pravých stran (6) a (8) dostáváme x1.u1 + ... + xi.u„ =(a11yí + ...+aínyn).u1 + .., + (anly1 + ... + annyn) .nn odkud z jednoznačnosti obou vyjádření plyne rovnost odpovídajících si koeficientů, tj. X. + a, y \nJn Wi + . + y 2ny n x = a . v.+ ...+ a y což vSak můžeme zapsat v maticovém tvaru = A . • y - 134 - Tímto jsme tedy dostali souřadnice vektoru w v bázi (1) vyjádřené pomocí souřadnic téhož vektoru v bázi (2). Kdybychom chtěli naopak vyjádřit souřadnice vektoru w v bázi (2) pomocí jeho souřadnic v bázi (1), pak stačí obě strany poslední maticové rovnice vynásobit zle-maticí A'1 (která existuje, neboť matice A je regulární). Dostaneme pak: V* íxx ['n I - 135 - V. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC § 1: Gaus ova metoda řešení soustav lineárních rovnic Se soustavami Imeárních rovnic a jejich řešením je možné se v určitých jednoduchých, resp. speciálních případech setkat již na střední Škole. V tomto paragrafu ukážeme jednu z mnoha známých metod praktického řeSení obecných soustav lineárních rovnic. Výklad je veden tak, Že je možno tento paragraf studovat nezávisle na jeho zařazení do V. kapitoly (z předchozí látky se používá pouze pojem matice, matice ve schodovitém tvaru, elementární řádková úprava matice a některé jednoduché vlastnosti vektorového prostoru T") a je pak možno jej použít při řešení konkrétních příkladů, vztahujících se k problematice probírané dříve. Definice: Nechť T je Číselné těleso. Pak soustava rovnic anxi +ai2X2 +--- + amxn =hi a2íXl +a x2 + . . . +a jr = b2 {>} kde a.. G T, b. e T ...........,............ '/ ' ' a, tx, + a, „x, + . . . + a, x = b. kl 1 k2 2 kn n k se nazýva soustava k lineárních rovnic o n neznámych (nad tělesem T). Řešení soustavy (1) je každá uspořádaná n-tice ifx,,..,tn) prvků z T taková, že po dosazení t. za x. (i = 1, . . . , n) všechny rovnice v (1) přejdou v identity, tj. platí: "ll'l +a!2ř2 + • " ■ +aintn =bl a21[! +a22(2 + ■■■+a2ntn =b2 aklh +ak2t2 +---+akntn =bk Poznámka: 1. pro lepší vyjadřování zaveďme ještě následující označení a názvy: číslo a., v soustavě (1) budeme nazývat koeficient (v í'-té rovnici u /-té neznáme), resp. číslo 6j. budeme nazývat absolutní člen i-té rovnice. Dále, matice: - 136 - A = avx ai2---atn 2n resp. A = /au a 12 «21 «22 .a, V ln i 2n 2 \aki ak2-- Ukn bkj se nazývá matice soustavy (1), resp. rozSířená* matice soustavy (1). Abychom opticky odlišili absolutní členy od koeficientů soustavy (1), budeme obvykle v rozšířené matici soustavy Ä psát před sloupcem absolutních Cleno svislou Čáru. 2. Každé řeSení soustavy (1) je, jak bylo v definici řečeno, uspořádaná M-tice prvků z tělesa T, tzn. může být považováno za vektor z vektorového prostoru T". Množinu všech řešení soustavy (1) lze pak chápat jako jistou podmnožinu prostoru Tn (která může být případně i prázdná, nemá-li soustava (1) žádné řešení). 3. OznaČíme-li X = x , resp. B = pak môžeme zřejmí soustavu (1) zapsat krátce maticovou rovnicí: TentQ matjpovi gpfispl zápisy. S§«§täV lineárních mvm ním psk v dalším často umožní přehledné a stmfai vyjadřevM Dtfiniei: Soustava Uniámíeh rovnie se aaijM řeSitelná soustava (resp. neřešitelná soustava), jestliže existuje alespoň jedno (resp. neexistuje Žádné) její řešení. Dvě soustavy lineárních rovnic o n neznámých (nad týmž tělesem T) se nazývají ekvivalentní soustavy, jestliže množiny jejich řeSení jsou si rovny. Jakákoliv úprava dané soustavy lineárních rovnic, po níž vznikne soustava ekvivalentní, se nazývá ekvivalentní úprava dané soustavy lineárních rovnic. \ Uvedomme si, že "feSit" danou soustavu lineárních rovnic znamená buď najít všechna její řeSení nebo zjistit, Že je neřešitelná. Pokud jde o poíet řeSení soustavy lineárních rovnic, nastane zřejmé vždycky pravé jeden z následujících tří případů: (i) soustava nemá žádné řeSení (tj. je neřeSitelná) (ii) soustava má jediné řeSení - 137 - (iii) soustava má více než jedno řešení (ukážeme, že nekonečné mnoho). Věta 1.1. Nechť je dána soustava lineárních rovnic (1). Pak následující úpravy jsou ekvivalentními úpravami soustavy(l): 1. libovolná záměna pořadí rovnic 2. vynásobení libovolné rovnice nenulovým číslem z T 3. k jedné rovnici přičtení jiné rovnice vynásobené libovolným číslem z T 4. vypuštění z (1) rovnice, která je lineární kombinací ostatních rovnic [D ů k a z: 1., 2. zřejmé 3. vzhledem k 1. můžeme předpokládat, že k první rovnici soustavy (1) přičteme druhou rovnici, vynásobenou číslem p G T. Dostáváme tak soustavu (2) tvaru: allXl+ . . . + aínxn+ PAa2lXl+ ... + a2nxn) = b+ p.b2 a, ,x,+ ...+ a, x - b. fel 1 kn n k Nyní: je-li (í,/„) řešením soustavy (1), pak zřejmě je (/ , . . . , tn) řešením soustavy (2). Naopak: nechť (ř,....., řn) je řešením soustavy (2). Pak po dosazení do první rovnice soustavy (2) dostáváme: podle předpokladu však: &21tl + • • - + a2nt„ = bi> tzn- P° dosazení a odečtení dostáváme: a,, t. + . . . + a, t = b. 111 lnul odkud již ihned plyne, že (řt,....... řw) je řešením soustavy (1) (poněvadž druhá až k-tá rovnice ve (2) a v (1) jsou stejné). Dokázali jsme tedy, Že soustavy (1) a (2) jsou ekvivalentní. " 4. vzhledem k 1. předpokládejme, že v soustavě (1) je první rovnice lineární kombinací ostatních rovnic, tj. soustava (1) je tvaru: Mfl21*l + • • • + a2nXn) + • " ./ + Mflfcl*l+ " ' • + Wn* = P2-b2+ ■ ■ ■ + Pk-bk (1) a2lXl+ ■ ■ ' + V« =b2 aklXi+ " • • + äknXn = bk - 138 - kde p2, . . . , pk G T. Uvažme dále soustavu (3), která vznikne ze soustavy (1) vypuštěním první rovnice, tj. (3) a x + . . . + a. x = 21 1 j.n n 2 a, ,x, + . . . + a, x = b, Kil kn n k Nyní je vsak bezprostředně vidět, že (r,,.....tn) je řešením (1) právě když (ŕ,, ...,/) je řešením (3), neboli, Ze soustavy (1) a (3) jsou ekvivalentní. ] Při provádění ekvivalentních úprav dané soustavy lineárních rovnic není nutné stále opisovat celou soustavu i s neznámými, ale zřejmě stačí pracovat s její rozšířenou maticí soustavy. Uvědomme si, že pak provádění úprav 1.-4. na dané soustavě, je ekvivalentní provádění elementárních řádkových úprav na její rozšířené matici soustavy, doplněnému o vypouštění řádků matice, které jsou lineárními kombinacemi ostatních řádků. ' Na této úvaze je pak založena metoda řešení soustav lineárních rovnic, kterou nyní popíšeme. Její princip spočívá v tom, že danou soustavu lineárních rovnic převedeme na ekvivalentní, ale "jednodušší" soustavu, jejíž řešení (která jsou zároveň i řešeními původní soustavy) bude možno víceméně ihned vypsat. Gaussova metoda řešení soustavy lineárních rovnic Nechť je dána soustava lineárních rovnic (i). Pak ekvivalentními úpravami z V. 1.1. převedeme soustavu (1) na soustavu (ľ), jejíž rozšířená matice soustavy je ve schodovitém tvaru, přičemž vždy vypustíme každou rovnici, která je lineární kombinací ostatních rovnic (z předchozí úvahy a z V.5.2., kap. IV. plyne, že toho lze po konečném počtu kroků vždy dosáhnout). Nechť soustava (ľ) má s rovnic. Potom: (i) výskytne-li se v (ľ) rovnice, v níž všechny koeficienty jsou nulové a absolutní člen je různý od nuly, pak zřejmě soustava (ľ), a tedy i soustava (1) je neřešitelná. V opačném případě je soustava (1) řešitelná, a sice: (ii) má jediné řešení, je-li s - n. Toto řešení lehce spočítáme postupným dosazováním ze soustavy (ľ) •í (iii) má nekonečně mnoho řešení, je-li s \ 0 0 2 3/ \2 -3 0 -4/ 1 -2 -2/ - 140 - tedy z poslední rovnice: 2x3= 3, neboli x3 = |; dále z předposlední rovnice dostáváme pří-mo: x2 = 1 a konečně z první rovnice: *t = -1 + 2x2~- x3, tj. po dosazení: xt~ -Daná soustava má tedy jediné řešení: (-1- ,1,2-). Příklad 1.3.: Řešte soustavu lineárních rovnic (nad R): Xl~ 2X2+X3 +X4= 2 xl 2x2- x3 +x4=---2 x, -2xn + 3.Y, + x = 6 Řešení: /l -2 1 1 2\ /l -2 1 1 2\ 1 2 -1 1 „2 0 0 -2 0 -4 \l -2 3 1 6/ to 0 2 0 4/ ^- 1 -2 1 1 0 0 i 0 tedy dostáváme soustavu, v níž budou dvě volné neznámé (zřejmě kterékoliv dvě z neznámých xi-X2'xa' nikoliv vsak neznámá x3). Zvolíme-li za volné neznámé např. neznámé x x "pak lehce vypočteme: x3 ~ 2, xt = 2x2 - x4. Tedy (položíme-li: x2 = t, x. = s) daná soustava má nekonečně mnoho řešení tvaru (2t - s, t, 2, s), kde t, s jsou libovolná reálná Čísla. Poznámka: jestliže má soustava lineárních rovnic nekonečně mnoho řešení, pak z Gausso-vy metody vyplývá pouze to, kolik neznámých volíme za volnémeznámé, nikoliv však, které neznámé to jsou. Může se totiž stát, že některou neznámou nesmíme volit za volnou neznámou (např. neznámou x3 v příkladu 1.3.) nebo naopak, některou neznámou musíme volit za volnou neznámou (např. v soustavě dvou rovnic o Čtyřech neznámých tvaru Xi +2*3+*4 = 1 * ' musíme zřejmě za jednu ze dvou volných neznámých zvolit neznámou x2). §2. Základní vlastnosti soustav lineárních rovnic Mějme dánu soustavu k lineárních rovnic o n neznámých nad T, tj. soustavu - 141 - (D °nXl +ai2X2 + ■ ■ + "t«Xn =6! a21Xl +(l22X2 + ■ ■ -+a2nXn =b2 Kl l k2 2 kn n k kde A, resp. A bude značit matici této soustavy, resp. rozšířenou matici této soustavy. Zajímáme-li se o hounost matic A a I, pak ihned vidíme, Že zřejmě mohou nastat dva případy: buď je h(Á) = h(A) nebo je h(A) = h(A) + 1. Přitom h(A) = h(A) nastane právě tehdy, když sloupec absolutních Členů je lineární kombinací sloupců matice A (rozmyslete si podrobně proč). Nyní si uvedeme důležitou větu, která nám umožní rozhodnout o řešitelnosti či neřešitelnosti soustavy lineárních rovnic, aniž bychom hledali její řešení. Věta 2.1. (Frobeniova věta, resp. Kronecker-Capelliho věta). Soustava lineárních rovnic (nad T) je řešitelná právě když hodnost matice této soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice této soustavy. [Důkaz: uvažujme soustavu (1), kde A, resp. Ä značí matici soustavy (1), resp. rozšířenou matici soustavy (1). "=*>" nechť (1) je řešitelná soustava a nechť (/..., t ) je řešení (1). Pak platí: a21tl+a22t2+---+a2ntn=b2 fl*l'l+ ak2t2+- ■ =bk neboli \ k / ii a2l | ' i. ~22 +..+1 2n \ kn což znamená, Ze sloupec absolutních členů je lineární kombinací sloupců matice A, a tedy h(A) = h(A) "«=" nechť h(Ä) = h(A); potom (jak bylo řečeno v úvodu tohoto paragrafu) sloupec absolutních členů je lineární kombinací sloupců matice A. OznaČíme-li koeficienty v této lineární kombinaci tx.....t , pak stejným obratem jako v 1. části důkazu dostaneme, že (V ■ • ■ . tn) je řešením soustavy (1). Tedy soustava (1) je řešitelná. ] Frobeniova věta je jednoduchým a elegantním kriteriem řešitelnosti soustav lineárních rovnic, ovšem v případě řešitelné soustavy neříká nic o počtu řešení ani o tom, jak všechna řešení vypadají. Takové úvahy budou nyní obsahem zbytku tohoto paragrafu. Nejprve vyšetříme - 142 specielní případ soustavy (1), kdy k=n (tzn. rovnic je tolik jako neznámých) a navíc matice soustavy je regulární. Věta 2.2. (Cramerovo pravidlo) Nechť je dána soustava n lineárních rovnic o n neznámých, jejíž matice soustavy A " je regulární. Pak soustava má jediné řešení (x.....x ), přičemž \A, x.=—l— ' \A\ /=1,2,...., n kde A. je matice vzniklá z matice A nahrazením j-tého sloupce sloupcem absolutních členů. [Důkaz: uvažme soustavu (1), v níž k = n, a kterou tedy můžeme maticově zapsat ve tvaru: (2) A.X = B , kde X = V- \ , B = I Matice A je vSak podle předpokladu regulární, tzn. existuje inverzní matice A~l. Potom vynásobením rovnosti (2) zleva maticí A~l dostaneme: A~l .(A.X~) = A~l.B, odkud: (3) X = A~\B což je tedy řešení dané soustavy, které (jak plyne z odvození) je jediné. Pokusme se nyní nalezené řešení explicitně vyjádřit. Podle dôsledku V.3.8., kap. IV. je: A i - A.. ■ « . A . 11 21 nl \A | Alf A2j nf A t A. . . . A ln 2n nn kde A.j je algebraický doplněk prvku h(A) = h(A) < n [D ů k a z: obě tvrzení plynou přímo z Frobeniovy věty a z důkazu obecného Cramerova pravidla, podle něhož má soustava (1) jediné řešení právě když neexistuje Žádná volná neznámá, tzn. právě když h{A) = n. ] Poznámka: Poznamenejme, že řešení soustav lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla, resp. obecného Cramerova pravidla má spíše teoretický význam, protože je numericky poměrně náročné (např. rozhodně náročnější než Gaussova metoda, popsaná v §1). Na druhé straně nám ale Cramerovo pravidlo umožňuje přímý výpočet jednotlivých neznámých, což může být někdy výhodné (např. jsme-li v situaci, kdy nás zajímá pouze hodnota jedné neznámé). §3. Homogenní soustavy lineárních rovnic Definice: Soustava v +ai2X2+ ■ ■■+ainXn = 0 (ľ) ____................... kde atj G T aklXl + ak2X2+ ■ ■ ■ + aknXn = 0 se nazývá homogenní soustava k lineárních rovnic o n neznámých, nad T. Poznámka: matici soustavy (ľ), resp. rozšířenou matici soustavy (ľ) budeme opět značit A, resp. A. Protože matice A vznikla z matice A přidáním sloupce skládajícího se ze samých nul, je zřejmě h(Ä) = h(A), a tedy (podle Frobeniovy věty) homogenní soustava (ľ) je vždy řešitelná. Evidentně, uspořádaná «-tice (0, 0, ... , 0) je řešením soustavy (ľ). Toto řešení se nazývá nulové řešení. Vidíme tedy, Ze homogenní soustava má buď jediné řešení (a sice nulové) anebo má nekonečně mnoho řešení (tj. kromě nulového i nenulová řeSení). - 145 - Kriterium pro oba případy udává následující věta. Věta 3.1.: Nechŕ (ľ) je homogenní soustava, s maticí soustavy A. Potom: 1. soustava (ľ') má pouze nulové řešení <* h{A) = n 2. soustava (ľ) má též nenulová řešení ■*> h(A) < n [D u k a z: tvrzení plyne přímo z důsledku V.2.3., neboť v (ľ) je h(Ä) - h(A). ] Poznámka: z předchozí vety a z V.4.4. kap. IV. plyne, že ve specielním případě, kdy po-, čet rovnic je roven počtu neznámých (tj. k - n) má homogenní soustava pouze nulové řešeni (resp. má též nenulová řešení) právě když \A | 0 (resp. \A | =0). Jak již bylo dříve řečeno, každé řešení soustavy lineárních rovnic o n neznámých nad T je možno považovat za vektor z vektorového prostoru T". Množina W všech řešení této soustavy je pak podmnožinou v T", která v případě nehomogenní soustavy zřejmě není nikdy podprostorem v T" (neboť zcela jistě neobsahuje nulový vektor). V případe homogenních soustav je však situace jiná, jak ukazuje následující věta. Věta 3.2.: Množina W všech řešení homogenní soustavy (ľ) je podprostorem ve vektorovém prostoru T" a platí: dim W - n — h(A). [Dôkaz: I. dokážeme, že W je podprostor v T". Zřejmě je (0,0, . . . , 0) e W , tzn. W =r 6, Dále, nechť {ci, . . . ,. cn), {dv , dn)GW, t, s E T libovolné, tzn. je: 2 a..c. = 0, 2 a..d. = 0, pro i = 1, . . . , k. Pak ale: 2 a..(t.cj + s.d.) - t. 2 a..c. +s. 2 a..d. = t.O + s.O = 0, pro i - 1, . . . , 'k\ To znamená, že t. (c^ . . . , cn) + s. (d^ . . . , dn) E W, a tedy W je podprostor v T". II. dokážeme, že dim W = n — r, kde r = h{A). Zřejmě musí být 0 < r < n. Je-li r = 0, pak W = T", resp. je-li r = n, pak W ■ = {(0,0, . . . , 0)} a v obou případech je dim W = n - r. Předpokládejme tedy, že \ W12> • • ■ • Wln)> ■ ■ ■ > Wfc = (wfcľ wk2"' • • wk„y tvoří bázi podprostoru W. Uvažme následující homogenní soustavu: (3) W11*1+VV12*2+- • - + WlnXn =0 Hodnost matice soustavy (3) je rovna k, neboť její řádky jsou lineárně nezávisle. Označme písmenem U podprostor řešení soustavy (3). Podle V.3.2. je pak dim U = n - k (> 0). Nechť - 148 - In" ' n-k V n-k ,1 n-k ,2' U , ) n-k ,n ' je pevná báze podprostoru U. Uvažme další homogenní soustavu: (4) u., x. + u..x. + . . . + u. x = 0 111 12 i In n U . ,X. + U . .X- + . . . + u , x = n-k,i i n-k,2 2 n-k,n n o níž dokážeme, že je hledanou soustavou, tzn. označíme-li podprostor řešení soustavy (4) jako W , musíme dokázat, že W - W. Ale v/, je řešením soustavy (4) (což plyne z toho, Že ul.....ufl fc jsou řešeními soustavy (3)) pro / = 1, . . . , k a tedy: w1.....wfc €= W, odkud dostáváme, že W - = Kw,, . ,.,wj£F, 1 k' Dále, hodnost matice soustavy (4) je zřejmě n — /c, tzn podle V.3.2. je pak: dim W = n - (n - k) = k = dim IV. Dohromady je tedy: W Q W a dim h7 = dim odkud podle v.4.5.2., kap. III. dostáváme, že W = W. } Poznámka: je třeba si uvědomit, že homogenní soustava, jejíž existenci předchozí věta zaručuje, není zřejmě určena jednoznačně. Dále, obratů uvedených v důkazu předchozí věty se používá při řešení konkrétních příkladů, a je proto nutné je znát. Příklad 3.2.: Nalezněte soustavu lineárních rovnic (nad R), jejíž množina řešení je rovna podprostoru W vektorového prostoru R4, kde W je generován vektory w, - (1,2,1,1), w2 = (0,1, 1,1), w3 = (1,3,0,2). [Řešení: nejprve si napíšeme soustavu (3) (přitom není nutné z generátorů W předem vybrat bázi W, neboť eventuelní nadbytečné rovnice ve (3) během výpočtu stejně vypadnou), pak najdeme bází jejího podprostoru řešení U, a nakonec pak složky vektorů báze U budou vystupovat jako koeficienty v hledané soustavě (4). Nejprve tedy řešíme soustavu: x, + 2x2 + x3 + x4 = 0 /l X2- X3 + X4 = 0 Xl + 3*2 + 2x4 =0 2 1 3 1 1 2 i 1 -1 \ \ í 3 0 2 odkud dostáváme: x2 = x3 - x4 ; x, = -3x3 + x4 tzn. báze podprostoru řešení této sou- - 149 - stavy je například: Uj = (-3,1,1,0), u2 = (1,-1,0,1). Hledaná soustava lineárních rovnic je pak například: -3*1 + X2 +Jf3 = 0 Xl X2 + *4 = 0 • 1 Na závěr celé kapitoly se vrátíme ještě k obecným soustavám lineárních rovnic (nad T) a budeme se snažit říci něco více o množině řešení takové soustavy. Hlavní význam následujících úvah a tvrzení se však ukáže a využije později v geometrii. Definice: Nechť je dána soustava lineárních rovnic nad T:. (5) an*1+an*2+ • - +amxn = bi a. ,x, + a. „Jt„+ , . . + a. x -b. k V 1 k2 2 kn n k Pak homogenní soustava lineárních rovnic s týmiž koeficienty u neznámých, t.j. (5') a, ,x, + a,.x.+ . . . + at x =0 11 i 12 2 In n a, + a^.x.+ . . . + a, x =0 fcl 1 k2 2 fcn n se nazývá zhomogenizovaná soustava k soustavě (5). Věta 3.4.: Nechť je dána soustava lineárních rovnic (5). Pak platí: 1. součet libovolného řešení soustavy (5) s libovolným řešením k ní zhomogénizované soustavy, je řešením soustavy (5) 2. rozdíl libovolných dvou řešení soustavy (5) je řešením k ní zhomogénizované sousta vy. [Důkaz: 1. nechť u = («,.....«„) je řešení soustavy (5) a nechť v' = - (v' . . . , v'n) je řešení k ní zhomogénizované soustavy (5'), tzn. platí: 2 a..u. = b. , resp. 2 a./. = 0 , pro / = 13 .... k J=í '» ' 1 }=l ' ' \ Pak u + v' = (jut+ v\, • - • . "„+ v'n) a platí: - 150 - ,V'7 úkaz. Označme M množinu všech řešení soustavy (5). Podle předpokladu je M i-- é. Nechť uQ G M je pevné řešení soustavy (5). Označme dále: M = {u + v' j v* je řešení (5')} . Dokážeme, že M = M. "C"; nechť u G M je libovolné řešení soustavy (5). Podle V.3.4.2. je u - u0 řešením zhomogenizované soustavy (5') Ale pak je: u - uQ + (u - uQ) G M. plyne ihned z V.3.4.1. ] - 15 i - VI. EUKLIDOVSKÉ VEKTOROVÉ PROSTORY §1: Skalární součin, velikost a odchylka vektorů Při našich dosavadních úvahách o vektorových prostorech jsme pomocí operací sčítání vektorů a násobení čísla s vektorem vyšetřovali pojmy jako byia lineární závislost a nezávislost vektorů, generovatelnost, souřadnice vektoru, atd. Prozatím jsme však neměli možnost ve vektorových prostorech "měřit", tzn. zjišťovat a porovnávat délky vektorů, resp.- odchylky (tj. velikosti úhlů), což jsou pojmy, které hrají podstatnou roli např. v geometrii. Jejích definice jsou založeny na pojmu skalárního součinu, který nyní zavedeme. Omezíme se přitom však pouze na vektorové prostory nad tělesem reálných čísel. Úmluva: všude v dalším v této kapitole budeme vektorovým prostorem rozumět reálný vektorový prostor, tj. (konečnědimenziorjální) vektorový prostor nad tělesem R reálných Či- Definice: Nechť V je vektorový prostor (nad R) a nechť každé dvojici vektorů B,t£F je přiřazeno reálné číslo u.v tak, Že pro libovolné u, v, w EV, r € R platí: (i) u.v - v.u (ii) (u + v).w = (u.w) + (v.w) (iii) (r.u).v = r.(u.v) (ív) je-li u o, pak u.u > 0 Potom reálné číslo u.v se nazývá skalární součin vektorů u, v. Vektorový prostor, v němž je definován skalární součin, se nazývá euklidovský vektorový prostor nebo krátce euklidovský prostor. Poznámka: 1. z definice plyne, že euklidovský prostor je vlastně uspořádané dvojice {V, .), sestávající z vektorového prostoru F a ze skalárního součinu • definovaného ve V. Z důvodů stručnosti však budeme obvykle říkat pouze "euklidovský prostor V" (tzn. zavedeme podobnou úmluvu jako u grup nebo těles, u nichž při označování vynecháváme symboly operací, pokud není nebezpečí nedorozumění). 2. z kapitoly 10. víme, Že každý podprostor vektorového prostoru V nad T je sám vektorovým prostorem nad T. Je-li specielně V euklidovským prostorem, tzn. je reálný, s definovaným skalárním součinem, pak zřejmě axiomy skalárního součinu budou jistě splněny i v jeho libovolném (vektorovém) podprostoru. To znamená, že každý (vektorový) poclprostor euklidovského prostoru V je sám euklidovským prostorem. Budeme jej stručně nazývat podprostor euklidovského prostoru. Předchozí definice nic neříká c tom, zda v libovolném vektorovém prostoru (nad R) lze. definovat skalární součin, resp. kolika způsoby. Odpověď na tyto otázky nám dá následující přiklad a veta. Příklad 1.1. "Nechť V = R2 a nechť u = (w u2), v = (v , v2) £ R2. Pak: 1, položíme-li: u.v =utv, + a v2 , jsou zřejmě splněny axiomy ská.árního součinu a R2 s tímto skalárním součinem je euklidovským prostorem. 2. položíme-li: u.v = 4?;. v^ + 2u.v. + 2u2vt + 3uiV2 » pak jsou opět splněny axiomy skalárního součinu (ověřte sí sami podrobným rozepsáním!), tzn. R2 s tímto skalárním součinem je euklidovským prostorem. Je vidět, že i když se v obou případech jedná o tentýž vektorový prostor R2, jsou definované skalární součiny různé, a íedy různé jsou pak í pomocí nich získané euklidovské prostory. Příklad 1.2. Nechť V - R [x] , a nechť f - f(x). g - g(x) G R [x] jsou libovolné I vektory - polynomy. Položíme-li: f.g = / f(x).g(x)dx, pak rozepsáním (užitím základních o vět o integrování, známých z analýzy) se ověří platnost axiomů skalárního součinu. Tedy R [x] s tímto skalárním součinem je euklidovský prostor. Věta 1.1.: V každém reálném vektorovém prostoru V lze definovat skalární součin, [Důkaz: pro nulový vektorový prostor věta zřejmě platí (stačí položit: o.o = 0). Nechť tedy dim V = n > 0 a nechť et.....en je pevná báze prostoru V. Pak libovolné vektory u.v £ V lze (jednoznačně) vyjádřit ve tvaru: u - Jf1e1+ . . . + xKen, resp. v --v,e,+ ...+ y e . Položíme-li: ' í 1 J n n u.v = xj + . . . + , pak zřejmě u.v E R a lehce se ověří, že jsou splněny axiomy (i) - (iv) skalárního součinu. 1 Shrneme-li tedy naše dosavadní úvahy, můžeme říci, že z každého reálného vektorového prostoru lze utvořit euklidovský prostor, obecně však nikoliv jediným způsobem. - Í53 - Věta 3.2.; Nechť V je euklidovský prostor. Pak platí: 1. u.(v + w) = (u.v) + (u.w) 2. u.(r.v) = r.(u.v) ? /v . " . 2? Ä . pro u, v, w, u., v. G F 3. ( 1 p u.) . ( 2 r.v.) =22 p.r. (u..v.) •'•<»/ ' 1 ■ r, n r. G R lib. 4'. O.U = u,í' = 0 5. u.u = 0 *► u = o [Důkaz: l. a 2. jsou zřejmé důsledky definice skalárního součinu 3. dokážeme lehce matematickou indukcí 4. o.u = (O.o).u = O.(o.u) = 0; zbytek analogicky 5. "=>" plyne z axiomu (iv) skalárního součinu "«-■ plyne ze 4. ] Definice: Nechť V je euklidovský prostor, u G F. Pak nezáporné reálné číslo: iiuii ^v^rn se nazývá délka nebo též velikost vektoru u. Je-li Hul = 1, pak říkáme, že vektor a je normovaný. Věta 1.3. (Schwarzova nerovnost) Nechť V je euklidovský prostor: u, v G V libovolné. Pak platí: (1) | u.v [ < liu li. iiv SI tzn. absolutní hodnota skalárního součinu dvou vektorů je menší nebo rovna součinu velikostí těchto vektoru. [Důkaz: je-li v = o, pak fu.o i = 0 = liulJoll a věta platí. Předpokládejme, tedy, že a uvažme vektor u - r.v, kde r G R je libovolné. Pak je: 0 < (u - r.v) . (u - r.v) = u.u - 2r.{u.v) + r2.{\.v) Zvolíme-íi nyn! r - jffi- (což ize, neboť podle předpokladu v.v > 0), dostaneme 0 < u.u - 2Íu-^.(u.v) + ^-.(v.v) (v.v) (v.v)2, odkud po vykráčení a pak vynásobení číslem v.v (> 0) dostáváme: 0 < (u.u).(v.v) - (u.v)2 , neboli (u.v)2 < (u.u).(v.v) , - 154 - což po odmocnění dává dokazovanou nerovnost (1). ] Důsledek: Ve Schwarzově nerovnosti (1) nastane rovnost právě když vektory u,v jsou lineárně závislé, [Dôkaz: z důkazu předchozí věty plyne, že v (1) nastane rovnost právě když v = o nebo u - r.v = o, tzn. právě když u, v jsou lineárně závislé. ] Poznámka: Schwarzovu nerovnost (1) často zapisujeme v ekvivalentním tvaru: (u.v)2 < IlulP.llvlP Poznamenejme ještě, že pro nerovnost (1) se v literatuře používá též pojmenování "Cauchyo-va nerovnost", resp. "Cauchy-Bunjakovského nerovnost", event. "Cauchy-Schwarzova nerovnosť" Věta 1.4.: Nechť V je euklidovský prostor; u, v E V, r£R, Pak platí: L llull ~> 0 přičemž llull = 0 právě když u = o 2. kul=H.hl' 3. Ilu + vil < llull + Uvil 4. Je-li u =#= o , pak tt-t-vl je normovaný vektor. Ilu II [Důkaz: 1. a 4. jsou bezprostředními důsledky definice velikosti vektoru. , 2. lir.u II2 = (r.u) . (r.u) = r2. (u.u), odkud po odmocnění dostáváme: ilr.uII =VWu.u) = Iři. llull. 3. z definice velikosti vektoru a Schwarzovy nerovnosti plyne: Hu + vil2 o (u + v) . (u + v) = (u.u) + 2.(u.v) + (v.v) < (u.u) + 2.!lulUlv!l + (v.v) = = llull2 + 2.llull.Uvil + Uvil2 = (llull + Uvil)2. Protože však Ilu + vil i (llull + Uvil) jsou nezáporná čísla, dostáváme po odmocnění Žádané tvrzení. ] Poznámka: 1. nerovnost uvedená ve 3. části věty se obvykle nazývá " trojúhelníková nerovnost". 2. Použijeme4i obratu provedeného ve 4. Části věty (tzn. vektor u násobíme číslem jt-jt), pak říkáme, že jsme vektor u "normovali", llull Definice: Nechť u, v jsou nenulové vektory z euklidovského prostoru V. Pak reálné číslo \p, splňující vztahy: <2> c°s*=Třrw A 0<*<,r - 155 - se nazývá odchylka vektorů u,v. Poznámka: je potřeba si rozmyslet, Že uvedená definice odchylky je korektní, tzn., Že Číslo tzn- I „Ví. ni < L odkud: -1 < irnrrT< 1 • llull.iivll j llull.llvlll llull.llvll Vidíme tedy (na základě našich znalostí o goniometrických funkcích), že existuje právě jedno reálné číslo \p, splňující podmínky (2). Poznamenejme ještě, že odchylka vektorů není definována pro případ, když některý z těchto vektorů je nulovým vektorem. §2. Ortogonálnost Definice: Nechť V je euklidovský prostor a nechť (1) u, je konečná posloupnost vektorů z V. Řekneme, že (i) posloupnost (1) je ortogonální (nebo stručně, že vektory u., . . . , ij. jsou ortogonální) jestliže je: uť.u. = 0 pro každé i j = 1, . . . , k a i J= i (ii) posloupnost (1) je ortonormální (nebo stručně, Že vektory ut, . . . , u. jsou ortonormální), je-li ortogonální a každý její vektor je normovaný (iii) posloupnost (1) je ortogonální báze (resp. ortonormální báze) euklidovského prostoru V, jestliže je ortogonální (resp. ortonormální) a navíc je bází prostoru V. Poznámka: rozebereme-li si definici ortogonálnosti pro nejjednodušší případy, pak ihned vidíme, že: - pro k = 1: posloupnost sestávající z jednoho vektoru je vždy ortogonální (bez ohledu na to, zda např. je daný vektor nulový Či nikoliv). -pro k = 2: vektory ur u2 jsou ortogonální právě když uru2 = 0. V tomto případě budeme psát: u( 1 u2 nebo u2 1 ux (zřejmě zde nezáleží na pořadí vektoru). Dále,jsou-li oba vektory Uj, u2 nenulové, pak zřejmě jsou ortogonální právě když jejich odchylka je (plyne z definice odchylky). Na druhé straně, dva vektory, z nichž alespoň - 156 - jeden je nulový, jsou vždycky ortogonální (přičemž jejich odchylka samozřejmě není definována). Další vlastnosti ortogonálních vektorů popisují následující tvrzení. Věta 2.1.: Nechť V je euklidovský prostor; pak pro vektory z V platí: 1. u 1 u <* u = o 2. u i x pro každé x G V <* u = o k 3. u i w,, pro i = 1, . . . , k <*• u i ( S r.w.), pro každé r. G R [Dôkaz: 1., 2. ihned plyne z předchozí definice a z definice skalárního součinu, 3. "=*■" nechť u i wř, tzn. u.wf = 0 pro i - 1, . . . , k. Pak pro libovoln k k k r. G R je: u.( 2 r.w.) = S r.. (u.w.) = 0, a íedy ul( 2 r.w.) í=l s 1 í=l '• í=l *<=" zvolíme-Si r{ = 1 a r. = 0 pro pak u i wř, i = 1, . . . , k ] Věta 2.2.: Nenulové ortogonální vektory euklidovského prostom V jsou lineárne nezávislé. [Důkaz: nechť Uj.....ufe G V jsou nenulové, ortogonální vektory. Nechť r. .u. + . . . + r, .u, = o. 11 k k Provedeme-li (pro libovolné i = 1, . . . , k) skalární součin vektoru u, s oběma stranami této rovnosti, dostaneme: (r, .u, + . . . + r. .u.) . u. = o.u., odkud po rozepsání a s využitím ortogonálnosti zadaných vektorů dostáváme: rľ (uruř) = 0. Protože však uf o, je u^.u, =/= 0, a musí tedy být r{ = 0 (pro každé í = 1, . . . , k). To však znamená, že vektory Uj; . . . , ufc jsou lineárně nezávislé. ] Poznamenejme, Že předpoklad nenulovostí všech vektorů je v předchozí větě podstatný a bez něj věta neplatí. Jinak řečeno, jsou-li ortogonální vektory z V lineárně závislé, znamená to, že alespoň jeden z nich musí být nulový. Věta 2.3.: Nechť V je euklidovský prostor; u,, . . . , ttfc € V libovolné. Pak existují ve V ortogonální vektory e,.....efc, které generují tentýž podprostor jako vektory Uj.....ut, tzn. platí Ku,, .... uk) = Uel, .... efc) - 157 - [Dôkaz: provedeme matematickou indukcí vzhledem ke k. a) pro k - 1 tvrzení platí (stačí položit e. = u. ) j3) předpokládejme, že tvrzení věty platí pro 1,2,. . ., k - 1 (k>2). Tedy existují ortogonální vektory els . . . , efe 1 tak, Že platí: Položme: > (3) ek =Plet+ - .- + Pfc.,ek.1+ufc , kde p(GR a určíme koeficienty pť tak, aby ek.eí = 0, pro / = 1, . . . , - 1. Ale po provedení skalárního součinu vektoru ef s oběma stranami (3) dostaneme: u..e. je-li ťf o efc.er = 0 = p. . (ef.eř) + (ufc.eť), odkud pf = < e,.e. libovolné, je-li ef = o Potom tedy vektory et, . . . , efc jsou ortogonální. Zbývá' nám ještě dokázat rovnost Z,(u,.....ufc) = Lie^.....efc). Ale z (2) a (3) plyne jednak, že ur . . . , ufc € L(el, . . . , ek), tzn. L(u{.....uft) QL(el, . . . , efe) a také, Že et.....efc € í,(Uj.....ufe), tzn. L(el.....efc) £ L(nl, . . . , uk). Dohromady pak dostáváme žádanou rovnost. ] Poznámka: 1. důkaz předchozí věty byl konstruktivní a jeho algoritmus se nazývá Gram-Schmidtfiv ortogonalizační proces (používá se při řešení konkrétních příkladů!) 2. v předchozí větě se nic nepředpokládá o lineární závislosti nebo nezávislosti vektorů u . . . , ufc. Proto výsledné ortogonální vektory eä, . . . , ek mohou, ale nemusí být všechny nenulové. Přesněji řečeno, je-li dim I(Uj, . . . , uk) = r (< k) pak tedy i dim L(e1.....efc) = r, což znamená, že právě (k - r) z vektorů et, . . . , efc je nulových a zbývajících r vektorů je nenulových a tvoří ortogonální bázi podprostoru u L(u.....uk), tj. podprostoru generovaného vektory ur . Specielně tedy, jsou-li vektory o,.....Qt lineárně nezávislé, tzn. tvoří bázi podprostoru I(Uj, . . . , ufc), pak vektory elt . . , efc tvoří ortogonální bázi tohoto podprostoru. - 158 - Věta 2.4.: V každém nenulovém euklidovském prostoru V existuje ortogonální báze (resp. ortonormální báze). i [Pokaz: nechť u,,,..,un je libovolná báze V. Pak podle předchozí věty a poznámky existuje ortogonální báze , . . . , en prostoru V. Normováním každého z vektorů et, . . . , en pak dostaneme ortonormální bázi ~^^e,, . . . 'jp~j|-en prostoru V. } Příklad 2.1.: V euklidovském prostoru R4, se skalárním součinem, definovaným: (xltx2,xz,x4) . (yv y2, y3, y<) = x2y2+ x3y3+ x4y4 , nalezněte ortogonálni bázi podprostoru W, generovaného vektory uls u2, u„. Přitom: u, =(0,1,2,1), u2 = (-1,1,1,1), u3 = (1,0,1,0). [Řešen í: platí W - L(Uj, u2, u3), tzn. použijeme Gram-Schmidtova ortogonalizačního procesu: e, - u, = (0,1,2,1) e2 = p.e, + u2 , kde p = = - j- Tedy: e2 = (-1, I, e3 =^iei +P2e2 +u3 . kde Pi = - Sfľlf = - j> P2 =-^2 = 1 Tedy: e3 = - i-e, + e2 + u3 = (0,0,0,0) = o Výsledek: ortogonální bázi podprostoru W tvoří např. vektory el, e2- } Definice: Nechť A, B jsou libovolné podmnožiny euklidovského prostoru V. Je-li: a.b = 0, pro každé a €; A, b £ B, pak říkáme, že A, B jsou ortogonální množiny a píšeme A 1 B nebo BIA. Poznámka: jinak řečeno; A, B jsou ortogonální množiny právě když a, b jsou ortogonální vektory, pro každé a G A, b €E B. Ve specielních případech: prázdná množina, resp. množina {o} jsou zřejmě ortogonální ke každé podmnožině ve V. Dále z definice plyne, Že: A 1B =* A n B =

nebo B = é tvrzení zřejmě platí (neboť (é}~ {o}). Předpokládejme tedy A # 0, £ 0 a ,4 1#. Nechť dále u e [4], v G [B] libovolné. Ale podprostor [A} je roven množině všech lineárních kombinací konečně mnoha vektoru z A (plyne z V.2.3.2., kap. III - rozepište si podrobně sami!), tzn. u = P^,^ . . . + Pk\-, kde a. G A a podobně v = r. b, + . . . + r b , kde b. G B. Potom vSak u.v = = i Z p.a.) _ ( 2 r.b.) =22 p/..(a..b.) = 0, neboť a..b, = 0. /= i ' /= i ' ' ř= i /= i '' ! ' ! ; Tedy piati: [^4] i [5], což jsme měli dokázat. ] Definice: Nechť W je podprostor euklidovského prostoru V. Pak množina W1 = {x E V\ x.w = 0 pro každé w G Jť} se nazývá ortogonální doplněk podprostoru W (ve V). Poznámka: zřejmě platí W 1 Wl a ve specielních případech přímo z definice dostáváme, že V1 = {o}, resp. {o}1 = V. Základní obecné vlastnosti ortogonálního doplňku pak popisují následující věty. Věta 2.6.: Nechť W je podprostor euklidovského prostoru V. Pak platí: 1. WL je podprostor ve V 2. V - W + Wl , tzn. prostor V je přímým součtem podprostoru W a Wl. [Důkaz: 1. Zřejmě o G W1', a tedy W1*^. Dále nechť x,y €.WL, r G R libovolné. Pak pro libovolný vektor w G W je: (x + y ) . w = (x. w) + (y. w) = 0 + 0 = 0, resp. (r.x) . w = r . (x.w) = r.O = 0 a tedy Wl je podprostor ve V. 2. Je-li W = {o}, pak Wl = V a tvrzení platí. Nechť tedy W =ŕ {o} a nechť et, . . . , efc je ortonormální báze W (její existence je zaručena větou 2.4.) a) dokážeme, že W + W1 = V. Zřejmě stačí dokázat inkluzi 2 . Nechť tedy u G F libovolný. Označme: - 160 x = (u.e, ) . e, + . . . + (u.efc) . Pak zřejmě" x G H'. Dále vezměme vektor (-x + u) a spočtěme: (-x+ u) e = -(x.e,) + (u.e,) = -(u.e,) + (u.e.) = 0, pro i = í, . . . , k odkud plyne, Že ( x + u) G W1. Potom vSak u = x + (-x + u) G W + WL h) platí W H w 1 = {o} , neboť w E W n W1 => w.w = 0 => w = o. Dohromady pak dostávame, že V = W 1 W1. ] Poznámka: je-li W libovolný podprostor ve V, pak (podle 2. Části předchozí věty a podle definice přímého součtu podprostorô) se libovolný vektor u G V dá napsat, a to jediným způsobem, ve tvaru: u = x + y , kde x G W, y G WL . Poznamenejme, že vektor x z tohoto vyjádření se nazývá ortogonální projekce vektoru u do podprostoru W. Následující věta ukáže, že ortogonální projekce součtu dvou vektorů je rovna součtu jejich ortogonálních projekcí a podobně tomu je pro násobek vektoru. Věta 2.7.: Nechť W je podprostor euklidovského prostoru • V; nechť x (resp. x") je ortogonální projekce vektoru u (resp. vektoru uV do podprostoru W; nechť r E R libovolné. Pak platí: 1. (x + x') je ortogonální projekce vektoru (u + u') do W 2. r.x je ortogonální projekce vektoru r.u do W. [D ů k a z: podle předpokladu je u = x + y ; u' = x' +y\ kde x, x' G W, y, y'G W1. Potom 1. (u + u') = (x + y) + (x' + y') = (x + x') + (y + y'), kde x + x' G W, y + y' G W1 2. r.u - r . (x + y) = r.x + r.y, kde r.x E W, r.y G Wx odkud již podle předchozí poznámky plyne tvrzení. ] Věta 2.8.: Nechť W, S jsou podprostory euklidovského prostoru V. Pak platí: 1. (W1)1 = W 2. (W + sy = wL n sL 3. (W n sy = w1 + s1 [Dôkaz: 1. podle V.2.6. je: W + Wl - V a také W1 + (WL)L = V, odkud plyne, že dim W = dim V - dim Wi = dim (Wl)L. Je tedy dim W = dim (W1)1, přičemž zřejmě W G (W1)1, tzn. pak (podle V.4.5.2., kap. III.)je W = (W1)1. - 161 - 2, inkluse je zřejmá; dokažme inklusi "2": nechť xE^ílJ1 a nechť u E (W -f 5) je libovolný, tzn. u = w + s, kde ví E W, s 6 5. Potom: x.u = x . (w + s) = x.w + x.s = 0 + 0 = 0, a tedy je x 6 (W + S)L. Je tedy W1 O S1 Q (W + S)L a dohromady platí žádaná rovrtost. 3. užitím 1. a 2. dostáváme: (W n 5) - (HAL)- n (í )l = (WL + SLodkud: (Iť n S)1 = ((Wl + S1)1)1 = W1 + 51. ] - 162 - VII. LINEÁRNÍ ZOBRAZENI VEKTOROVÝCH PROSTORŮ §1. Základní vlastnosti lineárního zobrazení V našich předchozích úvahách o vektorových prostorech jsme vždy vyšetřovali vlastností jednoho vektorového prostoru (pro úplnost připomeňme, že vektorovým prostorem rozumíme vždy pouze konečnědimenzionálnť vektorový prostor). V této kapitole se naopak budeme zabývat vzájemnými vztahy mezi dvěma (případně i více) vektorovými prostory. Tyto "vzájemné vztahy" budeme studovat pomocí zobrazení jednoho vektorového prostoru do druhého. Aby naše úvahy měly praktický smysl bude zřejmě nutné pracovat s takovými zobrazeními, která nějakým způsobem "zachovávají" operace, s nimiž se ve vektorových prostorech setkáváme, tj. zachovávají jednak součet vektorů a jednak násobek čísla s vektorem. Při tom zřejmě druhý požadavek bude moci být splněn jen tehdy, když uvažované vektorové prostory budou nad stejným číselným tělesem. Definice: Nechť V, V jsou vektorové prostory nad týmž Číselným tělesem 71 Zobrazení

(u) + s.\p(v) pro u, v G V; t, s e T libovolné. Ověřujeme-li tedy, že zobrazení

= V**",) +.....+ V-^k) • Příklad 1.1.: Nechť V, V jsou vektorové prostory nad T, nechť t £ T. Pak: 1. zobrazení íp : F -* V, definované ip(u) = r.u, pro každé u G V je lineární zobrazení. Je-li ř ^ 0, pak ^ je dokonce izomorfizmus (ověřte si obojí rozepsáním!). Specielně, pro t = 1 dostáváme identické zobrazení idK, které je tedy izomorfizmem vektorového prostoru V na V. 2. zobrazení to : V -*■ V, definované: co(u) = o' . pro každé u G V i e lineární zobrazení, které budeme nazývat nulové lineární zobrazení Příklad 1.2.: Zobrazení

^u,), . . . , ^(uk) jsou generátory podprostoru ■p(W) 3. dim W > dim K* je lineární zobrazení. Pak (i) množina Ker v? = {u € F| (ii) množina Im t/> = (JO se nazývá obraz lineárního zobrazení

Ker tp = {o}. [Důkaz: nechť x G Ker y? libovolný; pak V. Pak zobrazení ip"1 . V' ~> V je bijektivní a ukážeme, Ze je lineárním zobrazením. Nechť u\ v'G V, t, s G T libovolné a označme i/?_1(u') = u; y?-1(v') = v. Potom je • ■ - » <£(uk) /■SOM lineárně nezávislé 3. Uj, . . . , un /(un) /e táze F' - 168 - 4. dim V = dim V [Důkaz: podle předpokladu je $ ; V -*■ V bijektivní lineární zobrazení a podle důkazu předchozí věty je V také bijektivní lineární zobrazení. Potom: ad í: plyne z V. 1.1.3. aplikované na \p, resp. na >p"1 ad 2: je logickým důsledkem i. ad 3: plyne z 2. a z V.1.2.2., uvědomime-li si, že $(V) = V a = V ad 4: je-li K nulovým prostorem, pak je tvrzení zřejmé; v ostatních případech plyne ze 3. J Poznámka: utvoříme-íi na množině vSech (konečnSdimenzionálních) vektorových prostorů nad T rozklad příslušný ekvivalenci =, pak v každé třídě tohoto rozkladu budou vždy všechny navzájem izomorfní vektorové prostory. Z věty 1.9. pak plyne, že tyto izomorfní vektorové prostory mají z algebraického hlediska naprosto stejné vlastnosti (jedná se tedy o pouze formálně různé exempláře shodných vlastností). v matematice se obvykle o takovýchto objektech říká, že jsou "stejné, až na izomorfizmus" a často se dokonce, ztotožňuji. Následující, veta pak podá velmi jednoduchou charakterizaci izomorfních vektorových prostorů, tj. vektorových prostoru patřících do jedné třídy zmíněného rozkladu. Věta Í.10. (Věta o izomorfizmu vektorových prostorů) Nechť V, V jsou vektorové prostory nad T, Pak: V a V ♦ dim V = dim V* [D úkaz: "=>" plyne přímo z V.i.9.4. je-li dim V = dim V = 0, pak zřejmě V s* V. Nechť tedy dim V = = dim V = n (> 1) a nechť u . . . . uB je báze V, resp u',.....iť je báze V*. Nechť dále x E F libovolný, přičemž x = x,u, +....+ xnun (víme, že toto vyjádření existuje, a to jediné). Položme: vj(x) = x1u\ +... +x„u; Pak zřejmě ^ : V-+ V* je zobrazení a rozepsáním se ukáže, že ^> je bijektivní (proveďte si podrobně sami!) Dokažme, Že «/? je lineární zobrazení: nechť x, y E V; t, s E T, přičemž x = xlu1+. . . + xnun ; y = yťUj + . . . + >„"„ Potom: 169 - pij,x + s.y) = ¥>[(ŕx, + ) . u, t . , . + (txn -ŕ sy_) . uB] = (/x + sy ) . u' + .... . . . + (rxn+ syj , tť = í . (x, a* i- ... i- xnun) + s. (y^uj + ». . + y„*£) - í. (ii)" zřejmé "(ii) =»■ (iii)" nechť \p je injektivní zobrazení; pak podle V. 1.6. je Ker ip - {o}, a tedy podle V. 1.7. musí být dim Im

(iv)" je-li

(v)" nechť u,.....ufc € V jsou lineárně nezávislé vektory. Ale lineárně nezávislé vektory z V lze doplnit na bázi V, odkud užitím (iv) dostaneme. Že ip(u, ),..., #(uk) jsou lineárně nezávislé vektory. "(v) =* (i)" z (v) plyne, že Ker

je surjektivní. Dohromady tedy

(u2) =a12u, +a22u2 + . .tanJu, Pak matice se nazývá matice lineární transformace

V, definované; (ip + \Jj)(u) - 'p(u) + i//(u), pro Y u E ľ se nazývá součet lineárních transformací

F, definovaná: p (u) = -- 1 a nge/iŕ' mar/a p fresp. ^ v bázi (1) je matice A (resp. B). Potom: 1. maticí lineární transformace

.,) - A + B.- 2: označme A.B = (c..), tzn. c.. = í a[k.bkf, pro /, / = 1, . . „ , «. Ale: o i/»(u ) = huf) = £ b ..tfur) = %b Í asrus = 2(2 a 6 ) . u = Z c.u , odkud plyne, že maticí lineární transformace tp o \]/ v bázi (1) je matice A.B. n n 3: (ŕ.<ŕ)(u.) = /.<ŕ(u.) = í. 2 a .u = 2(ŕ.a ,) .u, , a tedy maticí lineární transformace ' 7 r= 1 7 r= 1 7 t.\p v bázi (1) je matice (t.a..) = .] Věta 2.4.:; Nechť V je vektorový prostor nad T, dim V - n > 1. PaA: vektorový prostor £{ V) je izomorfní vektorovému prostoru Mat (7). > [D úkaz: nechť (1) je pevná báze F. Definujme zobrazení F : £(1-0 -* Mat (7") takto: pro libovolné ip££fľ) položme F(if>) = 4, kde /4 je matice lineární transformace

1). Pak platí: A, B jsou maticemi téže lineární transformace prostoru V (ve vhodných bázích) «*■ existuje regulární matice S tak, že: B = S~x .A.S [Dôkaz: "=>" nechť A = (a ), resp. B = (6ř/) je matice lineární transformace

ít = i k' i=i ífc i=\ k = i,k kl ' odkud porovnáním pravých stran (na základě jednoznačnosti vyjádření vektoru A; = k\?tkXi Pro './'= 1, • - • ,» což však znamená, Že £.2? = A.S, neboli = S~l.A.S "<=" nechť 5 = S~l.A.S a nechť (1) je pevná báze prostoru V. Pak (podle dôkazu V.2.4.) existuje jediná lineární transformace

p v bázi (1). Dále, S je regulární matice, tzn. existuje (jediná) báze (ľ) prostoru V taková, Že S je maticí přechodu od báze (1) k (ľ). Konečně, podle předpokladu je S.B = A.S, neboli 2s.. .6. . = 2 a...s.., pro i, j = 1, . . . , «. Potom stejnými úprava- k = l'K K} k = l K K' mi jako v první části důkazu dostáváme: rtu!) =2(2 a(Uj) , . . . , : V -* V (definovanou: co(x) = o, pro Y x€řO; pak opět každý podprostor W ve K je invariantní vzhledem k co . 3: libovolnou lineární transformaci \p : V -* V; pak triviální podprostory ve V (tzn. podprostory {o} a V) jsou invariantní vzhledem k ^ . - 178 - Příklad 3.2.: Ve vektorovém prostoru R2 uvažme podprostor W = {(x, o) i x G R} a dále uvažme dv6 lineární transformace

(u) - X.u = ((au- X)a-s +a]2x2+ . . . + <*,„*„) - u,+ + (a21xx+(a22- \)x2+. .+a2nx„).u2+. . . + (a^i, + an2x2 + . , + {am \)xn). u„ Podle předchozí věty je však u vlastním vektorem transformace y?, příslušným vlastní hodnotě X právě když u ^ o a u G Ker (

(u1) = X,.Uj, . . . . . . , (u) . (u.) = Mu. + upF-Mu.)!!2- Mu-)H2 = Hu- + u J2- Hu, II2- ílu J2 = = 2.uŕ.u. = 0 , odkud tedy ip(u.) . yiu.) = 0. Dohromady dostávame, že vektory ^(u,), . . . , «ŕ(u.) jsou ortonormální. "(iii) => (i)": nechť platí (iii) a u, v G V. Je4i u = o, pak zřejmě platí (i). Nechť tedy u ¥= o. Mohou nastat dva případy: á) vektory u, v jsou lineárně nezávislé; pak podle poznámky za V.2.3., kap. Vi. existují ortonormální vektory e,, e, tak, Že u = = «1eJ +lť2e2' v~';ie> +v2e2- Podle (iii) vsak (ř.e) . ": nechť V, V jsou izomorfní (ve smyslu izomorfizmu euklidovských prostorů). Pak jsou V, V izomorfní jako vektorové prostory a podle věty o izomorfizmu vektorových prostorů je dim V = dim V. "<=": nechť dim V - dim V = n. Je4i n = 0, pak zřejmě V a -V jsou izomorfní. Nechť tedy n > 1 a nechť dále - 185 - (1) s j.....en je ortonormální báze V, resp. (ľ) e* , . . . , e* je ortonormální báze V, _ n Nechť uEF je libovolný vektor, přičemž u= Zu.e.. Položme: i= i ' matice transformace ip v ortonormální bázi prostoru V je ortogonální. |D ôk a z: nechť (1) e,.. . , e„ je ortonormální báze prostoru V a nechť A = (a..) je matice lineární transformace

• (a/iei+ - • • + a/»e«> = ¥ ^e.), odkud plyne, Že fer = 1 pro i.-f, resp. fey = 0 pro i =č/. Tedy A.A'= En a podle V.4.5. je matice A ortogonální. "*=*: nechť matice A je ortogonální, tzn. platí (dle V.4.5., Část (iii)): « 1 pro i - j (2) Sa a = \ k = i * k; 0 pro / ¥=} n Nechť dále u E. V libovolný, přičemž u = 2 w.e.. Potom llu il2 = u.u - 2 u? . <=1 ř Dále: ^(u) = 2 u..