4. Integrální počet
Matematika pro ekonomy
Jaro 2012
Ivana Vaculová

Osnova:
•1 Neurčitý integrál
•2 Geometrická interpretace
•3 Základní vzorce pro integrování
•4 Určitý integrál
•5 Užití integračního počtu
• 5. 1 Obsah rovinného útvaru
• 5. 2 Další příklady využití
•
2

1 Neurčitý integrál
•Mějme dány funkce F, f definované na otevřeném intervalu J. Funkce F se nazývá primitivní k funkci
f na intervalu J, jestliže pro každé x є J platí:
•
•
•Množinu všech primitivních funkcí k dané funkci f nazýváme neurčitým integrálem funkce f a
zapisujeme:
•
•                                                                  přičemž
•
•
•
•
3
Integrovaná funkce
Integrační  proměnná
Integrační  konstanta
Integrační  znak
Výpočet neurčitého integrálu                    = integrování funkce f

E:\ZÁLOHA_DAT_HPProbook5310m_5.11.2011\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Derivace,integraly_obrazky\IMG.jpg
4
Známe-li graf jedné primitivní funkce F k funkci f na intervalu J, pak grafy všech primitivních
funkcí k funkci f v intervalu J dostaneme posunutím grafu funkce F ve směru osy y.

2 Geometrická interpretace
Např.:
Na obrázku jsou uvedeny grafy některých primitivních funkcí k funkci
                 f(x) = 2x.
Všechny tyto primitivní funkce k funkci f(x) lze vyjádřit ve tvaru

         F(x) = x2 + C, kde C є R.

5
3 Základní vzorce
E:\ZÁLOHA_DAT_HPProbook5310m_5.11.2011\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Derivace,integraly_obrazky\IMG_0002.jpg

6
Existují-li v otevřeném intervalu J primitivní funkce k funkcím f(x), g(x) a jsou-li c1,
c2 libovolné konstanty, pak platí následující vztahy:

7
4 Určitý integrál
Nechť F je primitivní funkce k funkci f v intervalu I. Rozdíl F(b) – F(a) funkčních hodnot funkce F
v libovolných bodech a, b tohoto intervalu se nazývá určitý integrál funkce f v mezích od a do b a
značí se:

Při výpočtu integrálu zpravidla využíváme tento způsob zápisu:
Horní mez
Dolní mez

E:\ZÁLOHA_DAT_HPProbook5310m_5.11.2011\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Derivace,integraly_obrazky\IMG_0003 - Kopie.jpg
E:\ZÁLOHA_DAT_HPProbook5310m_5.11.2011\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Derivace,integraly_obrazky\IMG_0003 - Kopie - Kopie.jpg
5 Užití integračního počtu
•5. 1 Obsah rovinného útvaru
•
•
•
•
•
•
8
b) Obsah obrazce ohraničeného grafy spojitých funkcí f(x) a g(x):
a) Obsah křivočarého lichoběžníku:

5 Užití integračního počtu
•
•5. 2 Další příklady využití
•
a)  Objem rotačního tělesa
b)  Obsah pláště rotačního tělesa
c)  Fyzikální aplikace (dráha přímočarého pohybu, práce)
•
•
•
9

Literatura
•Kaňka M. a kol. Učebnice matematiky pro ekonomické fakulty.  Praha: Victoria Pubishing, 1996.
•Delventhal, K., M., Kissner, A., Kulick, M. Kompendium matematiky. Praha: Euromedia Group k. s.,
2003.
•Hrubý, D., Kubát, J. Matematika pro gymnázia – Diferenciální a integrální počet. Praha:
Prometheus, 1997.
•Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, 1998.
•http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/MatematikaI/08_MI_KAP%202_1.pdf
10