3. Diferenciální počet funkcí reálné proměnné Matematika pro ekonomy Jaro 2012 Ivana Vaculová Osnova: A)Funkce – opakování (vlastnosti funkcí, lineární, kvadratické, mocninné, exponenciální a logaritmické funkce) B)Derivace funkce •1 Pojem derivace •2 Geometrický význam derivace funkce •3 Derivace základních funkcí •4 Vzorce pro derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí •5 Derivace složené funkce •6 Aplikace – vyšetřování průběhu funkce • 6. 1 Monotónnost funkce • 6. 2 Extrémy funkce • 6. 3 Konkávní a konvexní funkce, inflexní body • • 2 A) Funkce - opakování •V odborných a přírodovědných předmětech se často setkáváme s úlohami, ve kterých se hodnoty jedné veličiny mění v závislosti na hodnotách jiné veličiny. Tuto závislost popisujeme pomocí pojmu funkce jako zobrazení v R. • • • 3 Množinu A označujeme D(f) a nazýváme definičním oborem funkce f. Množinu B označujeme H(f) a nazýváme oborem hodnot funkce f. Číslo x je nezávisle proměnná, argument funkce f. Číslo y je závisle proměnná, funkční hodnota funkce f v bodě x. Nechť A a B jsou dvě neprázdné množiny reálných čísel. Přiřadíme-li každému číslu x z množiny A podle nějakého předpisu právě jedno číslo y z množiny B, které označíme y=f(x), pak množina f uspořádaných dvojic [x;f(x)] se nazývá reálná funkce reálné proměnné x (stručně funkce f). Pojem funkce 4 a) Sudé funkce, liché funkce C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Sudá a lichá fce.jpg Sudá funkce Lichá funkce Graf je souměrný podle osy y. Graf je středově souměrný podle počátku. Např.: Např.: Vlastnosti funkcí 5 b) Periodické funkce C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Periodická fce.jpg Funkce se nazývá periodická, právě když existuje takové číslo p > 0, že pro každé k ϵ Z platí: 1) Je-li x ϵ D(f), pak x + kp ϵ D(f) 2) f (x + kp) = f (x) perioda funkce Např.: Vlastnosti funkcí 6 c) Funkce omezená (zdola, shora), maximum a minimum funkce C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Omezená fce.jpg Zdola omezená Shora omezená Omezená Je omezená shora i zdola. Funkce f má v bodě a maximum, právě když: Funkce f má v bodě b minimum, právě když: Vlastnosti funkcí 7 Vlastnosti funkcí d) Rostoucí a klesající funkce Rostoucí funkce Klesající funkce C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Rostoucí a klesající fce.jpg Je-li funkce rostoucí, pak je prostá. Je-li funkce klesající, pak je prostá. Funkce rostoucí a klesající se souhrnně nazývají RYZE MONOTÓNNÍ. 8 d) Neklesající a nerostoucí funkce Nerostoucí funkce Neklesající funkce C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Neklesající a nerostoucí fce.jpg Funkce nerostoucí a neklesající se souhrnně nazývají MONOTÓNNÍ. Vlastnosti funkcí C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Další_oříznuté\IMG_0013.jpg 9 e) Inverzní funkce Inverzní funkce k prosté funkci f je funkce f -1, pro kterou platí: 1. D(f -1)= H(f) a H(f -1)= D(f) 2. Každému y ϵ D(f -1) je přiřazeno právě to x ϵ D(f), pro které je f(x) = y. Grafy funkcí f a f -1 sestrojené v téže soustavě souřadnic 0xy se stejnou délkovou jednotkou na obou osách jsou souměrně sdruženy podle přímky y = x. Vlastnosti funkcí Např.: 1 LINEÁRNÍ FUNKCE 10 y x y x y x b b b a < 0 a > 0 a = 0 D(f) = R, H(f) = R Není omezená ani shora, ani zdola. Je klesající, tedy prostá. Nemá maximum, ani minimum. Je spojitá v R. D(f) = R, H(f) = {b} Je omezená. Je nerostoucí a neklesající. Není prostá. Má maximum a minimum pro každé xϵR. Je spojitá v R. D(f) = R, H(f) = R Není omezená ani shora, ani zdola. Je rostoucí, tedy prostá. Nemá maximum, ani minimum. Je spojitá v R. Graf: Přímka 2 KVADRATICKÁ FUNKCE 11 C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Kvadratická fce – kopie (2).jpg C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Kvadratická fce – kopie.jpg Je zdola omezená, není shora omezená. Pro b=0 je sudá, jinak ani sudá, ani lichá. Je rostoucí pro x ϵ <-b/2a, +∞) . Je klesající pro x ϵ (+∞, -b/2a>. Není prostá. Má ostré minimum [-b/2a;c-b2/4a] Je spojitá v R. Je shora omezená, není zdola omezená. Pro b=0 je sudá, jinak ani sudá, ani lichá. Je rostoucí pro x ϵ (+∞, -b/2a> . Je klesající pro x ϵ <-b/2a, +∞). Není prostá. Má ostré maximum [-b/2a;c-b2/4a] Je spojitá v R. a < 0 a > 0 = každá funkce typu: Graf: Parabola C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Mocninné fce_n liché.jpg C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Mocninné fce _n sudé.jpg 3 MOCNINNÁ FUNKCE S PŘIROZENÝM MOCNITELEM 12 Graf: n = 1: přímka n > 1: parabola n-tého stupně Pro: n = 1: lineární funkce f: y = x n = 2: kvadratická funkce f: y = x2 n = 3: kubická funkce f: y = x3 n liché n sudé D(f) = R, H(f) = <0, +∞) Je sudá. Je zdola omezená, není shora omezená. Je rostoucí pro x ϵ <0, +∞) . Je klesající pro x ϵ (-∞, 0>. Není prostá. Nemá maximum, má minimum [0,0]. Je spojitá v R. D(f) = R, H(f) = R Je lichá. Není ani shora, ani zdola omezená. Je rostoucí, tedy prostá. Nemá maximum, ani minimum. Je spojitá v R. C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Mocninná fce se záporným mocnitelem_n liché.jpg C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Mocninná fce se záporným mocnitelem_n sudé.jpg 13 = funkce Graf: hyperbola stupně n+1 n liché n sudé D(f) = R – {0}, H(f) = (0, +∞). Je sudá. Je omezená zdola, není shora omezená. Je rostoucí pro x ϵ (-∞, 0) . Je klesající pro x ϵ (0, +∞). Není prostá. Nemá maximum, ani minimum. Je spojitá pro x ϵ (-∞, 0) a x ϵ (0, +∞). D(f) = R – {0}, H(f) = R – {0} Je lichá. Není ani shora, ani zdola omezená. Klesá pro x ϵ (-∞, 0) a x ϵ (0, +∞). Nemá maximum, ani minimum. Je spojitá pro x ϵ (-∞, 0) a x ϵ (0, +∞). Je prostá. 4 MOCNINNÁ FUNKCE SE ZÁPORNÝM CELÝM MOCNITELEM C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Nepřímá úměrnost_k větší než 0.jpg C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Nepřímá úměrnost _k menší než 0.jpg 14 Graf: rovnoosá hyperbola k < 0 k > 0 D(f) = R – {0}, H(f) = R – {0}. Je lichá. Není ani shora, ani zdola omezená. Je klesající pro x ϵ (-∞, 0) a x ϵ (0, +∞). Je prostá. Nemá maximum, ani minimum. Je spojitá pro x ϵ (-∞, 0) a x ϵ (0, +∞). D(f) = R – {0}, H(f) = R – {0} Je lichá. Není ani shora, ani zdola omezená. Je rostoucí pro x ϵ (-∞, 0) a x ϵ (0, +∞). Je prostá. Nemá maximum, ani minimum. Je spojitá pro x ϵ (-∞, 0) a x ϵ (0, +∞). asymptoty hyperboly střed hyperboly Nepřímá úměrnost: 5 LOMENÁ RACIONÁLNÍ FUNKCE C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Exponenciální fce_a větší než 1.jpg C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Exponenciální fce _0a1.jpg 6 EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE 15 Graf: exponenciální křivka (exponenciála) 0 < a < 1 a > 1 D(f) = R, H(f) = (0;∞). Není ani sudá, ani lichá. Je omezená zdola (ax > 0), není omezená shora. Je klesající, tedy prostá. Nemá maximum, ani minimum. Je inverzní k funkci logaritmické. Je spojitá v R. D(f) = R, H(f) = (0;∞). Není ani sudá, ani lichá. Je omezená zdola (ax > 0), není omezená shora. Je klesající, tedy prostá. Nemá maximum, ani minimum. Je inverzní k funkci logaritmické. Je spojitá v R. C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Logaritmická fce – 0a1.jpg C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Funkce_obrázky\FUNKCE_obrázky\Logaritmická fce – a větší než 1.jpg 7 LOGARITMICKÁ FUNKCE 16 Graf: logaritmická křivka 0 < a < 1 a > 1 D(f) = (0;∞), H(f) = R. Není ani sudá, ani lichá. Není omezená zdola, ani shora. Je klesající, tedy prostá. Nemá maximum, ani minimum. Je inverzní k funkci exponenciální. Je spojitá v (0;∞). D(f) = (0;∞), H(f) = R. Není ani sudá, ani lichá. Není omezená zdola, ani shora. Je rostoucí, tedy prostá. Nemá maximum, ani minimum. Je inverzní k funkci exponenciální. Je spojitá v (0;∞). Interpolace a extrapolace, aproximace 17 • Interpolační funkcí rozumíme funkci f, která splňuje interpolační podmínky f(xi) = yi, i=0,…,n, tedy graf interpolační funkce prochází opěrnými body. • Graf aproximační funkce neprochází nutně danými opěrnými body, ale vystihuje jejich rozložení (minimalizuje odchylku od zadaných opěrných bodů). • Extrapolací rozumíme využití interpolační funkce mimo interval . Interpolace polynomem 18 Příklad: 1 Pojem derivace •Je-li funkce f definována v okolí bodu xo a existuje-li limita • • •Potom tuto limitu označujeme f`(xo) a nazýváme ji derivací funkce f v bodě xo. •Derivace funkce f v bodě xo je tedy číslo: • • • •Pozn.: Při označení x = xo + h a x – xo = h: 19 B) Derivace funkce E:\ZÁLOHA_DAT_HPProbook5310m_5.11.2011\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Derivace,integraly_obrazky\IMG_0004.jpg 20 Pro směrnici tečny kT ke grafu funkce f v bodě T [xo,yo] platí: 2 Geometrický význam derivace funkce Rovnici tečny pak můžeme psát ve tvaru: Platí totiž: směrnice sečny ST je Pokud se bude bod S přibližovat k bodu T, bude se poloha sečny „blížit“ poloze tečny v bodě T [xo, yo]. Pro směrnici tečny tedy dostaneme: E:\ZÁLOHA_DAT_HPProbook5310m_5.11.2011\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Derivace,integraly_obrazky\IMG_0006.jpg 21 3 Derivace základních funkcí 22 4 Vzorce pro derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí Jestliže funkce f: u = f(x), g: v = g(x) mají derivaci v každém bodě x є M, pak pro derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu těchto funkcí platí pro všechna x є M (u podílu g (x) ≠ 0) následující vzorce: E:\ZÁLOHA_DAT_HPProbook5310m_5.11.2011\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Derivace,integraly_obrazky\IMG_0005.jpg 23 5 Derivace složených funkcí Jestliže funkce z = g(x) má derivaci v bodě x0 a jestliže funkce y = f(z) má derivaci v bodě z0 = g(x0) , má složená funkce y = f(g(x)) derivaci v bodě x0 a platí: [f(g(x0))]´= f´(g(x0)) . g´(x0) 6 Aplikace: vyšetřování průběhu funkce • •6. 1 Monotónnost funkce • •Nechť funkce f je spojitá na intervalu a má v každém bodě x є (a; b) derivaci f`(xo). Pak platí: • • Je-li f`(xo) > 0 pro každé x є (a;b) f je rostoucí na . • Je-li f`(xo) < 0 pro každé x є (a;b) f je klesající na . • • • 24 6 Aplikace: vyšetřování průběhu funkce • •6. 2 Extrémy funkce • •Má-li funkce f v bodě xo derivaci a je-li f`(xo) = 0, pak xo nazýváme stacionárním bodem. V tomto bodě xo může, ale nemusí mít funkce lokální extrém – jedná se o bod „podezřelý “ z extrému. • •Nechť f`(xo) = 0 a nechť existuje v bodě xo druhá derivace. Pak: • • Je-li f``(xo) < 0 má funkce f v bodě xo ostré lokální maximum. • Je-li f``(xo) > 0 má funkce f v bodě xo ostré lokální minimum. • • • 25 6 Aplikace: vyšetřování průběhu funkce • •6. 3 Konkávní a konvexní funkce, inflexní body • •Pro funkci, která je konvexní na intervalu I platí: •f´´(x) > 0, pro každé x є I •Pro funkci, která je konkávní na intervalu I platí: •f´´(x) < 0, pro každé x є I • •Inflexní bod, je bod, ve kterém graf funkce přechází z konvexního tvaru do konkávního nebo naopak. •Inflexní body získáme tak, že druhou derivaci funkce položíme rovnu nule a vypočítáme kořeny vzniklé rovnice: f´´(x) = 0. • • • 26 Literatura •Kaňka M. a kol. Učebnice matematiky pro ekonomické fakulty. Praha: Victoria Pubishing, 1996. •Delventhal, K., M., Kissner, A., Kulick, M. Kompendium matematiky. Praha: Euromedia Group k. s., 2003. •Bušek, I. a kol. Základní poznatky z matematiky. Matematika pro gymnázia, Praha: Prometheus, 1992. •Hrubý, D., Kubát, J. Matematika pro gymnázia – Diferenciální a integrální počet. Praha: Prometheus, 1997. •Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, 1998. •http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/MatematikaI/08_MI_KAP%202_1.pdf • 27