8. Parametrické vyjádření a obecná rovnice přímky a roviny
Repetitorium z matematiky
Podzim 2012
Ivana Medková

Osnova:
•1 Geometrie v rovině
•    1. 1 Parametrické vyjádření přímky
•     1. 2 Obecná rovnice přímky
•     1. 3 Vzájemná poloha přímek
•2 Geometrie v prostoru
•    2. 1 Parametrické vyjádření přímky
•     2. 2 Parametrické vyjádření roviny
•     2. 3 Obecná rovnice roviny
•     2. 4 Vzájemná poloha přímek
•     2. 5 Vzájemná poloha rovin
•     2. 6 Vzájemná poloha přímky a roviny
•
•
2

3
x
y

1.1 Parametrické vyjádření přímky
•Každé dva body A, B určují přímku AB
•Vektor   u = B – A  se nazývá směrový vektor přímky AB
•Rovnice
•
•     se nazývá parametrická rovnice nebo také parametrické vyjádření přímky určené bodem A a
vektorem u, tj. p (A, u) . Proměnná t se nazývá parametr.
•
•     Body X, A a vektor u můžeme vyjádřit pomocí souřadnic:
•         X [x, y]
•        A [a1, a2]
•        u = (u1, u2 ).
4

5
Úlohy
Př.1: Napište parametrické vyjádření přímky AB:
          a) A [1,-1] a B[2,3],
          b) A [2,-3] a B[0,2].
Př.2: Zjistěte, zda bod C leží na přímce AB:
a)A [1, 2], B [-1, 3], C [5, 0]
b)A [3, 1], B [1, 5], C [-1, 2]
Př.3: Zjistěte, zda jsou vektory v1, ...v5 směrovými vektory přímky AB, kde  A [1, 3], B[-1, 5],
          v1 = (1, 2)
          v2 = (3, -3)
          v3 = (1, -1)
          v4 = (2, 2)
          v5 = (2, -2)

6
Rovnice
kde alespoň jedno z čísel a, b, je nenulové, se nazývá obecná rovnice přímky.
•Vektor n = (a, b) se nazývá normálový vektor přímky p a je kolmý ke směrovému vektoru u přímky p.
•Dvě přímky p, q jsou totožné právě tehdy, je-li obecná rovnice přímky p násobkem obecné rovnice
přímky q.
•Dvě přímky p, q jsou rovnoběžné právě tehdy, je-li normálový vektor přímky p násobkem normálového
vektoru přímky q.
1.2 Obecná rovnice přímky

7
Úlohy
Př.1: Napište obecnou rovnici přímky procházející body
          A [1, 3] a B[-2,1].
          Postup: 1. Určíme směrový vektor u = (u1, u2)
2. Určíme normálový vektor n = (-u2, u1)
3. Napíšeme obecnou rovnici přímky, do které dosadíme koeficienty a = -u2, b = u1
4. Do rovnice dosadíme jeden z bodů A, B a vypočítáme koeficient c.
5. Napíšeme obecnou rovnici přímky.
Př.2: Napište rovnici přímky s normálovým vektorem n, která obsahuje bod A:
a)n = (1, 3), A [-1, 5]
b)n = (2, -1), A [3, 0]

1.3 Vzájemná poloha přímek v rovině
8
Obrázek
Vzájemná poloha
Příklad
 Přímky jsou totožné
p: 2x + 3y – 1 = 0
q: 4x + 6y – 2 = 0
Přímky jsou rovnoběžné různé
p: 2x + 3y – 1 = 0
q: 4x + 6y – 3 = 0
Přímky jsou různoběžné
p: 2x + 3y – 1 = 0
q: 4x + 1y – 3 = 0
p = q
p
q
q
p
S

9
Úlohy
Př.1: Určete vzájemnou polohu přímek p, q:
           a) p: 2x – y + 1 = 0
               q: 3x + 2 = 0
           b) p: x + 2y + 1 = 0
               q: 2x + y - 1 = 0
           c) p: 3x - y + 1 = 0
               q: 6x - 2y + 1 = 0
           d) p: 2x + 3y - 4 = 0
                q: -x – 3/2y + 2 = 0

10
x
y
z

2.1 Parametrické vyjádření přímky
•Každé dva body A, B určují přímku AB
•Vektor   u = B – A  se nazývá směrový vektor přímky AB
•Rovnice
•
•     se nazývá parametrická rovnice nebo také parametrické vyjádření přímky určené bodem A a
vektorem u, tj. p (A, u) . Proměnná t se nazývá parametr.
•
•Body X, A a vektor u můžeme vyjádřit pomocí souřadnic:
•         X [x, y, z]
•        A [a1, a2 , a3]
•        u = (u1, u2 , u3).
•
11

12
Úlohy
Př.1: Napište parametrické vyjádření přímky AB:
          a) A [1,0, 3] a B[0, 3, -5],
          b) A [2,-1, 1] a B[1, 1, 3].
Př.2: Zjistěte, zda bod Q [-3,8,-3] leží na přímce p (A, u), kde:                 A [1, 2, -1], u =
[2, 3, 1].

2.2 Parametrické vyjádření roviny
•Každé tři body A, B, C určují rovinu ABC
•Vektory   u = B – A  a  v = C – A   se nazývají směrové vektory roviny ABC.
•Rovnice
•
•     se nazývá parametrická rovnice nebo také parametrické vyjádření roviny určené bodem A a
vektory u,v, tj. ρ (A, u, v ) . Proměnné t, s se nazývají parametry.
•     Body X, A a vektory u, v můžeme vyjádřit pomocí souřadnic:
•         X [x, y, z]
•        A [a1, a2 , a3]
•        u = (u1, u2 , u3)
•        v = (v1, v2 , v3).
•
13

14
Úlohy
Př.1: Napište parametrické vyjádření roviny ABC:
          a) A [1,0, 1], B[1, 2, 3], C[2, 3, -1]
        b) A [2,-1, 1] a B[1, 1, 3], C[1, 2, -2].
Př.2: Zjistěte, zda bod M leží v rovině určené bodem A[1, 1, 3] a přímkou p (P, u), kde P [3, -1,
-7] a u (1, 1, 1):
          a) M [0, 0, 2]
          b) M [1, -1, 3]

15
Rovnice
kde alespoň jedno z čísel a, b, c je nenulové, se nazývá obecná rovnice roviny.
•Vektor n = (a, b, c) se nazývá normálový vektor roviny ρ a je kolmý k rovině ρ, tzn. je kolmý ke
všem vektorům ležícím v rovině ρ.
•Dvě roviny ρ, σ jsou totožné právě tehdy, je-li obecná rovnice roviny ρ násobkem obecné rovnice
roviny σ.
•Dvě roviny ρ, σ jsou rovnoběžné právě tehdy, je-li normálový vektor roviny ρ násobkem normálového
vektoru roviny σ.
2.3 Obecná rovnice roviny

16
Úlohy
Př.1: Napište obecnou rovnici roviny ABC, kde:
          a) A [1, 0, 2], B[-1, 1, -2], C[3, 2, 0],
          b) A [1, 1, 4], B[-1, 2, 1], C[0, -1, 0]
              Postup: 1. Určíme dva směrové vektory u, v.
2. Určíme normálový vektor n = (a, b, c), který je kolmý k oběma vektorům u, v.
3. Napíšeme obecnou rovnici přímky, do které dosadíme koeficienty a, b, c.
4. Do rovnice dosadíme jeden z bodů A, B, C a vypočítáme koeficient d.
5. Napíšeme obecnou rovnici roviny.
Př.2: Zjistěte, zda bod M leží v rovině ρ:
a)M [1, 1, -1], ρ: 3x – 2y + z = 0
b)M [0, 2, 1], ρ: x – 2y - 2z +1 = 0
c)M [-1, 0, -1], ρ: -x – y + 3z + 2 = 0

2.4 Vzájemná poloha přímek v prostoru
17
Obrázek
Vzájemná poloha
 Přímky jsou totožné
Přímky jsou rovnoběžné různé
Přímky jsou různoběžné
Přímky jsou mimoběžné
p = q
p
q
q
p
p
q
S

2.5 Vzájemná poloha rovin v prostoru
18
Obrázek
Vzájemná poloha
Příklad
 Roviny jsou totožné

ρ: 2x + 3y +  z – 1 = 0
σ: 4x + 6y + 2z – 2 = 0
Roviny jsou rovnoběžné různé
ρ: 2x + 3y +  z – 1 = 0
σ: 4x + 6y + 2z – 3 = 0
Roviny jsou různoběžné
ρ: 2x + 3y +  z – 1 = 0
σ: 4x + 5y + 2z – 3 = 0
ρ = σ
ρ
σ
ρ
σ

2.4 Vzájemná poloha přímky a roviny v prostoru
19
Obrázek
Vzájemná poloha
 Přímka p leží v rovině ρ
Přímky je rovnoběžná s rovinou, ale neleží v ní.
Přímka je různoběžná s rovinnou
p
ρ
ρ
p
p
ρ

Literatura
•Delventhal, K., M., Kissner, A., Kulick, M. Kompendium matematiky. Praha: Euromedia Group k. s.,
2003.
•Bušek, I. a kol. Základní poznatky z matematiky. Matematika pro gymnázia, Praha: Prometheus, 1992.
•Kočandrle, M. Boček, L. Matematika pro gymnázia – Analytická geometrie, Praha: Prometheus, 1995.
•Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, 1998.
•Vošický Zdeněk. Matematika v kostce pro střední školy. Havlíčkův Brod: Fragment, 2003.
•
20