1
Výstupy SDM 1, 2016
1. Úvodní seminář
2. Operace podle starých Egypťanů.
Násobte jako staří Egypťané 7 ∙ 15, 15 ∙ 12, 13 ∙ 18.
Dokážete pomocí systému zdvojování, který Egypťané používali k násobení
přirozených čísel, odvodit také postup pro dělení? Jak by se počítalo 165: 15?
…………………………….
Důkazy vět: přímý, sporem.
Dokažte následující tvrzení: Součet dvou lichých po sobě jdoucích čísel je vždy
dělitelný čtyřmi. (Postupujte induktivně i deduktivně.)
Dokažte, že číslo √3 není racionální.
……………………………
Důkazy vět: nepřímý, matematickou indukcí.
Když nelze krátit výraz , pak nelze krátit ani zlomek . Dokažte pomocí věty
obměněné.
Dokažte pomocí matematické indukce, že výraz 2 + 5 je pro každé přirozené
číslo dělitelný třemi.
…………………………….
Ověřování tvrzení na ZŠ. Ukažte možnost ověřování pravidel na ZŠ: sčítání zlomků;
násobení zlomku přirozeným číslem.
…………………………….
3. Induktivní a deduktivní přístupy v matematice.
Určete součet prvních přirozených čísel. Ověřte nejdříve induktivně, vyslovte
hypotézu a tu dokažte dedukcí.
Ukažte induktivně a poté dokažte dedukcí, že pro každé přirozené číslo je číslo
+ 2 dělitelné třemi.
…………………………….
Analýza učebnic matematiky. Vyberte tři různé učebnice matematiky a porovnejte
přístup k zavedení pojmu zlomek a desetinné číslo.
…………………………….
Gradovaná série úloh. Následující úloha může být pro některé žáky náročná.
Přeformulujte zadání úlohy do dvou dalších úloh tak, aby vznikla gradovaná série úloh
od nejjednodušší po nejnáročnější. Řešte aritmeticky s grafickým znázorněním:
Maminka s tatínkem váží 140 kg, tatínek s Andreou váží dohromady 116 kg a
maminka s Andreou váží dohromady 96 kg. Kolik kilogramů váží každý z nich?
…………………………….
2
Rozšiřování a krácení zlomků. Pomocí pomůcky Zlomková věž zadávejte úlohy,
které žákům umožní pochopení postupu rozšiřování a krácení zlomků.
…………………………….
4. Zlomky podle starých Egypťanů: kmenové zlomky a počítání s nimi. Ukažte, jak
se ve starověkém Egyptě pracovalo s kmenovými zlomky. Vzorově vypočítejte, jak by
Egypťané zapsali zlomky nebo .
…………………………….
Zlomky a desetinná čísla. Vymyslete slovní zadání pro následující příklady:
5 ∙ ; ∙ ; 2,5 ∙ 29,90
Řešte aritmeticky slovní úlohu: Ríša koupil za našetřených peněz dárek pro mamku,
za zbylé částky koupil dárek pro taťku a za polovinu toho, co po těchto dvou
nákupech zůstalo, koupil dárky pro sestru. V peněžence mu nakonec zůstalo 120 Kč.
Kolik korun měl Ríša původně našetřeno?
…………………………….
Žáci se SPU a jejich chyby při operacích se zlomky.
Dítě počítá > . Vysvětlete možné příčiny této chyby a ukažte postup vhodný pro
odbourání dané chyby.
Dítě počítá + = . Vysvětlete možné příčiny této chyby a ukažte postup vhodný
pro odbourání dané chyby.
…………………………….
Žáci se SPU a jejich chyby při sčítání a odčítání desetinných čísel. Uveďte
nejčastější chyby, kterých se dopouštějí žáci s dyslexií, dysgrafií, dyskalkulií při
počítání s desetinnými čísly. Diskutujte možnosti eliminace uvedených chyb.
…………………………….
5. Využívání her ve výuce matematiky. Ukažte různé matematické hry pro témata
desetinná čísla a zlomky.
…………………………….
Analýza učebnic pro téma násobení a dělení desetinných čísel. Prostudujte několik
učebnic a sbírek z matematiky a pokuste se najít úlohy různé náročnosti (pro slabé
žáky, pro průměrné žáky, pro nadané žáky) pro téma násobení a dělení desetinných
čísel.
…………………………….
Násobení a dělení racionálních čísel.
Řešte aritmeticky: Dvě sedminy neznámého čísla jsou rovny . Kolik činí pět třetin
z tohoto neznámého čísla?
Vypočítejte: ∙ √0,36 − !−3" # : 2 ∙ − 5 ∙ $− %#
…………………………….
3
Úlohy na dělitelnost.
Doplňte, je-li to možné, chybějící číslice v daných číslech tak, aby vzniklo číslo, které
je dělitelné: a) devíti b) dvanácti:
37_46, 536_4, 378_ _
Pokud je to možné, najděte všechny možnosti.
…………………………….
6. Úlohy na dělitelnost.
Mikuláš měl ve vaku 189 čokoládových figurek, 324 bonbonů a 108 mandarinek.
Kolik stejných balíčků s co největším počtem figurek, mandarinek a bonbonů mohl
rozdat? Kolik čokoládových figurek, mandarinek a bonbonů potom každé dítě
dostalo?
Vypočítejte největší společný dělitel přirozených čísel & + 1 a & − 1. Obecný
výsledek demonstrujte na konkrétních příkladech.
…………………………….
Odůvodnění dělitelnosti třemi a devíti, vhodné na ZŠ. Prostudujte různé učebnice
matematiky a zjistěte, jak přistupují k výuce dělitelnosti. Poté proveďte ověření
pravidla pro posuzování dělitelnosti třemi a devíti, které je vhodné na ZŠ.
…………………………….
Úlohy na společné násobky.
V místnosti jsou dvoje hodiny. Doba kyvu kyvadla u prvních hodin je 0,8 sekundy a u
druhých 1,2 sekundy. Za jak dlouho splyne tikot obou hodin?
Následující úlohu řešte induktivně a deduktivně: Dokažte, že pro každé přirozené číslo
je číslo + 2 dělitelné třemi.
…………………………….
Úlohy na společné násobky.
Podnikatel chtěl objednat výrobu kartónových krabic na balení krabiček čaje o
rozměrech 13 cm, 7 cm, 5 cm. Jaké budou rozměry krabice, jestliže v ní má být
umístěno minimálně 60 krabiček čaje? Bylo by reálné, aby krabice měla tvar krychle?
Věk kapitána vynásobený šířkou lodi, počtem jeho dcer a počtem synů je 5406.
Určete, kolik je kapitánovi roků, kolik má dětí a jak široká je jeho loď.
…………………………….
7. Poměr. Následující úlohy řešte pomocí grafického znázornění:
Dcera a syn dostali rozdílné kapesné v poměru 6:7. Kolik Kč kapesného dostala dcera,
jestliže syn dostal 175 Kč?
V součtu ' + ( + ) jsou jednotliví sčítanci v poměru 4 : 3 : 5. Určete tyto sčítance,
jestliže jejich součet je 108.
…………………………….
4
Poměr.
V jakém poměru je třeba zmenšit úsečku délky 1,25 m, abychom dostali úsečku délky
1 m?
Tři sběrači ovoce nebyli stejně výkonní. Nasbíral-li Aleš 5 kg ovoce, Radek za stejnou
dobu nasbíral 8 kg ovoce. Nasbíral-li Radek 14 kg ovoce, měl Tadeáš 10 kg ovoce.
Dohromady sběrači nasbírali 1 310 kg ovoce. Kolik kg ovoce nasbíral každý?
Ukažte možnosti řešení analytickou a syntetickou metodou.
…………………………….
Procenta.
Ve výprodeji byly zlevněny boty o 25 % na 1 845 Kč. Kolik stály boty před
zlevněním?
O kolik procent se zvětší obvod a obsah čtverce, jestliže zvětšíme délku jeho strany
' = 8 cm o 20 %?
Změnil by se výsledek úlohy, kdyby bylo ' = 5 cm?
…………………………….
Procenta.
Základní školu navštěvuje 742 žáků. Chlapců je o 12 % více než děvčat. Kolik děvčat
chodí do školy? Řešte pomocí systematického experimentu a aritmeticky.
…………………………….
8. Matematická gramotnost – využití poznatků z matematiky v běžném životě.
Najděte na internetu stránky s kalorickými tabulkami a informacemi o zdravém
životním stylu. Naplánujte podle zjištěných informací svému známému dietu.
…………………………….
Matematická gramotnost.
Jana chce koupit toaletní papír. V modrém balení je 10 kusů po 200 útržcích za 84,90
Kč. V oranžovém balení jsou 4 kusy po 160 útržcích a cena je 32,50 Kč. Který toaletní
papír je levnější, když je jejich kvalita totožná?
Auto má spotřebu 4,9 l na 100 km při jízdě po dálnici. Jaká bude cena benzínu při 235
km dlouhé cestě po dálnici? Aktuální cena benzínu byla 36,50 Kč za litr.
…………………………….
Finanční matematika: hypotéka. Najděte na internetu nabídky různých společností
na hypotéku. Ukažte, čím se nabídky mohou lišit a na co si má dát člověk pozor.
…………………………….
Finanční matematika: stavební spoření. Naplánujte svému známému stavební
spoření. Proveďte výpočet konečné částky ručně i pomocí internetové kalkulačky.
…………………………….
5
9. Různé přístupy k řešení slovních úloh.
Následující slovní úlohu řešte experimentálně: Otec je o 8 let starší, než je trojnásobek
synova věku. Za 15 let bude otec dvakrát stár než syn. Kolik let je otci a kolik let je
synovi?
Následující úlohu řešte aritmeticky: Sud s vodou má hmotnost 142 kg. Po vylití 70 %
objemu vody ze sudu bude hmotnost sudu s vodou 51 kg. Jaká je hmotnost vody
v sudu a prázdného sudu?
…………………………….
Různé přístupy k řešení slovních úloh.
Následující úlohu řešte aritmeticky: V závodě pracuje 735 zaměstnanců. Mužů je o
339 více než žen. Kolik pracuje v závodě mužů a kolik žen?
Následující úlohu řešte úvahou: Chlapec má holuby a králíky. Všechna zvířata mají
dohromady 33 hlav a 100 nohou. Kolik je holubů a kolik králíků?
…………………………….
Úlohy o pohybu proti sobě.
Následující úlohu řešte aritmeticky: Ze dvou míst vzdálených od sebe 27 km vyjeli
současně proti sobě na kolech otec a syn. Otec jel průměrnou rychlostí 20 km/h a syn
16 km/h. Pes, který běžel s otcem naproti synovi rychlostí 24 km/h, se v okamžiku,
kdy potkal syna, otočil a běžel zpět k otci. Mezi otcem a synem pobíhal tak dlouho,
dokud se otec se synem nesetkali. Kolik km naběhal pes?
…………………………….
Úlohy o pohybu stejným směrem.
Řešte aritmeticky úlohu: Gepard začal pronásledovat antilopu v okamžiku, kdy byla
mezi nimi vzdálenost 120 m. I když antilopa běžela rychlostí 72 km/h, gepard ji
doběhl za 12 sekund. Jaká byla rychlost geparda?
Ukažte řešení úlohy a) pomoci matematizace, b) fyzikální řešení.
…………………………….
10. Slovní úlohy o směsích.
Řešte aritmeticky: Ze dvou druhů čokoládových bonbonů v ceně 145 Kč a 165 Kč za
1 kg se má připravit směs 15 kg po 153 Kč za 1 kg. Kolik kilogramů každého druhu
čokoládových bonbonů je třeba smísit?
Řešte úvahou: Lékárny dostávají 30% roztok vodíku, v praxi se používá pouze roztok
3%. Kolik gramů 30% roztoku a kolik gramů destilované vody je třeba smíchat,
abychom dostali 500 g 3% roztoku?
Celá čísla: zavedení pomocí časové osy.
Pomocí časové osy zaveďte sčítání a odčítání celých čísel.
…………………………….
Mocniny a odmocniny.
Dokažte všechna pravidla pro počítání s mocninami a odmocninami (viz středoškolské
učebnice).
…………………………….
6
Odmocniny – most k reálným číslům.
Stručně popište historii Ludolfova čísla a čísla √2.
…………………………….
11. Chyby při počítání a mocninami a odmocninami. Uveďte nejčastější chyby, ke
kterým dochází při počítání s mocninami a odmocninami. Jak jim lze předcházet?
…………………………….
Reálná čísla, nekonečno ve výuce na ZŠ.
Trojúhelník má obsah 36 cm2
. Narýsujte některé rovnoramenné trojúhelníky s touto
vlastností. Jsme schopni zakreslit všechny?
Zapište všechna čísla na intervalu *−1; 3,, která jsou:
a) přirozená,
b) celá,
c) racionální,
d) reálná.
Pokud to není možné, vysvětlete proč.
…………………………….
Nekonečno.
Dokažte, že množina racionálních čísel je spočetná nekonečná množina. Jaká je její
mohutnost?
Dokažte, že množina iracionálních čísel není spočetná nekonečná množina.
…………………………….
Úlohy pro nadané žáky. Vyhledejte úlohy z aritmetického učiva vhodné pro nadané
žáky a vyřešte je.
…………………………….
12. Úlohy pro matematicky slabé žáky. Vyhledejte úlohy z aritmetického učiva vhodné
pro slabé žáky a demonstrujte jejich řešení.
…………………………….
Řešíme úlohy z matematické olympiády. Vyhledejte 2 úlohy z MO aritmeticky
řešitelné a vyřešte je.