Funkce
(Zavedení pojmu funkce, vlastnosti funkcí,lineární, kvadratické  a mocninné funkce)
Repetitorium z matematiky
Podzim 2012
Ivana Medková

A) Zavedení pojmu funkce
•V odborných a přírodovědných předmětech se často setkáváme s úlohami, ve kterých se hodnoty jedné
veličiny mění v závislosti na hodnotách jiné veličiny. Tuto závislost popisujeme pomocí pojmu
funkce jako zobrazení v R.
•
•
•
2
Množinu A označujeme D(f) a nazýváme definičním oborem funkce f.
Množinu B  označujeme H(f) a nazýváme oborem hodnot funkce f.
Číslo x je nezávisle proměnná, argument funkce f.
Číslo y je závisle proměnná, funkční hodnota funkce f v bodě x.
Nechť  A a B jsou dvě neprázdné množiny reálných čísel. Přiřadíme-li každému číslu x z množiny A
podle nějakého předpisu právě jedno číslo y z množiny B, které označíme y=f(x), pak množina f
uspořádaných dvojic [x;f(x)] se nazývá reálná funkce reálné proměnné x (stručně funkce f).

•Př.1: Zapište pomocí intervalů definiční obor funkcí:
3
Úlohy
Př.2: Je dána funkce:
a)Určete f(0), f(-7), f(3)
b)Patří čísla -4, 0 do oboru hodnot funkce f?

4
a) Sudé funkce, liché funkce
C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Sudá a lichá fce.jpg
Sudá funkce
Lichá funkce
Graf je souměrný podle osy y.
Graf je středově souměrný podle počátku.
Např.:
Např.:
Vlastnosti funkcí

•Př.1: Rozhodněte, které z daných funkcí f jsou sudé nebo liché:
5
Úlohy
C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Další_oříznuté\IMG.jpg
Př.2: Rozhodněte, které z daných funkcí f jsou sudé nebo liché:

6
b) Periodické funkce
C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Periodická fce.jpg
Funkce se nazývá periodická, právě když existuje takové číslo p > 0, že pro každé k ϵ Z platí:
        1) Je-li x ϵ D(f), pak x + kp ϵ D(f)
        2) f (x + kp) = f (x)
perioda funkce
Např.:
Vlastnosti funkcí

7
c) Funkce omezená (zdola, shora), maximum a minimum funkce
C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Omezená fce.jpg
Zdola omezená
Shora omezená
Omezená
Je omezená shora i zdola.
Funkce f má v bodě a maximum, právě když:
Funkce f má v bodě b minimum, právě když:
Vlastnosti funkcí

C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Další_oříznuté\IMG_0001.jpg
•Př.1: Rozhodněte, ve kterých  bodech mají následující funkce maximum nebo  minimum:
Úlohy
Př.2: Určete maxima nebo  minima následující funkcí :

9
Vlastnosti funkcí
d) Rostoucí a klesající funkce
Rostoucí funkce
Klesající funkce
C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Rostoucí a klesající fce.jpg
Je-li funkce rostoucí, pak je prostá.
Je-li funkce klesající, pak je prostá.
Funkce rostoucí a klesající se souhrnně nazývají RYZE MONOTÓNNÍ.

10
d) Neklesající a nerostoucí funkce
Nerostoucí funkce
Neklesající funkce
C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Neklesající a nerostoucí fce.jpg
Funkce nerostoucí a neklesající se souhrnně nazývají MONOTÓNNÍ.
Vlastnosti funkcí

C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Další_oříznuté\IMG_0013.jpg
11
e) Inverzní funkce
Inverzní funkce k prosté funkci f je funkce f -1, pro kterou platí:

       1. D(f -1)= H(f) a H(f -1)= D(f)
           2. Každému y ϵ D(f -1) je přiřazeno právě to x ϵ D(f), pro které je f(x) = y.
Grafy funkcí f a f -1  sestrojené v téže soustavě souřadnic 0xy se stejnou délkovou jednotkou na
obou osách jsou souměrně sdruženy podle přímky  y = x.
Vlastnosti funkcí
Např.:

12
e) Inverzní funkce
Inverzní funkce k prosté funkci f je funkce f -1, pro kterou platí:

       1. D(f -1)= H(f) a H(f -1)= D(f)
           2. Každému y ϵ D(f -1) je přiřazeno právě to x ϵ D(f), pro které je f(x) = y.
Vlastnosti funkcí
Příklady funkcí a funkcí k nim inverzních :
http://www.aristoteles.cz/matematika/funkce/inverzni/f.gif
http://www.aristoteles.cz/matematika/funkce/inverzni/f_1.gif
http://www.aristoteles.cz/matematika/funkce/inverzni/inverzni_funkce_a_na_x.gif
http://www.aristoteles.cz/matematika/funkce/inverzni/inverzni_funkce_log_a_x.gif
http://www.aristoteles.cz/matematika/funkce/inverzni/inverzni_funkce_e_na_x.gif
http://www.aristoteles.cz/matematika/funkce/inverzni/inverzni_funkce_lnx.gif
http://www.aristoteles.cz/matematika/funkce/inverzni/inverzni_funkce_sinx.gif
http://www.aristoteles.cz/matematika/funkce/inverzni/inverzni_funkce_arcsinx.gif
http://www.aristoteles.cz/matematika/funkce/inverzni/inverzni_funkce_cosx.gif
http://www.aristoteles.cz/matematika/funkce/inverzni/inverzni_funkce_arccosx.gif
http://www.aristoteles.cz/matematika/funkce/inverzni/inverzni_funkce_tg_x.gif
http://www.aristoteles.cz/matematika/funkce/inverzni/inverzni_funkce_arctgx.gif
http://www.aristoteles.cz/matematika/funkce/inverzni/inverzni_funkce_cotg_x.gif
http://www.aristoteles.cz/matematika/funkce/inverzni/inverzni_funkce_arccotgx.gif
http://www.aristoteles.cz/matematika/funkce/inverzni/inverzni_funkce_2x.gif
http://www.aristoteles.cz/matematika/funkce/inverzni/inverzni_funkce_x_lomeno_2.gif
http://www.aristoteles.cz/matematika/funkce/inverzni/inverzni_funkce_x3.gif
http://www.aristoteles.cz/matematika/funkce/inverzni/inverzni_funkce_3_odmocnina.gif

1 LINEÁRNÍ FUNKCE
13
y
x
y
x
y
x
b
b
b
a < 0
a > 0
a = 0
D(f) = R, H(f) = R
Není omezená ani shora, ani zdola.
Je klesající, tedy prostá.
Nemá maximum, ani minimum.
Je spojitá v R.
D(f) = R, H(f) = {b}
Je omezená.
Je nerostoucí a neklesající.
Není prostá.
Má maximum a minimum pro každé xϵR.
Je spojitá v R.
D(f) = R, H(f) = R
Není omezená ani shora, ani zdola.
Je rostoucí, tedy prostá.
Nemá maximum, ani minimum.
Je spojitá v R.
Graf: Přímka

14
Úlohy
Př. 1: Pro lineární funkci f: y = -2x+5 určete souřadnice průsečíku grafu s osami x, y.
Př. 2: Načrtněte grafy lineárních funkcí:
Př. 3: Pro lineární funkci f platí: f(3) = -5
 f (-1) = 4
Vyjádřete ji předpisem y = ax + b a načrtněte graf.
Př. 4: Řešte graficky i početně soustavu rovnic y = 3x - 2
y = -x +1

2 KVADRATICKÁ FUNKCE
15
C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Kvadratická fce – kopie (2).jpg
C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Kvadratická fce – kopie.jpg
Je zdola omezená, není shora omezená.
Pro b=0 je sudá, jinak ani sudá, ani lichá.
Je rostoucí pro x ϵ  <-b/2a, +∞) .
Je klesající pro x ϵ (+∞, -b/2a>.
Není prostá.
Má ostré minimum [-b/2a;c-b2/4a]
Je spojitá v R.
Je shora omezená, není zdola omezená.
Pro b=0 je sudá, jinak ani sudá, ani lichá.
Je rostoucí pro x ϵ (+∞, -b/2a> .
Je klesající pro x ϵ <-b/2a, +∞).
Není prostá.
Má ostré maximum [-b/2a;c-b2/4a]
Je spojitá v R.
a < 0
a > 0
= každá funkce typu:
Graf: Parabola

C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Další_oříznuté\IMG_0010.jpg
16
2.1 GRAFY KVADRATICKÝCH FUNKCÍ
a) Graf funkce f1 : y = ax2
= parabola, která je souměrná podle osy o rovnoběžné s osou y.
= parabola s vrcholem v počátku [0,0]
b) Graf funkce f2 : y = ax2 + c
d) Graf funkce f4 : y = ax2 + bx + c
= parabola, která vznikne z paraboly funkce
 f1: y = ax2 posunutím jejího vrcholu
 z bodu [0,0] do bodu [0,c].
= parabola, kterou opět získáme z grafu funkce f1: y = ax2:

        1. Doplníme na úplný čtverec:
        2. Posuneme graf funkce f1 z bodu
            [0,0] do bodu [x0,y0]:
c) Graf funkce f3 : y = a(x-x0)2
= parabola, která vznikne z paraboly funkce
 f1: y = ax2 posunutím jejího vrcholu
 z bodu [0,0] do bodu [x0,0].

17
Úlohy
Př. 1: Načrtněte grafy funkcí:

C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Mocninné fce_n liché.jpg
C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Mocninné fce _n sudé.jpg
3 MOCNINNÁ FUNKCE S PŘIROZENÝM MOCNITELEM
18
Graf:  n = 1: přímka
           n > 1: parabola n-tého stupně
Pro:  n = 1: lineární funkce f: y = x
         n = 2: kvadratická funkce f: y = x2
         n = 3: kubická funkce f: y = x3
n liché
n sudé
D(f) = R, H(f) = <0, +∞)
Je sudá.
Je zdola omezená, není shora omezená.
Je rostoucí pro x ϵ  <0, +∞) .
Je klesající pro x ϵ (-∞, 0>.
Není prostá.
Nemá maximum, má minimum [0,0].
Je spojitá v R.
D(f) = R, H(f) = R
Je lichá.
Není ani shora, ani zdola omezená.
Je rostoucí, tedy prostá.
Nemá maximum, ani minimum.
Je spojitá v R.

19
Úlohy
Př. 1: Načrtněte grafy funkcí:

C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Mocninná fce se záporným mocnitelem_n liché.jpg
C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Mocninná fce se záporným mocnitelem_n sudé.jpg
20
= funkce
Graf:
hyperbola stupně n+1
n liché
n sudé
D(f) = R – {0}, H(f) = (0, +∞).
Je sudá.
Je omezená zdola, není shora omezená.
Je rostoucí pro x ϵ (-∞, 0) .
Je klesající pro x ϵ (0, +∞).
Není prostá.
Nemá maximum, ani minimum.
Je spojitá pro x ϵ (-∞, 0) a x ϵ (0, +∞).
D(f) = R – {0}, H(f) = R – {0}
Je lichá.
Není ani shora, ani zdola omezená.
Klesá pro x ϵ (-∞, 0) a x ϵ  (0, +∞).
Nemá maximum, ani minimum.
Je spojitá pro x ϵ (-∞, 0) a x ϵ  (0, +∞).
Je prostá.
4 MOCNINNÁ FUNKCE SE ZÁPORNÝM CELÝM MOCNITELEM

C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Další_oříznuté\Mocn..jpg
C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Další_oříznuté\IMG_0005.jpg
21
Úlohy
Př. 1: Načrtněte graf funkce y = x -1
Př. 2: Načrtněte grafy funkcí:
Řešení:
Body grafu funkce y = x -1 = 1/x získáme tak, že sestrojíme graf funkce y = x a pro zvolené hodnoty
proměnné x hledáme k hodnotám této funkce v téže soustavě souřadnic jejich převrácené hodnoty.

C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Nepřímá úměrnost_k větší než 0.jpg
C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Nepřímá úměrnost _k menší než 0.jpg
22
Graf:  rovnoosá hyperbola
k < 0
k > 0
D(f) = R – {0}, H(f) = R – {0}.
Je lichá.
Není ani shora, ani zdola omezená.
Je klesající pro x ϵ (-∞, 0) a x ϵ  (0, +∞).
Je prostá.
Nemá maximum, ani minimum.
Je spojitá pro x ϵ (-∞, 0) a x ϵ (0, +∞).
D(f) = R – {0}, H(f) = R – {0}
Je lichá.
Není ani shora, ani zdola omezená.
Je rostoucí pro x ϵ (-∞, 0) a x ϵ  (0, +∞).
Je prostá.
Nemá maximum, ani minimum.
Je spojitá pro x ϵ (-∞, 0) a x ϵ  (0, +∞).
asymptoty hyperboly
střed hyperboly
Nepřímá úměrnost:
5 LOMENÁ RACIONÁLNÍ FUNKCE

23
Úlohy
Př. 1: Načrtněte graf funkce
Lineární lomená funkce
Graf:  rovnoosá hyperbola
           se středem v bodě

Literatura
•Bušek, I. a kol. Základní poznatky z matematiky. Matematika pro gymnázia, Praha: Prometheus, 1992.
•Delventhal, K., M., Kissner, A., Kulick, M. Kompendium matematiky. Praha: Euromedia Group k. s.,
2003.
•Odvárko, O. a kol. Funkce. Matematika pro gymnázia, Praha: Prometheus, 1996.
•Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, 1998.
•Vošický Zdeněk. Matematika v kostce pro střední školy. Havlíčkův Brod: Fragment, 2003.
•
24