MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ PRÍRODOVEDECKÁ FAKULTA FYZIKÁLNÍ SEKCE ÚVOD DO FYZIKÁLNÍCH MĚŘENÍ Petr Pánek BRNO 2001 PŘEDMLUVA Skriptum „Ovod clo fyzikálních měření" je určeno především studentům 1. ročníku oboru odborná fyzika, biofyzika, učitelských kombinací s fyzikou, fyzikálního inženýrství a Optometrie, kteří navštěvují základní fyzikální praktika na přírodovědecké fakultě Masarykovy univerzity v Brně. Skriptum podává výklad vlastností experimentálních dat a způsobu statistického přístupu k výsledkům experimentu. Důraz je kladen na pochopení souvislostí mezi naměřenými hodnotami, odhadem hodnot měřených veličin a. jejich skutečnou hodnotou. Výklad zahrnuje také základní numerické metody pro zpracování fyzikálních závislostí. Text je doplněn řadou řešených příkladů, které usnadňují využití získaných poznatku v praxi. Dekuji celé řadě kolegů a zvláště RNDr. L u dlí u Bočánkovi, CSc. a také RNDr. Zdeňku Bochníčkoví, Ph.D. za množství cenných rad a připomínek k obsahu skript. Dále děkuji mé ženě Monice za pomoc při přípravě rukopisu. Petr Pánek 3 Obsah 1 Vlastnosti experimentálních dat 7 1.1 Význam experimentu ve. fyzice.................. 7 1.2 Fyzikální veličiny a jednotky................... 9 1.3 Základní metody fyzikálních měření............... 11 1.4 Zdroje a druhy chyb ....................... 13 1.4.1 Systematické chyby měření................ 15 1.4.2 Náhodné chyby přímých měření............. 17 1.4.2.1 Hustota pravděpodobnosti............ 18 1.4.2.2 Normální rozdělení a jeho vlastnosti ....... 24 1.4.2.3 Rozdělení \/2, Studentovo a rovnoměrné rozdělení 34 1.4.2.4 Odhad parametru normálního rozdelení..... 37 1.4.3 Hrubé chyby měření................... 45 1.4.4 Chyby měřidel, celková chyba měření.......... 46 1.4.5 Chyby nepřímých měření, zákon přenosu chyb..... 48 1.5 Zápis výsledku měření a jeho chyby................ 52 2 Početní metody zpracování měření fyzikálních závislostí 63 2.1 Interpolace, extrapolace a aproximace.............. 64 2.1.1 Lineární interpolace..................... 64 2.2 Metoda nej menších čtverců.................... 66 2.2.1 Rozsah platnosti metody nejmenších čtverců...... 69 2.3 Postupná metoda......................... 72 3 Zásady tvorby grafů 77 Dodatek A - Vážení 79 Dodatek B - Vlastnosti měřicích přístrojů 89 Dodatek C - Studentovy koeficienty G5 5 1 Vlastnosti experimentálních dat 1.1 Význam experimentu ve fyzice Historický vývoj fyzikálních měření a jejich postavení v metodách poznáni se prolíná s celou historií fyziky. Počátky fyzikálních měření v širším smyslu můžeme najít již ve starověku, tedy v době, kdy fyzika ještě nebyla pojímána jako samostatná nauka. Fyzikálního charakteru byla například měření poměrné vzdálenosti Měsíce a Slunce od Země provedené řeckým astronomem Aristarchem ze Samu (asi 320-250 př. n. 1.) a měření poloměru Země provedené řeckým matematikem a astronomem Eratosthenem z Kyrény (asi 275-194 př, n. 1.). Výsledky těchto měření ukazují, že experimentální zručnost a úroveň fyzikálního myšlení byly v tehdejší době na vysoké úrovni. Významnou úlohu v dalším vývoji sehrálo učení antického filozofa Aristotela ze Stageiry (asi 384-322 př. n. 1.). Aristotelovo fyzikální myšlení bylo zaměřeno pouze na pozorování a nevěnuje téměř žádnou pozornost, fyzikálnímu experimentu. Jeho závěry nevycházely z analýzy pozorování, ale z obecných filozofických principů. Tyto deduktivní metody (tj. postupy vedoucí od obecných pravidel ke konkrétním závěrům) vedly často ke Špatným závěrům. Aristotelova díla byla ve středověku neotřesitelnou autoritou. Až ve 12. a 13.. století nastává odklon od jeho filozofie. Prvním průkopníkem experimentálních metod byl anglický filozof a přírodovědec Roger Bacon (1214-1296). Jako první začal zdůrazňovat experiment jako nástroj pro ověřování poznatků. Sám se však technickou stránkou fyzikálních experimentů nezabýval. Další významný pokrok učinil německý filozofa přírodovědec Mikuláš Kuzánský (1401-1464). Podle uěj je možné všechny jevy v přírodě vzájemně porovnávat a důsledkem této porovnatelnosti je jejich měřitelnost. Zdůraznil také význam matematiky pro vyhodnocení měření. Z metod měření se podrobněji zabýval vážením. Od 15. století došlo k rozkvětu obchodu, stavebnictví a mořeplavectví, tedy technicky náročnějších oborů, které si vyžádaly uplatnění měření přímo v praxi. Nej významnějším představitelem této nové epochy fyzikálního myšlení byl italský fyzik, matematik a astronom Galileo Galilei (1564-1642). Měření bylo pro Galileiho základní metodou poznání. K závěrům dochází pomocí indukce (tj. vyhodnocením jednotlivých konkrétních situací vytváří obecný závěť). Závěry svých experimentů již formuloval matematicky jako fyzikální zákony. Problematice samotného měření však nevěnoval příliš velkou pozornost. Byla to pro něj pomůcka, která byla věcí experimentální zručnosti. Význam měření si však uvědomoval natolik, že požadoval „měřit vše co je měřitelné, a co není měřitelné) měřitelným- učiniť, Další významný krok pro rozvoj fyzikálních měření učinil anglický matematik, fyzik, astronom a filozof Isaac Newton (1643-1727). Newton zavedl základní fyzikální pojmy jako míry, kterým přiřazoval číselné hodnoty, tj. fyzikální veličiny v dnešním pojetí. To umožnilo lepší interpretaci fyzikálních experimentů a navíc umožnilo provést 5 jejich přípravu na základě výpočtů. 7 Vlastnostmi měřených veličin se zabývali francouzský matematik, fyzik a astronom Pierre Simon de Lapiace (1749-1827) a německý matematik a astronom Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Měřené veličiny považovali za náhodné proměnné, pro jejichž vyhodnocení využili teorii pravděpodobnosti a vypracovali teorii chyb. Gauss navíc v roce 1832 vypracoval systém nezávislých základních veličin a jednotek, z nichž byly odvozeny další jednotky. Tím vnesl pořádek do tehdejšího systému s velkým množstvím jednotek. Fyzika v dnešním pojetí je chápána jako jedna z přírodních věd. Jejím základním zdrojem poznání jsou pozorování a experiment neboli pokus. Experiment je nástroj pro ověřování teorií a současně je zdrojem pro jejich další rozvoj. Schéma systému poznání ve fyzice je na obr. 1. teorie hypotéza i i\ pokus š_---- ---- l v srovnám K ----5> vyhodnocení Obr. 1: Schéma poznávacího procesu ve fyzice Podle předmětu zkoumání vybíráme příslušnou teorii pro plánování experimentu. Na základě teorie se připraví popis konkrétní experimentální situace (model) a stanoví se očekávaný výsledek, tzv. hypotéza. Z ní vyplývá, jaké veličiny musíme změřit. V rámci hypotézy se provádí i rozbor chyb, který určí, s jakou přesností musíme dané veličiny změřit, případně jaký typ měřicích přístrojů musíme použít. Po této přípravě můžeme provést experiment. Výsledky pokusu zpracujeme postupem navrženým v hypotéze. Poslední fází je srovnání výsledků vyhodnocení s očekávaným výsledkem (teoretickou hodnotou nebo výsledkem jiného experimentu). Pokud se výsledná a očekávaná hodnota shodují v rámci chyby, lze říci, že celý řetězec včetně předpokladů je správný. V případě, že nedojde k souladu mezi získaným výsledkem a očekáváním, ve výše uvedeném postupu byl některý krok proveden chybně, nebo některý z použitých předpokladů je špatný. Při hledání chybného kroku postupujeme v řetězci zpět, tj. nejprve prověříme, zda jsme provedli správně vyhodnocení experimentu a jeho provedení, dále posoudíme správnost navržené hypotézy a na závěr, když nenajdeme žádnou chybu, můžeme začít prověřovat správnost použité teorie. Při plánování a vyhodnocování fyzikálních experimentů musíme pamatovat na dva základní požadavky kladené na fyzikální experiment: výběrovost — fyzikální experiment provádíme za určitých podmínek, které buď sami ovlivňujeme a volíme nebo tyto podmínky alespoň registrujeme (např. teplota, tlak a vlhkost vzduchu v laboratoři), Parametry, které musíme sledovat, určíme na základě modelu experimentu, popř. 8 sledujeme i parametry, u kterých je předpoklad, že by nějakým způsobem mohly průběh pokusu ovlivňovat. reprodukovateinost — opakované provádění experimentu různými osobami musí poskytovat srovnatelné výsledky. Tato vlastnost úzce souvisí s výběrovostí, protože pro zajištění reprodukovatelnosti musíme pokus provádět za stejných podmínek. Jen po splnění těchto dvou požadavků lze experiment považovat za objektivní ověření teorie a jejího vztahu k měřenému či pozorovanému jevu. Z hlediska charakteru pokusu rozlišujeme dva druhy experimentů: kvalitativní (zjišťujeme pouze kvalitativní charakteristiky, např. zda jev nastal nebo ne nebo jinou charakteristiku bez míry) a kvantitativní (zjišťujeme míru daného jevu, tj. provádíme měření, výsledkem je tedy nejčastěji číslo). My se budeme dále zabývat pouze plánováním a vyhodnocováním kvantitativních experimentů (měření). 1.2 Fyzikální veličiny a jednotky Fyzikální veličiny vyjadřují míru sledovaných jevů. Výsledkem měření je číslo, jehož velikost závisí na tom, z jaké soustavy jednotek přitom vycházíme. Fyzikální veličiny proto v sobě zahrnují jak údaj o kvantitě (číslo), tak o kvalitě (informace o použité jednotce). Jeden údaj bez druhého ztrácí smysl. Pro fyzikální měření je důležité dělení veličin podle jejich matematického charakteru na skaláry, vektory a tenzory. Vektory a tenzory jsou. veličin se z několiFá^álarních veličin. Vektorem je například síla, rychlost, posunutí. Tenzorern může být napr. moment setrvačnosti tělesa nebo napětí v tuhém tělese (k danému směru v tělese tenzor napětí přiřadí vektor napětí, který nemusí mít nutně směr totožný se zvoleným směrem). Výsledkem měření bývá nejčastěji číslo, tj. výsledkem bývá skalární veličina. Při měření vektorových a tenzorových veličin proto musíme provádět několik měření, ve kterých zjišťujeme jejich jednotlivé skalární složky. Tyto složky jsou stejného druhu -mají stejnou jednotku. Mezinárodní soustava jednotek SI používaná ve fyzice má sedm základních a dvě doplňkové veličiny (viz tabulka 1). Rozměry všech ostatních veličin lze vyjádřit pomocí těchto základních jednotek. Často se využívá také jednotek, které jsou odvozeny ze základních jednotek (např. watt, pascal). Zásady týkající se fyzikálních veličin, rovnic, značek veličin a jednotek a soustavy jednotek SI jsou dány normami [1]. Doplňkové veličiny lze podle definice chápat také jako bezrozměrné, a proto se často radián a steradián v jednotkách nepíší (pokud je ze souvislostí zřejmé, že se jedná o úhlovou míru), tj. rad s"1 — s"1. Častým omylem bývá špatné vyjádření jednotky času. Jednotku sekunda nelze zaměňovat s jednotkou vteřina, která je vedlejší jednotkou rovinného úhlu. V případech, kdy se hodnoty některé veličiny řádově odlišují od hodnoty odpovídající základní jednotce, lze s výhodou využít násobné a dílčí jednotky. Tyto jednotky se tvoří pomocí předpon z jednotek hlavních. Předpony 9 veličina jednotka název zkratka délka metr m hmotnost kilogram kg čas sekunda s elektrický proud ampér A teplota kelvin K látkové množství mol mol svítivost kandela cd rovinný úhel radián rad prostorový úhel steradián sr Tabulka 1: Základní a doplňkové jednotky soustavy SI Předpona Násobek Předpona Násobek název značka naze v značka yotta Y 1024 deci d L0-1 zetta Z 1021 centi c io-2 exa E 1018 inili m io-3 peta P 1015 mikro n 1Q-6 tera T 1012 n ano n io-9 giga G 10° piko P io-12 mega M 106 fernto f io-15 kilo k 103 atto a 10-i8 hekto h 102 zepto z io-21 deka da 101 yokto y 10-24 Tabulka 2: Předpony pro tvorbu násobných a dílčích jednotek so zpravidla připojují k první z jednotek v celé jednotce, výjimečně lze předponu připojit i k dalším jednotkám, pokud je tomu tak zvykem. V jednotce nelze použít více předpon současně. Předpony spolu s jejich významem jsou uvedeny v tabulce 2. [Příklad 1.1 Příklady využití předpon: 100 V m"1 = 0,1 kV m"1 100 V m-1 = 1 V cm-1 (používaná jednotka) 1000 N m = IkN m 1000 N rn = 1 N km (nelze - neužívá se) 1000 kg m""3 = ] g cm*"3 (používaná jednotka) 1000 kg m~3 = 1 kg drn"3 (nelze - neužívá se) 10 Norma připouští použití i tzv. vedlejších jednotek. Jsou to jednotky, které jsou vžité (např. litr, hektar), ale ve fyzice se běžně nepoužívají. Staré jednotky (např. kalorie, torr) nejsou povoleny. Při zápisu veličiny musíme uvážlivě volit předponu a formu zápisu hodnoty, aby výsledný zápis byl přehledný (ňapř. aby neobsahoval příliš mnoho nul). Hodnoty veličin lze zapisovat i v.exponenciálním tvaru, tento zápis není vhodné kombinovat s použitím předpon. Příklad 1.2 Uvedeme si několik zpusobfi zápisu rychlosti: v — 2,8 (chyba - není uvedena jednotka, rychlost není bezrozměrná veličina) v = 2,8 m s"1 v ä 0,0000053 m s"1 (nevhodné - příliš mnoho nul činí zápis nepřehledným) v = 5,3-Hr* m s"1 v = 5,3 nm s""1 v = 5,3•• 10""3 mm s"1 (nevhodné) 1.3 Základní metody fyzikálních měření Cílem fyzikálního, měření je stanovit velikost měřené veličiny. Metodou měření rozumíme způsob, jakým danou veličinu měříme. Njyjsdnaduj^ je_,subjektívní_jgc^ která využívá přímého působení měřeného objektu na lidské smysly. Ťató metoda má vlak značně omezené možnosti, protože lidské smysly neumožňují provádět absolutní měření s příliš velkou přesností. Navíc úroveň vjemu není lineárně závislá na intenzitě vnějšího působení. Poněkud lepších výsledků lze dosáhnout při srovnávání dvou vjemů (napr. srovnávání intenzit světla, barev, frekvencí zvuku atd.). Výsledek je ale vždy závislý na osobě experimentátora a jeho momentální kondici. Z tohoto důvodu se vždy snažíme měření objektivizovat tak, aby byla zajištěna reprodukovatelnpst experimentu. QbjdttjvnX^^ cícl^pusirdjů. Měřený objekt tak působí na měřicí přístroj, který měřenou veličinu převádí na informaci pro lidské smysly snadněji kvantiíikovatelnou, tj. vyjádřitelnou číslem (např. poloha ručičky na stupnici přístroje, Číslo na displeji), Pro správnou interpretaci výsledků měření musíme dobře pochopit nejen vlastnosti měřeného objektu, ale i měřícího přístroje, a způsob, jakým interaguje s měřeným objektem - tzv. měřicí princip. Například měřicí princip stanovení hustoty hustoměrem je založen na Archimedove zákoně,, měření teploty kapalinovým teploměrem je založeno na teplotní objemové; rozťažnosti kapalin, často opomíjeným faktem je oboustrannost interakce. Měřený objekt působí na měřicí přístroj, ale naopak měřicí přístroj působí na měřený objekt a může sám ovlivnit měřitelným způsobem jeho stav. Ve většině případů je tento vliv zanedbatelný (při měření tělesné teploty nepředpokládáme, že chladnější teploměr ochladí pacienta), ale například při měření 11 maYých vzorku múze dojít ke značným zkreslením., některé dľuhy meíeni naopak tuto interakci přímo předpokládají (např. měření optických vlastností látek) a při měřeních v oblasti časticové fyziky již nelze vliv měřícího přístroje oddělit. Výběr měřící metody je dán typem měřené veličiny, hypotézou vypracovanou před měřením (tj. vztahem, ze kterého vychází zpracování měření) a také požadovanou přesností měření. Výběr správné měřicí metody je velmi náročnou a důležitou součástí přípravy měření. Vzhledem k rozsahu celé problematiky rozdělme měřicí metody podle následujících hledisek: metody přímé — Pomocí přímé metody měříme veličinu na základě její definice. Například přímé měření hustoty se provádí měřením hmotnosti m a objemu tělesa V (definiční vztah p = m/V). kcU^W -Jióíď metody nepřímé — Nepřímé metody vycházejí z jiných než definičních vztahů. Například nepřímé měření hustoty lze provádět měřením hmotnosti ra a měření objemu vážením v kapalině známé hustoty. Ve vztahu pro výpočet hustoty pak nebude přímo vystupovat objem tělesa, ale jeho hmotnost, tíha v kapalině a hustota kapaliny. metody absolutní — Výsledkem absolutních měření je hodnota měřené veličiny přímo v zadaných jednotkách. Například povrchové napětí vody a = 73 • 10~3 N m"1. metody relativní — Relativní metody umožňují srovnat dvě veličiny téhož druhu. Výsledkem je hodnota podílu těchto veličin. Například relativní měření povrchového napětí vody a lihu dá výsledek, že povrchové napětí vody je 3,3 krát větší než povrchové napětí lihu. metody statické — Statické metody využívají klidového stavu měřeného objektu, tj, hodnoty měřených veličin se stanovují jako klidové hodnot)'. Například statické měření modulu pružnosti v tahu lze provádět pomocí průhybu při zatěžování nosníku ze zkoumaného materiálu. metody dynamické — U dynamických metod se stav měřeného objektu mění s časem a měříme časovou závislost sledovaných veličin. Například dynamické měření modulu pružnosti v tahu lze provést měřením kmitů nosníku ze zkoumaného materiálu. Podle výše uvedeného dělení lze např, měření teploty kapalinovým teploměrem označit jako statickou, absolutní a nepřímou metodu. Bylo by zde možné uvést další způsoby klasifikace měřicích metod, jednou z nich, metodou postupných měření, se budeme zabývat dále. 12 1.4 Zdroje a druhy chyb Při.,ppAkQvaaéjnjměrení téže veljčinyjsa ste,iných_podrn)nek dostaneme zpra-yidia,.rJÄiiáJjodaQty.. Měřené veličině vsak přísluší jediná správná hodnota, kterou Be snažíme měřením určit. Vzhlgdem k tomu, je měřením_dostáváme rňzjiéjio^oty, nel^ Měřej^hjodjaoty-jsou.vldy^ Clh^boi^měřeni Ax rozumíme ■rozdíl skaltcné ho^dnoty x*&ji^méřenéhodnoty x: Ax~x-x*. \ '..(!•!) Chvba může mit.kjadnou, tak i zápornou hodnotuT jeií rozměr je stejný jako m á ;rvi j&fft'n á veličina. Samotná informace o velikosti chyby však Často nedává představu, jaký je její vliv na výsledky měření. Například údaj o tom, že určitá metoda vážení je zatížena chybou 1 gram, představuje chybu zcela zanedbatelnou při vážení 50 kg pytle brambor, ale naopak při vážení dvou gramů léčiva může být velmi závažná. Z tohoto důvodu vyjadřujeme často chybu relativně vůči měřené veličině__ Ax (1.2) Takto definovaná chyba je bezrozměrná veličina a nazývá se relativní chyba. Někdy se relativní chyba uc^y£jv_pjrocentech, pak je dána vztahem \lftfÓyA&**h (1.3) Pro výše uvedený příklad je v prvním případě relativní chyba 0,002% a v druhém 50%. Ve všech dále uvedených vzorcích je relativní chyba uvažována ve svém základním tvaru, tj. podle definice (1.2). Pro lepší rozlišení obou typů chyb budeme dále označovat chybu definovanou vztahem (1.1) jako chybu absolutní. Podle charakteru chyby rozlišujeme_tři druhy chyhj__ systematické chyby — Ovlivňují výsledek mějg&lžcela určitým a pravi-/" r': "olejným způsobem. Bývají funkcí času nebo parametrů měřícího procesu. Důsledkem je to? že naměřené hodnoty y případě konstantní sy-, stematic]^ Jejich odhalování bývá značně^obtíŽné a vyžaduje dobrou znalost mořicího systému. Konstantní systematické chyby lze někdy odhalit ka: librací prístrpjje^nebo porovnáním měřeni š yjýslejj^v Jiného... měřícího přístroje, nelze je odhalit opakovánímjaíeření. Velikost systematické chyby je mírou správnosti měření - čím je chyba menší, tím je měření správnější. ~~ ' jnájbgdné chyby —Jfolísají nálip^r^-xo-do-velikoBtí i anapn^nWa pfi oj&k1"^ váníměření ,,Pro daný měřicí akt nelze předvídat jejicb/přesriou hodnotu, projevují se kolísáním naměřených hodnot. Náhodné chvbv nelze při měření odstranit. Velikost náhodných chyb je mírou přesnosti měření. 13 .hrubjjjlhyby, — Způsobují, že jednotlivé měřením které je zatížené hrubou chybou, se^ra^r^^ u malého počtu naměřených hodnot. Charakter jednotlivých typů chyb si můžeme přiblížit příkladem střelby na terč (viz obr. 2). Uprostřed terče leží náš cíl, tj. v případě fyzikálního měření skutečná hodnota měřené veličiny x*. Na terči se vytvoří střelbou skupina zásahů. Poloha této skupiny vyjádřená bodem uprostřed skupiny předstař vuje ve fyzikálních měřeních střední hodnotu měřené veličiny ^.Vzdálenost skupiny od středu terče představuje systematickou chybu, vzdáleností jednotlivých zásahů od středu skupiny pak chybu náhodnou. Zásah ležící daleko od celé skupiny znázorňuje hrubě chybné měření, tj. hodnotu zatíženou hrubou chybou, V případě střelby lze systematickou chybu určit snadno, protože známe polohu cíle (středu terče). Cílem fyzikálních měření je ale získat informaci o neznámé skutečné hodnotě, tj. poloze cíle. V tom spočívá problém s odhalováním systematických chyb. hrubě chybné měření Obr. 2: Znázornění druhů chyb pomocí střelby do terče Zdrojů chyb je velké množství. Každý zdroj může přispívat k celkové chybě různou mírou a typem chyby. Mrzí zdroje r.hyb patří: jrxLexen^LJibjekt.— I^kujijrněj^^ , jchyb. Jeho parametry se také mohou během měření měnit (např. ohřívání při dotyku experimentátora, postupná oxidace atd ). jgrostřgdí rr.Jestliže_zanedbáme vliv prostředí na měrenýjDbjekt aebjajně^ řičí přístroj, mň|g_ďojít ke vzniku j ak systematických^tak i náhodných jchyb. měřicí metoda.— V případě, kdy zvolíme nevhodnou měřicí metodu, můžeme dostávat zkreslené výsledky (např. pro měření malýcFrozměrů použijeme měřidlo s příliš hrubou stupnicí). měřicí zařízení — Měřicí zařízení způsobuje chyby například vlivemspat-jňě usazené stupnice, kolísáním napájecího napětí, eTéHrorríagnetickým rušenímatol ^ 14 pozorovatel — K chybám způsobeným pozorovatelem dochází např. vlivem jeho reakční dob^^odečítáním údaje ^tm?njjce_ze_stranx (ručička" se promítá na jiné místo stupnice - tzv. paralaxa), ..cJTvbnjrn nápisem .íiaro^eiié hodnoty atd. yXh?J^n°££M — Použitím nevhodných statistických a numerických metod může dojít k silně zkresleným výsledkůmi, při použití velmi přesné a výkonné Vypočet opomíjeným zdrojem chyb je^zao-^ krouhlování čísel v počítači^ Zdroji, vlastnostmi a zpracováním jednotlivých druhů chyb se budeme zabývat v následujících kapitolách. 1.4.1 Systematické chyby Zaměříme se nyní na jednotlivé zdroje systematických chyb a rozebereme příčiny jejich vzniku a způsoby identifikace a odstranění. £hyi^-~naejpcly— vznikají v důsledku nepřesnosti, přibližnosti vztahů pou-Jfrtých pjojtopis měřeného objelitůTTTóvněž teoretický model dané ex-perimentální siHačTnémuw tj. dopouštíme se chyby y^jdůsjedkj^ hypotézy. Odstr^aněnl.jtohgto. .djDohu5yji.emat£c^ zjiěj vyplývajících vztahů. Například při měřěnltmovehci^chlení ky-yadlem_se můžeme v hy^o^éize.áo^^.^h.y^y tím^ že použjíeme vztah pro dobu kyvu pro nexoneČně malý rozkyv nebo tím, že považujeme kladlo za matematické^ pr^fcq^Je každé reálné kyvadlo fy^cké, nebo tím, že zaitedbáme"odpor vzduchu a nebo zanedbáme tření v závěsu kyvadla atd. Modely lze Často zpřesňovat v mnoha detailech, proto mu-_ BÍrogJ^JJlIJŽgj^^ dobře uvážit velikost systematické chyby, které se dopustíme určitým zjednodušením modelu. Nemá smysl snažit se odstraňovat systematické chyby, které jsou mnohem menší než náhodné chyby měření. Vytváření příliš složitých modelů značně komplikuje samotné měření, protože vyžaduje měření velkého počtu veličin. j^hyjby rnč^irlp.l — jsou způsobeny nedokonalým provedením měřicích přístrojů, jejich špatným seřízenímjoebo nevhodným použitím. Příkladem muže být posunutá nebo špatně nakreslená stupnice přístroje, nečistoty usazené na závažích nebo usazení měřícího přístroje do nevhodná polo-hy. Odhalení tnhgtp druhu chvby je jednoduché, pokud máme k dispozici normál ^tz v. etalon) měřené jyeličiny (například galvanický článek s přesnejdjfiney q,ným n a pětino). Pomocí normálu lze provést seřízení měricícjhrrjřístrQ.iů, nebo pokud seřízení není možné, vytvořit korekční tabulku nebo křivku, pomocí které můžeme naměřené hodnoty dodatečně opravit. Lze využít i vzájemného srovnání údajů dvou měřidel, pokud máme jistotu, že systematická chyba srovnávacího měřidla je zanedbatelná. Systematické chyby měřidel se s časem mění, proto je nutné provádět seřizováin^raWdelně, 15 chyby pozorováni — vyplývají z nedokonalých pozorovacích schopností člověka (například omezená rozlišoval a nSkďyTzě špatných přístupu a návyků experimentátora (již zmíněná paralaxa nebo špatný odhad zlomků dílků na stupnici). Tyto chyby lze odstranit vyloučením lidského faktoru z měřícího procesu (objektiviza-ce méřenl),jiebo alespoň opakováním měření různými experimentátory. chyby vyhodnocování —jsou důsledkem použití nevhodné numerické metody. Při výpočtech pomocí kalkulátoru nebo počítače nahrazujeme spojité fyzikální veličiny jejich obrazem v paměti, který má diskrétní charakter (číslo je zapsáno omezeným počtem bitů). To vede ke vzniku systematických chyb například při sčítání velkého a malého čísla nebo při odečítání dvou velkých nepříliš se lišících čísel, odstranění těchto chvb vyžaduje změnu výpočetního, poali^^ néhojtypu s vfltší, r>ff.snnst.L (y.á.pis čísel do většího počtu bitů). Tato problematika je značně rozsáhlá a nebudeme se jí zde věnovat. Více informací lze nalézt např. v (2] Příklad 1.3 • t, Ukážeme si, jak vzniká systematická chyba metody pří měření teploty kapalinovým teploměrem. Teploměr ponoříme zčásti do kapaliny, jejíž teplotu měříme. Na stupnici odečteme po ustálení teplotu. Tento postup je zdánlivě v pořádku, ale jak si ukážeme, čtené hodnoty teploty jsou zatížené systematickou chybou. Teploměry jsou totiž cejchovány tak, aby udávaly správnou teplotu ve svislé poloze, jsou-li zcela obklopeny měřenou lázní. V našem případě tomu tak není, proto pouze ponořená část má po ustálení teplotu stejnou jako měřená lázeň. Zbývající část je ochlazována nebo ohřívána okolním vzduchem. Tím dojde ke změně objemu měřicí kapaliny v Části kapiláry, která vyčnívá nad měřenou kapalinu, a také ke změně objemu kapiláry samotné, Je-li fi\ teplotní objemová roztažnost měřicí kapaliny a /3j teplotní objemová roztažnost skla kapiláry, sloupec měřicí kapaliny o délce / změní svoji délku o l(0i - /32)t*> kde r je rozdíl teploty ponořené a neponorené části teploměru. Délce / na stupnici odpovídá určitý počet dílků stupnice n0. Předpokládáme, že teplotní délková roztažnost stupnice je zanedbatelná. Změna délky odpovídá potom změně údaje teploty o n-o(A - Pí)t. Teplotu vyčnívajícího sloupce môžeme přibližně zjistit pomocí druhého teploměru, kterým změříme teplotu uprostřed vyčnívající části (íq). Pro velikost systematické chyby Aí pak dostaneme Ať = »o(0i - fa){t - to) • 16 Pro skleněný teploměr se rtuťovým sloupcem je hodnota rozdílu objemových roztažností 0i - /92=0,00016 K_1. Pokud čtenou hodnotu t opravíme o hodnotu Ať, odstraníme tento druh systematické chyby. Například rtuťový teploměr ponořený do kapaliny až po dílek 15 °C ukazuje teplotu 86,3 °C. Teplota ve středu vyčnívajícího sloupce byla naměřena 27,5 °C. Teplotní oprava na vyčnívající sloupec pak Činí At -0,67 °C. Opravená hodnota teploty je tedy 87,0 °C. g^sterna^cké chyby se mohou měnit s časem^lento druh .chyby 1/fi odhalit opakováním měření a tím také odstranit zavedením patřičných „korekci. Na odstranění konstantních systematických chyb není jednoznačný návod, způsob identifikace a odstranění je značně závislý na konkrétní experimentální situaci. V dalším výkladu se nebudeme již systematickými chybami zabývat. 1A.2 Náhodné chyby přímých měření Přj_or)akovanéni_měření veličiny s konsta^tm^hodjapion y.jíst.íme, že namě-iené hodnoty se navzájem liší. Pro každé jednotlivé měření nelze předem přesně určit, jakou hodnotu měřením získáme - měřením získáváme náhodné hodnoty. Náhodný charakter měření ale neznamená úplnou ztrátu informace o měřené veličině. Nedokážeme sice popsat jednotlivá měření, ale soubor věT šího počtu měřeni vykazuje urejté charakteristiky, ze kterých Izejxjifín doval, skutečnou hodnotu měřené veličiny. Popisem vlastností náhodných proměnných se zabývá statistika, a proto se pro zpracování výsledků měření používá statistických metod. Tento popis je různý pro veličiny diskrétní a spojité. Všimněme se nejprve krátce popisu chování diskrétních náhodných veličin. Tyto veličiny nabývají pouze konečně nebo spočetně mnoha hodnot. Pro každou její hodnotu z pak můžeme zadat pravděpodobnost, s jakou se vyskytne ve velkém souboru měření právě tato hodnota P(x). Součet všech pravděpodobností pro všechny možné hodnoty z je roven jedničce (tj. jistý jev - při měření vždy dostaneme některou hodnotu z definičního oboru náhodné proměnné). Přiklad 1a\ Jednoduchým příkladem diskrétní náhodné proměnné je výsledek hodu kostkou. Množina možných výsledků je konečná: {1,2,3,4,8,6}. Součet pravděpodobností pro všechny hodnoty je P(l) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 , tj. při každém hodu kostkou nám padne některé Číslo z výše uvedené množiny. Pokud je kostka symetrická, pravděpodobnosti výskytu každé z možných hodnot jsou stejné P(l) = P{2) = P(3) « P(4) = P(5) « P(6) . Z toho dostaneme P(l) ».P(2) - P(3) - P(4) = P(ó) = P(6) = - . 17 Pokud bychom vykonali velký počet hodů (měření) n, daná hodnota by se v souboru výsledků vyskytovala přibližně |krát. Spojité náhodné veličiny mohou nabývat nespočetně mnoha hodnot. Tyto hodnoty se od sebe libovolně málo liší, a proto je nutné k jejich popisu využít jiných metod. Mohlo by se zdát, že ve fyzikálních měřeních se s diskrétními veličinami setkáváme jen zřídka. Ve skutečnosti většina měření poskytuje diskrétní hodnoty buď díky použití digitálních přístrojů, nebo díky omezené přesnosti čtení na stupnici. Důležitý je vztah mezi nejmenŠí rozlišitelnou hodnotou měření a t2v. směrodatnou odchylkou měřené proměnné (viz vztah 1.47). Pokud je směrodatná odchylka podstatně větší než je nejmenší rozlišitelná hodnota měření, lze považovat měřenou veličinu za spojitou. 1.4.2.1 Hustota pravděpodobnosti U spojitých náhodných veličin.xiemá.smysl zjišťovat pravděpodobnost výsky-JiOiHS Hodnoty pravděpodobnosti výskytu dané hodnoty x jsou nekonečně.male,;, Kdybychom například při výzkumu vzrůstu skupiny osob zjišťovali, kolik z nich má přesně danou určitou výšku, došli bychom k závěru, že u žádné osoby nemůžeme absolutně přesně zaručit výšku této hodnoty. Má ale smysl zjišťovat, kolik osob má výšku v intervalu 170 - 180 cm, 180 - 190 cm atd. U spojitých veličin tedy zadáváme pravděpjaikbjLos.t výskytu její hodnoty v daném intervalu P fa,xi).APočet výsledků měření spadajících, do daného mtervalu nazýváme četnostíO^Výhodnější je používat relativní četnosti q kde N je celkový počet měření. Součet relativních četností ze všech disjunktních intervalů pokr^valjcích definiční obor měřenéj{ej^inj/J[e roven jedné.. Příklad měření náhodné proměnné je na obrázku 3. V grafu je zobrazeno 1000 měření výstupního signálu optického měřícího přístroje. Kolísání naměřených hodnot je způsobeno velkým množstvím vlivů (např. změny intenzity světla zdroje, změny citlivosti detektoru, změny složení vzduchu v trase paprsku, otřesy atd.). Vidíme, že většina hodnot leží v intervalu (1,0; 1,5). Tento hrubý odhad však pro přesné zpracování nedostačuje. Můžeme zjistit Četnosti výskytu naměřených hodnot v určitých intervalech a tytojc^tn^sti^ázojmí-me fyrafjr^yj^ hÍBtnprr^mpm-7 histogramu na obr. 4 vidíme, že nejvíce hodnot padTódo intervalu (1,2; 1,4), o něco méně do intervalu (1,0; 1,2) atd. Náš odhad skutečné hodnoty, předpokládáme-)i, že v její blízkosti se nachází největŠí množství naměřených hodnot, je omezen šířkou intervalů (tzv. tříd) histogramu. Z obr. 4 například nepoznáme, zda je více hodnot v intervalu (1,2; 1,3) nebo v intervalu (1,3; 1,4). Pokud zkusíme sestrojit histogram (1.4) 18 200 800 400 600 číslo měření ^SrT3:/Měřeiií výstupního signálu optického přístroje 1000 300 O" -j200 w O +~> o 100- 0- T-1—i-1—|—i—|-1-1-1-1—1~ -i—i—i—i—r—T- _i_i_i_i_i_i_i_l_i_i_ J—I-1—l_i—l-1_I_L 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 _. měřená hodnota Obr. 4:/Histogram absolutních četností naměřených hodnot z obr. 3 s velmi úzkými intervaly např. v našem případě 0,05 (viz obr. 5), dostaneme sice podrobnější informaci ô rozdělení naměřených hodnot, ale rychle klesá četnost v jednotlivých intervalech. Histogram, který tak získáme, sice reprezentuje naše měření, ale začne ztrácet vypovídací schopnost o celkovém chování měřené náhodné veličiny. Pak se může stát, že jinou sadou stejného 19 100 80 O" g 60 tí O 40 20 t—r- •■ r"-—i—r~i—i—i—i—i—i—i—i—t—i—»—r—1—i—i—i—i—r rfT » ' 1_l—J_' ' f » ' I ■ »_I ■ I......,1 ■ >, I......t......I. 0,2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 môŕena hodnota Obr Jř: Histogram absolutních četností naměřených hodnot z obr. 3 s yětším -iSÓctem tříd než na obrázku 4 počtu měření dostaneme histogram jiného tvarn.JPřj volbě počtu tříd (in- Jtud tervalů) histogramu ie tedy nutné nalézt kompromis. Prj malém máme málo přesnou JaJormaci o rozdělení hodnot a^jpolo^^fg^inq^ PffiP&k ÄEfflii-Vfiliá^ volbu počtu tříd k lze použít vztah (1.5) kdft N je počet měření [3]. Sirku tříd Az pak dostaneme rozdělením intervalu mezi maximální a minimální hodnotou v soubprjuLBiejrení na da^rwčettříd, Při plánování měření můžeme vycházet naopak z požadavku na velikost tříd histogramu a naplánovat počet měření, Představme_slt_že bychom zvětgMalLpQČ.sLn^ a tím_ mohli zmenšovat hodnota ^ zubatý okraj hjstograniu..by, sejtím vy- jbJ^aoval,_až.>b^v limitním případějprešejyjijail&u..kliyJm^Získanou hladkou* funkci ,/(«^ limitn ího^přípalíu^erlnujeme f(x) = lim P(x,x -f Az) Ax (1.6) kde jP(a;, x j-Agl je pravděpodobnost, že hodnota měřené veličiny padne do intervalu^;x + Ax). Funkce /(x^udájv^^ aj>bě popisuje vläsffifóstJ" ňahochié pj^mějiné. Hodnoty hustoty pravděpo^" dobnosti nejsou na rozdíl od relativní četnosti bezrozměrné veličiny, ale mají rozměr reciproký k rozměru měřené veličiny. Z defi.ničn^^yjzjtahuJX£)JSr ké plyne, jak vypočítat pravděpodobnost toho, že výsledek měření padne do 20 intervalu {a\b): I P(a'6)=: if/(g) Ax- (1.7) .Yglikost pravděpodobnosti je tedv^ovna velikosti příslušné plochy pod_křiy-kou f u nkce fjx) .Z toho take vyplývá, že integrál přes celý definiční obor náhodné proměnné je roven jednotce______ I í f{x) dx = 1 Jdcf. obor (1.8) Znamená to, že naměření hodnoty v definičním oboru je jev jistý a^locha pod celou křivkou funkce f(x) je rovna jedné. Velikost pravděpodobnosti můžeme názorně vyjádřit v grafu (viz obr. 6). Z výše uvedeného je zřejmé, že přesný x w O C ,o o "O o > ca u a +j o en Ä0 -«—l—'—I-1-r 1-1-1-1—T í* rva,b)=/f(x)dx 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 môfenô hodnota x Obr. 6: Graf hustoty pravděpodobnosti a její souvislost s pravděpodobností průběh hustoty pravděpodobnosti nelze experimentálně zjistit, protože by bylo nutné provést nekonečně mnoho měření. Je ale možné získat jeho odhad dále uvedeným postupem. Další důležitou charakteristikou náhodné proměnné je tzv.jplisJribuJnX funkce, která je definována yztahem (1.9) Hodnotách stribuční funkce F(x) udává veljl&sk^a^ě^ s j^kff1! hodnota náhodneproměnné padne do intervalu (-ssii). Z toho vidíme, že obor hodnot distribuční funkce je (0;1) a funkce je neklesající. Přibližná konstrukce této funkce z experimentálních dat vychází z definice, £qbližnou hodnotu funkce F(x) VypOČÍtárnejako rplaťivní čHvn£>SÍ. namfrVnýrh hydnni 21 v intervalu (~oojs)i Tím získáme schodovitou funkci, která máskok vždy v hodnotách získaných měřením, ťri dostatečné velkém pocTuJiojdnot pře-jtávají byTsc£ody výrazné. Na obrázku 7 je znázorněna distribuční funkce sestrojená z měření na obr. 3. 1,0 m O G X> O (X > (0 0.0 - ii ľ 'i i 1'—i—i—i—i—r i—'—r i—i—r .J_I_l_I_l_I_k_JL j_1_i_I_i_I_i_1_i—L 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 mořeno hodnota x Obr. 7: Odhad distribuční funkce z naměřených hodnot na obr. 3 Podle definice (1.9) platí /(*) ÚF(x) áx (1.10) Pomocí tohoto vztahu lze sestrojit graf hustoty pravděpodobnosti numeric-kou derivaci_distribuční funkce. Před derivací je nutné vhodnou numerickou metodou odstranit na distribuční funkcí malé schody [2j. Tak byl sestrojen i graf hustoty pravděpodobnosti na obrázku 6. Srovnáním hustoty pravděpodobnosti nebo distribuční funkce s teoretickým modelem lze získat řadu užitečných informací. ^> -Pomocí distribuční funkce hř také vypc^at^^noUi-^iaaďepodobnosti £i&Ji)* Výpočet výchozí z následujíci^valíy. ikdnqtfr'flé), udává veli]cojt pravděpodobnosti P(—č^)fe)JJjodrÍota pak -P(-WtQ). pro q <; fr pak BĚŽE ..... ..... ...."-K. . .......--------------------------------~\ P(aJ^P{-^b)~ P^oo,a) ~^lb) - F(a),j (1.11) "- ------------V ' ™ Významným parametrem popisujícím náhodnou proměnnou je jejístřed-ní hodnota E, která je definována vztahem def. obor xf(x) áx (1.12) 22 Tento parametr udává polohu rozdělení. Důležitou vlastností střední hodnoty je to, že střední hodnota lineární kombinace náhodných proměnných je rovna JJneární kombinaci jejich středních hodnot, tj. \EiaiXi + ... + anxn) = o,J5(»i) + ... + anE(xn) J (1.13) Důkaz tohoto tvrzení lze provést dosazením do (1.12), viz např. [4]. Je nutné poznamenat, že střední hodnota neexistuje vždy. Je možno najít takové příklady hustot pravděpodobnosti, pro které integrál (1.12) nekonverguje. Příklad 1.5 Hustota pravděpodobnosti je dána vztahem Určete: a) hodnotu konstanty p b) průběh funkce c) distribuční funkci a její průběh d) pravděpodobnost toho, že proměnná x nabývá hodnoty z intervalu. Řešení: a) Hodnotu konstanty p určíme ze vztahu (1.8). Musí tedy platit ľ°° P integrací /OO p T+X* áX~P ^tCt& ~?7r ' 1 Hustota pravděpodobnosti má tvar 1 7r(l+22) ' Jedná se tzv. Cauchyovo rozdělení. b) Graf hustoty pravděpodobnosti je na obrázku 8a. c) Tvar distribuční funkce je podle (1.9) Graf distribuční funkce je na obrázku 8b. 23 -'i' .'é.' -4' -i' o ' í ' 4 ' ^' á Obr. 8: Graf hustoty pravděpodobnosti Cauchyova rozdělení (a) a jeho distribuční funkce (b) d) Pravděpodobnost P(-l,l) môžeme určit z hustoty pravděpodobnosti do: (1 + *2) - arctg x 1 1 nebo jednodušším způsobem z distribuční funkce ph,1)»F(1)-F(-1) = 2-J = i. Znamená to, Se ve velkém souboru naměřených hodnot veličiny, která se řídí tímto zákonem, bude polovina všech hodnot ležet v intervalu (-1; 1). 1.4.2.2 Normální rozdělení a jeho vlastnosti Příkladem náhodné proměnné, se kterou se nejčastěji setkáme v praxi, je ve-jrčina.její^hoďríôTa je ovlivnoj^á velkým,,počtem náíiodnýcioliv.ů. Působením těchto vlívůjffj^k,aji_e]e^ chybj^J^er^jso^unavzájem nezávislé a jejichž hodnota • se přičítá jke skutečné hodnotěmlrcii^veli činy. Yýsl^náľľôlfi^ náhod-^ých^chyb se skutečnou hodnotou. To je typická situace přímo měřených veličin. ~ "~~ Tuto situaci si můžeme přiblížit pomocí velmi zjednodušeného příkladu. Předpokládejme, že měření je ovlivněno působením čtyř elementárních náhodných chyb s konstantní velikostí e. U těchto chyb se náhodně ä navzájem nezávisle mění znaménko, tj. náhodné chyby nabývají pouze hodnot — e a e. V tabulce 3 jsou shrnuty všechny možné případy jejich současného působení, V takto zjednodušené situaci jsme dostali diskrétní náhodnou proměnnou nabývající pouze pěti hodnot. Graf relativních četností je na obrázku 9. Vidíme, že ve většině případů se působení jednotlivých vlivů navzájem vyrušilo a výsledná chyba byla nulová. K tomu, abychom dosáhli velké výsledné chyby, 24 znaménko hó'dnota abs. četnost rel. četnost - - - - ~4e 1 0,06 + - - - - + - - -2c 4 0,25 - - + - - - - 4- + - - + - + • - + - - + 0 6 0,375 - + + - - + - - + + + + - + + - + 2e 4 0,25 4- - + + ■-' + + + 4- + + 4e 1 0,06 Tabulka 3: Příklad působeni čtyř elementárních chyb ~6c -4c -2c „ 0 _ ,2c 4c celková chyba Obr. 9: Graf relativních četností diskrétní náhodné proměnné 25 musí nastat takový případ, kdy mnoho elementárních chyb má současně stejné znaménko. Taková situace je málo pravděpodobná, proto relativní četnost s rostoucí velikostí výsledné chyby klesá. Rozdělení na obrázku 9 je příkladem tzv. binomického rozdělení, které popisuje výše uvedený případ chování diskrétní náhodné proměnné. Další informace o binomickém rozdělení mule čtenář najít např. v [5, 6]. V reálných situacích Však elementární chyby mění nejenom své znaménko, ale i svoji velikost, a jejich počet bývá podstatně vyšší. Takovou situaci si můžeme modelovat pomocí počítače. Náhodná proměnná z byla modelována pomocí vztahu: 50 s = 100 + £l0.(RND(l)-0,5), (1.14) kde výraz RND(l) představuje funkci tzv. generátoru náhodných čísel počítače, která vytváří náhodná čísla v intervalu (0; 1). Výraz 10 • (RND(l) - 0,5) tedy představuje náhodnou p-roměnnou, jejíž hodnota se mění v intervalu (—5; 5). V naŽem modelu pak vystupuje jako elementární chyba. Těchto elementárních chyb působí současně 50 a jejich hodnoty se navzájem sčítají a výsledná chyba se přičítá k pevně hodnotě 100. Za účelem výzkumu chování takové proměnné bylo vygenerováno 10000 hodnot takových náhodných čísel. Z nich byla pak sestrojena distribuční funkce, jak již bylo popsáno dříve, a z ní pak derivací podle vztahu (1.10) byla získána hustota pravděpodobnosti. Její graf je na obrázku 10. Z grafu vidíme, že většina hodnot naší náhodné proměnné leží v blízkosti pevné hodnoty 100, tj. ve většině případů se vliv elementárních chyb navzájem zeslabuje, Podobně jako v předchozím modelu je výskyt velkých chyb málo pravděpodobný. Náš model je sice oproti reálným situacím stále zjednodušený (např. jsme omezili velikost elementárních chyb určitým intervalem, všechny elementární chyby mají stejný charakter), ale křivka grafu hustoty pravděpodobnosti svým zvonovitým tvarem dobře odpovídá teoretickému modelu tzv. nqrrn,ák jTJho^ozdělení. Normální rcjzc^n^j^re n a,. Lapjace (proto se take" nazývá Gaušsgyýrn rozdělením .nebo někdy,.také La^lace^vym rozdělením), má hustotu pravděpodobnosti danou yatahem /(*) = -^r™? (z - 2 o ■+■> m j§ 0.000 Obr. 10: modelu -,-,-p—T-j-r—i-1-1-1-1—t—T-r—|-1-1-1-1-1 r J_i-L J_»_I_i_I-1-1-1-L i_i_I_i_U 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 X Graf hustoty pravděpodobnosti náhodné proměnné z počítačového br. 11: M-2cr fi-a fi fi+(T f*+2o x [Graf hustoty pravděpodobnosti normálního rozdělení 27 Prozkoumejme nyní vlastnosti normálního rozdělenu 1, Hustota pravděpojfobnosti normálmi nanřeaTna~a: a pro všechna £J^nterva2u_J^.o£^ ^řip^olísnA^kyTjákěkolív reálnéjhojnóty náhodné proměmiéjr. ~~ 2. JPro x = (i nabývá funkce f(x) maxima. To si snadno ukážeme pomocí derivace" "expf-fc^l. (1.16) d/(*) H -x áx V maximu musí být toho vyplývá^gg. i d* exp 2a2 d*. První z integrálů musí být nutně roven nule, protože integrujeme lichou funkci v intervalu (-oo, co). Druhý integrál musí být podle (1.8) roven jedničce, proto dostaneme E{x) = fi, (1.19) tj. poloha maxima rozdělení odpovídá současně i střední hodnotě náhodné proměnné. 28 5. Střední hodnota náhodné veličjnvje■ rovna její skutečné hodnote x'jjj-platí — ■— ........ (1.20) Toto tvrzení lze dokázat následující úvahou. 3c^J(llx&Jio^^ h^gdné veličiny můžeme zapsat jako součet skutečnéj>evné hodnoty a výsledné náhojdnéj^ybý ................' ^ > = a> + e. (1.21) jjejikož x* je konstanta, musí mít £ ťa]<^oi^ Px8^ižpô~ . dobnost výskytuTčTa^iných a záporných náhodných chyb dané velikosti je stejnTvelká, proto mu8l^rstredtíí_)^K3fcet Tovn^^gľ^tr^i'nT hodnota'":? je'JTrožo • rovna x*. Tento závěr je velmi důležitý pro fyzikální měření. Pokuei loy se nárrľpodařilo určit střední hodnotu měřené veličiny, dostali bychom tím její skutečnou hodnotu. 6. Vyšetříme nyní význam parametru a. Na obrázku 12 jsou zobrazena normální rozdělení s různými hodnotami cr a s pevnou hodnotou /i s= 0. „Vidíme, že s. rostoucí, hodnotou^ se 0.4 ^0.2 h 0.0 1-i-1-tt 1—i—r t—i—r tt—r -10 -8 —6 -4 -2 ) 2 4 6 8 10 X Obr. 12]>fc>raf hustoty pravděpodobnosti normálního rozdělení s různými parametry cr v maximují-äojiLadu s (1.17) tak, aby plochajpodji^^ noUsfiyá^.Jedná se tedy o šířkový parametr. Zkusíme najít jeho přesný význam. Často udávaným šířkovým parametrem ve fyzice je šířka v polovině výšky označovaná zkratkou FWHM (z anglického Full Width at Haif Maximum) nebo pološířka v polovině výšky označovaná zkratkou HWHM (z anglického Haif Width at Haif Maximum). Viz obrázek 13. Vztah těchto parametrů k hodnotě a lze snadno vypočítat. Označme 29 hodnoty nezávisle proměnné odpovídající Sirce v polovině" výšky Pro šířku v polovině výšky platí («1,3 ~ M)*' exp 2| HWHM 0.8fWM Obr. 13: Šířkové parametry normálního rozdělení Vyšetřujme dále průběh funkce a hledejme inflexní body, tj. body, pro které platí d2/ dx* 0 . 30 Druhou derivaci spočítáme derivací (1.16) dor2 1 exp (x - 2a3 1 (x - V inílexním bodě musí být nulová složená závorka v posledním výrazu z — (i = dba . Parametr cr proto udává polosířku křivky normálního rozdělení mezi infiexními body. 7. J^rametr a je významnou vejičinou z hledisl^prayj^podobnoitEÚJbo . pp^tuu rostoucí hodnqtou.,jg^se křivka normálňTho rozdělenírpj^uj& ajfm v^te^veí^^^nstoty pravďlp^dobnosti projhodnoty náhodné ^roměmié^které jsou vzdálenější ócTmaxima, Rosi^aKTTíZpTýl jéjíclf hodnot a kielapl^ae^-Tin^^ náo^cKylka"áe¥^ PravděpoHoBnost, že náhodná próTiien"n^pádne do intervalu (/i - cr\fi -f- a), je 1 P(/í-cr,/i + cr) = —/ exp (*-,z)2 2 (x - 2;, (1.26) Platnost tohoto tvrzení si ověříme na zjednodušeném případu součtu dvou náhodných proměnných x\ a zi. Nechť jsou hustoty pravděpodobnosti těchto náhodných proměnných dány funkcemi fi a /2 I. ■ I MJJJ^ Hledáme hustotu pravděpodobnosti náhodné proměnné x xl "f* *2 • (1.27) Aby výsledná hodnota měření byla íc a přitom první náhodná proměnná má hodnotu xi, musí mít druhá proměnná x^ současně hodnotu x — x\. Pravděpodobnost současného splnení dvou náhodných jevů je dána součinem jejich pravděpodobností. Hustota pravděpodobnosti ./(as) bude dána součtem hustot pravděpodobnosti všech případů, kdy byl splněn vztah (1.27) /(*) = r /i(*!)/a(aj - a,) dxi . (1.28) Vztah (1.28) je tzv. konvoluce dvou funkcí. Dosazením 1 f00 f (z) = r- / exp (Xi ~ iixf 1 exp exp (Z - /Í2)5 2<7,2 X $ — ^2 St + 2ťT« Využijeme vztahu (7] exp(-p2xJ ± qx) dx — exp a po úpravě dostaneme (/i, + m - i)? dxi •00 [p> o] exp 2(er> + 0 s přesností lepší než 10 aproximovat vztahem [5]: F(x) » 1 - eX?{~J?/2'y(a - by + cy2 - dy* + ey4) , (1.31) kde y - 1 1 + 0,2316419* o = 0,3193815 6 « 0,3565638 c = 1,781478 d = 1,821256 e = 1,330274 Pro x < 0 se využije vztahu F(x) b 1 - F{~x), (1.32) který lze snadno odvodit 2 (1.18) a (1.8). Graf této aproximativní funkce je na obrázku 14. Tento vztah může být s výhodou využit, například pro porovnání teoretické distribuční funkce a skutečné distribuční funkce zkonstruované z naměřených dat. Na základě tohoto srovnání lze usuzovat, zda mají experimentální data normální rozdělení či nikoliv. Například srovnáním obrázku 14 a obrázku 7 lze usoudit, že náhodná proměnná popisující výstup z optického přístroje (příklad s daty v obrázku 3) by mohla mít normální rozdělení. 33 1.4.2.3 Rozdělení y2, Studentovo a rovnoměrné rozdělení Přestože je normální rozdělení nejčastějším případem, můžeme se setkat i s jinými druhy rozdělení. Příkladem mule, být měření výkonu j|ekt£Jcké-ho proudu uvolňovaného na rezistoru. Obuoxlem^nňže^ j3»rouď7jěloŽ^ (proud může mít kladnouT zá- p^rjDOu"Tioô5Íotu -' muže^rotJŽRat oběma směry), ale výjorľ jTkla^ňá'velieina nemofiou mít normální rozděleni, protože normální rozdělení připouští výt, sjkyiyaT^ko^ záporné) b^dnoty_^áhodné prouďiLJaUgí^jt tedy takové rozdělení, pro které platí g(x) = 0 pro x < 0. V tomtopřípadě-se jed^á,oJOzJěJiení odvozené z rozdělení xr|TtrcErkvä3" rát)^T>J$ové rozdejejijLirj^^ proměnných se stanjdardnjm noríňalnTin rozdělemmTr*~~~~'~*''"~""''~: Pro Teplí pochopení si od^dfmTMš^u^ravděpodobnosti g veličiny kde y je veličina se standardním normálním rozdělením. Pravděpodobnost toho, že hodnota veličiny a; bude ležet v intervalu (0;a;), je rovna pravděpodobnosti toho, že veličina y bude mít hodnotu v intervalu {—\fx]\/x). Pravděpodobnosti vyjádříme pomocí distribučních funkcí G{x) = F(v*) ~ F(-v^). Pro distribuční funkci standardního normálního rozdělení F využijeme vztahu (1.32) G{x) « 2F(y/x) - 1 , 34 Obr. 15:1 Rozdělení x2 pro různé stupně volnosti n Derivací rovnice podle x (viz vztah (1.10)) dostaneme hustotu pravděpodobnosti g. Na pravou stranu dosadíme hustotu pravděpodobnosti standardního normálního rozdělení (1.29) s argumentem \fx a derivací argumentu: Á*) ~ \/2irx exp [-3- (1.33) Obecnějším případem je rozdělení veličiny, která je součtem n kvadrátů veličin se standardním normálním rozdělením. Pak mluvíme o rozdělení x2 s n-stupni volnosti [5] 1 tfWBS2íw5vU/ expr2. (1.34) Vztah (1.33) je speciálním případem (1.34) pro n ~ 1 (r(l/2) « říkladem rozdělení je tzv. rovnoměrné rozjdělerit Takové rozdělení má natódnT^ŕômehná, kteTa naTŠývTlibôvôlne^Eodnoty z intervalu 2Název Studentovo rozdělení pochází z pseudonymu „Student", pod kterým publikoval své práce anglický chemik a matematik W. S. Gosset. Pracoval v laboratoři pivovaru Guinness v Dublinu, kde se snažil BtatistlékypčřdchyGt faktory ovlivňující kvalitu piva. V roce 1908 vydal článek o intervalovém odhadu střední hodnoty normálního, rozdělení, ve kterém se právě tohoto rozdělení využívá. 36 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 3br. 17:^Srovnání Studentova rozdělení (plná čára) se standardním normál-íínntwsdtlením (přerušovaná čára) a) b) s konstantní hustotou /(*) = *€.b)t ■ / Velikost hustoty pravděpodobnosti je taková, aby plocha pod křivkou byla ednotková (viz 1.8). Takové rozdělení mají například náhodné chyby vznikající zaokrouhlováním čísel při výpočtech. 1.4.2.4 Odhad parametre normálního rozdělení V předchozích kapitolách, jsme. šé seznámili s několika rozděleními. Nyní se budeme zabývat rozdělením, které je pro fyzikální měření nejdůležitějšytj. ňpjn^n^^rozdělenmTrCIIem fyzikálního měření je získaj údaj o skut^ňé tiodnotě měřené veličiny. Víme již, že tato hodnota Je rovna střednThodnotě riormáTmEolx)^^ STnyDrz soubor nameřénycTTliodnot. Stojíme tedy před problémem, jakým zp^TsoTSeln Oě^ kterým se měřená veli- čina řídí. Vzhledem k tomu, Že soubor naměřených hodnot je vždy konečný, oeize nik(íy^TČjt JUedané parametry neomezeně přesně^Zpracováním měření tedy získame odhad pararríeírů rozdeTénlTnikdy nelze získat přesné skutečné hodnoty. Výj^edkem jakýchkoli nmtemat|ckých operací s^bodnotami náhodné proměnné j e totiž opět hodnota náhodn^é^proinennéľTakto je nutné pohlí-zeTí"hárVy"sle^3^s^^^"^ovZnírh měření. ZnalôstTchování náhodných proměnných nám ale umožňují říci, jak kvalitní je náš výsledek, tj. s ja- 37 -2 -1 O 1 2 X Obr. 18: Spatný odhad parametrů rozdělení a naměřené hodnoty (křížky) kou pravděpodobností se v oblasti, kterou jsme vymezili naším odhadem. nachází skutečná hodnota. Tato nejistota by nás neměla odrazovat od využívání výsledků měření, protože vhodnou organizací experimentu a volbou počtu měření lze skutečnou hodnotu často určit s přesností, která je v praxi dostatečná. Možností, jak odhadnout velikost hledaného parametru, je jisté mnoho. J)obrý odhad by měl mít následující vlastnosti: nestrannoat - odhad je nestranný (nevychýlejný)^^ _pdMdu je ^ počtu měření) i^nzistencj^- odhad je_konzistentní, jestliže s rostoucím počtem měření •Jwadi^^od^w^i^Yi^Jií k£,skutečné hodnotě "~~ ' ■:•. ■" efe^^ je minimální (zpravidla se rozptyl zmenšuje s rostoucím počtem měření)"'*" """""" Mějme soubor N naměřených hodnot x< (t » 1,...,N) náhodné veličiny s normálním rozdělením (1.15). Z naměřených hodnot máme odhadnout hodnoty parametrů fi a a. Hodnoty odhadů budeme značit/i a a tak, abychom je odlišili od neznámých skutečných hodnot. Na obrázku 18 jsou zakresleny hodnoty získané měřením (vyznačené křížky) a příklad zvolené hustoty pravděpodobnosti. Parametry rozdělení byly v tomto případě zvoleny evidentně špatně, protože některé naměřené hodnoty leží v oblasti, kde rozdělení udává velmi malou hodnotu hustoty pravděpodobnosti, tj. je velmi nepravděpodobné, aby v takových místech ležely naměřené hodnoty. Většinu naměřených hodnot můžeme očekávat v blízkosti maxima rozdělení. 38 Rozdělení s lépe zvolenou hodnotou /t jsou na obrázku 19, Skupina naměřených bodů již leží v blízkostí maxima rozdělení. Dalším problémem je ale volba šířkového parametru a. Pokud zvolíme šířku příliš malou (viz úzká křivka na obrázku), některé naměřené hodnoty se opět dostanou do oblasti s malou hodnotou hustoty pravděpodobnosti. Pokud zvolíme šířku příliš velkou (viz široká křivka na obrázku), v okolí skupiny naměřených hodnot zůstane Široký interval, ve kterém je ještě velká hodnota hustoty pravděpodobnosti, ale neleží zde žádné naměřené hodnoty, což je opět nepravděpodobná situace. Princip této úvahy vede k metodě pro objektivní stanovení p. a b, i.........-1-1-1-r L.....i,. „ , i_l l_l ..........l ............i..... i-1 -0.5 0.0 0.5 í;0 1.5 2.0 2.5 3.0 X Obr. 19: Rozdělení s různými šířkovými parametry a naměřené hodnoty (kříž-ky) Zavedeme veličinu, která vyjadřuje vhodnost volby parametrů rozdělení pro naměřené hodnoty. Tato veličina se nazývá věrohodnost (označ. L). Věrohodnost zkoumaného rozdělení je dána součinem hustot pravděpodobnosti zvoleného rozdělení pro naměřené hodnoty Hto*) = f{*i)f{x*)..-fM. (1.38) Smysl této veličiny vyplývá z předchozí diskuse. Jestliže některá naměřená hodnota padne do oblasti s malou hodnotou hustoty pravděpodobnosti (špatná volba p. nebo příliš malé i~W.= 0, (1,42) z toho sečtením dostaneme Nejlepším odhadem střední hodnoty normálního rozdělení (a tím i skutečné hodnoty měřené veličiny) je aritmetický průměr naměřených hodnot. Podle druhé podmínky v (L40) hledáme takové á2, pro které bude maximální věrohodnost . do* 2< - A)2 = , ť=xl iv 1*1 Ukážeme si, že takto získaný odhad cr7 je takzvaně vychýlený, tj. jeho střední hodnota se nerovná skutečné hodnotě cr2. Rovnicí (1.44) upravíme a vydělíme kvadrátem skutečné hodnoty šířkového parametru Výraz na pravé straně lze upravit do tvaru 4 w ■ Na pravé straně rovnice, je součet kvadrátů, proměnných, které mají podle (1.26) standardní normální rozdělení. Každý ze sčítanců na pravé straně rovnice má proto rozdělení x2 se stupněm volnosti n = 1. Podle (1.35) je střední hodnota takového rozdělení rovna 1. Podle (1.13) střední hodnotu výrazu na 4 Dokážeme si, že platí N f . s 2 . N N / ví Výraz na pravé straně formálně rozšíříme o prvky í = j. Hodnotu výrazu však tímto nezmeníme. Úpravami dostaneme a^^-^-ED^-x,)'. Umocněním získáme Vísl «'=1 / jel \ «sl i'isl / Dosazením z (1.43) a úpravou: Viol J j«l f jel ial N N w E x< - 2N*ť -2Ar E -2N v • 41 pravé straně rovnice získáme tak, že sečteme střední hodnoty jednotlivých sčítanců. Tím dostaneme hodnotu TV2 -••/V, protože součet obsahuje N2 - N prvků. Dosazením a úpravou získáme střední hodnotu á2 a* E(v7) = cr2 N-l N (1.46) Náš odhad <ř2 je sice vychýlený [E(&7) ^ cr2), ale tzv. konzistentní (pro N -> oo je J5(á2) ~» cr2). Podle vztahu (1.46.) je zřejmé, že nevychýleným odhadem l stupni volnosti, Důkaz lze nalézt např. v (4). 43 Příklad 1.6 Měřením napětí byly získány tyto hodnoty (ve voltech): 3,85 3,42 3,92 3/64 3,73 3,68 3,66 Určele: střední hodnotu napětí směrodatnou odchylktf jednoho měření směrodatnou odchylku odhadu střední hodnoty interval, ve kterém leží skutečná hodnota napětí s pravděpodobností 0,5 interval, ve kterém leží skutečná hodnota napětí s pravděpodobností 0,6827 interval, ve kterém leží skutečná hodnota napětí s pravděpodobností 0,9 Řešení: a) Střední hodnotu odhadneme pomocí (1.43), tj. aritmetickým průměrem: /i = 3,6857 V. b) Směrodatnou odchylku jednoho měření odhadneme pomocí (1.47): á- 0,1675 V. c) Směrodatnou odchylku aritmetického průměru získáme pomocí Besselová vztahu (1.49): l = 0,0633 V. d) Interval s hladinou spolehlivosti 0,5 získáme tak, že hodnotu 8 vynásobíme. Studentovým koeficientem z tabulky v dodatku C pro 6 stupňů volnosti tj. k = 0,718. Dostaneme tedy interval ' (3,686 ±0,045) V, tj. v Intervalu (3,641; 3,731) V leží skutečná hodnota napětí s pravděpodobností 50% .' e) Podobným způsobem budeme postupovat pro hladinu spolehlivosti 0,6827. Studentův koeficient je k = 1,091. Dostaneme tedy interval (3,686±0,069) V, tj. (3,617;3,755) V. > f) Pro hladinu spolehlivosti 0,9 máme Studentův koeficient fe = 1,943. Skutečná hodnota leží s pravděpodobností 90% vintetva-lu (3,69 ± 0,12) V, jinak zapsáno (3,57;3,81) V, Je zřejmé, že s rostoucí hladinou spolehlivosti roste šířka intervalu. Pozn.: Pro správný zápis výsledků měření platí pravidla, kterými se budeme zabývat později. a) b) 4 *) f) 44 1,4,3 Hrubé chyby měření Pří rozboru druhů chyb v úvodní kapitole 1.4 jsme se seznámili s tzv. hrubými chybami. Tyto chyby vznikají mimořádným způsobem: náhlou změnou podmínek experimentu nebo nepozorností experimentátora. Proto se tytocKyby laéríffl^ejhýHi'pravidly jako náhodne^IíylĎyTRekli jsme si, že hrubé chybná měření se výrazně odlišují od ostatních měření. Tyto vlastnosti umožňují hrubě chybná měření identifikovat. Pro hranici, kdy lze říci, žejnameréná hodnota se výrazně odlišuje od ostatních hodnot, můžemeyyj^ meznTc^^ náhodnou chybou padne dovnitř tohoto je^ 99,73%. Jejted^^ekrii ^áio^^vděpodobně fÓ,2Ž% ijgnj^rá^ tento interval považoyat jaj^bě chybná a vyloučit je. Postup při zpracování měření jě následujícíi 1. 'lZesóuboru naměřených hodnt)tjyyjga^ (odhad střednnbTd^o^y) ^aodháH směrodatnéoddr^l^^ 2. Vypočítámej^dii^^______ 3. Ze souboru j/ylouČímé hodnoty ležící mimo interval {jx — k\ jí + k). 4._Předch^ Jiodnoty. Příklad 1.7 Měřením odporu byly získány tyto hodnoty (v fi): 125,3435 125,3859 125,6928 125,3712 125,3592 125,3355 125,3115 125,3526 125,3680 125,3866 125,4105 125,3847 125,3700 125,1123 125,3952 125,3351 125,3499 125,3847 125,3210 125,3129 Z těchto hodnot stanovíme odhady střední hodnoty a směrodatné odchylky jednoho měření: ji = 125,3645 9., a = o, 0990 n. Interval mezní chyby je (125,0675; 125,6615)0. Mimo tento interval leží hodnota 125,6928 fi, kterou vyloučíme: 125,3435 125,3859 125,3712 125,3592 125,3355 125,3115 125,3526 125,3680 125,3866 125,4105 125.3847 125,3700 125,1123 125,3952 125,3351 125,3499.126,3847 125,3210 125,3129 Opakováním výpočtu získáme: jí = 125,3469 Cl, znamená, želkutěcná hodňofaměřené veličiny se téměř jistě neliší od naměřené hodnoty více, než je chyba měřidla. Pro stanovení chyby měřidla platí různá pravidla podle typu přístroje. U mechanjckýr.h měřidel (pray^tj^poauvka, mikrometr atd.) se chyba mě-řidla neičastěji_odhadu)e jako jeden nebo p^^ pro teploměr se $tupnjcT"pÔ 5Jj^Čj^d^o^ad chyby měřidla J0,5°C nebp_ 0^25 °C.j, Zkušený experimentátor dokáže při vhodné velikosti dílku stupnice (0,7 až 7 mm) odhadovat i desetiny dílku. Proto při stanovení chyby měřidla bereme v úvahu i vlastní schopnosti. U měřidel ručkových (voltmetry, ampérmetry atd.) se hodnota chyby měřidla vypočítá pomocí tzv. třídy přesnosti přístroje, která bývá uvedena přímo na stupnici. Pokud není uvedena, lze použít pravidlo pro mechanická měřidla. U digitálních přístrojů hodnotu chyby nebo návod na její výpočet udává výrobce v dokumentaci k přístroji. Pokud tento údaj nemáme k dispozici, za hodnotu chyby považujeme jeden digit, tj. hodnotu nejmenší změny, kterou může přístroj na daném rozsahu 46 zobrazit (například pokud na displeji máme tři desetinná místa, pak chybu přístroje odhadneme jako 0,001). Důležitá je správná volba měřicíhojrozsa- . hu přístroje^rotože^ velikosj^chyb^ Výpočtem "čTTýb měrldelse budeme podrobněji zabývat v dodatku o vlastnostech měřicích přístrojů. Specifickým případem je měření Času pomocí stopek. Chybu měřidla určenou podle stupnice (displeje) musíme zvětšit o reakční dobu pozorovatele, která představuje systematickou chybu měření. J^ojpdhad celkové chyby měření je určující směrodatná odchylka stredný Jhj^atXJnjřej^ A. .Ofllltoyiuxte^j^ nej čas těji,p.e«íti-PJ3.dle .ygiahu— Musíme mít na paměti, že chyba měřidla A je mezní chyba, a proto směrodatnou odchylku 6 musíme převést na stejnou hladinu spolehlivosti (tj, 0,9973) pomocí Studentova koeficientu k. Výsledná chyba Ac je také mezní chybou. Pro odhad celkové směrodatné odchylky měření lze využít vztahu 1.25 N hr • Příklad 1.8 Z deseti měření vodivosti digitálním konduktometrem s chybou A = 0,01 uS cm"1 jsme získali střední hodnotu ft = 8,25 uS cm"1 a směrodatnou odchylku = 0,03 uS cm-1. Studentův koeficient pro mezní chybu a 10 měření je k - 4,094. Celková mezní chyba měření je podle (1-50) Ae = ^(4,094 • 0,03)2 + 0, Ol2 - 0,12 uS cm"1 . V tomto případě je chyba měřidla zanedbatelná, protože výsledná mezní chyba je stejná jako mezní chyba střední hodnoty. Příklad 1.9 Při 8 měřeních délky posuvkou jsme přečetli vždy stejnou hodnotu 6,35 mm. Chyba posuvky je 0,05 mm. V tomto případě je chyba měřidla určující, protože z naměřených hodnot bychom získali nulovou směrodatnou odchylku. Celková mezní chyba je Ae - 0,05mm . Zvětšením počtu měření nelze v tomto případě chybu snížit. 47 1.4.5 Ghyby nepřímých měření, zákon přenosu chyb Zatím jsme se zabývali zpracováním přímých měření, tj. měření, při kterých jsou naměřené hodnoty hodnotami zkoumané veličiny. V praxi jsou častějším případem nepřímá měření, kdy z měřených veličin počítáme jinou veličinu. Zkoumaná Veličina přitom může záviset na jedné přímo měřené veličině (na^ příklad objem koule můžeme měřit nepřímo měřením průměru) nebo na více veličinách (například měření odporu může být založeno na měření úbytku napětí a proudu protékajícího měřeným rezistorem). Obecně nepřímo měřená veličina y závisí na n přímo měřených veličinách y = /(*i,*2,...,*n) • (1-52) Předpokládejme, že veličiny z\ jsou nayzájem nezávislé. Pro každou přímo měřenou veličinu xi jsme získali z opakovaných měření odhady střední hodnoty /ti a její směrodatné odchylky ô,-. Pro nepřímo měřenou veličinu y pak hledáme její střední hodnotu p, a směrodatnou odchylku L Odhad střední hodnoty získáme dosazením odhadů středních hodnot do vztahu (1.52) r p « /(/tlř/iaf...,/iB). (1.53) Větším problémem je výpočet ô. V případě závislosti na jedné přímo měřené veličině by bylo možné vypočítat interval chyby dosazením hodnot pí — Si a. jii -f- *i do vztahu (L52) (za předpokladu, že funkce / je na tomto intervalu monotónní). Tento postup však nelze uplatnit u funkcí více proměnných. Dále uvedený postup výpočtu je sice aproximativní, ale není obecně na újmu přesnosti, protože pracujeme s hodnotami odhadů, tj. s „nepřesnými hodnotami". Označme Axí jako malou odchylku odhadu střední hodnoty i-té veličiny od její střední hodnoty //,• Axí = ft{ — fjL{. (1-54) Zajímá nás, o kolik se změní funkční hodnota y v okolí bodu daném středními hodnotami pn při malých změnách všech veličin. To lze zjistit pomocí Taylorova rozvoje funkce / a* 41 g**.+h. tt £kŕxt*Xí + •' (1-55) Všechny parciální derivace jsou počítány pro hodnoty /*,-. Předpokládejme, že všechny členy řady od druhého a dále jsou zanedbatelné proti prvnímu členu. Tento předpoklad vychází z toho, že hodnoty Ax(- jsou malá navzájem 7PřesnějŠf vztah je .....w+íĚs?*?- Rozdíl proti vztahu (1.53) vlak bývá často menši než velikost chyby. 48 nezávislá čísla a v dalších členech řady jsou v součinu, což jsou hodnoty řádově menší. Pak dostaneme Ay ĚL £l,...,/5n ä. á.X2 + • ■ • + ĚL dxn Ax„, (1.56) což je lineární aproximace funkce /. Funkční plochu jsme tedy nahradili v malém okolí odhadu střední hodnoty rovinou, jejíž analytické vyjádření je dáno lineární kombinací veličin Ax,\ Veličina Ax,- je náhodná proměnná s nulovou střední hodnotou a směrodatnou odchylkou Podle (1.26) bude mít veličina Ay směrodatnou odchylku 6* = ojí? + a\6] + kde a,- jsou koeficienty lineární kombinace (1.56) .2ř2 2ř2 .2r2 a,- ĚL d*. Dostáváme vztah tzv. zákona přenosu chyb 9/ \ \dxi + 0/ + ...+ a/ 0XM Al.-.Ún (1.57) Výše provedené aproximace omezují rozsah platnosti zákona přenosu chyb na situace, kdy se nepohybujeme v blízkosti bodu s nulovou první derivací funkce /. Uvedený vztah dává do souvislosti odhady směrodatných odchylek středních hodnot přímo měřených veličin a odhad směrodatné odchylky nepřímo měřené veličiny. Pro výpočet chyby s danou hladinou spolehlivosti postupujeme stejně jako v případě přímo měřených veličin, počet stupňů volnosti nepřímo měřené veličiny je dán tzv. efektivním počtem stupňů volnosti neff (viz [8]): 4 s4 Ml ....iMn, -1 (1.58) A kde n,' jsou počty stupňů volnosti přímo měřených veličin a £je dána vztahem (1.57). V případě veličiny, jejíž chyba je dána pouze chybou měřidla, budeme předpokládat, že n; oo. Pokud vsak byly odhady směrodatných odchylek přímo měřených veličin zjištěny z dostatečné velkého počtu měření, kdy se Studentovy koeficienty pro danou hladinu spolehlivosti příliš neliší (do 10%) od hodnot pro nekonečný počet stupňů volnosti, lze většinou do zákona přenosu chyb dosazovat i chyby s danými hladinami spolehlivosti. Podmínkou však je, že všechny dosazované chyby musí mít hladinu spolehlivosti stejnou. Výsledná chyba má 49 pak hladinu spolehlivosti takovou, jakou mají chyby dosazované. Tento postup je aproximativní, většinou však poskytne stejnou chybu na dvě- platná místa jako přesný výpočet. Pro několik jednoduchých případů funkce / si odvodíme pravidla pro výpočet chyb: • y s= ax\ db bxi Vypočteme nejprve parciální derivace dXi ÔX2 Dosazením do (1.57) dostaneme 6= ■y/ait2l+&%. Tento výsledek lze také napsat přímo z (1.26). Pro efektivní počet stupňů volnosti platí podle (1.58) *4 M)4 , (W2)4 --h Tli * y — ax\Xi Parciální derivace df ax% df = axi dx\ ČX2 Dosazením dostaneme Rovnici vydělíme střední hodnotou veličiny y, tj. fi —vfíifa 4- Jjtk-) tt+l-Qr) i?-. Dochází tedy ke sčítání kvadrátů relativních chyb ŕ = >/ff + r|. Pro xi -4 O nebo X2 O zákon přenosu chyb nelze použít, protože se jedná o body s nulovými prvními derivacemi funkce /. Efektivní počet stupňů volnosti: "elT = O —--h -— ni n2 vytknutím hodnoty \iA ze závorky a úpravou dostaneme neíT as r* ŕ4 ŕ4' 50 § y = axi/xz Parciální derivace podle jednotlivých veličin: ŽĹ. dx2 3^2 Dosažením do (1.57) \ o2 ■ ú?» #2 Vydělením rovnice střední hodnotou p~ afiiffa dostaneme opět Zákon přenosu chyb nelze použít pro x\ -> 0. Efektivní počet stupňů volnosti: ni (^V+i(í4#V ~1 vytknutím hodnoty £4 ze závorky a úpravou dostaneme -i -A ŕ* r4 V tomto případě máme jen jednu nezávislou proměnnou. ,áx\ Směrodatná odchylka veličiny y pak bude Vydělením střední hodnotou ju získáme opět vztah pro relativní chyby. r = \b\h . ■ Pro xi—0 při 6 ^ 1 nelze zákon přenosu chyb použít. Efektivní počet stupňů volnosti: "eflí 64 i(a6/it-,A■)4l", ni J úpravou dostaneme 51 Konkrétní příklady použití zákona přenosu chyb si probereme v následující kapitole, kde bude vysvětleno, jak správně zapisovat výsledky získané zpracováním měření. Pro objasnění použití výše odvozených pravidel je uveden jeden příklad. Příklad 1.10 Nepřímo měřená veličina y závisí na přímo měřených veličinách xx, %2 a 13 takto: Odvoďte vztah pro relativní chybu r veličiny y a její efektivní počet stupňů volnosti. fieiení: Všechny měřené veličiny jsou v součinu nebo podílu, proto je možné využít vztah pro součty kvadrátů relativních chyb. Vztah v zadání rozdělme nejprve na jednotlivé činitele. Relativní chyba výrazu x\ je 2í*i, kde ri je relativní chyba z\. Podobně relativní chyba ±3 je 4r^. Nyní môžeme sečíst kvadráty relativních chyb jednotlivých činitelů a dostaneme '_ r= v/4ri+*Í+16r!-Podobným postupem pomocí výše odvozených pravidel získáme efektivní počet, stupňu volnosti ntft - r4 16 4 1 4 , 266 4 Tli »2 «3 -1 1.5 Zápis výsledku měření a jeho ch&Ja^ Výsledek měření obsahuje informaci kvalitativní - jednotku, ke které se ^vztahujé^informace kvantitativní, tj, číselná hodnota výsledku. Pravidla pro správný zápis jednotek jíž byla uvedena dříve. Pravidla pro správný zápis Jforelného údaje výsjedku yychá2eji_z_tohot že nernájsnvy^ „hodnotu měřené veličiny s větší přesností, než je hodnota chyby. Zpřesňo-vání zápisy nfrPřin^U&^flinP^^ mč.řPTii bychom dostali jinou hodnotu^gnahou je zapisovat výsledek s takovou přesností, aby se při opakovaném měření měnily cifry zapsaného výsledku pouze na posledním nebo dvou posledních místech. Z toho vyplývají následující pravidla: •_^]}Xfeli^tÍfá5ÍJ^no^y zaokrouhlujeme vždy najedno nebo dvě platná zleva......... • StredmJh8d^ na stejný řád jako chybu. ^ , (střední hodnota ± chyba střední hodnoty)Jedrk^Íka 52 Příklad 1.11 1. Měřenfm hustoty byly získány tyto výsledky: Střední hodnota: q - 0,7068493 g cm*"3 Chyba: 8= 0,0436818 g cm"3 První platné místo chyby je číslice 4 a druhé platné místo jě číslice 3, Při zápisu chyby na jedno platné místo dostaneme zaokrouhlením hodnotu 0,04, střední hodnotu pak zaokrouhlíme na stejný řád, tedy na dvě desetinná místa, a dostaneme 0,71. Výsledek zapíšeme ve tvaru: . (0,71 ±0,04) g cm"3 Pokud chceme zapsat výsledek na dvě platná místa, zaokrouhlením chyby dostaneme Číslo 0,044 a střední hodnotu zaokrouhlíme na tři desetinná místa: p~ (0,707 ±0,044) g cm"3 2. Měřením tlaku byly získány tyto výsledky: Střední hodnota: £=1 738 256 Pa Chyba: . ; • VieGhny hodnoty leží v intervalu mezní chyby, proto žádnou hodnotu nemusíme pro další výpočty vylučovat. Směrodatná odchylka střední hodnoty je podle Besselova vztahu lito hodnota je srovnatelná s chybou přístroje, která člhí asi polovinu dflku stupnice, tj.'.'A = 0,5*. Celková směrodatná odchylka měření Ša podle (1.51) je / . jc = ^ + — ^ 0,268*. Odhad střední hodnoty / získáme dosazením střední hodnoty á do vztahu pro výpočet / /« 0,58435... Směrodatnou odchylku/ vypočítáme podle zákona přenosu chyb í=v/í5ľ*=(iEi°-:i)í'- Při dosazování do tohoto vztahu musíme pamatovat na to, že standardní způsob vyjadřování úhlů je v radiánech '• ■ Jc = 0,268° = 0,00468 é « 0,00675 . Při výpočtu efektivního počtu stupňů volnosti budeme do vztahu (1.58) dosazovat pouze odchylku protože chyba měření A má nekonečný počet stupňů volnosti, a proto do výsledku nepřispívá 55 dosazením dostaneme neff — 13,3. Odpovídající Studentův koeficient získaný interpolací v tabulce v dodatku C je k = 1.039. Výsledek se spolehlivostí 68,3% je / = 0,584±O,OO7. Příklad 144 Máme změřit hustotu měděného válce přímou metodou, to znamená vážením a měřením rozměrů. Při přípravě pokusu nejprve vyjdeme z teorie. V našem případě jde o definici hustoty m es=v' Teorii využijeme pro náš konkrétní případ a vytvoříme tzv. hypotézu. Budeme předpokládat, Že těleso je homogenní s hmotností m a má válcový tvar průměru d a výšky h. Pro hustotu pak dostaneme _ 4ni É " n míníme postupně v intervalu chyby, tj. od -4° do 16°, Budeme sledovat, jak se mění hodnota n. Pro hodnotu (p =t -4° je i) = 0,9976..,, při zvětšování

- 0° fa = 1) a pak klesá až k hginoté r] = 0,96126... pro ^ = 16°. Interval hodnot jestliže se (p mění v intervalu (-4°; 16°), je Všimněme si, že střední hodnota q neleží uprostřed intervalu. Je to způsobeno nesymetrií rozdělení, které popisuje chování veličiny rj, Příklad 1.16 Na pracoviště broušení jsou dodávány destičky s tloušťkou di = (430± 10) jim. Podle předpisu mají mít destičky po broušení tloušťku di — (350 ±20) um. Jaká musí být tloušťka odbrušované vrstvy t a její tolerance, aby byl dodržen výrobní předpis? Předepsané tolerance ize považovat za mezní chyby střední hodnoty tloušťky výrobků. Spatné řešení: Tloušťku ť vyjádříme jako rozdíl £„ - sin

ll.»>MlWlil I.............. ,.,i„ tf„lfc,„ . ,^ .-^.J.l kálni^^ V předchozí kapitole jsme se zabývali případy, kdy měřené veličině, ať už přímo nebo nepřímo měřené, přísluší jedna stálá skutečná hodnota. Výsledkem : měření pak byly náhodně proměnné hodnoty, z nichž jsme vyhodnocením ; získali jedinou hodnotu odhadu skutečné velikosti měřené veličiny. Výše uvedený postup nebývá v praxi příliš častý, protože hodnotu studované; veličiny zjišťujeme zpravidla nepřímo ze vzájemné závislosti některých přímo měřitelných veličin, které se mění dle cíleně upravovaných podmínek experimentu. Například koeficient teplotní délkové roztažnosti daného materiálu určujeme ze závislosti délky tyče na teplotě. Závislostí relativní délkové změny na teplotě je přímka, jejíž směrnice udává hodnotu hledaného koeficientu. Výsledkem měření závislosti velíčiny-^Lna veličině x^e-tedy soubcn^jdyojjr. Jia.yig&«Vfiličinádb^gfljačasně^Rodle dle..našeho... rněM případy: • Potřebujeme získat hodnotu y pro dané x. Pokud ji nemůžeme získat experimentálně, musíme ji odhadnout z již naměřených hodnot (xi,y,). Leží-li x mezi některými změřenými hodnotami, provedeme tzv. inter- . polaci, leží-li mimo ně, provedeme extrapolací. • Neznáme teoretickou předpověď závislosti y na x, ale chceme změřenou závislost popsat některou zvolenou funkcí. V takovém případě provádíme aproximaci změřené závislosti zvolenou funkcí. Aproximační funkce nemusí na rozdíl od interpolačních metod nutně procházet body (*í»V<)' tepáme typ funkce y = /(^K která popisuje měřenou závislost,.Naším, cílem je určit z naměřených dat parametry funkce f(x) tak, aby funkce cojrejlepe vystihla n^^aMřMQU. závislost.,. PmyMmeJzv.xegresi. Regrese se lisí od aproximace tím, Žc modelovou funkci máme dánu např. teoretickým vztahem a gjj|těným.parametrům dáváme jejich| fyzikální význam |najpr^koeíic^ Aproximace bý- vají-založené na regresních metodách, ale funkce je volena bez hlubšího fyzikálního význ airm.^jej čptěj jivy užívanou regresní metodou je meto-„da nejmenšíchčtyerců, kterou se budeme dále zabývat. V literatuře najdeme i další metody jako skup^inoyou nebo postu^n^u_[6]. Tyto metody poskytují vychýlené odhady hledaných parametrů a nebudeme se jimi podrobně zabývat. Mají význam spíše historiek}'. Byly používány především díky jednoduchosti výpočtů na kterých jsou založeny. Takové zjednodušení již nemá v současné době opodstatnění. Na konci kapitoly se budeme krátce zabývat postupnou metodou. 63 ÍJÍJl: TTitfír4K)lacet^ixt^BPÍ,%9g_žl aproximace Jsou případy, kdy pro určitou funkci známe jen některé její funkční hodnoty, ale neznáme její analytické vyjádření, které by nám umožnilo funkční hodnoty vypočítat v libovolném bodě. Mohou to být například výsledky fyzikálních měření nebo výsledky složitého výpočtu, který není možné často opakovat. Při mterpolačním výpočtu neznámé funkční hodnoty pro zvolené x vy-Jvářfmeiuiikd-^iřgJ^kiCTá V uzlových bodgch Zj nabývá zadaných hodnot ^_ffÍ5i}. Interpolační metody se liší typem funkce ^(a:), H^ŕôu yýužTvajT nejjednodušlľ melo^ouie lineární interpolace, kde funkce g,(.^JejHD.£ég!^> lineárjaíJujakce.,tA^ořídjpojniči bodů (x/,|/.-)f Interpolace se múze také zakládat na polynomických funkcích, trigonometrických funkcích, racionálních lomených funkcích atd. jnterpolační metodu volíme podle: • počtu zadaných bodů interpolované závislosti (malý počet bodů zne-. možňuje využívat složitějších interpolačních metod) • očekávaného charakteru závislosti • rozložení zadaných bodů (některé metody předpokládají ekvidistantní rozložení bodů) I • požadavků na chování interpolační funkce (např. spojitost derivací, periodičnost atd.) Extrapolace je založena na interpolačních metodách, výpočet ale provádíme mimo rozsah uzlových boo^ů a.-.' Při extrapolaci je nutno zvláštní opatr-,nostit neboť z chování interpolační fujikce ae snažíme učinit závěry pro oblast hodnot, kde již nemárnežádné informace,. Extrapolace může vést k chybným závěrům, proto je nutnévýsledky kriticky posoudit s ohledem na naše očekávání a jejich fyzikální význam (extrapolací můžeme například získat hodnoty, které nejsou fyzikálně přípustné). 2.1.1 Lineární interpolace Lineární interpolace je nejjednodušší interpolační metodou^ Interpolační funk-£g.^'.SJlLÍd^ 7 úseček,Jcbgrés^ uzlové body (sj,y|). Pro výpočet interpojjov^ Fi^ii^ ^a_squjedn£uzlov;é body x< < x < xt-+i (viz obr. 20). Interpolovanou hod-notu y vypočítáme podle^zTaHu /y-yi + (y2-2/i)f::4L} (2.59) Tento způsob interpolace se využívá nejčastěji při interpolaci v tabulkách. Příklad 2.1 Rychlost zvuku ve vzduchu je závislá na teplotě. Hodnoty rychlosti při tlaku 101325 Pa jsou pro některé teploty uvedeny v tabulce: 64 Teplota (°C) 0,0 5,0 10,0 15,0 Rychlost (m 8"**) 331,5 334,5 337,5 340,6 Vypo&'tejte rychlost zvuku c při teplotě 7° C lineární interpolací. Řešení: Pro interpolaci využijeme hodnoty rychlosti zvuku při 5°C a 10°C, Podle vztahu (2.59) c = 334,5 +(337,5 - 334,5)- ~~ = 335,7 m s-1 . Přiklad 2.2 Hustota vzduchu závisí na jeho teplotě a tlaku. Dále je uveden výřez z tabulky hustot suchého vzduchu v kg m*"3 pro vybrané teploty a tlaky; Tlak (kPa) Teplota (°C) 98,0 99,0 20,0 1,165 1,177 21,0 1,161 1,173 Určete hustotu vzduchu q pro teplotu 20,8 °C a tlak 98 340 Pa lineární interpolací tabulkových hodnot. Řešení: Lineární interpolaci lze použít i v případě funkce dvou proměnných 65 (zde tlak a teplota). Nejprve provedeme interpolaci hustot pro teplotu 20,8 °C a tlaky 98 kPa a 99 kPa. Takto získané hodnoty budeme interpolovat pro tlak 98 340 Pa 20 8 20 q = 1,165 + (1,161 - 1,186) ■ ~~- = *>1618 kg m~3 • To je hustota vzduchu při tlaku 98 kPa a teplotě 20,8 °C 1,177 + (1,173 - 1,177) > ~~20^ * 1,1738 kg m"3 . To je hustota vzduchy při tlaku 99 kPa a teplotě 20,8 °C. Dále provedeme interpolaci pro tlak 98,34 kPa q» 1,1618 + (1,1738- 1,1618). ^ _ g™ é 1,166kg m"3 . To je hustota vzduchu při tlaku 98,34 kPa a teplotě 20,8 °C. Interpolace lze provádět i v opačném pořadí, tj. nejprve pro tlak a pak pro teplotu. 1,165 + (1,177 - 1,165) • 9'9_ 98 = 1,1691 kg m~3 . To je hustota vzduchu při tlaku 98,34 kPa a teplotě 20 °C. q = 1,161 + (1,173 - 1,161) • **^-vt - 1,1651 kg m"3 . To je hustota vzduchu při tlaku 98,34 kPa a teplotě 21 °C. 20 fi — 20 0= 1,1691 + (1,1651 - 1,1691)". f" i 1,166 kg m~3 . To je hustota vzduchu při tlaku 98,34 kPa a teplotě 20,8 °C. 2.2 Metoda nej menších Čtverg^ Mfifodp "qjraftnftfch čtverců je nejběžnější regresní metodou. Využíváme ji ALBřÍPJjigch, kdy chceme, aby_£růběh daného typu funkce se co nejvíce při-.mykal zadanjrjklKKiňnL^ vhodné'par*- metry jisté funkce. Pro matematické řešení tohoto problému musíme najít pjŕimyká k zadaným bodům. Intuitivně lze najít řadu různých měřítek, lze ukázat [ôj, že k nalezení nej věrohodnějšího hledaného průběhu funkce f(x) vede měřítko r S = DM) - Ví)9 • J (2-60) Ů=l ■-------:-^ Měřítkem $ je součet kvadrátu rozdílů zadaných a funkčních hodnot (odchylek ),jc_ter£^^^^^ . G raficky si to můžeme představit jako součet ploch čtverců v obrázku 21. Odtud pochází i název této metody. 66 ParametryJuakce. f(xl&jozna&iifzÁ&ke a, b, c,..„ Velikost součtu čfasrcfl odchylek 5 je funkcí těchto parametrů ĽJ-S^b^J^ ■ (2.61) Hledáme minimum této funkcet tj. TPm> platit: Je zřejmé, že suma čtverců odchylek nemá maximum (vždy existuje taková volba parametrů, která dá větší hodnotu 5), proto hodnoty parametrů s nulovou derivací označují polohu minima. JMinimáhúJhpdnota Sa je tzv, .zbytková (reziduálni! suma čtverců odchylek, Další postup řešení soustavy (2,62) závisí na typu funkce /(i), proto si pro ukázku vyřešíme dva jednoduché příp«Hyuy_jiás)HHJícírň text" jsrm meze sčítání od i = 1 do i = jV, kde N je počet,bodů daných tabulkou. • y — ax Vztah (2.60) pro sumu čtverců odchylek má tvar S = J2(axi - y<)2 • Derivací získáme i C/5 . ■ ^ \ ^ = 2j^{ax{ - y{)xi. 1 Pro minimum platí 1 £(«*? - x/y,) = 0 , 67 Nejvěrohodnějším odhadem parametru a je e*2 ' a — (2.63) Odhad parametru á je vypočten z hodnot náhodné proměnné, a proto je zatížen chybou. Tuto chybu zjistíme ze zbytkové sumy S0. Postup výpočtu odhadu chyby lze nalézt např. v [3], zde se omezíme pouze na výsledky výpočtu. kde k je Studentův koeficient pro danou hladinu spolehlivosti P a počet stupňů volnosti (v tomto případě je to N — 1). • y s= ax -f 6 V tomto případě hledáme dva parametry a a b ^ = 253(axi + 6-yi). Pro hledané minimum dostáváme soustavu rovnic 53(ax? + oíj - síA/,-I>,£A/; o = A^mME™.)2 Z naměřených hodnot spočítáme jednotlivé součty ">>,• = 2,8 kg, £>2 = l,4kg2, £ M = 455 • 10~6 m , 2 m;A/; = 223,7 • 10~6 m kg . Dosazením získáme odhady parametrů c= 153,45-10~6 m kg"1 , fc = 3,2-10"6m. Výsledné hodnoty modelového vztahu jsou shrnuty v následující tabulce. 70 Hmotnost m; (kg) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Prodloužení A/; (um), 0 20 35 52 63 80 96 109 Model hm-i + 6 (um) 3,2 18,5 33,9 49,2 64,6 79,9 95,3 110,6 Odtud lze spočítat i zbytkovou sumu čtverců odchylek So « £(ámť + b - A/,-)2 » 27,2 • 10~12 m3 , ze které vypočítáme odhad chyby směrnice sa = Zt2B-10'9mkg"1 . Ze směrnice spočítáme hodnotu odhadu modulu pružnosti a jeho chybu dle zákona přenosu chyb ŕ = y/řf + řl + Ařl a dostaneme ŕ =» 0,02718. Vypočítáme efektivní počet stupňů volnosti .i-i m na Směrnice a určená metodou nejmenších .čtverců má 6 stupňů volnosti. Dosazením, dostaneme ntft = 13,5. Odpovídající Studentův koeficient je k =b 1,038, výsledek s hladinou spolehlivosti 68,3% je £?=(22,3±0,6)'1010Pa. Příklad 2.4 Neznámá funkce je zadána tabulkou: x{ 2 3 4 5 6 7 8 Vi 0,2 0,7 0,95 1,2 1,35 1,46 1,58 Pro aproximaci této funkce byla vybrána funkce y = oln(a;)+6. Určete hodnoty parametrů a a b metodou nejmenších čtverců. Řehní: Pokud provedeme transformaci nezávisle proměnné X = ln(z), dostaneme funkci tvaru y = aX + 6. Pro výpočet koeficientů této funkce metodou nejmenších Čtverců jsme již odvodili potřebné vztahy (2,64) a (2.65). V nich provedeme odpovídající transformaci, tj. místo x{ budeme dosazovat Xi «= In(«,■). Výpočtem získáme á = 0,98±0,04, 6= -0,43±0,06. Graf funkce je uveden na obrázku 22. 71 yi.5 1.0 0.5 0.0 0 2 4 6 8 10 X Obr. 22: Funkce y = a.\n(x) + b proložená metodou nejmenších čtverců lPostuj)jiou metodo" 1** vyhodnotit soubor měření, která na sebe navazují tak? že koncový bod jednoho měření,je,počátečním bodem měření následuií- -^hsj^to^tuaceje^ (například měření vzdálenosti uzlů vlnění, interferenčních čar, doby kmitu^jnebp při jněření lineárních závislostí, v nichž nezávisle proměnná nabývá ekvidistant- jíclThodnot (například měření prodloužení drátu postupným zatěžováním, kalibrace pipety). Pro názornost si metodu vysvětlíme na příkladu měření vzdálenosti interferenčních čar (viz obr. 23). Ze změřených poloh čar (xi,.'.., x6), máme určit střední hodnotu jejich vzdáleností a, Mohlo by se zdát, že vhodný postup je spočítat vzdálenosti jednotlivých čar a z nich vypočítat průměr . 1 - . Xg — X\ a ä -(x2 - Xi 4" X3 - x2 + x< - x3 + X5 - Xi + x6 - xB) = —-— . 5 5 Vidíme, že výpočet vede k započítání pouze první a poslední polohy a informace o polohách čar mezi nimi není vůbec využita. Tento nedostatek odstraňuje právě postupná metoda. Její princip spočívá v tom, že měřené hodnoty vzestupně uspořádáme, rozdělíme na dvě stejně velké skupiny (předpokládáme sudý počet měření). Spočítáme rozdíly vždy mezi prvními body z obou skupin, vydělíme počtem intervalů mezi nimi a dále mezi druhými body atd. (viz obr. 24). Z takto získaných hodnot vypočítáme průměr. Výpočtem v našem případě získáme 1 (Xi~ x\ ar6 — x2 x6 — x^\ Postupná metoda však může dávat vychýlené odhady, a proto se od jejího využití ustupuje. Význam má spíše historický a pedagogický, protože 72 H-H--1-•-1-1-H- x\ xi x$ x4 x$ Xe Obr. 23: Měření vzdálenosti Čar postupnou metodou Xfi — X\ x% — a?2 x4 — ÍCi j \ _1-,—1 1-,-1- -1- —1—: —1 X\ X2 £3 X4 2g X(t Obr. 24: Princip postupné metody ukazuje, že i jednoduchá a na první pohled správná úvaha o proměřování rozdílů vede k chybným závěrům. K nejvěrohodnějšímu odhadu vede metoda nejmenších Čtverců, kterou lze využít i v tomto případě, a to tak, že za nezávisle proměnnou považujeme pořadové číslo měření a za závisle proměnnou naměřenou hodnotu. Získáme tak dvojice hodnot (i, x,-), kterými proložíme přímku. Směrnice přímky udává v tomto případě střední hodnotu vzdálenosti mezi čarami. I Přiklad 2.5" Vyhodnoťte výsledky měření z příkladu 2,3 těmito způsoby: a) proměřováním rozdílů b) postupnou metodou Takto získané výsledky porovnejte s výsledkem v příkladu 2.3. 73 -B + nomôfené hodnoty - metodo nejmenších čtverců - promérovtínl - postupnú metodo 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 m (kg) Obr. 25: Srovnání výsledků metody nejmenších čtverců, průměrování a stupné metody Řešení: a) Průměrování rozdílů vede k rozdílu prvního a posledního bodu AZ8 - Aíi 109 • 10-B A = = 155,7-10-6mkg mg — tni 0,7 Takto bychom získali hodnotu modulu pružnosti E =? 21,9 • 10il Pa. b) Pro postupnou metodu rozdělíme naměřené hodnoty do dvou skupin po čtyřech bodech, Postupnou metodou získáme hodnotu prodloužení odpovídající změně zatížení dle velikosti kroku měření, tj. 0,1 kg. Hodnota hledané směrnice je tedy 10 krát větší, a proto musíme výsledek násobit 10 As=10.^---+---+---+ 4 ) » 10 K 63-0 80 -20 96-35 109-52 H--:--f- —:--1--t"— )•■ 4 ' 4 " 4 A^lóO.e.lO^mkg"1 . Odpovídající hodnota modulu pružnosti je E = 22,7 • 10u Pa. Vidíme, že obě metody daly rozdílné výsledky a liší se od výsledku získaného metodou nejmenších Čtverců. Důvod je patrný z grafu na obr. 25. Hodnota směrnice získaná proměřováním závisí pouze na prvním 74 a posledním bodu, přímka tyto body spojuje. V případech, kdy právě první nebo poslední bod se podstatně odchyluje od předpokládané přímky, dává tato metoda špatné výsledky. V našem případě není jejich odchylka od přímky proložené metodou nejmenších čtverců příliš velká. Proto se směrnice získaná postupnou metodou příliš neliší od směrnice získané metodou nejmenších čtverců. Postupná metoda dala v našem případě nejnižší hodnotu směrnice, protože v souboru dat ve druhé skupině je patrný posun naměřených bodů k nižším hodnotám. Jak postupná metoda, tak i proměřování, mohou poskytovat zkreslené výsledky. Použití těchto metod lze doporučit pouze pro rychlé získání přibližných výsledků. 75 3 Zásady tvorby grafů Graf je základním nástrojem prezentacevýsledků měření fyzikálních závislos-JškMimo přehledné zobrazení, zvláItev~pHpadě většího množství dat, slouží j proleTičirínterpretaci, případně pro srovnání s mode|pvou frřivkoii. ftíorniv pro tvorbu grafů nejsou příliš ustálené, požadavky se mohou mírně lišit podle způsobu tvorby a účelu využití grafu, přesto lze najít některé Bpolečné zásady. Pro vytváření grafů ručně: • kreslíme vždy na papír určený pro grafy (milimetrový, logaritmický papír) • osy: - na vodorovnou osu vynášíme nezávisle proměnnou veličinu a na svislou osu veličinu závislou - zvolíme umístění os; pokud je v rozsahu hodnot bod (0;0), umístíme do něj počátek os, osy neumísťujeme na okraj milimetrové sítě - zvolíme velikost jednotky na osách tak, aby vykreslená křivka nebo body využily asi 80% plochy papíru - osy ekvidistantně označkujeme a popíšeme, doporučená vzdálenost značek je 2 až 5 cm, popisky píšeme na vnější stranu osy j - značky os popisujeme v pravidelných intervalech (např. každou i druhou), popsané značky děláme výraznější ~ osy ukončíme šipkou ve směru rostoucí hodnoty - na konci osy napíšeme značku veličiny a do závorky její jednotku \ (např. / (mA)) • body: ~ vynášené hodnoty umístíme v grafu do polohy dané souřadnicovým systémem - souřadnice bodů nevyznačujeme na osy a nekreslíme ani žádné vynášecí úsečky | - body patřící do určité skupiny odlišujeme od ostatních typem 1 značky (například křížek, kolečko, čtvereček) l - velikost značek volíme tak, aby byl dobře patrný jejich typ, ale I" aby docházelo jen minimálně k jejich vzájemnému překryvu ] - hodnoty vztahující se k jednotlivým bodům do grafu zásadně ne-| vypisujeme !• křivky: \ - jednotlivé body nespojujeme lomenou křivkou, spojnice bodů ne-| má zpravidla žádný fyzikální význam 77 - pokud je žádoucí vytvořit spojnici bodů, prokládáme hladkou křivku pomocí křivitka -~ proložené křivky vykreslujeme pouze v rozsahu odpovídajícím za-,.; kresleným bodům (pokud úmyslné neprovádíme extrapolaci) - pokud je v grafu více křivek, odlišíme je buď typem Čáry nebo typem značek bodů, které na této křivce leží - křivky popíšeme jejich parametry nebo vytvoříme legendu (obrázek se vzorkem typů čar s jejich popisem, který umísťujeme ve volné Části grafu) • do záhlaví grafu umístíme nadpis vystihující obsah grafu Pro počítačovou tvorbu grafů platí všechny výše uvedené zásady s výjimkou toho, že grafy tiskneme na jednobarevný papír (nikoliv milimetrový). Rámeček grafu je tvořen osami, které jsou po všech stranách opatřeny značkami, ale jen dolní a levá osa jsou popsány. 78 Dodatek A Vážení Vážením určujeme hmotnost váženého předmětu srovnáním jeho tíhy s tíhou závaží (předmětu známé hmotností). K tomuto srovnání slouží váhy. Vážení na vahách je jednou z nejpřesnějžích měřicích metod v běžných laboratořích. Běžně dosahované relativní přesnosti vážení jsou 10~B až 10~6. Pokud je to možné, je výhodné převádět jiné typy měření na vážení (např, stanovení objemu, hustoty). Máme-K dosáhnout vysoké přesnosti, je nutné váhy pečlivě udržovat, vážení samo musíme provádět s nej větší opatrností a do zpracování měření zahrnout analýzu systematických chyb měření. V laboratoři se nejčastěji setkáme s pákovými váhami nebo váhami elektronickými. Pákové váhy využívají pro. srovnání tíhy váženého předmětu a závaží momentové rovnováhy na páce (nejčastěji rovnoramenné). Páka vah (vahadlo) je spojena s miskami, na které ukládáme vážený objekt a závaží. Závaží klademe na pravou misku vah z důvodu pohodlnější manipulace pravou rukou. Oddělení misky pro závaží a pro vážené předměty je důležité i proto, aby na stejnou misku nebyly kladeny jednou např. chemikálie a podruhé závaží. Vahadlo je spojeno s indikátorem polohy vahadla (jazýček), který ukazuje na stupnici polohu vahadla v dílcích, jež jsou úměrně úhlu vychýlení vahadla. Velmi důležitou částí vah jsou břity, na nichž spočívají misky a vahadlo. Břity jsou trojboké hranoly s ostrou hranou, která dosedá do lůžka. Nejsou-li břity dosti ostré, stane se, že se břit při naklánění vahadla valí po dosedací plošce a mění se tak velikost páky. Aby se břity neotupily, bývají vyrobeny z tvrdé oceli nebo z achátu, podobně jako lůžka. Váhy jsou opatřeny tzv. aretací, tj. zařízením, kterým se misky a vahadlo vyzvednou tak, aby břity nebyly namáhány, i když váhy nepoužíváme. Aretace současně blokuje pohyb vahadla a misek. Při vážení se snažíme dosáhnout rovnovážného stavu vah, tj. stavu, ve kterém je výsledný moment sil působících na vahadlo nulový. Tento stav ale nemusí znamenat, Že tíhy předmětů na obou miskách si jsou rovny (i v případě stejně dlouhých ramen). Při výpočtu momentů je nutné započítať moment tíhy jazýčku a pamatovat na to, že břit vahadla neleží na spojnici břitů misek (břity misek jsou vůči břitu vahadla níže). Těžiště cele soustavy tak leží pod osou otáčení vahadla a soustava je stabilní. Při malém rozdílu hmotností ha miskách se soustava dostane do rovnováhy nakloněním vanadia, čímž se změní úhly mezi vahadlem a tíhovou silou misek a dojde ke změně jejich momentů. Tím se dostane soustava do rovnováhy. Výsledkem je to, že úhel odchylky vahadla Ay> od nulové polohy (poloha při nezatížených miskách) je úměrný rozdílu hmotností předmětů na miskách Am Aip = cAm , . .(A.l) kde c je tzv. citlivost váh! Citlivost závisí na rozměrech vahadla a jazýčku a na zatížení vah. Citlivost vah tedy není konstantní a je vhodné ji stanovovat při každém vážení. Obecně vztah (A.l) říká, že změna rozdílu hmotností na 79 miskách o Am posune rovnovážnou polohu o Ay>. Úhel A

/ \ " " ^ - J*8 \ / — ~~ ~ \ / - " " **• čas —» Obr. 28: Metoda tří kyvů pro stanovení rovnovážné polohy slabě tlumených vah . . - 83 hodnoty obou obálkových křivek, rovnovážna hodnota by byla dána jejich aritmetickým průměrem. Jednu hodnotu obálkové krivky aj zjistíme v bodu obratu jazýčku, ale hodnota druhé obálkové krivky ve stejném okamžiku nám bude vždy chybět, Tuto hodnotu můžeme přibližně získat za předpokladu, že obálkovou křivku mezi dvěma body obratu lze nahradit úsečkou (/? «w), Pak je chybějící hodnota dána aritmetickým průměrem velikosti výchylek ve dvou sousedních bodech obratu ai a Vážení na elektronických vahách Elektronické váhy jsou již běžnou součástí fyzikálních a chemických laboratoří. Podle jejich citlivosti je možně elektronické váhy rozdělit na váhy laboratorní a analytické. Dosahují citlivostí srovnatelných s mechanickými vahami. Postup vážení je velmi jednoduchý, vyžaduje však pečlivost a dobrou přípravu vah před měřením. Před vážením musíme zkontrolovat správné uložení vah, k tomu slouží zpravidla zabudovaná libela. Elektronické váhy mají jen jednu misku a měří tíhu předmětu na ní uloženého. Tíhovou sílu, resp. Číselný údaj získaný elektronickým převodníkem, srovnávají s hodnotami tíhových sil kalibračních závaží. Elektronické váhy totiž musí být po zapnutí a stabilizaci vnitřních obvodů (především ustálení vnitřní teploty) žkalibrovany sadou kalibračních závaží, Postupy kalibrace se mohou lišit, jsou uvedeny v návodu k váhám. Před uložením předmětu na misku vah nejprve vynulujeme údaj na displeji. Vážený předmět opatrně uložíme na misku a odečteme údaj na displeji. Pokud se podstatně změní laboratorní podmínky, musíme znovu provést kalibraci vah. Chybu zjištěné hmotnosti spočítáme dle návodu v dokumentaci k váhám. Příklad A.2 Projdeme postup vážení prázdné skleněné kádinky na laboratorních vahách pomocí metody tří kyvů. Na obrázku 29 je stupnice laboratorních vah. Je zřejmé, že stupnice vah nemusí mít nulu uprostřed. • Při zjišťování první nulové polohy byly hodnoty tří po sobě jdoucích maximálních výchylek 7;16;9. Výsledná první nulová poloha Obr. 29: Stupnice laboratorních vah 84 • Prvním vyvážením závažím ^^56,3 g byly hodnoty podle metody tří kyvů 4;17;5. První rovnovážná poloha 75 Jelikož první rovnovážná poloha leží vpravo od první nulové polohy, musíme změnit vyvažující závaží tak, aby druhá rovnovážná poloha byla větší než 12. Musíme tedy hmotnost závaží zvětšit (předpokládáme, že závaží je na pravé misce). ♦ Po zvětšení závaží na hodnotu ,Zj=s56,4 g byly hodnoty tří kyvů 8;19;10. Druhá rovnovážná poloha 1 A« , 8 + 10V ■ * Druhá nulová poloha byla zjištěna z hodnot 8;15;8; no2 - ^ ^15+ —j-J = 11,5. Další postup je stejný jako u Vah tlumených. Nulová poloha je ftoi + «óž 12-f 11,5 "o =—Y"— -£— = 11,75. Správnou hodnotu vyvažujícího závaží získáme podle (A.3): 11 7fi — in 75 Zo « 56,3 + (56,4 - 56,3) • ľ, in 4 * 56,3308 g . ^ • 14 — 1U, řO Citlivost vah je 14 — 10j75 .- _ • • • Mezní chyba hmotnosti Zo je pak ^=.:];s = 0,03g. Výsledná hodnota hmotnosti vyvažujícího závaží je tedy ' :ZQ- (56,33±0,03) g . Oprava vážení na vztlak vzduchu (redukce vážení na vakuum) Vliv vztlaku vzduchuje příkladem systematické chyby, která se vyskytuje v procesu vážení. Na předměty na miskách a na závaží nepůsobí jenom tíhové síly, ale i vztlakové síly vzduchu dle Archimedova zákona, Velikost vztlakové síly závisí na objemu těles na miskách vah a na hustotě vzduchu. Objemy těles jsou obecně různé, proto může být vztlaková síla působící na závaží jiná 85 než síla působící na vážený předmět. Pro rovnováhu na vahách s uvážením vztlaku vzduchu platí: m - QvVm = Z - gvVt , (A.8) kde m je hmotnost váženého předmětu, Vm je jeho objem, Z je hmotnost závaží, Vt je objem závaží a gv je hustota vzduchu. Položme vm = V. = , (A.9) Q Qz kde e je hustota váženého předmětu a gz je hustota závaží. Dosázením do (A.8) a úpravou dostaneme m^záelZjA> (A10) Závaží bývají většinou mosazná, tj. é>*=8400 kg m"3. Hustotu váženého předmětu p buď známe (podle materiálu Určíme ž tabulek), nebo ji určjme právě pomocí vážení. Hustota vzduchu závisí na tlaku p, teplotě i a vlhkosti vzduchu R. Při vážení musíme proto stanovit laboratorní podmínky. Hustota vzduchu ze stavové rovnice dvousložkového plynu (suchý vzduch a vodní pára) je [9] gv= ,N(p-0,378e), (A.U) kde po = 1,293 kg m~3 je hustota vzduchu za normálních podmínek To—273,15 K a p0=101325 Pa. Teplotu vzduchu t dosazujeme ve °C< Parciální tlak vodních par určíme pomocí relativní vlhkosti R a parciálního tlaku nasycené vodní páry E e=zRE. (A.12) Parciální tlak nasycené vodní páry E můžeme nalézt v tabulkách nebo vypočítat podlé vztahu 5 = 611-10* PVC], (A.13) který lze odvodit z Clausiovy-Clapeyronovy rovnice. Hodnoty parametrů jsou a as 7,5 a b « 237,3°C pro teploty nad bodem mrazu, a ='9,5 a 6 = 265,5°C pro teploty pod bodem mrazu. Redukci vážení na vakuum provádíme i při vážení na elektronických vahách, neboť i tyto váhy srovnávají tíhu váženého předmětu a tíhu kalibračních závaží. Důležité je, aby kalibrace a vážení proběhly za stejných laboratorních podmínek. 86 Příklad A.3 Výsledek předchozího příkladu (vážení skleněné kádinky) opravíme o vztlak vzduchu. Hmotnost vyvažujícího závaží byla stanovena Z0~ (56,33 ±0,03) g . Laboratorní podmínky t = 22,8°C, p w 96438 Pa, Ä=38%. Podle (A.13) je tlak nasycených vodních par i?~2776 Pa a parciální tlak par ve vzduchu e - 0,38• 2776=1055 Pa. Pro hustotu vzduchu podle (A. 11) dostaneme 1 293 Qv^-L-—-^(96438-0,378'1055)== i, 131 kg m 101325.(1 + ^)' -3 Nyní můžeme přistoupit k výpočtu hmotnosti redukované na vakuum podle (A.10). Vážený předmět má hustotu q - 2250 kg m"3, závaží q, =» 8400 kg m~3. • ^ ,fi oo 2250.(8400-1,131) _go m * 56í33 ' 8400. (2250- 1,131) = 56'35 6 ' Hmotnost vážené kádinky je ro * (56,35±0,03) g . Přiklad A.4 V kádince, jejíž hmotnost jsme zjistili v předchozích dvou příkladech, vážíme vodu. Váženfproběhlo za stejných laboratorních podmínek jako vážení prázdné kádinky. Hmotnost vyvažujícího závaží byla v tomto případě Zov-(185,52±0,03)g. Pro redukci vážení na vakuum neznámé v tomto případě hustotu váženého předmětu, protože se jedná o nehomogenní těleso (kádinka a voda). Můžeme postupovat dvěma způsoby. Bud* odhadneme střední hustotu celé soustavy voda-kádinka (jelikož se jedná pouze o údaj pro výpočet opravy, případnou chybou se nedopustíme zřejmě příliš Velkého zkreslení výsledku), nebo provedeme redukci vážení pouze pro samotnou vodu následujícím způsobem. Hmotnost vyvažujícího závaží pro samotnou vodu je dána rozdílem Zv = Z0v - Z0 « (129,19 ± 0,04) g . Hustotu vody známe (g =1000 kg m~3) a po výpočtu dostaneme hmotnost vody m„ = (129,32±0,04) g . 87 Příklad A.6 Vážíme hliníkový předmět na tlumených analytických vahách: První nulová poloha: noi = 30 První vyvážení: ni = 67 při #1 = 28,43 g Druhé vyvážení: n2 - -35 při Z2 = 28,44 g Druhá nulová poloha: no2 — 12 Rovnovážná poloha je 12 + 30 01 ■ no= ——ä 21. Hmotnost vyvažujícího závaží Zo « 28,43+ (28,44-28,43) • ^ " 6!7= 28,4345g . Citlivost vah Chyba vážení je pak 0,1 mg. Hmotnost vyvažujícího závaží Z0 = (28,4345 ±0,0001) g . Vážení probíhalo při teplotě ís 21,7 °C, tlaku p s= 98925 Pa a relativní vlhkosti Ä-56%. Parciální tlak podle (A. 13) a (A.12) dostaneme e — 2597 Pa. Hustota vzduchu podle (A. 11) je gv«l,163 kg m~3i. Hustota hliníku je q = 2700 kg m~3. Redukce vážení na vakuum podle (A.10): ■;■ ír;.'-,;P.;; m . ». 2700.(8400- 1,163) , • m « 28,4345 • ^ ??M _ ^ - 28,4428g. Hmotnost váženého předmětu je m = (28,4428 i 0,0001)g . 88 Dodatek B Vlastnosti měřicích přístrojů Měřicí přístroje umožňují objektivizovat měření, tj. buď vyloučit lidské smysly z procesu měření a nebo měřenou veličinu učinit lidským smyslům snadněji kvantifikovatelnou (např. poloha ručky na stupnici přístroje). V mnoha případech měřicí přístroje zprostředkovávají informaci o veličině, která je lidským smyslům nedostupná. Měřicí přístroje tedy hrají klíčovou roli y měřicím procesu a úspěch měření závisí i rtá tom, jak dobře známe vlastnosti použitých přístrojů. Musíme porozumět, jak přístroje jnteragují s měřeným-objektem a mezi sebou navzájem, jejich omezením a chybám, které vnáší do měření. V této kapitole si budeme všímat vlastností elektrických měřicích přístrojů. S těmito měřícími přístroji se setkáváme často, protože mnoho měření je založeno na převodu měřené veličiny na elektrický proud nebo napětí. V takovém měřicím řetězci je nutné rozumět nejenom vlastnostem měřícího přístroje samotného, ale i převodníku dané veličiny na veličinu elektrickou. Vlastnosti převodníků jsou závislé na konkrétní situaci a nebudeme se jimi zabývat. Přístroje pro měření elektrického proudu můžeme rozdělit do dvou skupin. Jsou to ručkové (analogové) a číslicové (digitální) přístroje/Digitální měřicí přístroje převádějí pomocí tzv. analogově-digitálníbo převodníku měřenou veličinu na číslo zobrazené ha displeji. Převodníky jsou elektronické obvody, jejichž princip je popsán např. v [9]. Ručkové měřicí přístroje využívají nejčastěji silového působení magnetického pole, ve výjimečných případech elektrostatického pole. V nejběžnějším měřicím systému s otočnou cívkou se .využívá silového působení magnetického pole na cívku protékanou elektrickým proudem. Cívka je uložena mezi póly permanentního magnetu tak, aby se mohla otáčet. Díky interakci magnetického momentu cívky s magnetickým polem magnetu dochází k otočení cívky až do polohy, kdy je moment sil magnetického pole v rovnováze s momentem síly vratného mechanismu - např. spirálového pérka. Cívka je spojena s ručičkou na stupnici a její výchylka je úměrná střední hodnotě protékajícího proudu. Z toho je zřejmé, že tímto systémem není možné přímo měřit střídavé proudy. Pro měření střídavých proudů musíme proud usměrnit nebo použít tzv. elektromagnetického nebo elektrodynamického systému. U elektromagnetického systému se využívá vzájemného silového působení železného jádra a magnetického pole buzeného pěvne uloženou cívkou. V magnetickém poli se jádro polarizuje a je vtahováno do cívky. Pohyb jádra se pak přenáší na ručičku na stupnici. Elektrodynamický systém je v principu velmi podobný systému s otočnou cívkou. Pole permanentního magnetuje ale.nahrazeno polem pevné cívky, kterou protéká měřený proud. V tomto magnetickém poli se vychyluje otočná cívka, kterou rovněž protéká měřený proud. Elektrodynamického systému lze využít i pro měření výkonů, Na jednu cívku je přivedeno napětí, které je na měřené zátěži, a druhou cívkou protéká proud, který protéká měřenou zátěží, Jedna cívka je tedy zapojena paralelně k měřené zátěži a druhá do série. 89 V takovém uspořádání je výchylka úměrná Činnému výkonu uvolňovaném na zátěži. Typ měřícího systému bývá označen na stupnici přístroje symbolem (víz tabulka 4). Na stupnici se dále uvádí izolační schopnost přístroje, tj. napětí na svorkách přístroje, při kterém nedojde k jeho průrazu na vodivou uzemněnou podložku (víz tabulka 5). Dále bývá uvedena správná pracovní poloha stupnice a druh měřeného proudu (viz tabulka 6). Důležitým údajem na stupnici je tzv. třída přesnosti, která je dána číslem uváděným nad symbolem druhu měřeného proudu. Třída přesnosti udává mezní chybu měřícího přístroje. Chybu vypočítáme tak, že vynásobíme hodnotu zvoleného rozsahu měřícího přístroje třídou přesnosti a vydělíme 100. Značka Název systému Princip Využití / f* .i i. \ j s otočnou cívkou otočná cívka protékaná měřeným proudem uložená v poli permanentního magnetu stejnosměrné napětí a proudy (výchylka úměrná střední hodnotě) / f* \ s otočnou cívkou a usměrňovačem stejný jako u systému s otočnou cívkou, proud je v přístroji usměrňován diodou stejnosměrné i střídavé napětí a proudy (výchylka úměrná střední hodnotě usměrněného proudu) t elektromagnetický otočné železné jádro uložené v magnetickém poli cívky, kterou protéká měřený proud stejnosměrné i střídavé napětí a proudy (výchylka úměrná efektivní hodnotě) 0 .' u élektrodynamický otočná cívka protékaná proudem uložená v magnetickém poli cívky, kterou protéká proud stejnosměrné i střídavé napětí a proudy (výchylka úměrná efektivní hodnotě), výkon Tabulka 4: Typy měřicích systémů a jejich označení Příklad B.l Voltmetr má rozsah 24 V a třídu přesnosti 1,5. Ručička ukazuje napětí 10 V. Určete chybu napětí a vyjádřete ji relativně a absolutně, Řešeni: Z definice třídy přesnosti dostaneme absolutní chybu napětí; Au = 24 • ~0,36 V. Výsledek je U s (10,00 ±0,36) V a relativní chyba ry=3,6%. 90 Značka Význam zkušební napětí 500V -ár.. zkušební napětí v kV (zde např. 1 k V) Tabulka 5: Izolační schopnosti měřícího přístroje Značka Pracovní poloha stupnice Značka Typ měřeného proudu (napětí) 1 pracovní poloha stupnice svislá stejnosměrný pracovní poloha stupnice vodorovná stejnosměrný i střídavý /6Q* pracovní poloha stupnice šikmá (zde např. 60°) střídavý Tabulka 6: Další značky ňá stupnici měřicích přístrojů Příklad B.2 Ampérmetr má rozsah 120 mA a třídu přesnosti 1, Ručička ukazuje proud 76 m A. Určete chybu měřeného proudu a vyjádřete ji relativně i absolutně. Řešeni: Z definice třídy přesnosti dostaneme absolutní chybu proudu; Ai - 120' 'jjg = 1,2 mA. Výsledek je /> (76 ± 1) mA pppř,: / = (76,0 db 1,2) mA á relativní chyba r/= 1,6%. Z výše uvedeného vyplývá, že je vhodné volit takový měřicí rozsah, aby se měřená hodnota co nejvíce blížila hodnotě měřícího rozsahu. V tomto případě je relativní chyba měření minimální. 91 Ha. -Q Ir -o Iv V a) b) : Obr, 30: Dvě varianty zapojení voltmetru a ampérmetru U digitálních měřicích přístrojů je výpočet chyby složitější a postup výpočtu musíme najít v dokumentaci přístroje. Většinou se chyba vypočítává jáko část z měřícího rozsahu a jako část z měřené hodnoty. Pro označení měřícího rozsahu najdeme v dokumentaci různé označení např. MHMR -maximální hodnota měřícího rozsahu, Full Scale - z angličtiny někdy zkracováno jako FS. U přístrojů, které automaticky přepínají rozsahy, je nutné zjistit pravidlo, podle kterého probíhá volba rozsahu, a z čtené hodnoty zpětně odvodit momentálně použitý měřicí rozsah. Pro označení měřené hodnoty se používají označení např. MH - měřená hodnota, č.h. - čtená hodnota, Reading - z angličtiny někdy zkracováno RD. Ve výpočtech chyb se také někdy používá .výrazu digii (zkracováno dig,), který představuje minimální hodnotu, kterou je možné přečíst na displeji. Například výraz S dig. znamená dvojnásobek této hodnoty. Z měřícího principu ručkových přístrojů je zřejmé, že musíme uvažovat jejich vliv na měřený obvod. Ampérmetrem protéká měřený proud a na jeho svorkách vzniká úbytek napětí. Voltmetrem také protéká proud, který je dán odporem měřicí cívky a měřeným napětím. V obvodech střídavého proudu musíme uvážit (zvláště u vysokých frekvencí) indukčnosti cívek měřicích systémů. Vnitřní odpor běžných analogových voltmetrů bývá v rozsahu desítek až stovek kQ. Vnitřní odpor digitálních voltmetrů bývá většinou v řádu desítek Mfi. Vliv měřicích přístrojů si můžeme dokumentovat na případu měření odporu metodou přímou. Ampérmetr a voltmetr můžeme zapojit dvěma různými způsoby (viz óbr.30). Odpor měřeného rezistoru je dán velikostí úbytku napětí Ur a protékajícího proudu Ir. V případě a) nám ampérmetr ukazuje hodnotu proudu protékajícího rezistorem, ale voltmetr ukazuje součet hodnot Ur &Ua, kde U a je úbytek napětí na ampérmetru. Úbytek napětí V\ je dán vnitřním odporem ampérmetru Ra, tj. U a = RaI. Hodnotu odporu pak můžeme vypočítat jako R = ~ - Ha > 92 kde U b, I jsou hodnoty čtené na přístrojích. V zapojení podle obr.306J am-pérmetrem naměříme součet proudů protékajících rezistorem a voltmetrem / = IR + Iv. Proud protékající voltmetrem je dán jeho vnitřním odporem Rvt tj. Iv = U/Rv- Hodnota odporu měřeného rezistoru je pak »- v a~ I-U/ňy ' Pokud provedeme výše uvedené opravy na vliv měřicích přístrojů, mohlo by být jedno, které zapojení pro měření použijeme* Hodnoty Ra a Ry jsou však také stanoveny s jistou chybou, a proto je vhodné využít takové zapojení, kde se vliv této chyby projeví nejméně. V případě, kdy hodnota podílu U a / v zapojení a) je srovnatelná s Ra, odečítáme od sebe dvě srovnatelně velká čísla, jejich rozdíl je tedymalé číslo. Jejich chyby se sčítají dle zákona přenosu chyb, a proto dostaneme výsledek s velkou relativní chybou. Proto zapojení a) je vhodné využívat v situacích, kdy R > 'Ra, tj. pro velké hodnoty odporu, a zapojení b) pro R < Hvytj. malé hodnoty odporu. Příklad B.3 V návodu multimetru je uvedeno, že chyba měřeného napětí je lOOppm MH + 20ppm MHMft, Určete chybu měřeného napětí, naměříme-li na rozsahu 150 V napětí 130,842 V. ŘeŠeríí; ' MH= 130,842 V, MHMR==150 V, ppm označuje ÍO^6 (part per milion), chyba je dána vztahem: Ay - 100 • 10-6 '130,842 + 20 «10~6 • 150 st. 0,016 V V = (130,842 ± 0,016) V , Příklad B.4 V manuálu multimetru je uvedeno, že na rozsahu 4 V je chyba měření 0,3% č.h. + 1 dig. Určete chybu měřeného napětí, jestliže přístroj ukazuje hodnotu 2,982 V, , Řešeni: ' ' . MH=i2,982 V a 1 dlgsO.OOl; chyba je Au = $ .2,982 4-0,001 = 0,0099 V C/= (2,98 ±0,01) V . Příklad B.5 Měřicí přístroj ukazuje hodnotu indukčnbsti L = 22,68 uH. V manuálu je uvedeno, že chyba měření je: 0,1% ±2 dig. Určete chybu naměřené hodnoty a zapište výsledek měření. 93 Řešení:.• .. MH =22,68 uH a 1 dig=0,01, chyba je Al = ^ • 22,68 + 0,02 t= 0,04 nH 1« (22,68 ±0,04) uH . Příklad B.8 V návodu multimetru je uvedeno, že chyba měřeného napětí je 0,05% of Reading + 0,02% Ful) Scale. Naměříme-li na rozsahu 40 V napětí 21,48 V, určete chybu měřeného napětí. . -: • Řešeni: .. • Reading=21,48 V, Pull Scale=40 V At; = S§ -21,48+ 2§ • 40 = 0,0187 V U = (21,48 ±0,02) V . Příklad B,7[ Ampérmetrem s třídou přesností 0,5 je měřen proud protékající odporovou zátěží. Voltmetrem je měřen úbytek napětí na této zátěži. Pro chybu napětí platí: 60ppm MH + 30ppm MHMR,. 4 Byly naměřeny hodnoty 7 = 0,825 A na rozsahu 1,2 A&I7 ~ 86,328 V na rozsahu 100 V. Určete hodnotu odporu zátěže (R = J£) a velikost výkonu uvolňovaného na zátěži (P = VI). Pro obě veličiny stanovte chybu vypočítaných hodnot. Vliv měřicích přístrojů na zátěž zanedbejte. Řešení: Pracujeme zde s mezními chybami, které byly určeny z parametrů přístrojů, jejich odpovídající počet stupňů volnosti považujeme, za nekonečně velký, a proto lze zákon přenosu chyb uplatnit přímo na mezní chyby: _ AÄ = y~Ä^+^Äj. Z definice třídy přesnosti dostaneme absolutní chybu proudu: A/=: 1,2. £| = 0,006 A. Chyba napětí: MH=86,328 V, MHMR=100 V Av •« 60-10-6 • 86,328 + 30 • 10~6 • 100 = 0,0082 V Dosazením: R = 104,64 fř, AR = 0,76 ň, R= (104,64±0,76)ÍÍ. Pro chybu výkonu platí podobně podle zákona přenosu chyb: AP = sjpAl + V* A]. Dosazením: P = 71,2206 W, A/> = 0,52 W, P= (71,22±0,52) W. 94 Dodatek C Studentovy koeficienty počet stupňů volnosti n = N - 1, kde N je počet měření n hladina spolehlivosti 0,5000 0,6827 0,9000 0,9545 0,9973 1 ■1,000 1,837 6,314 13,96 235,8 2 0,817 1,321 2,920 4,526 19,21 3 0,765 1,197 2,353 3,307 9,219 4 0,741 1,141 ■: 2,132 , 2,869 6,620 0,727 1,110 (2,015 ) 2,649 5,507 6 0,718 1,091 2,516 4,904 7 0,711 1,077 1,895 2,429 4,530 8 0,706 1,067. 1,860 . 2,366 4,277 9 0,703 1,059 1,833 2,320 4,094 10 0,700 1,053 1,812 2,284 3,957 11 0,697 1,048 1,796 2,255 3,850 12 0,695 1,043 1,782 • 2,231 3,764 13 0,693 1,040 1,771 2,212 3,694 14 0,692 1,037 1,761 2,195 3,636 15 • 0,691 1,034 1,753 2,182 3,586 16 0,690 1,032 1,746 2,169 3,544 17 0,689 1,030 1,740 2,158 3,508 18 0,688 1,028 1,734 2,149 3,475 19 0,688 1,027 1,729 2,141 3,447 20 0,687 1,026 1,725 2,133 3,422 25 0,684 1,021 1,708 2,105 3,329 30 0,683 1,017 1,697 2,087 3,270 40 0,681 1,013 1,684 2,064 3,199 50 0,679 1,010 1,676 2,051 3,157 70 0,678 1,007 1,667 2,036 3,111 100 0,677 1,005 1,660 2,025 3,077 200 0,676 1,003 1,653 2,013 3,040 00 0,675 1,000 1,645 2,000 3,000 95 Literatura [1] ČSN ISO 31 Část 0 - 13, Český normalizační institut, Praha 1994. : [2] Celý J.: Programové moduly pro fyzikální výpočty, UJEP Brno 1985. ' : [3] Meloun M., Militký J.: Statistické zpracování experimentálních dat, PLUS Praha 1994. [4] Hátle J., Kahounová J,; Úvod do teorie pravděpodobnosti, SNTL/ALFA Praha 1987. [5] Humlíček J.; Statistické zpracování výsledků měření, UJEP Brno 1984. [6] Horák Z.: Praktická fysika, SNTL Praha 1958. [7] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, SNTL Praha 1963. c V [8] ISO/TAG4/WG3, Guide to the expression of uncertainity in measurement, ISO, Geneve, 1993. [9] Brož J. a kol: Základy fyzikálních měření (I), SPN Praha 1983; 97