OSTRAVSKÁ UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Kvantová fyzika Daniel Hrivňák OSTRAVA 2004 Kvantová fyzika Studijní opora pro kombinovanou formu studia v rámci celoživotního vzdělávání. Autor: Mgr. Daniel Hrivňák, Ostravská univerzita v Ostravě Recenzoval: Mgr. František Karlický, Ostravská univerzita v Ostravě Vydání: první Tisk: Ediční středisko Ostravské univerzity, Ostrava 2004 ã Ostravská univerzita, 2004. Obsah Obsah. 3 Úvod. 5 1. Experimentální východiska kvantové teorie. 7 1.1. Historický exkurz. 7 1.2. Záření dokonale černého tělesa. 8 1.3. Fotoelektrický jev. 9 2. Stará kvantová teorie. 13 2.1. Planckova kvantová hypotéza. 13 2.2. Einsteinova fotonová hypotéza. 15 2.3. Einsteinova teorie fotoelektrického jevu. 16 3. Vlnové vlastnosti částic. 19 3.1. De Broglieho vlnová hypotéza. 19 3.2. Davissonův - Germerův pokus. 21 4. Kvantová mechanika. 25 4.1. Vlnová funkce. 27 4.1.1. Monochromatické de Broglieho vlny. 29 4.1.2. Princip superpozice. 31 4.1.3. X a P- reprezentace vlnové funkce. 31 4.1.4. První Bornův postulát 32 4.1.5. Druhý Bornův postulát 34 4.1.6. Střední hodnoty a fluktuace polohy a hybnosti 34 4.1.7. Heisenbergovy relace neurčitosti pro polohu a hybnost 36 4.1.8. Obecná reprezentace stavu v kvantové teorii 37 4.1.9. Bra-ketová symbolika. 39 4.2. Stacionární Schrödingerova rovnice. 42 4.2.1. Energetické spektrum.. 44 4.3. Nestacionární Schrödingerova rovnice. 47 4.3.1. Rovnice kontinuity pro hustotu pravděpodobnosti 49 4.3.2. Obecné řešení nestacionární Schrödingerovy rovnice. 51 4.3.3. Kvantový determinismus. 53 4.4. Korespondence mezi klasickou a kvantovou mechanikou. 55 4.5. Jednoduché kvantově-mechanické systémy. 59 4.5.1. Volná částice. 60 4.5.2. Jednorozměrná pravoúhlá potenciálová jáma nekonečné hloubky. 61 4.5.3. Pravoúhlá potenciálová jáma konečné hloubky. 63 4.5.4. Lineární harmonický oscilátor. 66 4.5.5. Tuhý rotátor. 68 4.5.6. Jednorozměrná potenciálová bariéra. 70 4.5.7. Jednorozměrná pravoúhlá potenciálová bariéra. 72 4.6. Moderní formulace kvantové mechaniky. 77 4.6.1. Dirakovy kvantovací podmínky. 79 4.6.2. Poloha a hybnost 80 4.6.3. Energie. 82 4.6.4. Moment hybnosti 84 4.6.5. Střední hodnoty a střední kvadratické fluktuace. 86 4.6.6. Relace neurčitosti 86 4.7. Systémy více částic. 89 4.7.1. Spin. 89 4.7.2. Nerozlišitelné částice. 91 4.7.3. Slaterovy determinanty. 93 4.7.4. Pauliho vylučovací princip. 94 5. Kvantová teorie pole. 97 6. Matematické dodatky. 99 6.1. Metoda separace proměnných. 99 6.2. Fourierova transformace. 100 6.3. Pravděpodobnost 101 6.4. Hilbertův prostor. 103 6.5. Operátory na Hilbertově prostoru. 105 6.6. Vlastní hodnoty a vlastní vektory samosdružených operátorů. 107 6.7. Algebraické operace s operátory na Hilbertových prostorech. 108 6.8. Permutace. 110 Vysvětlivky. 113 Literatura. 119 Úvod Studijní opora je určena studentům učitelství fyziky v kombinované a distanční formě studia. Vychází z materiálů nezištně poskytnutých mým kolegou Dr. René Kalusem, který v nich zúročil dlouholeté zkušenosti z výuky předmětu „Kvantová fyzika“ na katedře fyziky Ostravské univerzity. Tyto materiály jsem upravil do formy vhodné pro kombinované a distanční studium. Veškeré chyby a nedostatky, které zjistíte v tomto učebním textu, padají výhradně na mne. Autor Po absolvování kurzu budete znát: * všechny důležité pojmy z oblasti kvantové fyziky; * metody řešení základních problémů z oblasti kvantové fyziky. Budete schopni: * definovat základní pojmy z oblasti kvantové fyziky; * popsat stručně historii kvantové fyziky a uvést stěžejní momenty jejího vývoje; * vysvětlit, na jakých představách a principech stojí moderní kvantová teorie; * matematicky analyzovat vybrané kvantově-mechanické problémy. Čas potřebný k absolvování předmětu: 40 hodin 1. Experimentální východiska kvantové teorie Po prostudování této kapitoly budete schopni: * vyjmenovat nejdůležitější experimentální výsledky, se kterými si klasická fyzika na počátku dvacátého století nevěděla rady; * stručně popsat historické milníky vzniku kvantové fyziky; * objasnit neuspokojivou situaci v oblasti výzkumu záření absolutně černého zářiče na počátku dvacátého století; * definovat vnější fotoelektrický jev a objasnit, v čem klasická fyzika selhala při snaze o jeho vysvětlení. Pojmy k zapamatování: záření dokonale černého tělesa (ideálního zářiče), vnější a vnitřní fotoelektrický jev, měrné teplo, absorpční a emisní spektrum, radioaktivita, zákon Rayleighův – Jeansův, zákon Wienův, zákon Planckův, fotonová hypotéza. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 1 hodina 1.1. Historický exkurz Stará kvantová teorie Kvantová teorie se zrodila na počátku 20. století z pokusů řešit rozpory mezi výsledky některých experimentů na jedné straně a jejich klasickým popisem na straně druhé. Podobně jako u ostatních fyzikálních teorií stály i u zrodu nově vznikající kvantové teorie experimenty. Hovoříme proto o experimentálních východiscích kvantové teorie. Její základy byly položeny v prvních dvou desetiletích 20. století v teoretických pracích, které krok za krokem odstraňovaly výše zmíněné rozpory a paradoxy. Vůdčí ideou této první fáze rozvoje kvantové teorie, která se obvykle nazývá stará kvantová teorie, bylo kvantování fyzikálních veličin, zejména energie, ad hoc včleněné do jinak bezezbytku klasického popisu světa. de Broglieho hypotéza Mocným impulzem pro další rozvoj kvantové teorie byla de Broglieho hypotéza o dualitě částicových a vlnových vlastností klasických částic. Z podloží této hypotézy totiž ve druhé polovině dvacátých let 20. století vyrostla moderní kvantová fyzika soustav s konečně mnoha stupni volnosti (soustavy hmotných bodů), kvantová mechanika. Její zobecnění na soustavy s nekonečně mnoha stupni volnosti (fyzikální pole), kvantová teorie pole, následovalo v průběhu let třicátých a čtyřicátých. Jak kvantová mechanika, tak i kvantová teorie pole jsou dodnes aktivně rozvíjeny předními pracovišti na celém světě. Jsou totiž mimořádně úspěšné při popisu široké škály jevů, zejména těch, které probíhají v mikrosvětě. Jsou proto základním teoretickým nástrojem atomové a jaderné fyziky i fyziky elementárních částic. Chronologicky stojí na samotném počátku rozvoje kvantové teorie několik původně experimentálně zkoumaných jevů, které byly v zjevném rozporu s teorií klasickou. Mezi nejvýznamnější patří především · Fyzikální jevy nevysvětlitelné klasickou fyzikou záření dokonale černého tělesa, · fotoelektrický jev, · chování měrných tepel pevných látek při nízkých teplotách, · struktura emisních a absorpčních spekter atomů a molekul, · přirozená radioaktivita. Některé z těchto rozporů a paradoxů se podařilo odstranit již v počátečních fázích rozvoje kvantové teorie, které obvykle označujeme jako starou kvantovou teorii. Jiné si musely na objasnění počkat déle - až do doby, kdy byla zformulována moderní kvantová mechanika a kvantová teorie pole. 1.2. Záření dokonale černého tělesa Záření dokonale černého tělesa Dokonale černé těleso (absolutně černé těleso, ideální zářič) je tepelný zářič dokonale absorbující veškeré elektromagnetické záření, které dopadne na jeho povrch. Ve skutečnosti se jedná o idealizovaný model, v přírodě se dokonale černá tělesa nevyskytují. Mnohé tepelné zářiče se však svými vlastnostmi tomuto modelu velmi blíží (např. Slunce a ostatní hvězdy, nebo i vlákno žárovky). V pozemských podmínkách bývá dokonale černé těleso reprezentováno dutinovým zářičem. Spektrální hustota energie Tepelné záření v dutině, které je v termodynamické rovnováze s jejími stěnami o teplotě T, je obvykle popisováno tzv. spektrální hustotou energie e(w,T). Teoretická formulace závislosti spektrální hustoty energie na frekvenci (vlnové délce) byla velkou výzvou pro fyziky konce 19. století. Popisuje ji několik empirických zákonů. Prvním z nich je Rayleighův-Jeansův zákon. Lze jej odvodit v rámci klasické teorie. Elektromagnetické pole (záření) uzavřené v dutině konečného objemu V je možno chápat jako soustavu nezávislých lineárních harmonických oscilátorů. Například pro dutinu ve tvaru kvádru lze Maxwellovy rovnice převést pomocí Fourierových řad na nekonečnou soustavu nezávislých obyčejných diferenciálních rovnic, které svým tvarem odpovídají pohybovým rovnicím pro netlumené lineární harmonické oscilátory. Tyto oscilátory mají obecně různé charakteristické úhlové frekvence (záření dokonale černého tělesa není monochromatické) a jednoduchým výpočtem je možno určit, kolika z nich přísluší úhlové frekvence ze zadaného intervalu (w,w+Dw): Z klasické statistické fyziky je známo, že střední energie e(T) lineárního harmonického oscilátoru, který je v kontaktu s termostatem o teplotě T, je dána vztahem (viz též ekvipartiční teorém) kde k[B] je Boltzmannova konstanta. Pro energii oscilátorů reprezentujících elektromagnetické pole v dutině, jejichž frekvence jsou z intervalu (w,w+Dw), můžeme tedy psát a pro spektrální hustotu energie . Poslední uvedený vztah nese na paměť anglických fyziků, kteří jej odvodili, název Rayleighův-Jeansův zákon. Zákony popisující záření absolutně černého tělesa. Rayleighův-Jeansův zákon platí však pouze v oblasti nízkých frekvencí a osudově selhává pro frekvence vysoké. Další empirický zákon, Wienův, popisuje vyzařování dokonale černého tělesa v oblasti vysokých frekvencí, selhává ale naopak pro frekvence nízké. Teprve zákon Planckův přinesl úplný popis záření dokonale černého tělesa. V rámci klasické fyziky jej však není možno odvodit. Pro jeho teoretické zdůvodnění musel Max Planck postulovat svou proslulou kvantovou hypotézu. Problém záření dokonale černého tělesa tak stál u samotného zrodu kvantové fyziky. 1.3. Fotoelektrický jev Emise elektronů z látky, na kterou dopadá elektromagnetické záření, se nazývá fotoelektrickým jevem. Vnější a vnitřní fotoelektrický jev. Při vnějším fotoelektrickém jevu jsou elektrony uvolňovány z vodivostního pásu kovů a samotný krystal kovu opouštějí. V polovodičích pak může docházet pod vlivem elektromagnetického záření k uvolňování elektronů z elektronových obalů atomů. Tyto elektrony zpravidla samotný polovodič neopouštějí, pouze zvyšují jeho vodivost. Pak hovoříme o tzv. vnitřním fotoelektrickém jevu. Fotoelektrický jev sehrál fundamentální roli při formulování základů kvantové teorie světla. Vnější fotoelektrický jev byl objeven v poslední čtvrtině 19. století nezávisle na sobě vícero fyziky (Hertz 1887, Stoletov 1888) a následně velmi podrobně experimentálně prostudován Lenardem. Samotný fakt fotoemise elektronů z kovu nebyl pro klasickou fyziku překvapující, neboť již od dob Maxwellových bylo známo, že elektromagnetické záření nese energii. V mezích klasické fyziky byly však nepochopitelné některé experimentální závěry: K fotoemisi elektronů dochází bezprostředně po dopadu elektromagnetického záření, a to bez ohledu na jeho intenzitu. Dokonce i pro velmi slabé intenzity dopadajícího záření, kdy klasická teorie předpovídá prodlevu několika měsíců, je zpoždění kratší než Pro každý kov existuje maximální vlnová délka dopadajícího záření, , pro kterou ještě může dojít k fotoemisi. Pro větší vlnové délky k emisi elektronů nedochází ani při velmi vysokých hodnotách intenzity dopadajícího záření. Maximální hodnota kinetické energie elektronů vylétávajících z krystalu kovu ozařovaného elektromagnetickým zářením nezávisí na jeho intenzitě, ale pouze na jeho vlnové délce Experimentálně byl zjištěn vztah kde C je konstanta nezávislá na použitém kovu. Klasická teorie předpovídá ale závěry zcela odlišné. Např. časová prodleva mezi počátkem ozařování povrchu kovu světlem a emisí elektronů z něj může být podle klasické fyziky velmi dlouhá - hodiny, dny, týdny či dokonce i měsíce, je-li dopadající světlo slabé. To, zda k fotoemisi dojde, záleží podle klasických představ pouze na intenzitě dopadajícího záření, nikoliv na jeho vlnové délce. A konečně i kinetická energie emitovaných elektronů by měla být ovlivněna pouze množstvím elektromagnetické energie absorbované v krystalu kovu. O její závislosti na vlnové délce dopadajícího záření nemůže být v rámci klasických představ vůbec řeč. Jednoduché vysvětlení fotoelektrického jevu podal v roce 1905 na základě své fotonové hypotézy A. Einstein. Shrnutí kapitoly Kvantová teorie vznikala postupně počátkem dvacátého století jako reakce na několik málo experimentálních výsledků, které tvrdošíjně vzdorovaly všem pokusům o vysvětlení v rámci klasické fyziky. Podrobněji jsou popsány dva z těchto experimentů: záření absolutně černého zářiče a vnější fotoelektrický jev. Pro záření černého tělesa lze v rámci klasické fyziky odvodit formuli zvanou Rayleighův-Jeansův zákon, která však totálně selhává v oblasti krátkých vlnových délek. U vnějšího fotoelektrického jevu byla neřešitelnou záhadou rychlá odezva i při malých intenzitách záření a existence prahové frekvence, pod kterou k tomuto jevu vůbec nedochází. Otázky k procvičení a opakování 1) Vyjmenujte základní experimentální východiska kvantové teorie. 2) Popište podrobně problémy, které měla klasická fyzika s objasněním záření absolutně černého tělesa (zářiče). Jaké empirické zákony v této oblasti byly známy? 3) Definujte vnější fotoelektrický jev. Čím se liší od vnitřního fotoelektrického jevu? 4) Co konkrétně se u vnějšího fotoelektrického jevu nedařilo vysvětlit klasicky? Korespondenční úkol č. 1 Odpovězte písemně a pokud možno vlastními slovy na otázku č. 2 nebo č. 4 kapitoly 1. 2. Stará kvantová teorie Po prostudování této kapitoly budete schopni: * objasnit pojem stará kvantová teorie; * formulovat Planckovu kvantovou hypotézu a popsat okolnosti jejího vzniku; * formulovat Einsteinovu fotonovou hypotézu a vysvětlit pomocí ní empirické poznatky o vnějším fotoelektrickém jevu. Pojmy k zapamatování: Planckova kvantová hypotéza, záření absolutně černého tělesa, Einsteinova fotonová hypotéza, fotoelektrický jev, Bohrův model atomu, De Brogliho vlnová hypotéza. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 1 hodina První práce věnované rozporům mezi výsledky některých experimentů a klasickou teorií (viz Experimentální východiska kvantové teorie) byly založeny na podivuhodné symbióze klasického obrazu světa a kvantování vybraných fyzikálních veličin - zpravidla energie, ale také momentu hybnosti a dalších. Mezi nejvýznamnější výsledky těchto prací zde zařazujeme · Planckovu kvantovou hypotézu a teorii záření dokonale černého tělesa, · Einsteinovu fotonovou hypotézu, · Einsteinovu teorii fotoelektrického jevu. Dále zde patří např. Bohrův model atomu a Sommerfeldův model atomu. Souhrnně označujeme tuto epochu rozvoje kvantové teorie, která trvala prakticky až do konce dvacátých let 20. století a nějakou dobu dokonce koexistovala s moderní kvantovou mechanikou, jako starou kvantovou teorií. Přes zřejmé nedostatky a mnohá omezení byly výše uvedené teorie a hypotézy schopny kvalitativně i kvantitativně velmi uspokojivě vysvětlit širokou škálu jevů mikrosvěta, které se rámci klasické fyziky zcela vymykaly. Einsteinova fotonová hypotéza byla navíc bezprostřední inspirací pro francouzského fyzika L. de Broglieho při formulaci jeho hypotézy o vlnových vlastnostech částic. Ta pak prostřednictvím prací E. Schrödingera nalezla svého naplnění v moderní kvantové mechanice. 2.1. Planckova kvantová hypotéza Planckova kvantová podmínka. Podle Maxe Plancka nemůže lineární harmonický oscilátor kmitající s frekvencí n (resp. úhlovou frekvencí w = 2pn ) nabývat všech klasicky přípustných, tj. nezáporných energií, ale pouze těch, které splňují tzv. Planckovu kvantovou podmínku kde h je univerzální fyzikální konstanta, která dnes nese Planckovo jméno, Planckova konstanta, je tzv. „škrtnutá“ Planckova konstanta a n nezáporné celé číslo. Ve skutečnosti je však množina přípustných energií (energetické spektrum) lineárního harmonického oscilátoru poněkud odlišná od té, která vyplývá z Planckovy kvantové podmínky. Přesný tvar kvantovací podmínky pro lineární harmonický oscilátor, poskytuje až řešení stacionární Schrödingerovy rovnice. Planckově konstantě byla jako jedné z fundamentálních fyzikálních konstant věnována experimentátory velmi velká pozornost. Její v současnosti uváděná hodnota činí Kvantové hypotézy formulované pro lineární harmonický oscilátor využil Planck k vytvoření kvantové teorie záření dokonale černého tělesa. Planckova teorie záření dokonale černého tělesa (ideálního zářiče) vychází z teorie klasické, v jejímž rámci je aplikována kvantová hypotéza pro lineární harmonický oscilátor. Podle této hypotézy (a statistické mechaniky) je nutno střední energii lineárního harmonického oscilátoru o charakteristické úhlové frekvencí w počítat podle vztahu kde je Boltzmannova konstanta a . Dosazením za se jmenovatel uvedené formule změní na prostou geometrickou řadu , kde Její součet nalezneme snadno pomocí známého vzorce Obdobně získáme pro čitatele výše uvedené formule pro e(T) po dosazení za a po úpravách A nakonec kombinací výrazů pro jmenovatele a čitatele, do nichž dosadíme zpět za pomocnou proměnnou získáme konečný vzorec pro střední tepelnou energii lineárního harmonického oscilátoru Ten pak užijeme postupem stejným jako v případě klasické teorie k nalezení formule udávající závislost spektrální hustoty energie dutinového záření na zadané teplotě a úhlové frekvenci. Tato formule tentokrát nabývá tvaru což je proslulý Planckův zákon. Tento zákon dokonale souhlasí s empirickým Planckovým zákonem, a tudíž velmi přesně vystihuje dostupná experimentální data. V limitě nízkých frekvencí, , je možno užít přibližného výrazu který po dosazení převede Planckův zákon na klasický zákon Rayleighův-Jeansův. Můžeme tedy formulovat následující závěr: Klasický popis záření dokonale černého tělesa je vhodný, pokud střední tepelná energie lineárních harmonických oscilátorů, jejichž pomocí elektromagnetické pole popisujeme, je mnohem větší než odpovídající Planckovo kvantum energie. 2.2. Einsteinova fotonová hypotéza Chápeme-li elektromagnetické pole jako soustavu nezávislých lineárních harmonických oscilátorů, můžeme podle Planckovy kvantové hypotézy předpokládat, že se jeho celková energie bude měnit skokem - pro danou vlnovou délku l (resp. frekvenci n ) o kvantum hn, kde h je (neškrtnutá) Planckova konstanta. Fotony. Zatímco Planck pohlížel na elektromagnetické pole jako na zvláštní typ kontinua, jehož energie se mění skokem, německý fyzik A. Einstein šel v této představě ještě dále. Předpokládal, že toto kontinuum je ve skutečnosti samo tvořeno kvanty elektromagnetické energie, částicemi pohybujícími se rychlostí světla. Ty byly později nazvány fotony. Celková energie každé z těchto částic je podle Einsteina dána vztahem E = hn. Již dříve však bylo známo, že elektromagnetické záření nese nenulovou hybnost, která souvisí s jeho energií prostřednictvím jednoduchého vztahu Sloučením této rovnice a Einsteinova vztahu pro energii fotonu získáme proto pro jeho hybnost Skoková změna celkové energie elektromagnetického pole je pak ovšem podmíněna procesem vzniku (vyzářením) či zániku (absorpcí) jednoho fotonu. Částicové představy o elektromagnetickém záření byly s velkým úspěchem využity samotným Einsteinem při vysvětlení v rámci klasické fyziky nepochopitelného chování elektronů v tzv. fotoelektrickém jevu (Einsteinova teorie fotoelektrického jevu) a experimentálně prokázány A. H. Comptonem při rozptylu paprsků X na volných elektronech (Comptonův jev). Comptonův jev. Zatímco fyzika 19. století nahlížela na světlo jako na vlnění, Einstein se svou fotonovou hypotézou částečně navrací k částicovým představám Newtonovým. Ve skutečnosti však elektromagnetické záření (a tedy i světlo) není pouze vlněním, ani pouze proudem částic: je současně obojím. Vše totiž závisí na experimentálních podmínkách, v nichž se nachází. Elektromagnetické pole je fyzikální objekt, u nějž za jistých okolností převažují vlnové vlastnosti a jindy zase vlastnosti částicové. Hovoříme proto o vlnově-korpuskulárním dualismu světla. Konzistentní interpretaci Einsteinovy fotonové hypotézy poskytla až kvantová elektrodynamika. 2.3. Einsteinova teorie fotoelektrického jevu Při teoretickém zdůvodnění některých klasicky nepochopitelných závěrů, které byly učiněny na základě experimentálního studia fotoemise elektronů z kovu (vnější fotoelektrický jev), vycházel A. Einstein ze své fotonové hypotézy. Podle Einsteina je fotoemise každého elektronu důsledkem pohlcení (absorpce) jednoho kvanta elektromagnetického záření, fotonu. Během tohoto procesu foton zaniká a předává svou energii elektronu. Ta je pak částečně využita k úniku elektronu z kovu a zbytek přeměněn na jeho kinetickou energii. Výstupní práce. Einstein pracoval s velmi jednoduchým modelem krystalu kovu, který si představoval jako krabici, v níž je elektron vázán konstantní vazebnou energií. K opuštění krystalu musíme proto elektronu dodat energii, která je alespoň rovna této energii vazebné. Ta se obvykle nazývá výstupní práce a je pro daný kov charakteristickou konstantou. Ze zákona zachování energie vyplývá kde hn je energie dopadajícího fotonu, A výstupní práce, kinetická energie emitovaného elektronu a DE reprezentuje energetické ztráty elektronu doprovázející jeho emisi z krystalu kovu (např. v důsledku nepružných srážek s krystalickou mřížkou). Maximální kinetické energie dosáhne elektron, pokud jsou ztráty DE nulové. Pak můžeme psát a po přechodu k vlnovým délkám kde h je Planckova konstanta, c rychlost světla ve vakuu a kde jsme zavedli Výraz získaný Einsteinem pro maximální kinetickou energii elektronů vylétávajících z kovu po ozáření elektromagnetickým zářením je v dokonalé shodě, na rozdíl od závěrů klasických, s experimentálním zákonem. Také další experimentální fakta jsou v rámci Einsteinovy teorie vysvětlena zcela přirozeně: · Časová prodleva mezi dopadem záření na krystal kovu a fotoemisí elektronů je dána typickým časem absorpce fotonu elektronem. Ten je, jak bylo experimentálně zjištěno, řádově roven s. · Existence maximální vlnové délky záření, pro kterou ještě může dojít k fotoemisi elektronu, vyplývá z nezápornosti kinetické energie. Musí totiž platit a tedy i Velký význam fotoelektrického jevu pro další rozvoj fyziky na přelomu 19. a 20. století spočíval především v tom, že byl prvním pozorovaným dokladem částicového chování elektromagnetického záření. Shrnutí kapitoly Starou kvantovou teorií rozumíme poněkud nesourodý soubor několika hypotéz o kvantování vybraných fyzikálních veličin, jejichž zavedení bylo vedeno snahou vysvětlit experimentální výsledky, se kterými si jinak velmi úspěšná klasická fyzika nevěděla rady. Mezi uvedené hypotézy patří např. Planckova hypotéza o kvantování energie elektromagnetického pole, Einteinova fotonová hypotéza, Bohrův model atomu (kvantování momentu hybnosti atomu) a v neposlední řadě také De Brogliho vlnová hypotéza. Otázky k procvičení a opakování 1) Vysvětlete pojem stará kvantová teorie. Kdy vznikla a s jakými převratnými ideami je spojena? 2) Formulujte přesně Planckovu hypotézu o kvantování elektromagnetické energie. 3) Formulujte přesně Einsteinovu fotonovou hypotézu a vysvětlete rozdíl mezi touto hypotézou a Planckovou kvantovou hypotézou. 4) Jak Einstein pomocí své fotonové hypotézy vysvětlil podivné výsledky výzkumu vnějšího fotoelektrického jevu? Korespondenční úkol č. 2 Odpovězte písemně a pokud možno vlastními slovy na jednu z otázek kapitoly 2. 3. Vlnové vlastnosti částic Po prostudování této kapitoly budete schopni: * formulovat de Broglieho vlnovou hypotézu; * vypočítat vlnovou délku a frekvenci de Broglieho vlny; * formulovat disperzní relaci pro de Broglieho vlnu; * určit fázovou a grupovou rychlost de Broglieho vlny; * popsat Davissonův – Germerův pokus a objasnit jeho význam. Pojmy k zapamatování: De Broglieho vlnová hypotéza, vlnově – částicový dualismus, de Broglieho vztah, disperzní relace, grupová rychlost, vlnový balík, Davissonův – Germerův pokus, ohyb elektronů na krystalu. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 1 hodina 3.1. De Broglieho vlnová hypotéza Inspirován Einsteinovou fotonovou hypotézou předložil francouzský fyzik Louis de Broglie v roce 1924 ve své disertační práci a navazujících časopiseckých článcích hypotézu o vlnových vlastnostech částic. Byl přitom veden touhou po symetrii světa, v němž by podle něj mělo být dovoleno klasické částici chovat se za jistých okolností jako vlnění, má-li být naopak podle Einsteina dovoleno světlu chovat se částicově. Všem bodovým částicím přiřazujeme proto podle de Broglieho hypotézy speciální typ vlnění, tzv. de Broglieho vlny. Pro popis klasických částic pomocí de Broglieho vln pak používáme termín vlnová mechanika. Vlnově-částicový dualismus. Protože se částice někdy chovají, jako by byly vlněním, a jindy naopak vlnění vykazuje částicové vlastnosti, hovoříme též o vlnově-korpuskulárním (částicovém) dualismu fyzikálního popisu světa. Ačkoliv se v rámci klasické fyziky jeví de Broglieho hypotéza jako velmi neobvyklá, získala si v nově vznikající kvantové fyzice své nezastupitelné místo. A to především díky tomu, že byla nade vši pochybnost potvrzena experimentálně (viz Davissonův-Germerův experiment). De Broglieho vztahy De Broglie postuloval, že frekvence n a vlnová délka l vln přiřazených bodové částici souvisí s její energií E a hybností p prostřednictvím Einsteinových vztahů pro foton , Disperzní relace pro de Broglieho vlnu. K nim připojil disperzní relaci uvádějící do souvislosti vlnovou délku a frekvenci bodové částice. V případě volné částice zapsal de Broglie tuto dodatečnou podmínku ve tvaru Einsteinovy relativistické rovnice pro energii a hybnost Fázová a grupová rychlost de Broglieho vln Fázová rychlost de Broglieho vlny. Z disperzní relace a ze vztahů pro frekvenci a vlnovou délku de Broglieho vln vyplývá pro fázovou rychlost de Broglieho vlny přiřazené volné částici kde c je rychlost světla ve vakuu a v = p/m je rychlost částice. Vidíme tedy, že fázová rychlost de Broglieho vln je vždy větší než rychlost světla ve vakuu. To je ale podle speciální teorie relativity, mají-li být de Broglieho vlny reálnými fyzikálními objekty, nemožné. Vlnový balík a grupová rychlost de Broglieho vlny. Získaný výsledek je však překvapující jen na první pohled. V rámci Bornovy statistické interpretace vlnové funkce nejsou totiž stavy volné částice s přesně definovanou energií (a tedy ani s přesně definovanou frekvencí odpovídající de Broglieho vlny) přípustné. Ukazuje se, že volnou částici musíme v rámci de Broglieho vlnové teorie reprezentovat tzv. vlnovým balíkem, jehož rychlost pohybu prostorem je dána tzv. grupovou rychlostí kde je úhlová frekvence de Broglieho vln a velikost jejich vlnového vektoru. Grupová rychlost vlnového balíku tedy odpovídá rychlosti studované částice a samotné vlnové balíky se proto pohybují prostorem tak, jak bychom to od nich jakožto vlnových reprezentantů bodových částic očekávali. Animace ukazuje šíření vlnového balíku. Vlnový balík se postupně rozplývá. 3.2. Davissonův - Germerův pokus Roku 1927 prokázali Američané Davisson a Germer, a nezávisle na nich i Angličan G. P. Thomson správnost de Broglieho vlnové hypotézy prostřednictvím experimentu, v němž pozorovali difrakci elektronů na krystalické mřížce niklu. Samotná de Broglieho hypotéza předpokládající za jistých okolností vlnové chování částic je v rámci klasické fyziky natolik neobvyklá, že by byla bez experimentálního potvrzení zajisté zavržena. S trochou nadsázky můžeme proto říci, že jí pevné místo v rámci moderní fyziky zajistila teprve Davissonova, Germerova a Thomsonova měření. Jak ovšem vlnové chování klasických částic experimentálně prokázat? Inspiraci mohli zmínění experimentátoři hledat, a taky najít, v optice první poloviny 19. století. Tehdy se totiž podařilo nade vši pochybnost prokázat vlnové vlastnosti světla prostřednictvím jeho ohybu (difrakce) na malých aperturách (viz např. slavný experiment Youngův). Podat experimentální důkaz vlnových vlastností klasických částic znamená proto pozorovat jejich difrakci. To ovšem může být technicky velmi obtížné, protože ohybové (difrakční) jevy pozorujeme v optice jen tehdy, je-li charakteristický rozměr soustavy, na níž difrakci hodláme pozorovat - např. mřížková konstanta - srovnatelný s vlnovou délkou použitého záření. Předpokládáme, že stejné omezení zůstává v platnosti i pro vlny de Broglieho. Proto si nejdříve udělejme alespoň namátkovou inventuru vlnových délek, které můžeme podle de Broglieho hypotézy u některých těles očekávat. Objekt Rychlost [m/s] Hmotnost [kg] De Broglieho vlnová délka [m] běžící člověk 2 70 zrnko písku 1 De Broglieho vlnové délky pro vybrané objekty. molekula dusíku 502 proton elektron (a) Molekula dusíku pohybující rychlostí odpovídající střední kvadratické rychlosti molekul v plynu při teplotě 300 K, (b) proton urychlený potenciálovým rozdílem 10 V, (c) elektron urychlený potenciálovým rozdílem 10 V. Z uvedené tabulky, jakkoliv neúplné, je zřejmé, že de Broglieho vlnové délky přiřazené makroskopickým objektům (A, B) jsou beznadějně malé na to, abychom pro ně vůbec nějakou difrakci mohli pozorovat. I pro těžší objekty mikrosvěta (molekuly, atomy či protony) jsou získané vlnové délky velmi malé. K pozorování difrakce bychom museli mít v případě těchto objektů k dispozici příliš jemnou mřížku. Naopak poměrně příznivá situace nastává pro lehké, nepříliš urychlené elektrony. Jejich vlnové délky totiž odpovídají zhruba vzdálenostem krystalických rovin v krystalech pevných látek. Přímo se proto nabízí možnost pokusit se pozorovat difrakci lehkých elektronů na krystalických rovinách vhodně zvoleného monokrystalu. Tato idea nebyla koneckonců v roce 1927 nová. Již dříve ji využil německý fyzik Max von Laue k důkazu vlnového charakteru Röntgenových paprsků X. Schéma uspořádání Davissonova-Germerova pokusu. Davisson a Germer pozorovali difrakci elektronů na krystalických rovinách monokrystalu niklu. Elektronovým dělem Z ozařovali ve vysokoteplotní peci vyžíhaný monokrystal niklu N a detektorem D měřili počet odražených elektronů v různých směrech. A získali velmi zajímavé výsledky: Kromě výrazného a v rámci částicové interpretace dobře pochopitelného maxima počtu elektronů odražených od povrchu krystalu ve směru zpět k elektronovému dělu pozorovali navíc i další maximum. To souviselo s difrakčními efekty. Velmi zřetelné bylo toto maximum pro elektrony urychlené potenciálovým rozdílem 54 V, kdy se elektrony odrážely, jak ukazuje připojený obrázek, s převahou do směru svírajícího s krystalovými rovinami monokrystalu niklu úhel Směr difrakčního maxima elektronového svazku v Davissonově-Germerově pokusu. Braggova rovnice. Tomuto výraznému ohybovému maximu odpovídá vlnová délka dopadajících elektronů Z experimentálních dat ji můžeme vypočítat, zanedbáme-li výstupní práci krystalu niklu, z Braggovy rovnice v níž položíme řád difrakčního maxima N = 1 a kde a je vzdálenost krystalových rovin v monokrystalu niklu (0,091 nm) a q výše uvedený úhel. Podle de Broglieho teorie je vlnová délka elektronu urychleného na energii rovna což je ovšem v dokonalé shodě s hodnotou experimentální. Na základě výše uvedeného můžeme tedy vyslovit závěr, že elektrony vykazují při rozptylu na krystalu niklu vlnové chování. Experimentální data jsou navíc v kvantitativní shodě s teoretickou předpovědí plynoucí z de Broglieho vztahů. Difrakce na krystalických mřížkách byla pozorována nejen pro elektrony, ale i pro těžší částice. Tak např. v roce 1930 němečtí fyzikové Esterman, Frisch a Stern pozorovali difrakční efekty pro atomy helia bombardující monokrystal fluoridu lithia (LiF) a později Mitchell a Powers i pro neutrony bombardující monokrystal oxidu hořečnatého (MgO). Shrnutí kapitoly Luis de Broglie, inspirován Einsteinovou představou o částicovém chování elektromagnetického vlnění, formuloval hypotézu o vlnovém charakteru hmotných částic. Tato tzv. vlnová hypotéza připisuje každé pohybující se částici vlnu o vlnové délce nepřímo úměrné hybnosti tělesa a frekvenci úměrné její energii. Fázová rychlost této vlny vychází větší než rychlost světla, zatímco grupová rychlost je rovna rychlosti částice. To je důvodem pro ztotožnění částice s vlnovým balíkem, nikoliv přímo s de Broglieho vlnou. Davisson a Germer pozorovali ohyb elektronů na krystalu niklu a tím nade vší pochybnost prokázali vlnové vlastnosti elektronů. Později byly vlnové vlastnosti prokázány i u jiných částic. Otázky k procvičení a opakování 1) Formulujte přesně de Broglieho vlnovou hypotézu. 2) Jaký je vztah mezi frekvencí de Broglieho vlny a energií částice, resp. mezi vlnovou délkou a hybností částice? 3) Jaká je fázová a grupová rychlost de Broglieho vlny? Co z toho plyne? 4) Co udává tzv. disperzní relace pro de Broglieho vlnu? Napište matematický vztah! 5) Popište Davissonův – Germerův pokus. V čem spočívá jeho význam? Korespondenční úkol č. 3 Odpovězte písemně a pokud možno vlastními slovy na otázku č. 2, č. 3 nebo č. 4 kapitoly 3. 4. Kvantová mechanika Kvantová mechanika se zabývá soustavami obsahujícími konečný počet bodových částic s nenulovou klidovou hmotností. Na rozdíl od kvantové teorie pole zůstávají v rámci kvantově-mechanického popisu typ i počet částic neměnnými během časového vývoje i vnějších zásahů do systému. Kvantová mechanika je zobecněním a rozšířením mechaniky klasické. Kvantová mechanika je základním teoretickým nástrojem studia objektů mikrosvěta v podmínkách, v nichž nejsou významné vzájemné přeměny částic. Jako taková tvoří teoretické základy moderní atomové fyziky a již dávno pronikla za hranice fyziky v jejím běžném chápání. Je např. součástí dnes bouřlivě rozvíjené kvantové chemie a neobejdeme se bez ní ani v technických aplikacích, z nichž uveďme alespoň moderní materiálový výzkum. Pojmový aparát kvantové mechaniky Pojmový aparát kvantové mechaniky. Pojmový i matematický aparát kvantové mechaniky je od jazyka mechaniky klasické značně odlišný. Stav systému popisujeme vlnovými funkcemi, a nikoliv polohami a rychlostmi (hybnostmi) jednotlivých částic, jak je to obvyklé v mechanice klasické. Dynamické veličiny jsou kvantovány a nemohou nadále nabývat všech klasicky přípustných hodnot. Speciálně to platí o energii, jejíž kvantování popisuje tzv. stacionární Schrödingerova rovnice. I pohybová rovnice kvantové mechaniky, nestacionární Schrödingerova rovnice, je značně odlišná od pohybových rovnic klasických. Přesto je však možno najít zřetelnou souvislost mezi klasickým a kvantovým popisem, jak je to ukázáno na příkladě jednočásticového systému ve speciální podkapitole. Vůbec nejzřetelnější rozdíl mezi klasickým a kvantověmechanickým přístupem je v reprezentaci dynamických proměnných (poloha, hybnost, energie apod.). V rámci kvantové mechaniky jim totiž odpovídají samosdružené operátory na Hilbertově prostoru stavů. Matematická struktura kvantové mechaniky je velmi komplikovaná. Řešení kvantově-mechanických úloh (např. stacionární Schrödingerovy rovnice) je pomocí jednoduchých matematických prostředků možné jen pro vybrané modelové systémy. V obecnějších případech musíme často použít přibližných metod. V rámci tohoto textu se soustředíme v naprosté většině případů na studium jediné částice nacházející se v poli vnějších sil, které je možno popsat skalárním potenciálem. V zájmu přehlednosti se navíc omezíme na systémy, u nichž je možno zcela zanedbat relativistické efekty. Neznamená to však, že si kvantová mechanika nedokáže poradit i se systémy obecnějšími. Do jejího popisu lze zahrnout i nepotenciálové interakce, z nichž nejdůležitější je bezesporu interakce elektromagnetická. S jistou přesností je dokonce možno vzít v úvahu i relativistické efekty, i když úplné zahrnutí speciální teorie relativity je možné až v rámci kvantové teorie pole. Ani vícečásticové systémy nejsou pro kvantovou mechaniku neřešitelným problémem. 4.1. Vlnová funkce Po prostudování této kapitoly budete schopni: * objasnit pojem vlnové funkce a vyjádřit matematicky rovinnou i obecnou monochormatickou de Broglieho vlnu; * formulovat princip superpozice a osvětlit jeho význam jako základního principu kvantové mechaniky; * vysvětlit pojem x- a p- reprezentace vlnové funkce; * formulovat první a druhý Bornův postulát a vysvětlit jejich důsledky pro statistickou interpretaci vlnové funkce; * vypočítat střední hodnotu a kvadratickou fluktuaci dynamické veličiny ze znalosti vlnové funkce; * matematicky formulovat a objasnit Heisenbergovy relace neurčitosti pro polohu a hybnost částice; * vysvětlit Dirakovo zobecnění popisu stavu v kvantové mechanice včetně tzv. bra-ketové symboliky. Pojmy k zapamatování: Monochromatické de Broglieho vlny, princip superpozice, x- a p- reprezentace vlnové funkce , první a druhý Bornův postulát, střední hodnota a fluktuace polohy a hybnosti, Heisenbergovy relace neurčitosti, obecná Dirakova reprezentace stavu v kvantové teorii, bra-ketová symbolika. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 2,5 hodiny Vlnová funkce - proč a jak? Nový pohled, jenž do částicové mechaniky vnesla de Broglie vlnová hypotéza, vyžaduje přebudování aparátu, jehož pomocí popisujeme stav a časový vývoj částicových systémů. V tuto chvíli se věnujme reprezentaci stavu. Popis časového vývoje, tj. formulaci pohybové rovnice kvantové mechaniky, uvádíme na jiném místě. Pro inspiraci se obraťme k těm oborům fyziky, kterým jsou vlnové představy vlastní. Například k teorii elektromagnetického pole. I zde se totiž setkáváme s vlněním, tzv. elektromagnetickými vlnami reprezentovanými periodickými prostoročasovými změnami vektorových polí elektrické a magnetické intenzity. Elektromagnetické vlny proto popisujeme dvojicí vektorových funkcí, a , čtyř reálných proměnných - tří souřadnic polohového vektoru a jedné proměnné časové. Na uvedené vektorové funkce můžeme rovněž pohlížet, odhlédneme-li od transformačních vlastností trojrozměrných vektorů, jako na šestici funkcí skalárních. Je jistě přijatelný předpoklad, že obdobně můžeme postupovat i nyní, tj.: De Broglieho vlnu přiřazenou studované částici popíšeme v obecném případě n komplexními funkcemi polohového vektoru a času. O těchto funkcích hovoříme zpravidla jako o funkcích vlnových. Vícekomponentní vlnové funkce. V rámci nerelativistické kvantové fyziky vystačíme obvykle s jedinou vlnovou funkcí. Ovšem i vícekomponentní vlnové funkce mají v kvantové teorii své nezastupitelné místo. Používají se tehdy, je-li nutno explicitně započítat spin studované částice, a zejména pak v rámci relativistické kvantové teorie. Jednokomponentní vlnovou funkci naopak používáme při popisu částice s nulovým spinem nebo pokud spin částice zanedbáváme. Výše uvedený aparát popisu jednočásticového systému pomocí vlnových funkcí je možno zobecnit i na systémy vícečasticové. Je pouze nutné rozšířit počet argumentů vlnové funkce tak, aby každé částici odpovídal jeden polohový vektor. V nejjednodušším případě tedy můžeme systému N částic přiřadit vlnovou funkci neboli Podrobněji však o popisu vícečásticových systémů pojednáváme na jiném místě. V následujícím výkladu se budeme věnovat výhradně systémům jednočásticovým. Speciální tvary vlnových funkcí Mezi všemi vlnovými funkcemi jednočásticového systému si některé zasluhují zvýšenou pozornost. Jsou to zejména vlnové funkce odpovídající · Speciální vlnové funkce. rovinným monochromatickým de Broglieho vlnám reprezentujícím stavy volné částice s ostře definovanou hybností a energií, · monochromatickým de Broglieho vlnám reprezentujícím stavy částice s ostře definovanou energií v poli vnějších sil, · vlnovým balíkům reprezentujícím fyzikálně realizovatelné stavy volné částice s dostatečně ostře definovanou energií a hybností. Samotné rovinné monochromatické de Broglieho vlny sice nereprezentují žádný fyzikálně realizovatelný stav volné částice (viz též důsledky prvního Bornova postulátu), jsou však velmi významné při formulaci jednoho z ústředních principů kvantové mechaniky - principu superpozice - a při přechodu k tzv. p-reprezentaci vlnové funkce. Jednorozměrná vlnová funkce. Jednorozměrné vlnové funkce V jistých situacích, zpravidla z důvodu jednoduchosti, je výhodné pracovat s částicí vázanou na přímce. Stavy takové částice popisujeme pomocí vlnové funkce, která z pochopitelných důvodů závisí pouze na jediné prostorové proměnné, obvykle označované x: Statistická interpretace vlnové funkce Interpretace vlnové funkce. Velmi názornou interpretaci dal vlnové funkci ve druhé polovině 20. let 20. století německý fyzik M. Born. Jeho myšlenky je možno shrnout do dvou postulátů - dnes nazývaných první a druhý Bornův postulát, které jsou nedílnou součástí axiomatického základu moderní kvantové teorie. Pomocí Bornových postulátů určujeme střední hodnoty a fluktuace polohy a hybnosti částice ve stavu popsaném zadanou vlnovou funkcí. Hrají rovněž významnou roli při formulaci proslulého Heisenbergova principu neurčitosti. Obecná reprezentace stavu v kvantové teorii Heisenbergova a Dirakova kvantová mechanika. Popis stavů kvantových systémů pomocí vlnových funkcí, který je přímo inspirován de Broglieho vlnovou hypotézou, není jediný možný. Souběžně s formulací vlnové mechaniky vytvořil německý fyzik W. Heisenberg svou mechaniku maticovou. Zobecnění obou popisů provedl a jejich ekvivalenci dokázal na přelomu 20. a 30. let 20. století anglický fyzik P. Dirac. Podrobná analýza Dirakova přístupu však zcela překračuje rámec této encyklopedie, stručné nastínění základních idejí je možno nalézt v kapitole „Moderní formulace kvantové mechaniky“. Z nich využijeme především proslulou Dirakovu bra-ketovou symboliku, která často významně zjednodušuje zápisu formulí a vzorců, s nimiž se v kvantové teorii setkáváme, a tím činí matematický formalismus kvantové teorie přehlednějším. Všimněte si, že v kvantové teorii pracujeme obecně s komplexními vlnovými funkcemi. Vždy ovšem můžeme přejít k rovnocennému popisu pomocí dvojnásobného počtu funkcí reálných, kdy každou komplexní funkci reprezentujeme její reálnou a imaginární částí. 4.1.1. Monochromatické de Broglieho vlny Rovinné monochromatické de Broglieho vlny De Broglie přiřazuje volné částici s přesně zadanou hybností a energií E vlny charakterizované ostrou hodnotou vlnového vektoru a úhlové frekvence w. Souvislost mezi částicovými a vlnovými parametry udávají de Broglieho vztahy. Volné částici je přiřazena rovinná monochromatická vlna kterou můžeme pomocí de Broglieho vztahů přepsat též do tvaru Připomeňme, že stav volné částice s přesně definovanou hybností a energií není v rámci kvantové mechaniky přípustný. Obecné monochromatické de Broglieho vlny To, co není přípustné pro volné částice, je možno za jistých okolností realizovat v případě částic nacházejících se ve vnějším silovém poli. Částice se v takovém případě může nacházet ve stavu s přesně definovanou energií a v rámci de Broglieho teorie jí přiřazujeme monochromatickou vlnu, tentokrát však již nikoliv rovinnou. Speciální charakter takové vlny se projeví v separaci prostorové a časové závislosti odpovídající vlnové funkce: Vlnové funkce výše uvedeného tvaru se obvykle nazývají stacionárními vlnovými funkcemi. Jejich prostorová část Y je dána řešením stacionární Schrödingerovy rovnice. Časově neproměnná potenciálová pole. Stacionární vlnová funkce odpovídá částici s přesně definovanou a během časového vývoje se zachovávající energií. Z klasické mechaniky však víme, že se energie hmotného bodu zachovává pouze v časově neproměnných potenciálových polích. Monochromatická de Broglieho vlna tedy reprezentuje speciální stav bodové částice v časově neproměnném poli vnějších sil. Podle prvního Bornova postulátu (viz dále) je fyzikálně relevantní pouze kvadrát absolutní hodnoty vlnové funkce. Pro stacionární vlnové funkce však platí a fyzikálně relevantní část vlnové funkce je tedy časově nezávislá. Odtud je zřejmý i původ názvu „stacionární vlnová funkce“. Částice vázaná na přímku Částice vázaná na přímku.. Často je výhodné, zejména z důvodu snadné řešitelnosti konkrétních problémů a úloh, předpokládat, že se studovaná částice může pohybovat pouze podél zadané přímky. Souřadnici takové částice pak popisujeme jediným reálným parametrem x. V takovém případě nabývají vlnové funkce reprezentující de Broglieho monochromatické vlny jednodušších tvarů: pro rovinnou monochromatickou vlnu a pro monochromatickou vlnu obecnou. Uvedené tvary vlnových funkcí částice vázané na přímku budeme nazývat jednorozměrnými stacionárními vlnovými funkcemi. V tuto chvíli by mohla být vyslovena oprávněná námitka, proč v případě rovinných monochromatických de Broglieho vln neuvažujeme i tvar který rovněž vyhovuje vlnové rovnici, a pro obecnou monochromatickou vlnu i tvar Důvod je poměrně prostý. Ukážeme si jej na jednoduchém případě rovinné monochromatické vlny. Vlnová funkce popisuje totiž vlnu, jejíž rovinné vlnoplochy se šíří ve směru vlnového vektoru a tedy i ve směru hybnosti částice, jíž je tato vlna přiřazena. Na druhé straně však vlnová funkce zadává vlnoplochy šířící se ve směru tedy proti směru pohybu studované částice. První vlnová funkce je proto pro vlnový popis částice s hybností přijatelná a druhá musí být odmítnuta jako nefyzikální. Ač podobnou úvahu nemůžeme provést pro obecnou monochromatickou vlnu, jistě nepřekvapí, že i v tomto, obecnějším případě předpokládáme časový faktor ve tvaru a nikoliv ve tvaru Abychom však byli korektní, uveďme, že zde odmítnuté tvary monochromatických vlnových funkcí hrají jistou roli v rámci relativistické kvantové mechaniky. 4.1.2. Princip superpozice Libovolnou vlnovou funkci popisující fyzikálně přípustný stav daného systému je možno získat jako lineární kombinaci vlnových funkcí odpovídajících de Broglieho monochromatickým vlnám (stacionárních vlnových funkcí). Zmíněná lineární kombinace může mít podle okolností konečně i nekonečně mnoho členů. Podle prvního Bornova postulátu (kap. 4.1.4) jsou přípustné vlnové funkce nutně kvadraticky integrovatelné. Princip superpozice proto říká, že každou kvadraticky integrovatelnou vlnovou funkci můžeme získat jako lineární kombinaci vlnových funkcí stacionárních. Monochromatické de Broglieho vlny (stacionární vlnové funkce) odpovídají řešením stacionární Schrödingerovy rovnice (kap. 4.2). Princip superpozice říká, že stacionárních vlnových funkcí je pro daný systém dostatek k tomu, aby jejich pomocí bylo možno zkonstruovat libovolnou vlnovou funkci popisující přípustný stav systému. Vlnový balík. Speciální aplikací principu superpozice je konstrukce vlnového balíku reprezentujícího vlnovou funkci volné částice pomocí rovinných monochromatických vln. 4.1.3. X a P- reprezentace vlnové funkce Podle principu superpozice je možno libovolnou vlnovou funkci odpovídající fyzikálně realizovatelnému stavu volné částice získat jako lineární kombinaci rovinných monochromatických de Broglieho vln kde jsme ve druhém integrálu provedli formální náhradu Z uvedeného vyjádření je vidět, že vlnová funkce je Fourierovou transformací funkce Na souvislost mezi funkcemi a můžeme tedy nahlížet jako na vztah čistě matematický a na chvíli odhlédnout od fyzikálního pozadí problému. Platnost výše uvedené formule není proto omezena pouze na vlnové funkce odpovídající volné částici, ale můžeme ji rozšířit i na obecnou (kvadraticky integrovatelnou) vlnovou funkci. Formuli Souřadnicová a impulsová reprezentace jsou spojeny Fourierovou transformací. v níž jsme místo vlnového vektoru užili hybnost a doplnili formálně výhodný multiplikativní faktor můžeme tedy použít i pro částici nacházející se v poli vnějších sil. V obecném případě již ale neplatí časová závislost je zpravidla komplikovanější. Funkci je možno určit, známe-li vlnovou funkci pomocí inverzní Fourierovy transformace Obě funkce, i , jsou tedy ve vzájemně jednoznačném vztahu a jsou pro popis stavu částice stejně vhodné. Proto budeme o obou hovořit jako o funkcích vlnových. První z nich je závislá na souřadnicích částice, hovoříme proto o vlnové funkci v souřadnicové nebo prostě x-reprezentaci. Druhá vlnová funkce závisí naopak na složkách hybnosti (impulzu) částice. Proto o ní hovoříme jako o vlnové funkci v impulzové nebo stručněji p-reprezentaci. Obě vyjádření vlnové funkce hrají významnou roli při její fyzikální interpretaci. Zatímco vlnová funkce v x-reprezentaci je interpretována prostřednictvím prvního Bornova postulátu, vlnová funkce v p-reprezentaci hraje ústřední roli při formulaci druhého Bornova postulátu. X a P- reprezentace jednorozměrné vlnové funkce Vztah mezi souřadnicovou a impulsovou reprezentací pro jednorozměrný případ. Pro jednorozměrné vlnové funkce používáme vztahy v nichž změněná mocnina v multiplikativním faktoru odpovídá redukci prostorových proměnných na jedinou. 4.1.4. První Bornův postulát První Bornův postulát podává fyzikální interpretaci vlnové funkce částice v x-reprezentaci. Obdobným způsobem je pomocí druhého Bornova postulátu interpretována vlnová funkce částice v p-reprezentaci. Výraz udává pravděpodobnost, že částici ve stavu popsaném vlnovou funkcí nalezneme v čase t v prostorové oblasti W (pravděpodobnost výskytu částice). Důsledky prvního Bornova postulátu Všimněme si několika velmi významných důsledku výše uvedeného tvrzení. Kvadratická integrovatelnost vlnové funkce. Především první Bornův postulát implicitně předpokládá, že kvadrát absolutní hodnoty vlnové funkce je integrovatelný na libovolné měřitelné podmnožině , speciálně i na celém . Zkráceně v takovém případě hovoříme o kvadraticky integrovatelné vlnové funkci. Na vlnovou funkci popisující fyzikálně realizovatelný stav bodové částice takto klademe významnou omezující podmínku. Jedním z důsledků této podmínky je fakt, že rovinná monochromatická vlna nereprezentuje žádný fyzikálně realizovatelný stav volné částice. Odpovídající vlnová funkce totiž na kvadraticky integrovatelná není. Pouze výše uvedená pravděpodobnost je měřitelnou veličinou. Samotnou vlnovou funkci měřit neumíme - obsahuje tudíž částečně i informaci, která není fyzikálně relevantní. Například měřitelné důsledky teorie se nezmění, pokud zadanou vlnovou funkci násobíme nenulovou, obecně imaginární konstantou. Vždy proto můžeme přejít k nové vlnové funkci Normovaná vlnová funkce. Hustota pravděpodobnosti. splňující normovací podmínku O takto zavedené funkci hovoříme jako o vlnové funkci normované k jednotce. Kvadrát její absolutní hodnoty má pak význam hustoty pravděpodobnosti nalezení částice v čase t v místě zadaném polohovým vektorem Mějme ovšem na paměti, že samotný stav částice je stejně dobře popsán normovanou i nenormovanou vlnovou funkcí. Měření v kvantové mechanice je statisticky regulární proces. Ani po normování není vlnová funkce určena jednoznačně. Stále ještě můžeme měnit její fázi (násobit ji imaginární jednotkou ), aniž se to jakkoliv dotkne měřitelných výsledků teorie. Proto se obvykle hovoří o fázi vlnové funkce jako o nefyzikálním stupni volnosti. V rámci Bornovy statistické interpretace vlnové funkce hovoříme o pravděpodobnosti nalezení částice v jisté oblasti prostoru. Znamená to, že odpovídající pravděpodobnost vždy existuje, a měření polohy částice je tedy statisticky regulární proces. K podobnému závěru docházíme na základě druhého Bornova postulátu i pro měření hybnosti částice. A uvedené tvrzení se dokonce v rámci kvantové teorie rozšiřuje i na všechna ostatní měření, která mají zpravidla, podobně jako měření polohy a hybnosti, pouze pravděpodobnostní charakter. V kvantové teorii tudíž vždy pohlížíme na měření jako na statisticky regulární proces. Jednorozměrné vlnové funkce V případě částice vázané na přímku je nutno výše uvedené trojrozměrné integrály nahradit integrály jednorozměrnými. Pravděpodobnost nalezení částice popsané v čase t vlnovou funkcí na intervalu (a,b) je pak dána výrazem 4.1.5. Druhý Bornův postulát Druhý Bornův postulát podává měřitelnou interpretaci vlnové funkce částice v p-reprezentaci. Hraje tedy pro vlnové funkce v p-reprezentaci obdobnou roli jako první Bornův postulát pro vlnové funkce v x-reprezentaci. Budiž vlnová funkce částice v p-reprezentaci, pak výraz udává pravděpodobnost, že částice bude mít v čase t hybnost z oblasti P impulzového prostoru. Také druhý Bornův postulát má, podobně jako postulát první, některé velmi významné důsledky. Nejdůležitější z nich jsou · kvadratická integrovatelnost vlnové funkce v p-reprezentaci, · statistická regularita procesu měření hybnosti bodové částice. Jednorozměrná vlnová funkce V případě částice vázané na přímku je nutno výše uvedené trojrozměrné integrály nahradit integrály jednorozměrnými. Tak například přechod mezi x- a p-reprezentací vlnové funkce je dán vztahem a pravděpodobnost, že částice bude mít hybnost z intervalu (a,b), výrazem 4.1.6. Střední hodnoty a fluktuace polohy a hybnosti Měření polohy a hybnosti Podle prvního a druhého Bornova postulátu můžeme pro částici v zadaném stavu (popsaném kvadraticky integrovatelnou vlnovou funkcí) určit pouze pravděpodobnosti, že ji nalezneme v konkrétním místě prostoru a že bude mít jistou konkrétní hybnost. Při opakovaném měření polohy i hybnosti částice získáme proto různé číselné výsledky. Četnosti takto změřených hodnot polohy a hybnosti odpovídají při dostatečně velkém počtu opakování s vysokou přesností pravděpodobnostem v obou zmíněných postulátech vystupujícím. Sledujeme-li obvyklý experimentální postup, vyhodnotíme provedená měření tak, že určíme pro získaný soubor dat střední hodnotu měřené veličiny a odhad chyby - buď jednotlivého měření, nebo vypočítané střední hodnoty. Pomocí Bornových postulátů můžeme obě veličiny určit, známe-li odpovídající vlnovou funkci, i výpočtem. Střední hodnota a střední kvadratická fluktuace polohy Podle prvního Bornova postulátu a na základě úvahy uvedené na jiném místě můžeme střední hodnotu polohy bodové částice ve stavu popsaném normovanou vlnovou funkcí určit pomocí vztahu Střední hodnota a střední chyba polohy. který můžeme zapsat rovněž po složkách Odpovídající střední kvadratické fluktuace jednotlivých složek polohy pak počítáme pomocí normované vlnové funkce jako Tyto střední fluktuace odpovídají ve výše naznačené experimentální proceduře střední kvadratické chybě jednotlivého měření polohy částice. Střední hodnota a střední kvadratická fluktuace hybnosti Pomocí vlnové funkce v p-reprezentaci, Střední hodnota a střední chyba hybnosti. a druhého Bornova postulátu můžeme určit střední hodnotu hybnosti částice prostřednictvím formule nebo ekvivalentně pro normovanou vlnovou funkci pomocí formule I formuli zadávající střední hodnotu hybnosti můžeme zapsat po složkách Střední kvadratické fluktuace složek hybnosti částice v zadaném stavu, které reprezentují současně střední kvadratické chyby jednotlivého měření složek hybnosti, určíme pro normovanou vlnovou funkci pomocí vztahu 4.1.7. Heisenbergovy relace neurčitosti pro polohu a hybnost Statistická interpretace de Broglieho vlnového modelu (první a druhý Bornův postulát) vede k mnoha v klasické fyzice neočekávaným závěrům. Jedním z nejpodivuhodnějších z nich je zjištění, že polohu a hybnost bodové částice není možno současně měřit neomezeně přesně. Uvedený závěr, který poprvé odvodil německý fyzik Werner Heisenberg, je možno rozšířit i na další měřitelné veličiny. V této kapitole se ale soustředíme pouze na vzájemný vztah polohy a hybnosti. Dříve, než zformulujeme obecné relace neurčitosti pro polohu a hybnost, uveďme jeden inspirující příklad. Gaussův vlnový balík Gaussův vlnový balík. Proveďme výpočet středních hodnot polohy a hybnosti a odpovídajících středních kvadratických fluktuací pro částici, jejíž stav je reprezentován speciální jednorozměrnou vlnovou funkcí ve tvaru Gaussova vlnového balíku Časová závislost vlnové funkce y není v tuto chvíli podstatná, proto ji ve formuli explicitně neuvádíme. Skryta je v možné závislosti „konstant“ a na čase. Je jen otázkou technické zručnosti ověřit, že · uvedená vlnová funkce je normovaná k jedničce, · střední hodnota polohy je rovna a · střední kvadratická fluktuace polohy je rovna Nalezněme dále p-reprezentaci výše uvedené vlnové funkce. Pomocí inverzní Fourierovy transformace je to opět jen výpočetní problém. Máme totiž určit integrál který po provedení naznačené integrace vede k kde Stejně jako pro vlnovou funkci v x-reprezentaci i nyní snadno ověříme, že · vlnová funkce v p-reprezentaci je normovaná k jedničce, · střední hodnota hybnosti je rovna a · střední kvadratická fluktuace hybnosti je rovna V tuto chvíli je pro nás nejzajímavější vztah mezi středními kvadratickými fluktuacemi polohy a hybnosti studované částice. Z výše uvedeného plyne závěr . Poslední vztah má velmi zajímavý důsledek: čím přesněji bude lokalizována poloha částice reprezentované Gaussovým vlnovým balíkem, tím méně ostře bude zadána její hybnost a naopak. Hybnost a polohu bodové částice nelze současně zadat ani změřit neomezeně přesně! Obecná formulace relací neurčitosti pro polohu a hybnost Výše uvedené závěry, které jsme získali pro Gaussův vlnový balík, je možno po malé modifikaci rozšířit i na obecné vlnové funkce. Pro částici vázanou na přímku je možno ukázat, že střední kvadratické fluktuace její polohy a hybnosti jsou v libovolném stavu svázány podmínkou Heisenbergovy relace neurčitosti. Ta se od výše uvedeného vztahu pro Gaussův vlnový balík liší pouze náhradou rovnosti znamením nerovnosti. V trojrozměrném případě jsou Heisenbergovy relace neurčitosti poněkud komplikovanější - poloha a hybnost jsou totiž v tomto případě trojrozměrné vektory: a (pro ) a (j, k libovolná). Způsobem obdobným jako v případě částice vázané na přímku se tedy ovlivňují pouze odpovídající si složky polohy a hybnosti. Křížové efekty pro ani vzájemná ovlivnění jednotlivých složek polohy, resp. hybnosti, neexistují. 4.1.8. Obecná reprezentace stavu v kvantové teorii Prostor stavů Kvantový stav Stavy jednočásticového systému popisujeme obvykle v kvantové mechanice pomocí kvadraticky integrovatelných vlnových funkcí (viz důsledky prvního Bornova postulátu). Kvadraticky integrovatelná vlnová funkce zadává tedy v konkrétním čase kvantový stav studovaného systému. Odhlédněme v tuto chvíli od všudypřítomného časového vývoje a závislost vlnových funkcí na čase neuvažujme. Množinu všech stavů jednočásticového systému můžeme takto ztotožnit s množinou všech (komplexních) kvadraticky integrovatelných funkcí tří reálných proměnných. O této množině však fyzikové i matematikové v době formulování základů kvantové teorie věděli, že má speciální matematickou strukturu. Množina všech kvadraticky integrovatelných funkcí je separabilní Hilbertův prostor. Toto poznání vedlo anglického fyzika P. Diraka k postulování tvrzení: Množina všech stavů libovolného kvantověmechanického systému je jistý abstraktní Hilbertův prostor, obvykle nekonečné dimenze. Prvky tohoto abstraktního prostoru můžeme v konkrétních výpočtech a aplikacích reprezentovat speciálním způsobem - vlnovými funkcemi v x‑reprezentaci, vlnovými funkcemi v p-reprezentaci, či dokonce úplně jinak - např. nekonečnými posloupnostmi komplexních čísel. Podrobnější analýza ukazuje, že konkrétní speciální reprezentace stavového Hilbertova prostoru odpovídají, zhruba řečeno, speciálním volbám báze na něm. Konstrukce prostoru stavů Stěžejní ideje Dirakovy formulace kvantové mechaniky. Při konstrukci abstraktního Hilbertova prostoru stavů zohlednil Dirac dvě vůdčí ideje kvantové teorie · kvantování některých veličin (tj. fakt, že některé veličiny mohou nabývat jen vybraných hodnot, kterých je obvykle spočetně mnoho), · existenci veličin, které nelze současně měřit neomezeně přesně (viz např. Heisenbergovy relace neurčitosti). Měření vůbec hraje v kvantové teorii dominantní roli. Spolu s teorií relativity totiž kvantová teorie snad poprvé v dějinách novodobé vědy explicitně přiznává, že úkolem každé teorie je systematizace, popis a vysvětlení výsledků pozorování a experimentů, měření. Proto Dirac ve své konstrukci stavového prostoru z pojmu měření vychází. Úplná množina kompatibilních pozorovatelných. Stav systému v kvantové mechanice zadáváme hodnotami měřitelných veličin, pozorovatelných. Veličiny, které můžeme současně měřit neomezeně přesně (např. složky polohového vektoru), budeme nazývat kompatibilními pozorovatelnými. Podle potřeby je můžeme sdružovat do skupin, které nazýváme množinami kompatibilních pozorovatelných. Pozor však, kompatibilita pozorovatelných není tranzitivní! Významnou roli hrají v kvantové teorii tzv. úplné množiny kompatibilních pozorovatelných (ÚMKP), k nimž již žádnou další pozorovatelnou, kompatibilní se všemi ostatními, nemůžeme přidat. Vyberme si jednu z těchto ÚMKP - Nechť všechny v ní obsažené veličiny jsou kvantovány a výsledky jejich současného měření tvoří spočetnou množinu uspořádaných n-tic reálných čísel Přípustné výsledky měření veličin přitom odlišujeme pomocí tzv. kvantových čísel Dirac předpokládal, že každé takové n-tici odpovídá vektor ve stavovém prostoru systému. Tento vektor obvykle označujeme symbolem Podle Diraka jsou navíc vektory odpovídající různým výsledkům měření zvolené ÚMKP navzájem ortogonální a na Hilbertově prostoru stavů tvoří bázi. Každý stavový vektor můžeme tedy zapsat jako (obecně spočetnou) lineární kombinaci vektorů , kde jsou komplexní konstanty – souřadnice vektoru v bázi . Reprezentujeme-li Hilbertův prostor stavů pomocí množiny kvadraticky integrovatelných vlnových funkcí, odpovídají vektorům vlnové funkce speciálního tvaru. Výše naznačenou konstrukci můžeme pochopitelně provést i pro další ÚMKP, které definují na prostoru stavů alternativní bázové systémy. Každá ÚMKP je ke konstrukci Hilbertova stavového prostoru stejně vhodná. Podrobná analýza obecné reprezentace stavu v kvantové teorii se zcela vymyká rámci této encyklopedie. Vynikající pojednání o tomto problému je možno najít např. v původní práci Dirakově nebo v monografii Formánkově. 4.1.9. Bra-ketová symbolika Ket-vektory a bra-vektory. Popis stavu studovaného systému pomocí vlnové funkce y je jen jednou z možných reprezentací abstraktního stavového vektoru systému. Anglický fyzik P. Dirac přiřadil takovému vektoru speciální symbol a nazval jej ket-vektorem y. Název pochází z anglického výrazu pro hranaté závorky - bracket, z nichž jsme použili jen pravou polovinu (tedy ket). Přestože v rámci našeho výkladu pracujeme důsledně s vlnovými funkcemi, je občas výhodné přejít k bra-ketovému značení. To může totiž mnohé vztahy a vzorce, alespoň formálně, významně zjednodušit. Často se například setkáváme s výrazy typu pro něž v rámci bra-ketové symboliky zavádíme mnohem přehlednější zkratku . V Dirakově notaci označuje tato zkratka současně skalární součin stavových vektorů a Protože v symbolu používáme pro vektor j levou polovinu hranaté závorky, nazýváme jej bra-vektorem. Shrnutí kapitoly Částici popisujeme vlnovou funkcí, jejíž parametry jsou dány de Broglieho vztahy. Stavům s přesně danou energií, tzv. stacionárním stavům, odpovídá monochromatická de Broglieho vlna. Princip superpozice je základním principem kvantové mechaniky. Tvrdí, že systém se může nacházet ve stavu popsaném lineární kombinací vlnových funkcí odpovídajících de Broglieho monochromatickým vlnám (stacionárních vlnových funkcí). Vlnovou funkci chápeme obvykle jakou funkci souřadnic, hovoříme proto o tzv. x–reprezentaci. Je ale možné přejít k vlnové funkci , jejímž argumentem jsou složky hybností. Taková vlnová funkce popisuje stav systému stejně dobře jako funkce původní, jedná se o vyjádření v tzv. p-reprezentaci. Fyzikální interpretaci vlnové funkce v x-reprezentaci udává první Bornův postulát. Druhá mocnina modulu této (obecně komplexní) funkce udává hustotu pravděpodobnosti výskytu systému v čase ve stavu popsaném polohovým vektorem . Druhý Bornův postulát udává obdobnou fyzikální interpretaci vlnové funkce v p-reprezentaci pro hybnosti. Důsledkem prvního a druhého Bornova postulátu je statistický charakter veličin v kvantové mechanice. Ze známé vlnové funkce lze určit střední hodnotu a kvadratickou fluktuaci souřadnic, hybností i jiných dynamických veličin systému. Proslulé Heisenbergovy relace neurčitosti pro polohu a hybnost tvrdí, že polohu a hybnost částice nelze měřit současně absolutně přesně. Čím přesněji určíme nějakou složku hybnosti částice, tím větší je fluktuace odpovídající souřadnice a naopak. Anglický fyzik Dirac formuloval obecnější pojetí kvantové mechaniky, kdy prostor všech možných stavů systému je reprezentován abstraktním separabilním Hilbertovým vektorovým prostorem. Takový prostor tvoří např. všechny fyzikálně přijatelné vlnové funkce v dané reprezentaci. Jednotlivým stavům systému odpovídají nekolineární vektory z tohoto prostoru. Dirac dále zavedl tzv. bra-ketovou symboliku (z angl. bracket = závorka), kdy výraz představuje skalární součin vektorů (stavů) a . Otázky k procvičení a opakování 1) Napište konkrétní tvar monochromatických vlnových funkcí, splňujících de Broglieho vztahy. Jaké vlnové funkce nazýváme stacionárními? 2) Jaký stav reprezentují rovinné monochromatické de Broglieho vlny? Je tento stav fyzikálně realizovatelný? Proč? 3) Formulujte princip superpozice. 4) Co rozumíme x- a p-reprezentací v kvantové mechanice? Jaký je vztah mezi těmito reprezentacemi v jednorozměrném případě? 5) Formulujte první a druhý Bornův postulát. Vysvětlete jejich význam pro interpretaci vlnové funkce. 6) Jak lze ze známé vlnové funkce vypočítat střední hodnoty a střední kvadratické fluktuace dynamických veličin? 7) Formulujte slovně i matematickým vzorcem známé Heisenbergovy relace. 8) Jak zobecnil Dirac popis stavu kvantově mechanického systému? Jakou symboliku zavedl? Korespondenční úkol č. 4 Odpovězte písemně a pokud možno vlastními slovy na jednu z otázek kapitoly 4.1. 4.2. Stacionární Schrödingerova rovnice Po prostudování této kapitoly budete schopni: * formulovat matematický tvar stacionární Schrödingerovy rovnice; * objasnit fyzikální význam stacionární Schrödingerovy rovnice a jejích řešení; * definovat energetické spektrum systému a vysvětlit jeho vztah k řešení stacionární Schrödingerovy rovnice; * charakterizovat jednotlivé druhy energetických spekter; * vysvětlit pojem degenerovaná energetická hladina a stupeň degenerace. Pojmy k zapamatování: Stacionární (bezčasová) Schrödingerovy rovnice, stacionární vlnová funkce, energetické spektrum, diskrétní spektrum, spojité spektrum, smíšené spektrum, degenerovaná energetická hladina, stupeň degenerace. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 2 hodiny Stacionární vlnová funkce. Stavy bodové částice s přesně zadanou energií reprezentujeme v poli časově nezávislého potenciálu monochromatickými de Broglieho vlnami. Ty popisujeme tzv. stacionárními vlnovými funkcemi v nichž je separována závislost na prostorových proměnných od závislosti časové. Zatímco časová závislost je pro monochromatické de Broglieho vlny explicitně daná, prostorová část vlnové funkce se mění podle charakteru konkrétního potenciálu pod jehož vlivem se částice nachází. V této kapitole si ukážeme, jak potenciál tvar prostorové části stacionární vlnové funkce ovlivňuje prostřednictvím tzv. stacionární (bezčasové) Schrödingerovy rovnice Sestavení stacionární Schrödingerovy rovnice Je jistě rozumné předpokládat, že de Broglieho vlny, stejně jako kterékoliv jiné vlnění, s nímž se ve fyzice setkáváme, splňují univerzální vlnovou rovnici kde D je Laplaceův operátor a fázová rychlost de Broglieho vln. Po dosazení stacionární vlnové funkce do této rovnice (a po snadných úpravách) získáme rovnici pro její prostorovou část Sestavení stacionární Schrödingerovy rovnice. Tu můžeme dále upravit, uvědomíme-li si, že kde k je velikost vlnového vektoru de Broglieho vlny, a že podle de Broglieho vztahů zobecněných na případ částice v poli vnějšího potenciálu můžeme dále psát Výše uvedená rovnice tedy nabývá tvaru V poli časově nezávislého potenciálu se však zachovává celková energie částice E, a pro kvadrát hybnosti částice můžeme tedy psát Po dosazení tohoto výrazu do rovnice pro prostorovou část stacionární vlnové funkce získáme tak nakonec po jednoduchých úpravách proslulou stacionární (bezčasovou) Schrödingerovu rovnici Energetické spektrum Okrajové podmínky. Stacionární Schrödingerova rovnice je parciální diferenciální rovnicí druhého řádu. Musíme ji proto doplnit, jak víme z matematiky, okrajovými podmínkami. Teprve pak bude její řešení určeno víceméně jednoznačně. Energetické spektrum. Společně se stacionární Schrödingerovou rovnicí vybírají okrajové podmínky ze všech klasicky přípustných energií systému jen některé, které jsou přípustné i v rámci kvantového popisu. To znamená, že reálný parametr E může nabývat ve výše uvedené rovnici pro konkrétní potenciál jen některých vybraných hodnot. O množině těchto přípustných hodnot energie hovoříme zpravidla jako o energetickém spektru studovaného systému. Jednorozměrná stacionární Schrödingerova rovnice Provedeme-li výše uvedené úvahy pro jednorozměrné stacionární vlnové funkce, získáme postupem obdobným tomu, jaký jsme užili v obecném trojrozměrném případě, speciální tvar stacionární Schrödingerovy rovnice který obvykle nazýváme jednorozměrnou stacionární Schrödingerovou rovnicí. Jednorozměrná Schrödingerova rovnice je velmi důležitá zejména z didaktických důvodů. Jedná se totiž o obyčejnou diferenciální rovnici, kterou je možno zpravidla řešit mnohem jednoduššími matematickými prostředky než odpovídající rovnici obecnou. Navíc pro mnohé trojrozměrné systémy umíme obecnou, trojrozměrnou stacionární Schrödingerovu rovnici převést na jednu či více rovnic jednorozměrných. O konkrétní postupech k tomu užívaných více v části věnované jednoduchým kvantově-mechanickým systémům. 4.2.1. Energetické spektrum Množinu všech energií přípustných v rámci kvantověmechanického popisu studovaného systému, tzv. vlastních energií (energetických hladin), nazýváme energetickým spektrem systému. Ze všech klasicky přípustných energií jsou vybírány okrajovými podmínkami pro stacionární Schrödingerovu rovnici. Diskrétní a spojité energetické spektrum Energie, pro něž jsou odpovídající stacionární vlnové funkce kvadraticky integrovatelné, nazveme energiemi diskrétními, nebo též diskrétními energetickými hladinami. Kvadraticky integrovatelné vlnové funkce reprezentují realizovatelný stav studované částice, diskrétní energetické hladiny tedy odpovídají ostrým hodnotám energie, kterých může studovaný systém nabývat. Hlavní kvantová čísla. Diskrétních energií může být pro každý systém nejvýše spočetně mnoho a jsou navzájem odděleny konečnými intervaly energií zakázaných. Můžeme je tedy očíslovat pomocí celých čísel, která obvykle nazýváme hlavními kvantovými čísly. Množina všech diskrétních energií tvoří tzv. diskrétní část energetického spektra systému. V této části energetického spektra se může energie systému měnit jen skokem, je tedy kvantována. Stav s nejnižší energií se obvykle nazývá základním stavem, ostatní stavy excitovanými. Všimněte si, že oproti staré kvantové teorii není kvantování energie v rámci kvantové mechaniky nezávislým postulátem, ale pouhým důsledkem stacionární Schrödingerovy rovnice a jí odpovídajících okrajových podmínek (které vyplývají z prvního Bornova postulátu). Množinu energií odpovídajících vlnovým funkcím, které sice nejsou kvadraticky integrovatelné, a nereprezentují tedy žádný fyzikálně realizovatelný stav systému, ale nedivergují v nekonečnu, nazveme spojitou částí energetického spektra. Energie ze spojité části spektra nemohou být studovaným systémem ostře nabývány. Vždy však můžeme zkonstruovat integrální lineární kombinace stacionárních vlnových funkcí odpovídajících jen málo odlišným energiím ze spojité části energetického spektra. A takové lineární kombinace již realizovatelný stav systému reprezentovat mohou. Částice sice nebude mít v podobném stavu ostře definovanou energii, její kvantově-mechanické fluktuace však mohou být velmi malé a zaniknout popř. v experimentálních chybách. Nebudou proto měřitelné a energii systém můžeme s jistou mírou nepřesnosti považovat za (v rámci experimentálních chyb) „přesně“ danou. O energetickém spektru, jehož spojitá část je prázdná, hovoříme jako o spektru čistě diskrétním. Naopak spektrum bez diskrétních energetických hladin nazveme spektrem čistě spojitým. Příkladem systémů s čistě diskrétním spektrem mohou být částice v jednorozměrné potenciálové jámě nekonečné hloubky, lineární harmonický oscilátor a tuhý rotátor. Čistě spojité spektrum má například volná částice a smíšené energetické spektrum nacházíme kupříkladu u částice v potenciálové jámě konečné hloubky. Ortogonalita stacionárních vlnových funkcí Prostorové části stacionárních vlnových funkcí a odpovídajících různým diskrétním energiím a splňují následující relaci (ověřte pro jednoduché kvantověmechanické systémy) Tu můžeme pomocí bra-ketové symboliky přepsat do formálně jednoduššího tvaru Ortogonalita stacionárních vlnových funkcí. Protože však symbol označuje současně i skalární součin na stavovém prostoru systému, interpretujeme výše uvedené formule jako vyjádření ortogonality stacionárních vlnových funkcí. Snadno se totiž přesvědčíme, že v libovolném čase stejné relace splňují i stacionární vlnové funkce samotné, nejen jejich prostorové části. Kroneckerův symbol. V případě systému s čistě diskrétním spektrem, jehož stacionární vlnové funkce jsou normovány k jedničce, můžeme proto pro libovolnou dvojici vlnových funkcí psát kde d je Kroneckerův symbol. Degenerace energetických hladin Z homogenity stacionární Schrödingerovy rovnice i připojených okrajových podmínek vyplývá, že splňuje-li prostorová část stacionární vlnové funkce pro vybranou hodnotu energie z diskrétní či spojité části energetického spektra stacionární Schrödingerovu rovnici a současně i odpovídající okrajovou podmínku, splňuje obé i její libovolný násobek. Řešení stacionární Schrödingerovy rovnice není tedy pro zadanou hodnotu energie určeno bezezbytku jednoznačně. Vždy totiž existuje volnost ve volbě multiplikativního faktoru. Jedná-li se o jedinou nejednoznačnost, nazveme odpovídající energii nedegenerovanou. Často též hovoříme o nedegenerované energetické hladině. Pokud ale naopak závisí pro danou energii řešení stacionární Schrödingerovy rovnice i na dalších volně nastavitelných konstantách, hovoříme o energii degenerované nebo též o degenerované energetické hladině. Stupeň degenerace je dán dimenzí odpovídajícího podprostoru. Poněkud přesnější popis degenerace energetické hladiny můžeme podat, uvědomíme-li si, že množina všech řešení stacionární Schrödingerovy rovnice tvoří pro vybranou energii z diskrétní či spojité části energetického spektra lineární vektorový podprostor. Je-li dimenze tohoto podprostoru rovna jedné, jedná se zřejmě o hladinu nedegenerovanou. Je-li naopak větší než jedna, je příslušná energetická hladina degenerovaná. Příkladem systémů s nedegenerovanými energetickými hladinami mohou být částice v jednorozměrné potenciálové jámě nekonečné hloubky a lineární harmonický oscilátor. Naopak degenerované energetické hladiny má kupříkladu volná částice. Tuhý rotátor má některé hladiny degenerované a jiné nikoliv. Shrnutí kapitoly Stacionární nebo také bezčasová Schrödingerova rovnice je základní kvantově-mechanickou rovnicí pro prostorovou část vlnové funkce, popisující stav systému s přesně danou energií E. Součástí stacionární Schrödingerovy rovnice je výraz pro potenciální energii systému . Množina hodnot energií E, pro které je stacionární Schrödingerova rovnice řešitelná, tvoří energetické spektrum daného systému. Energetické spektrum může mít diskrétní i spojitou část. Podle toho, zda obsahuje pouze diskrétní část, pouze spojitou část nebo obě tyto části hovoříme o čistě diskrétním spektru, čistě spojitém spektru nebo smíšeném spektru. Pro danou hodnotu energie E ze spektra energií může existovat (odhlédneme-li od vždy přítomné nejednoznačnosti v mutiplikativním faktoru) jediné řešení Schrödingerovy rovnice (jediný stav s danou energií), nebo více lineárně nezávislých řešení (více různých stavů se stejnou energií). V prvém případě hovoříme o nedegenerované energetické hladině, ve druhém případě o degenerované energetické hladině, přičemž počet různých stavů se stejnou energií udává stupeň degenerace této energetické hladiny. Otázky k procvičení a opakování 1) Formulujte zpaměti stacionární Schrödingerovu rovnici. Uveďte význam jednotlivých symbolů. 2) Jakými pomocnými úvahami lze sestavit stacionární Schrödingerovu rovnici? 3) Jaký je fyzikální význam stacionární Schrödingerovy rovnice? Jak nazýváme vlnové funkce, které jsou jejím řešením? 4) Objasněte pojem energetické spektrum systému. 5) Uveďte, jaké druhy energetických spekter rozlišujeme a jak se od sebe liší. Uveďte příklady systémů s jednotlivými druhy spekter. 6) Vysvětlete, co znamená tzv. ortogonalita stacionárních vlnových funkcí. 7) Definujte pojem degenerovaná energetická hladina a stupeň degenerace? Korespondenční úkol č. 5 Odpovězte písemně a pokud možno vlastními slovy na jednu z otázek kapitoly 4.2. 4.3. Nestacionární Schrödingerova rovnice Po prostudování této kapitoly budete schopni: * formulovat matematický tvar nestacionární Schrödingerovy rovnice; * objasnit fyzikální význam nestacionární Schrödingerovy rovnice; * uvést podstatu metody řešení nestacionární Schrödingerovy rovnice; * vysvětlit pojem kvantový determinismus. Pojmy k zapamatování: Nestacionární (časová) Schrödingerova rovnice, rovnice kontinuity, hustota toku pravděpodobnosti, kvantový determinismus. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 2 hodiny Časový vývoj reprezentujeme v kvantové mechanice závislostí vlnové funkce na čase. Abychom dokázali v konkrétních případech tuto závislost určit, potřebujeme znát odpovídající evoluční rovnici. Rovnici, která by v rámci vlnového popisu částic nahradila pohybové rovnice klasické mechaniky. Vlnění popisujeme, ať již se s ním setkáváme v nejrůznějších oblastech fyziky, obvykle vlnovou rovnicí. Pro potřeby kvantové mechaniky ji však musíme poněkud upravit, neboť vlnová rovnice samotná připouští jako svá řešení i v rámci kvantové mechaniky odmítnuté tvary stacionárních vlnových funkcí Pohybová rovnice kvantové mechaniky musí brát v úvahu nejen vlnový popis částic, ale i speciální tvar vlnových funkcí reprezentujících monochromatické de Broglieho vlny Je jí proslulá nestacionární (časová) Schrödingerova rovnice Sestavení nestacionární Schrödingerovy rovnice Podle principu superpozice můžeme libovolnou vlnovou funkci popisující fyzikálně realizovatelný stav systému zapsat jako lineární kombinaci stacionárních vlnových funkcí. Pro jednoduchost se omezme na jednočásticový systém s čistě diskrétním a nedegenerovaným spektrem. Pak můžeme psát Sestavení nestacionární Schrödingerovy rovnice. kde indexem n číslujeme jednotlivé diskrétní energie symbolem označujeme prostorovou část stacionární vlnové funkce odpovídající energii a jsou komplexní konstanty. V pohybové rovnici se zřejmě budou vyskytovat derivace vlnové funkce podle času. Pro první z nich můžeme psát Prostorové části stacionárních funkcí však splňují stacionární Schrödingerovu rovnici z níž můžeme do výrazu pro dosadit: a získaný výraz ještě dále upravit do tvaru S použitím a po formálních úpravách obdržíme takto nakonec nestacionární (časovou) Schrödingerovu rovnici Na tomto místě je však nezbytné čtenáře upozornit, že výše nastíněný postup není odvozením nestacionární Schrödingerovy rovnice! Měl jen podat přijatelné argumenty k ní vedoucí a poukazující na její úzkou souvislost s principem superpozice a rovnicí stacionární. V rámci kvantové mechaniky je nestacionární Schrödingerova rovnice jedním ze základních postulátů. Zajímavým důsledkem nestacionární Schrödingerovy rovnice je rovnice kontinuity pro hustotu pravděpodobnosti Nestacionární Schrödingerova rovnice jako matematický problém Nestacionární Schrödingerova rovnice je parciální diferenciální rovnicí prvního řadu v časové proměnné a druhého řádu v proměnných prostorových. Přítomnost parciálních derivací podle prostorových proměnných vyžaduje podobně jako v případě stacionární Schrödingerovy rovnice doplnění okrajové podmínky. Tou je pro vlnové funkce reprezentující fyzikálně realizovatelné stavy částice požadavek jejich kvadratické integrovatelnosti, který musí být splněn v libovolném čase t. Protože nestacionární Schrödingerova rovnice obsahuje navíc i derivaci časovou, musíme k podmínce okrajové přidat ještě podmínku počáteční. Ta vzhledem k tomu, že příslušná časová derivace je prvního řádu, nabývá tvaru kde je zvolený čas, který považujeme za počáteční, a zadaná kvadraticky integrovatelná funkce reprezentující stav systému v tomto čase. Nalezení řešení nestacionární Schrödingerovy rovnice pro zadanou počáteční podmínku je v obecném případě velmi obtížný problém. Ten se ovšem významně zjednoduší, známe-li úplný systém řešení odpovídající rovnice stacionární. Z podrobného výpočtu kromě jiného vyplývá, že počáteční podmínka určuje vývoj vlnové funkce v budoucích časech jednoznačně. Kvantový determinismus. Nestacionární Schrödingerova rovnice takto činí kvantovou mechaniku deterministickou. Vzhledem k pravděpodobnostní interpretaci vlnové funkce však hovoříme, kvůli odlišení od determinismu klasické mechaniky, o determinismu kvantovém. Jednorozměrná nestacionární Schrödingerova rovnice V jednorozměrném případě lze způsobem obdobným tomu, který jsme nastínili výše, dospět k následujícímu tvaru nestacionární Schrödingerovy rovnice 4.3.1. Rovnice kontinuity pro hustotu pravděpodobnosti Rovnice kontinuity Pod rovnicí kontinuity pro veličinu X, která je spojitě rozložená v prostoru s prostorovou hustotou a jejíž přemisťování v prostoru je popsáno hustotou toku můžeme zapsat ve tvaru kde div je operátor divergence. S rovnicí kontinuity se můžeme setkat v různých oborech fyziky, vždy je však její interpretace stejná - jedná se o zákon zachování veličiny X. Integrováním obou stran rovnice kontinuity přes vybranou oblast prostoru V totiž získáme Gaussova – Ostrogradského věta. a po použití Gaussovy-Ostrogradského věty, známé z vektorové analýzy, dále též kde jsme symbolem označili hranici oblasti V. Vzhledem k obvykle volené orientaci elementu plochy ve směru vnější normály k hranici můžeme získaný integrální vztah popsat velmi názorně slovy: Zákon zachování. Časová změna množství veličiny X obsažené v oblasti V je rovna tomu, co do této oblasti přiteče nebo z ní odteče hraniční plochou. To je ovšem formulace, kterou můžeme bezpochyby nazvat zákonem zachování veličiny X. Rovnice kontinuity pro hustotu pravděpodobnosti Ukažme si nyní, že rovnici kontinuity lze formulovat i pro hustotou pravděpodobnosti výskytu částice v zadaném bodě prostoru - Vzhledem ke struktuře obecné rovnice kontinuity budeme potřebovat časovou derivaci kde označuje komplexně sdruženou funkci k vlnové funkci y. Z nestacionární Schrödingerovy rovnice ovšem plyne což po dosazení a úpravách dává následující výraz pro časovou derivaci hustoty pravděpodobnosti Získaný vztah je dále možno upravit pomocí identity známé z vektorové analýzy, v níž jsme symbolem označili vektorový operátor gradient, a obdržet tak rovnici kontinuity v obvyklém tvaru Jednorozměrná rovnice kontinuity pro hustotu pravděpodobnosti Obdobným způsobem můžeme z jednorozměrné nestacionární Schrödingerovy rovnice získat odpovídající jednorozměrnou rovnici kontinuity Hustota toku pravděpodobnosti Porovnáním s obecným tvarem rovnice kontinuity vidíme, že výraz resp. v jednorozměrném případě výraz musíme interpretovat jako hustotu toku pravděpodobnosti. Uvedené výrazy tedy popisují, jak se zmíněná pravděpodobnost přelévá během časového vývoje, určovaného nestacionární Schrödingerovou rovnicí, prostorem. Za povšimnutí stojí fakt, že hustota toku pravděpodobnosti je reálná veličina, tj. že platí resp. v jednorozměrném případě 4.3.2. Obecné řešení nestacionární Schrödingerovy rovnice Čistě diskrétní spektrum Podle principu superpozice můžeme vlnovou funkci popisující fyzikálně realizovatelný stav systému psát ve tvaru lineární kombinace vlnových funkcí stacionárních. V případě systému s čistě diskrétním spektrem proto platí kde vektorovým indexem zohledňujeme možnou degeneraci jednotlivých energetických hladin systému. V případě nedegenerovaného spektra by se tento sčítací index ve výše uvedené sumě nevyskytoval. Vzhledem k tomu, že princip superpozice byl vůdčí ideou při formulování nestacionární Schrödingerovy rovnice, musí jí nutně výše uvedená suma vyhovovat, což můžeme snadno ověřit prostým dosazením. Lineární kombinace stacionárních vlnových funkcí proto zadává obecné řešení nestacionární Schrödingerovy rovnice systému s čistě diskrétním spektrem. K jednoznačnému určení tohoto řešení musíme však najít zatím neznámé koeficienty Učiníme tak pomocí počáteční podmínky v níž je zadaná komplexní funkce. Musí tedy platit Zobecněné Kroneckerovo delta. K osamostatnění konstant využijeme ortogonality prostorových částí stacionárních vlnových funkcí, o nichž navíc budeme předpokládat, že jsou normalizovány k jedničce. S využitím bra-ketové symboliky můžeme proto psát kde je zobecněné Kroneckerovo delta. Po vynásobení obou stran počáteční podmínky, kterou pomocí bra-ketové symboliky zapisujeme ve tvaru zleva bra-vektorem a s využitím ortogonality stacionárních vlnových funkcí získáme a dále též Pro zadanou počáteční podmínku jsou tedy koeficienty a proto i vlnová funkce určeny jednoznačně. Musíme však mít na paměti, že různé počáteční vlnové funkce, které se navzájem liší pouze nenulovým multiplikativním faktorem, popisují počáteční stav systému stejně dobře. Podobná nejednoznačnost se pochopitelně přenáší i na obecné řešení nestacionární Schrödingerovy rovnice. Vybereme-li si však jednu ze všech možných ekvivalentních počátečních podmínek, bude již toto řešení určeno jednoznačně. Snadným výpočtem dále zjistíme, že v každém čase platí Normalizace vlnové funkce, která splňuje nestacionární Schrödingerovu rovnici, se tedy s časem nemění. Čistě spojité spektrum Pro systém s čistě spojitým spektrem je možno podle principu superpozice psát obecnou kvadraticky integrovatelnou vlnovou funkci ve tvaru kde integrujeme přes množinu všech spojitých energií a vektorovým indexem s zohledňujeme možnou degeneraci jednotlivých energetických hladin. I právě uvedená integrální lineární kombinace splňuje nestacionární Schrödingerovu rovnici, a zadává tedy její obecné řešení. Neznámé koeficienty získáme pomocí počáteční podmínky z níž lze vhodným postupem, přesahujícím však rámec tohoto textu, získat při vhodné „normalizaci“ 4.3.3. Kvantový determinismus Je kvantová mechanika teorií deterministickou? Zdá se, že nikoliv. Zatímco klasická mechanika hovoří přesnou řečí čísel reprezentujících hodnoty různých měřitelných veličin, mechanika kvantová dává jen „nepřesné“, pravděpodobnostní předpovědi. Podívejme se na tento problém podrobněji. Klasický determinismus Stav soustavy hmotných bodů zadáváme v klasické mechanice jejich souřadnicemi a rychlostmi a jejich časový vývoj popisujeme např. Newtonovými pohybovými rovnicemi. Zadáme-li stav soustavy hmotných bodů ve zvoleném počátečním čase, tj. zadáme-li v tomto čase polohy a rychlosti všech částic, můžeme, alespoň teoreticky, pomocí Newtonových pohybových rovnic určit jednoznačně též stav soustavy (polohy a rychlosti částic) v libovolném čase budoucím. Klasický determinismus a jeho meze. Uvedený fakt, často zobecňovaný na celou klasickou fyziku, se obvykle nazývá klasickým determinismem. Jeho zhuštěnou a velmi efektní formou je Laplaceův výrok, že bude-li mít k dispozici počáteční polohy a rychlosti všech částic ve vesmíru, bude schopen předpovědět jednoznačně jeho budoucnost. Meze klasického determinismu Ve skutečnosti naráží ovšem klasický determinismus, a to i v rámci samotné klasické mechaniky, na nepřekonatelné meze. Především přesná předpověď budoucnosti vyžaduje přesné zadání počátečního stavu. To je ovšem, jako každá jiná experimentální procedura, zatíženo experimentálními chybami. Ačkoliv klasická fyzika věří, že je možno tyto chyby neomezeně minimalizovat, moderní teorie dynamických systémů ukazuje, že někdy i zanedbatelně malé chyby mohou vést k nepředvídatelnému chování systému v budoucnosti. Druhé omezení spočívá v matematické náročnosti řešení klasických pohybových rovnic. I dnešní výkonné superpočítače umožňují, s přijatelnými výpočetními náklady, numerickou integraci klasických pohybových rovnic soustav, které obsahují maximálně několik tisíc částic, a to ještě navíc pouze pro reálné časové úseky v rozmezí s. Klasická předpověď může být proto v důsledku technických komplikací i pro velmi malé makroskopické systémy (kapka vody) prakticky nedosažitelná. Zobecněný determinismus Deterministická teorie. Pojmu determinismus však můžeme dát i poněkud volnější obsah. Pod deterministickou můžeme rozumět, v zobecněném slova smyslu, i takovou teorii, která pro zadaný počáteční stav systému umožňuje určit jednoznačně jeho stav v libovolném čase budoucím. Přitom však blíže nespecifikujeme míru informace o systému, která je v zadání stavu obsažena. Deterministická teorie musí potom splňovat následující dvě podmínky: · v rámci této teorie je definována procedura, jejíž pomocí můžeme jednoznačně definovat stav studovaného systému, · je formulována pohybová rovnice, která umožňuje k zadanému počátečnímu stavu určit jednoznačně stavy budoucí. Kvantový determinismus Ve výše uvedeném zobecněném smyslu je kvantová mechanika teorií deterministickou. V jejím rámci umíme popsat stav studovaného systému pomocí vlnové funkce i zformulovat pohybovou rovnici, nestacionární Schrödingerovu rovnici, jejíž řešení je pro zadanou počáteční podmínku určeno jednoznačně. Kvantová mechanika je deterministická. Míra informace obsažené ve vlnové funkci pochopitelně neobstojí ve srovnání s mírou informace klasické. Polohy i rychlosti částic nemůžeme měřit neomezeně přesně. V důsledku Heisenbergových relací neurčitosti platí, že čím přesněji změříme polohy jednotlivých částic, tím méně přesně můžeme změřit jejich rychlosti a naopak. Informace vyžadovaná klasickou mechanikou je v rámci mechaniky kvantové poskytována pouze v pravděpodobnostní, statistické formě, což může vést k představě kvantové mechaniky jako teorie indeterministické. Vzhledem k výše řečenému je však takový pohled poněkud nespravedlivý. V rámci klasických požadavků, které jsou však i klasickou fyzikou nesplnitelné, jistě kvantová mechanika indeterministická je. V zobecněném slova smyslu se však jedná o dokonalou deterministickou teorii. Shrnutí kapitoly Nestacionární nebo také časová Schrödingerova rovnice je základní rovnicí kvantové mechaniky. Popisuje časový vývoj kvantového systému. Z nestacionární Schrödingerovy rovnice lze odvodit rovnici kontinuity pro hustotu pravděpodobnosti V této rovnici figuruje veličina zvaná hustota toku pravděpodobnosti, která ukazuje, jak se přelévá prostorem pravděpodobnost výskytu částice v jednotlivých bodech. Pro zadanou počáteční a okrajovou podmínku je nestacionární Schrödingerova rovnice jednoznačně řešitelná. Mluvíme o tzv. kvantovém determinismu. Otázky k procvičení a opakování 1) Formulujte nestacionární Schrödingerovu rovnici. Jaký je její význam? 2) Jakými úvahami lze tuto rovnici sestavit (nikoliv odvodit!)? 3) Vysvětlete podrobně, co vyjadřuje obecná rovnice kontinuity? Jaký má tvar? 4) Jak lze z nestacionární Schrödingerovy rovnice odvodit rovnici kontinuity? Pro jakou veličinu? 5) Co je to kvantový determinismus? Co má společného a čím se liší od klasického determinismu? 6) Jak souvisí problém determinismu kvantové mechaniky s nestacionární Schrödingerovu rovnicí? Korespondenční úkol č. 6 Odpovězte písemně a pokud možno vlastními slovy na jednu z otázek kapitoly 4.3. 4.4. Korespondence mezi klasickou a kvantovou mechanikou Po prostudování této kapitoly budete schopni: * objasnit vztah mezi kvantovou a klasickou mechanikou; * odvodit druhý Newtonův pohybový zákon z nestacionární Schrödingerovy rovnice pro jednu částici. Pojmy k zapamatování: kvaziklasické přiblížení, střední hodnota veličiny, nestacionární Schrödingerova rovnice, 2. Newtonův pohybový zákon. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 1 hodina Existuje vztah mezi klasickým a kvantovým popisem? Klasická a kvantová mechanika jsou na první pohled naprosto odlišné teorie, a to jak svou matematickou strukturou, tak i fyzikálními představami. Tak např. stav jednočásticového systému popisujeme v rámci klasické mechaniky uspořádanou šesticí reálných čísel (poloha a hybnost) a pohybové rovnice jsou obvykle psány jako obyčejné diferenciální rovnice (Newtonovy pohybové rovnice). V mechanice kvantové popisuje stav částice, pokud odhlédneme od časové závislosti, komplexní funkce tří reálných proměnných (vlnová funkce) a časový vývoj se řídí parciální diferenciální rovnicí (známou nestacionární Schrödingerovou rovnicí). Kvaziklasické přiblížení. Na druhé straně však tušíme, že mezi oběma teoriemi musí existovat úzký vztah. Naše zkušenosti s vývojem fyziky totiž naznačují, že nová, přesnější teorie zpravidla zahrnuje i teorii starší jako své více či méně přesné přiblížení. Jistě tomu tak bude i s kvantovou a klasickou mechanikou. Zatímco pro určité systémy (např. atomy) musíme použít, chceme-li obdržet kvantitativně spolehlivou předpověď, model kvantový, bude pro jiné (např. sluneční soustava) přijatelný jak model kvantový, tak i klasický. A tehdy musí oba modely poskytovat velmi blízká experimentálně verifikovatelná data. V tzv. kvaziklasickém přiblížení lze ukázat, že klasická mechanika je přiblížením kvantové mechaniky nultého řádu v mocninách Planckovy konstanty. Přesněji, že jedna z pohybových rovnic klasické mechaniky, tzv. rovnice Hamiltonova-Jacobiho, je nultým přiblížením nestacionární Schrödingerovy rovnice. V této kapitole se soustředíme na jinou formu hledané souvislosti: na to, jak z nestacionární Schrödingerovy rovnice vyplývají pohybové rovnice Newtonovy. Pro jednoduchost se omezíme na jednočásticový systém. 2. Newtonův zákon Údaje měřené v klasické fyzice odpovídají kvantově-mechanickým středním hodnotám. V kvantové mechanice nemohou souřadnice polohy a hybnosti bodové částice nabývat ostře definovaných hodnot. To, co obvykle v rámci klasického popisu jako polohu či hybnost částice označujeme, jsou ve skutečnosti střední hodnoty těchto veličin. Tak například pod polohou částice v čase t ve stavu popsaném normalizovanou vlnovou funkcí y rozumíme Střední hodnota rychlosti. Vzhledem k časové závislosti vlnové funkce závisí na čase i odpovídající střední hodnota. V rámci klasické interpretace to znamená, že se částice pohybuje prostorem, přičemž okamžitá (střední) rychlost tohoto pohybu je zřejmě dána první časovou derivací (střední) polohy, což po dosazení dává kde hvězdičkou označujeme komplexní sdružení. Časová závislost vlnové funkce y však reprezentuje kvantově-mechanický vývoj systému, samotná vlnová funkce musí tedy splňovat nestacionární Schrödingerovu rovnici. Do výrazu pro rychlost proto můžeme za časové derivace y a y* z této rovnice dosadit a a získat tak po úpravách vztah v němž symbolem označujeme vektorový operátor gradient. K formulaci druhého Newtonova zákona však potřebujeme znát zrychlení částice. Získaný vztah proto musíme derivovat ještě jednou Střední hodnota zrychlení. Po opětném dosazení z nestacionární Schrödingerovy rovnice a po úpravách obdobných těm, které jsme provedli výše, získáme Výraz na pravé straně poslední rovnosti můžeme i bez velké představivosti interpretovat jako střední hodnotu záporně vzatého gradientu potenciálu, v němž se studovaná částice pohybuje, nebo též jako střední hodnotu působící síly. Získaný vztah můžeme proto číst takto: Součin hmotnosti částice a jejího středního zrychlení je roven střední hodnotě působící síly. To ovšem velmi připomíná tvrzení, které je obsahem 2. Newtonova zákona - jednoho ze základních postulátů klasické mechaniky. Nyní jsme jej však obdrželi jako důsledek pohybové rovnice mechaniky kvantové, jako důsledek nestacionární Schrödingerovy rovnice. Vlnový balík. Ještě zřetelnější souvislost s klasickým popisem vidíme, bude-li mít částice v zadaném stavu ostře lokalizovanou polohu. Tehdy odpovídající vlnovou funkci reprezentujeme vlnovým balíkem, pochopitelně normovaným k jedničce. Integrand na pravé straně poslední získané rovnosti je v tomto případě nenulový pouze na malém okolí střední hodnoty polohy a při výpočtu příslušného integrálu můžeme použít větu o střední hodnotě Kvantovou verzi 2. Newtonova zákona můžeme proto s ohledem na normování vlnové funkce y přepsat pro silně lokalizovaný vlnový balík do tvaru což je až na zanedbatelné nepřesnosti, které se objevily v důsledku aplikace věty o střední hodnotě, 2. Newtonův zákon ve své klasické podobě. Shrnutí kapitoly Kvantová teorie není popřením klasické fyziky, nýbrž jejím rozšířením. Pro běžné makroskopické systémy (např. kapku vody nebo planety) dávají oba přístupy v podstatě stejné výsledky. Kvantování energie a dalších veličin je u makroobjektů tak jemné, že je nelze vůbec pozorovat. V klasické fyzice měříme střední hodnoty hybností, souřadnic a ostatních veličin. Pro jednu částici se dá z nestacionární kvantové teorie odvodit klasický Newtonův druhý pohybový zákon (pro střední hodnoty zrychlení a působící síly). Obdobné odvození lze provést i pro obecnější systémy. Otázky k procvičení a opakování 1) Jaký je vztah mezi klasickou a kvantovou teorií? Je kvantová teorie popřením klasické fyziky? 2) Vysvětlete rozpor mezi možností současného měření polohy a hybnosti částice v klasické fyzice a nemožností téhož v kvantové mechanice. 3) Odvoďte druhý Newtonův zákon z nestacionární Schrödingerovy rovnice pro jednu částici. Korespondenční úkol č. 7 Odpovězte písemně a pokud možno vlastními slovy na otázku č. 2 kapitoly 4.4. 4.5. Jednoduché kvantově-mechanické systémy Po prostudování této kapitoly budete schopni: * provést kvantově-mechanický rozbor problému volné částice; * provést kvantově-mechanický rozbor problému problému částice v jednorozměrné pravoúhlé potenciálové jámě nekonečné hloubky; * provést kvantově-mechanický rozbor problému problému částice v jednorozměrné pravoúhlé potenciálové jámě konečné hloubky; * provést kvantově-mechanický rozbor lineárního harmonického oscilátoru; * provést kvantově-mechanický rozbor tuhého rotátoru rovinného a prostorového; * provést kvantově-mechanický rozbor průchodu částice jednorozměrnou obecnou a pravoúhlou potenciálovou bariérou. Pojmy k zapamatování: potenciální energie, stacionární stav, energetické spektrum, časový vývoj, volná částice, jednorozměrná pravoúhlá potenciálová jáma nekonečné hloubky, jednorozměrná pravoúhlá potenciálová jáma konečné hloubky, lineární harmonický oscilátor, tuhý rotátor rovinný, tuhý rotátor prostorový, jednorozměrná potenciálová bariéra, jednorozměrná pravoúhlá potenciálová bariéra. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 3 hodiny Matematická struktura kvantové teorie je velmi komplikovaná. Proto je možno rozřešit v analyticky uzavřeném tvaru jen některé nejjednodušší problémy. Pro naprostou většinu alespoň částečně realistických modelů je zapotřebí použít přibližných metod nebo řešení provést numericky. Mezi nejvýznamnější modelové systémy, pro něž je možno řešit stacionární a nestacionární Schrödingerovu rovnici jednoduchými matematickými prostředky, patří · Jednoduché kvantově-mechanické modelové systémy. volná částice, · jednorozměrná pravoúhlá potenciálová jáma nekonečné hloubky, · jednorozměrná pravoúhlá potenciálová jáma konečné hloubky, · lineární harmonický oscilátor, · tuhý rotátor, · jednorozměrná potenciálová bariéra, · jednorozměrná pravoúhlá potenciálová bariéra. 4.5.1. Volná částice Potenciál Volnou částicí rozumíme částici, na kterou nepůsobí žádné síly. Ve Schrödingerově rovnici můžeme proto považovat potenciál vnějších sil za nulový, tj. V = 0. Stacionární stavy Stacionární Schrödingerovu rovnici pro volnou částici o hmotnosti M řešíme pomocí separace proměnných. Z podrobného řešení vyplývá, že stacionární vlnové funkce můžeme pro volnou částici psát ve tvaru kde A je (obecně komplexní) konstanta a vektor splňuje podmínku Nemají-li vlnové funkce divergovat v nekonečnu, jsou přípustné pouze nezáporné energie, Výše uvedené vlnové funkce nejsou však kvadraticky integrovatelné a neodpovídají tedy žádnému fyzikálně realizovatelnému stavu. Diskrétní část energetického spektra volné částice je proto prázdná a nezáporné energie patří k části spojité. Až na základní (E = 0) je každá z energetických hladin degenerovaná, neboť konkrétní volbě energie odpovídá nespočetně mnoho vlnových funkcí zadaných vektory které splňují podmínku Výše uvedené stacionární vlnové funkce odpovídají prostorovým částem de Broglieho rovinných monochromatických vln. Vektor je tedy vlnovým vektorem a podle de Broglieho vztahů souvisí s hybností studované částice prostřednictvím vztahu Získané stacionární vlnové funkce odpovídají (nerealizovatelným) stavům volné částice s přesně definovanou hybností. Časový vývoj Z řešení nestacionární Schrödingerovy rovnice pro systémy s čistě spojitým spektrem pro volnou částici vyplývá, že časový vývoj vlnové funkce j, kterou je možno v počátečním čase psát ve tvaru je dán vztahem De Broglieho úhlová frekvence. kde je de Broglieho úhlová frekvence přiřazená volné částici s ostře definovanou energií E. Je-li funkce F nenulová pouze na malém okolí pevně zvoleného vlnového vektoru , popisuje výše uvedený integrál šíření tzv. vlnového balíku prostorem. 4.5.2. Jednorozměrná pravoúhlá potenciálová jáma nekonečné hloubky Potenciál Jednorozměrná pravoúhlá potenciálová jáma nekonečné hloubky odpovídá modelovému potenciálu Částice pohybující se v poli tohoto potenciálu bude zřejmě „uvězněná“ na úsečce (0,L). Volba nulové hladiny potenciálu i umístění jámy na ose x jsou pochopitelně ponechány na naší libovůli a fyzikálně relevantní výsledky na nich nezávisejí. Typický průběh pravoúhlého potenciálu nekonečné hloubky je znázorněn na obrázku. Průběh potenciálu jednorozměrné pravoúhlé potenciálové jámy nekonečné hloubky. V poli tohoto potenciálu budeme studovat stacionární stavy a pohyb jediné částice, jejíž hmotnost označme M. Stacionární stavy Z podrobného řešení stacionární Schrödingerovy rovnice je plyne, že energetické spektrum částice v jednorozměrné potenciálové jámě nekonečné hloubky je čistě diskrétní a nedegenerované. Přípustné hodnoty celkové energie jsou dány vztahem kde n je přirozené číslo. Těmto energiím odpovídají až na multiplikativní konstantu jednoznačně určené vlastní vlnové funkce pro pro Průběh kvadrátů jejich modulů znázorňuje pro různé volby kvantového čísla n připojený obrázek. Průběh hustoty pravděpodobnosti výskytu částice v jednorozměrné pravoúhlé potenciálové jámě nekonečné hloubky pro vybrané stacionární stavy. Časový vývoj Z podrobného řešení nestacionární Schrödingerovy rovnice pro systémy s čistě diskrétním spektrem pro částici v nekonečně hluboké pravoúhlé potenciálové jámě vyplývá, že časový vývoj vlnové funkce j, kterou je možno v počátečním čase psát ve tvaru je dán formulí kde a jsou výše uvedené vlastní energie a odpovídající vlastní vlnové funkce. Časový vývoj hustoty pravděpodobnosti výskytu částice v jednorozměrné pravoúhlé potenciálové jámě nekonečné hloubky pro vybrané stacionární stavy. 4.5.3. Pravoúhlá potenciálová jáma konečné hloubky Potenciál Jednorozměrná pravoúhlá potenciálová jáma konečné hloubky odpovídá modelovému potenciálu kde je kladná konstanta. Volba nulové hladiny potenciálu i umístění jámy na ose x jsou pochopitelně ponechány na naší libovůli a fyzikálně relevantní výsledky na nich nezávisejí. Typický průběh pravoúhlého potenciálu konečné hloubky je znázorněn na obrázku. Průběh potenciálu jednorozměrné pravoúhlé potenciálové jámy konečné hloubky. V poli tohoto potenciálu budeme studovat stacionární stavy a pohyb jediné částice, jejíž hmotnost označme M. Stacionární stavy Z podrobného řešení stacionární Schrödingerovy rovnice pro studovaný systém plyne, že energetické spektrum částice v jednorozměrné potenciálové jámě konečné hloubky sestává z diskrétní a spojité části. Diskrétní energetické hladiny jsou nedegenerované a na intervalu (0,V[0]) jsou určeny rovnicemi kde Tyto rovnice nejsou analyticky řešitelné, můžeme je však řešit numericky nebo graficky. Průběhy kvadrátů modulů vybraných stacionárních vlnových funkcí znázorňuje obrázek. Průběh hustoty pravděpodobnosti výskytu částice v jednorozměrné pravoúhlé potenciálové jámě konečné hloubky pro vybrané stacionární stavy. Spojitá část energetického spektra studovaného systému odpovídá intervalu energií Každá energie patřící ke spojité části energetického spektra je dvakrát degenerovaná. Pro libovolnou energii můžeme totiž vždy najít dvě nezávislá řešení stacionární Schrödingerovy rovnice a , která sice nejsou kvadraticky integrovatelná, nedivergují však v nekonečnu. Tato řešení odpovídají, zhruba řečeno, částici nalétávající na jámu zleva, resp. zprava. Časový vývoj Známe-li stacionární stavy systému, můžeme nestacionární Schrödingerovu rovnici řešit standardním způsobem. V následujícím se omezíme na vlnové funkce, které je možno získat jako lineární kombinaci stacionárních vlnových funkcí příslušejících diskrétním energetickým hladinám. Tyto vlnové funkce reprezentují vázané stavy částice a jejich časový vývoj je zadán formulí kde a jsou příslušné diskrétní energie a jim odpovídající stacionární vlnové funkce a koeficienty jsou jednoznačně určeny z počáteční podmínky Jako ilustraci výše uvedené formule uvádíme animaci časového vývoje kvadrátu absolutní hodnoty vlnové funkce která je v počátečním čase dána superpozicí základního a prvního excitovaného stavu částice v potenciálové jámě konečné hloubky.¨ Časový vývoj hustoty pravděpodobnosti výskytu částice v jednorozměrné pravoúhlé potenciálové jámě konečné hloubky pro vybraný stav (viz text). Časový vývoj vlnových funkcí, které konstruujeme v nějakém počátečním čase jako integrální lineární kombinaci vlnových funkcí příslušejících ke spojitým energetickým hladinám je dán formulí 4.5.4. Lineární harmonický oscilátor Potenciál Lineární harmonický oscilátor je modelový systém zahrnující částici vázanou na přímku, která se nachází v poli sil popsaných potenciálem kde g je kladná konstanta. Typický průběh potenciálu V znázorňuje obrázek. Průběh potenciálu lineárního harmonického oscilátoru. Tento model je ve fyzice mimořádně významný a užitečný, protože malé kmity naprosté většiny reálných systémů kolem jejich rovnovážných poloh je možno s dostatečnou přesností popsat právě pomocí kvadratického potenciálu. V poli tohoto potenciálu budeme studovat stacionární stavy a pohyb jediné částice, jejíž hmotnost označme M. Stacionární stavy Z podrobného řešení stacionární Schrödingerovy rovnice pro studovaný systém vyplývá, že energetické spektrum lineárního harmonického oscilátoru je čistě diskrétní a nedegenerované. Přípustné hodnoty celkové energie jsou dány vztahem kde je, podobně jako v klasickém případě, úhlová frekvence oscilátoru a kvantové číslo n nabývá nezáporných celočíselných hodnot. Těmto energiím odpovídají až na multiplikativní konstantu jednoznačně určené vlastní vlnové funkce, které je možno po normalizaci k jedničce psát ve tvaru Hermiteovy polynomy. Symbolem označujeme Hermiteův polynom n-tého stupně. Průběh kvadrátů modulů vlnových funkcí znázorňuje pro vybrané volby kvantového čísla n následující obrázek. Průběh hustoty pravděpodobnosti výskytu částice u lineárního harmonického oscilátoru pro vybrané stacionární stavy. Časový vývoj Z podrobného řešení nestacionární Schrödingerovy rovnice pro systémy s čistě diskrétním spektrem pro lineární harmonický oscilátor vyplývá, že časový vývoj vlnové funkce j, pro kterou je možno v počátečním čase psát je dán formulí kde a jsou výše uvedené vlastní energie a odpovídající vlastní vlnové funkce lineárního harmonického oscilátoru. Jako ilustraci uvedené formule znázorňuje připojená animace časový vývoj pro vlnové funkce, které jsou v počátečním čase dány superpozicí dvou sousedních stacionárních stavů, Časový vývoj hustoty pravděpodobnosti výskytu částice u lineárního harmonického oscilátoru pro vybrané stavy (viz text). 4.5.5. Tuhý rotátor Pod tuhým rotátorem rozumíme hmotný bod o hmotnosti M pohybující se v neměnné vzdálenosti kolem počátku souřadnicové soustavy. Nahradíme-li hmotnost M redukovanou hmotností, můžeme tento model použít v nezměněné formě i při popisu rotace soustavy dvou hmotných bodů kolem společného těžiště, během níž se jejich vzájemná vzdálenost nemění. Model tuhého rotátoru se dá snadno rozšířit i na obecnou tuhou soustavu lineárně uspořádaných hmotných bodů. V rámci klasické mechaniky je pohyb tuhého rotátoru rovinný. Přestože v mechanice kvantové podobné omezení neplatí, řešíme a porovnáváme níže pro názornost oba případy – rovinný i obecný, prostorový tuhý rotátor. Rovinný tuhý rotátor - stacionární stavy Laplaceův operátor v polárních souřadnicích. Rovinu pohybu rotátoru můžeme bez újmy na obecnosti ztotožnit se souřadnicovou rovinou (x,y). Vzhledem k symetrii problému je výhodné v této rovině přejít do polárních souřadnic, kdy Laplaceův operátor nabývá tvaru Protože je vzdálenost studovaného hmotného bodu od počátku souřadnicové soustavy konstantní, nebude na ní vlnová funkce Y sytému záviset, Y = Y(j). Derivace podle r můžeme tedy ve výše uvedeném výrazu pro Laplaceův operátor zanedbat. Stacionární Schrödingerova rovnice nabývá takto tvaru Z jejího podrobného řešení vyplývá, že energetické spektrum rovinného rotátoru je čistě diskrétní: Kvantové číslo l nabývá nezáporných celočíselných hodnot. Odpovídající vlastní vlnové funkce je možno pro psát jako lineární kombinace dvou nezávislých řešení výše uvedené Schrödingerovy rovnice a Pro degenerují tato dvě řešení v jediné Spektrum rovinného tuhého rotátoru je tedy navíc, s výjimkou základní hladiny, degenerované Rovinný tuhý rotátor - časový vývoj Z podrobného řešení nestacionární Schrödingerovy rovnice pro systémy s čistě diskrétním spektrem pro rovinný tuhý rotátor vyplývá, že časový vývoj vlnové funkce F, kterou je možno v počátečním čase psát ve tvaru je dán formulí kde a jsou výše uvedené vlastní energie a odpovídající vlastní funkce. Prostorový tuhý rotátor - stacionární stavy Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích. V případě prostorového rotátoru je výhodné využít jeho sférické symetrie a přejít do sférických souřadnic, v nichž Laplaceův operátor nabývá tvaru Operátor kvadrátu momentu hybnosti. Všimněme si, že úhlová část Laplaceova operátoru připomíná operátor kvadrátu momentu hybnosti vyjádřený ve sférických souřadnicích Vlnová funkce systému opět nezávisí na vzdálenosti od počátku, která je podle definice tuhého rotátoru neměnná a hraje tedy roli konstantního parametru, Y = Y(q,j), a Stacionární Schrödingerova rovnice nabývá proto tvaru neboli Stacionární vlnové funkce prostorového tuhého rotátoru odpovídají vlastním funkcím operátoru kvadrátu momentu hybnosti, které jsou obvykle reprezentovány funkcemi kulovými, kde l je nezáporné celé číslo a Odpovídající vlastní energie získáme z výrazu pro vlastní hodnoty kvadrátu momentu hybnosti Spektrum prostorového tuhého rotátoru je tedy čistě diskrétní a kromě základní energetické hladiny degenerované. Každé vlastní energii odpovídá totiž celkem 2l+1 nezávislých vlnových funkcí. Prostorový tuhý rotátor - časový vývoj Z podrobného řešení nestacionární Schrödingerovy rovnice pro systémy s čistě diskrétním spektrem vyplývá pro tuhý rotátor, že časový vývoj vlnové funkce F, kterou je možno v počátečním čase psát ve tvaru je dán formulí kde a jsou výše uvedené vlastní energie a odpovídající vlastní vlnové funkce. 4.5.6. Jednorozměrná potenciálová bariéra Potenciál Typický potenciál zadávající jednorozměrnou bariéru je znázorněn na obrázku. Typický průběh potenciálu jednorozměrné potenciálové bariéry. Má tyto charakteristické rysy: je nenulový jen na omezené oblasti osy x (zde interval (a,b) ), vně této oblasti je nulový, na zadané oblasti je kladný a má na ní právě jedno lokální maximum a žádné lokální minimum. Řešená úloha Budeme studovat částici pohybující se v poli potenciálu reprezentujícího jednorozměrnou potenciálovou bariéru. Ve zvoleném počátečním čase umístíme částici vlevo od bariéry do (libovolného) bodu, v němž je potenciál nulový, a udělíme ji nenulovou rychlost orientovanou směrem k bariéře. Zajímáme se zejména o to, zda částici nalezneme v dostatečně vzdálené budoucnosti, kdy se již opět pohybuje mimo dosah potenciálu, vlevo či vpravo od bariéry. Klasický popis Zákon zachování energie. Řešení výše uvedené úlohy můžeme v rámci klasické mechaniky najít poměrně snadno například pomocí zákona zachování energie kde M je hmotnost částice, x a v její poloha a rychlost a rychlost počáteční. Charakter pohybu částice pochopitelně závisí na její počáteční rychlosti a tedy i celkové energii Typické situace ilustruje pro dvě rozdílné počáteční podmínky a ( je výška potenciálové bariéry) pro jednoduchou pravoúhlou bariéru připojená animace: Simulace průletu částice potenciálovou bariérou – klasický popis. Z této animace i z výše uvedené rovnice jsou zřejmé následující závěry: částice s energií E menší než se od bariéry vždy odrazí, částice s energií větší než bariérou vždy prochází. Kvantový popis V rámci kvantové mechaniky není chování částice tak jednoznačné jako v případě klasickém. Bez ohledu na svou energii může částice s jistou pravděpodobností bariérou projít a s jinou pravděpodobností se od ní odrazí. Speciálně může dojít k průchodu bariérou i v případě, kdy klasická fyzika předpovídá odraz (tunelový jev), a naopak částice se může od bariéry odrazit i v případě, kdy klasický popis připouští pouze průchod. Pravděpodobnost průchodu částice bariérou. Pravděpodobnosti průchodu bariérou a odrazu od ní jsou přímo měřitelné veličiny. Jsou definovány takto: Označme N celkový počet částic o energii E, které byly proti bariéře vyslány. Dále nechť označuje počet částic, které se od bariéry odrazily, a počet částic bariérou prošlých. Předpokládáme ovšem, že během interakce s bariérou žádné částice nezanikají ani nové nevznikají, tj. Pravděpodobnost průchodu částice bariérou a pravděpodobnost jejího odrazu od bariéry pak definujeme vztahy a Vzhledem k zachování počtu částic platí Pravděpodobnost průchodu částice bariérou či odrazu od ní je tedy nutno chápat statisticky jako veličinu měřenou na základě velkého množství identických pokusů provedených s identickými částicemi. V některých z těchto pokusů částice bariérou procházejí, v jiných se od ní odrážejí. Vždy ale nastává jen jedna z obou možností! Pokud například v konkrétním pokusu najdeme částici za bariérou, nemohla se tatáž částice současně od bariéry odrazit a nemůžeme ji tedy najít před bariérou. A naopak, nalezneme-li částici v konkrétním pokusu před bariérou, nemohla tatáž částice bariérou projít. Viz též připojená animace. Pravděpodobnosti a závisejí na energii částice E i na parametrech charakterizujících potenciálovou bariéru. Konkrétní závislosti je možno získat pro zadaný potenciál řešením odpovídající stacionární Schrödingerovy rovnice. Jako ilustraci tohoto postupu uvádíme příklad pravoúhlé potenciálové bariéry. 4.5.7. Jednorozměrná pravoúhlá potenciálová bariéra Potenciál Jednorozměrná pravoúhlá potenciálová bariéra odpovídá modelovému potenciálu kde je kladná konstanta. Typický průběh pravoúhlé potenciálové bariéry je znázorněn na obrázku. Průběh potenciálu jednorozměrné pravoúhlé bariéry. Řešená úloha Hustota toku částic. Pro částici s danou energií E hledáme pravděpodobnosti průniku výše zadanou bariérou a odrazu od ní. Jak je popsáno na jiném místě, měření těchto pravděpodobností můžeme uspořádat následujícím způsobem: Bariéru ozařujeme zleva ustáleným proudem částic, jemuž odpovídající hustotu toku[*] označíme symbolem j. Některé z částic, které dopadnou na bariéru, se od ní odrazí, jiné bariérou projdou. Odraženým částicím odpovídá jistá stacionární hustota toku, kterou označíme Částicím prošlým bariérou pak přiřadíme hustotu toku Z orientace směrů pohybu dopadajících, odražených a prošlých částic plyne: a Pravděpodobnost odrazu a průchodu částice bariérou. Pravděpodobnosti odrazu a průchodu bariérou pak můžeme určit ze vztahů a Podle definice počítáme totiž například pravděpodobnost odrazu jako Vzhledem ke stacionárnímu uspořádání dopadne na bariéru za čas t celkem částic a za stejný čas se od bariéry odrazí částic. Limitní přechod odpovídá zřejmě přechodu Proto můžeme psát Podobné úvahy můžeme provést, a získat tak odpovídající vztah, i pro pravděpodobnost průchodu Průchod částice potenciálovou bariérou lze řešit jako stacionární případ. Výše popsaný experiment má stacionární uspořádání a navíc požadujeme, aby částice dopadající na bariéru měly zadanou energii. Hlubší analýza, která však zcela překračuje rámec našeho výkladu, ukazuje, že hustoty toků pravděpodobnosti odpovídající stacionárním vlnovým funkcím je možno ztotožnit s výše zavedenými hustotami toků částic. Přímo se proto nabízí možnost hledat pravděpodobnosti a pomocí stacionární Schrödingerovy rovnice. Odraz od pravoúhlé potenciálové bariéry - řešení pomocí stacionární Schrödingerovy rovnice Jako ilustraci toho, jak se stacionární Schrödingerova rovnice používá při nalezení pravděpodobností průchodu a odrazu částic od pravoúhlé potenciálové bariéry, si uveďme výsledky plynoucí pro částice, jejichž energie E je menší než výška bariéry Stacionární vlnové funkce pro jednorozměrnou potenciálovou bariéru. Z podrobného řešení pro částici o hmotnosti M nacházející se v poli výše uvedeného potenciálu vyplývá, že stacionární vlnové funkce nabývají pro zadanou energii tvaru pro pro pro kde a Vlnovým funkcím tohoto tvaru odpovídají hustoty toků pravděpodobnosti pro pro Vlevo od bariéry je hustota toku dána součtem příspěvků odpovídajících dopadajícím a odraženým částicím: a Vpravo od bariéry se mohou podle zadání nacházet pouze částice prošlé. Jim zřejmě odpovídá tok V této oblasti se naopak nemohou nacházet žádné částice pohybující se v opačném směru. Proto musíme položit Pro pravděpodobnosti průchodu částice pravoúhlou bariérou a odrazu od ní takto získáme a Konstanty a nejsou ovšem navzájem nezávislé. Z podrobné analýzy vyplývá, že např. konstanty a jsou násobky konstanty kde příslušné multiplikativní faktory závisejí pouze na energii E a parametrech zadávajících potenciálovou bariéru. Konečné formule pro pravděpodobnosti odrazu a průchodu částice studovanou bariérou můžeme psát ve tvaru Explicitní vyjádření pravděpodobnosti odrazu a průchodu částice jednorozměrnou pravoúhlou bariérou. a kde Shrnutí kapitoly Řešení nestacionární i stacionární Schrödingerovy rovnice je obecně obtížným úkolem. Pro některé tzv. jednoduché kvantové systémy přesto lze nalézt řešení relativně snadno, někdy dokonce v analytickém tvaru. Navíc jsou tyto systémy důležitými modelovými systémy a základní rysy jejich řešení lze použít i pro složitější systémy. Mezi jednoduché kvantové systémy patří: volná částice, jednorozměrná pravoúhlá potenciálová jáma nekonečné hloubky, jednorozměrná pravoúhlá potenciálová jáma konečné hloubky, lineární harmonický oscilátor, tuhý rotátor rovinný i prostorový a jednorozměrná obecná a pravoúhlá potenciálová bariéra. U každého z uvedených systémů nás zajímá především: průběh potenciální energie , tvar stacionárních vlnových funkcí a energetické spektrum (řešení stacionární Schrödingerovy rovnice) a časový vývoj (řešení nestacionární Schrödingerovy rovnice). Otázky k procvičení a opakování 1) Zrekapitulujte základní poznatky z kvantově-mechanického rozboru problému volné částice. 2) Zrekapitulujte základní poznatky z kvantově-mechanického rozboru problému částice v jednorozměrné pravoúhlé potenciálové jámě nekonečné hloubky. 3) Zrekapitulujte základní poznatky z kvantově-mechanického rozboru problému částice v jednorozměrné pravoúhlé potenciálové jámě konečné hloubky. 4) Zrekapitulujte základní poznatky z kvantově-mechanického rozboru problému částice lineárního harmonického oscilátoru. 5) Zrekapitulujte základní poznatky z kvantově-mechanického rozboru problému tuhého rotátoru rovinného a prostorového. 6) Zrekapitulujte základní poznatky z kvantově-mechanického rozboru problému průchodu částice jednorozměrnou obecnou a pravoúhlou potenciálovou bariérou. Zaměřte se zejména na průběh potenciální energie, tvar stacionárních vlnových funkcí, energetické spektrum a časový vývoj uvedených systémů. Korespondenční úkol č. 8 Vypočtěte pravděpodobnost průchodu elektronu o energii pravoúhlou potenciálovou bariérou výšky . Hodnoty E a volte libovolně, nejlépe několik elektronvoltů. 4.6. Moderní formulace kvantové mechaniky Po prostudování této kapitoly budete schopni: * objasnit podstatu Dirakovy moderní formulace kvantové mechaniky; * formulovat Dirakovy kvantovací podmínky a princip korespondence; * uvést explicitní tvar operátorů základních dynamických veličin; * formulovat přesně pomocí operátorové symboliky relace neurčitosti a pojem nekompatibility dvou veličin. Pojmy k zapamatování: dynamická proměnná, samosdružený operátor, bra-ketová symbolika, Dirakovy kvantovací podmínky, Poissonovy závorky, komutátor, princip korespondence, Hamiltonův operátor, relace neurčitosti, kompatibilní a nekompatibilní veličiny, Robertsonův vztah. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 2 hodiny Dynamické proměnné Pod dynamickými proměnnými (pozorovatelnými) rozumíme veličiny charakterizující stav studovaného systému (poloha, hybnost, energie atd.) V kvantové mechanice je reprezentujeme samosdruženými operátory. Proč samosdružené operátory - inspirující příklad Podle prvního Bornova postulátu počítáme střední hodnotu k-té souřadnice polohy bodové částice, k = 1, 2 a 3, ve stavu popsaném vlnovou funkcí y podle vztahu Pomocí bra-ketové symboliky je možno tento vztah dále přepsat do formálně jednoduššího tvaru v němž jsme zavedli operátor , který působí na vlnovou funkci tak, že násobí její funkční hodnoty nezávislou proměnnou Tento operátor je definován na stavovém prostoru studovaného systému (množině všech kvadraticky integrovatelných funkcí), který je, jak je uvedeno na jiném místě, prostorem Hilbertovým. Operátor je tedy operátorem na Hilbertově prostoru stavů studovaného systému. Snadno ověříme, že se jedná o operátor lineární, který má navíc některé speciální vlastnosti. Platí totiž je tedy operátorem symetrickým a podrobnější analýza, která však přesahuje rámec našeho výkladu, vede dokonce k závěru, že se jedná dokonce o operátor samosdružený. Polohu a hybnost lze reprezentovat samosdruženými operátory. Podobnou úvahu, jakou jsme právě provedli pro polohu studované částice, můžeme provést i pro její hybnost. Na jiném místě je ukázáno, že střední hodnotu k-té složky hybnosti částice ve stavu popsaném vlnovou funkcí y můžeme určit ze vztahu což je možno přepsat pomocí bra-ketové symboliky do tvaru kde jsme zavedli operátor Tento operátor je rovněž lineární a samosdružený. Podrobnější analýza však opět přesahuje rámec této práce, ačkoliv ověření samotné symetrie není nikterak komplikované (pro jednoduchost je provádíme jen v jednorozměrném případě): Zde vzhledem ke kvadratické integrovatelnosti vlnových funkcí j a y pokládáme Reprezentace dynamických proměnných operátory Anglický fyzik P. Dirac, zcela jistě inspirován závěry podobnými těm, k nimž jsme dospěli ve výše uvedeném příkladu, navrhl, aby dynamické proměnné byly v rámci kvantové teorie reprezentovány samosdruženými operátory působícími na stavovém prostoru studovaného systému. Na samosdruženost těchto operátorů ukazují zřetelně výše nastíněné úvahy, sama má však ještě další, hlubší význam. Dirac totiž předpokládal, že vlastní hodnoty operátorů odpovídajících dynamickým proměnným reprezentují přípustné, měřitelné hodnoty těchto dynamických proměnných, jichž může systém nabývat. Samosdružené operátory mají reálné vlastní hodnoty. Ty jsou ovšem vždy reálné, a proto ze zřejmých důvodů požadujeme, aby takové byly i zmíněné vlastní hodnoty. A právě samosdružené operátory nabývají pouze reálných vlastních hodnot. Metodu, jak konkrétním dynamickým proměnným přiřadit kvantově-mechanické operátory, shrnul Dirac do svých proslulých kvantovacích podmínek. Jejich pomocí je pak možno zkonstruovat víceméně přijatelným způsobem operátory všech významných dynamických veličin - např. polohy a hybnosti, energie či momentu hybnosti. V rámci operátorové verze kvantové mechaniky je možno zobecnit výpočet středních hodnot a středních fluktuací dynamických proměnných v zadaném stavu, jakož i formulaci obecných relací neurčitosti. Dirakovo uvedení Hilbertových prostorů a operátorů na nich do formalismu kvantové teorie bylo vůbec na přelomu dvacátých a třicátých let 20. století mocným impulzem pro její další rozvoj. A to jak v rozvíjení teorie samotné, tak i v konkrétních aplikacích. Poznámka Dirakův formalismus není matematicky zcela korektní, výhodou je jeho jednoduchost. S Dirakovým operátorovým formalismem je možno seznámit se v jeho vynikající původní učebnici či v monografii Formánkově. Zde jsme se museli nutně omezit jen na vybraná základní fakta a závěry. Pro úplnost je však nutno uvést, že Dirakem navržené postupy nejsou matematicky zcela korektní. Zejména reprezentace vlastních hodnot a vlastních vektorů operátorů se spojitým spektrem přináší s sebou nemalé potíže. Proto se brzy po publikování Dirakových idejí objevilo jejich matematicky přesné zpracování. V konkrétních výpočtech však fyzikové téměř bezezbytku používají byť ne zcela korektní, formálně však podstatně jednodušší Dirakův formalismus. Získané výsledky jsou vždy v dokonalém souladu s experimentem. 4.6.1. Dirakovy kvantovací podmínky Podle anglického fyzika Diraka přiřazujeme v rámci kvantové mechaniky dynamickým proměnným samosdružené operátory působící na stavovém prostoru systému. Předpis, jak to udělat, udávají následující dva postuláty. Dirakovy kvantovací podmínky. Nechť C je dynamická proměnná definovaná prostřednictvím jiných dynamických proměnných A a B vztahem kde jsou tzv. Poissonovy závorky známé z klasické mechaniky. Nechť jsou dále dynamickým proměnným A a B přiřazeny samosdružené operátory a Pak proměnné C odpovídá operátor definovaný vztahem kde označuje tzv. komutátor operátorů a Poissonovy závorky. Proč se na pravé straně rovnosti vyskytuje multiplikativní faktor ? Z definice Poissonových závorek a z rozměrové analýzy plyne především, že rozměr proměnné C je dán podílem součinu rozměrů veličin A a B a součinu rozměrů hybnosti a souřadnice. Ten je ovšem J.s (Joule krát sekunda) a na pravé straně operátorové relace musí tedy nutně stát multiplikativní konstanta stejného rozměru – tedy J.s. Ukázalo se, že takovou vhodnou konstantou je „škrtnutá“ konstanta Planckova. Vzhledem k samosdruženosti operátorů i musí být tato konstanta navíc ryze imaginární. Princip korespondence Samotné Dirakovy kvantovací podmínky k jednoznačnému přiřazení operátorů jednotlivým dynamickým proměnným nestačí. Proto se k nim zpravidla připojuje další postulát - princip korespondence. Princip korespondence. Nechť je dynamická proměnná C funkcí dynamických proměnných Pak jí v rámci kvantové teorie přiřadíme operátor kde jsou operátory přiřazené dynamickým proměnným Výše uvedená funkce f obvykle reprezentuje algebraický výraz v proměnných K jeho převedení do operátorové formy užíváme definic algebraických operací pro operátory. Ty můžeme pomocí McLaurinova rozvoje využít i k nalezení obecnějších operátorových funkcí. Operátory dynamických proměnných jsou funkcemi operátorů souřadnic a hybností. Potíže při použití principu korespondence může působit fakt, že násobení operátorů není obecně komutativní. Pak totiž velmi záleží na pořadí činitelů v operátorových součinech. Jejich uspořádání musí být tedy v konkrétních případech vhodně zvoleno (tak, aby teorie byla vnitřně bezesporná a její výsledky souhlasily s experimentem) a lze na ně pohlížet jako na dodatečný postulát. Každou dynamickou proměnnou je možno vyjádřit jako funkci zobecněných souřadnic a hybností studovaného systému. Proto operátory přiřazené dynamickým proměnným můžeme vždy psát jako funkce operátorů přiřazených souřadnicím a hybnostem. Dirakových kvantovacích podmínek proto musíme nejdříve využít právě k nalezení těchto, v jistém smyslu základních, operátorů. Jejich pomocí a s využitím principu korespondence pak již relativně snadno nalezneme operátory všech dalších dynamických proměnných. Mezi jinými i těch, které hrají v rámci klasické i kvantové mechaniky velmi významnou roli - energie a momentu hybnosti. 4.6.2. Poloha a hybnost Na základě úvah souvisejících s výpočty středních hodnot se přiřazují souřadnicím polohy a hybnosti bodové částice samosdružené operátory , nebo přesněji kde j je vlnová funkce, jejíž nyní nepodstatnou časovou závislost zanedbáváme. Na levých stranách definičních rovností tuto vlnovou funkci zapisujeme pomocí bra-ketové symboliky. Ukažme si, že takto definované operátory splňují Dirakovy kvantovací podmínky. Poloha Pro Poissonovy závorky můžeme podle definice psát Dirakovy kvantovací podmínky pro operátory souřadnic. kde je Kroneckerovo delta. Podle Dirakových kvantovacích podmínek musí být tedy nulový i komutátor Přesněji, pro libovolnou vlnovou funkci j z definičního oboru součinu obou operátorů musí platit kde označuje vlnovou funkci nulovou na celém prostoru. Je tomu skutečně tak? Na základě definic operátorů přiřazených jednotlivým souřadnicím polohy snadno ověříme, že platí neboť násobení reálnými čísly je komutativní. Odpovídající komutátor je proto nulový a definice operátorů přiřazených jednotlivým souřadnicím polohy částice je kompatibilní s Dirakovými kvantovacími podmínkami. Hybnost Dirakovy kvantovací podmínky pro operátory složek hybnosti. I pro složky hybnosti jsou Poissonovy závorky nulové, a tedy takovými musí být i odpovídající komutátory. Pro libovolnou vlnovou funkci j z definičního oboru součinu operátorů a musí proto platit kde symbol označuje, stejně jako výše, nulovou vlnovou funkci. Ověřme platnost této rovnosti. Na základě definice operátorů složek hybnosti můžeme psát Poslední uvedený výraz je však, vzhledem k záměnnosti pořadí parciálních derivací pro dostatečně derivovatelné funkce, nutně nulový. Nulovost komutátoru je tedy ověřena i pro operátory složek hybnosti. Poloha a hybnost Abychom dokončili ověření Dirakových kvantovacích podmínek pro operátory složek polohy a hybnosti bodové částice, musíme se ještě věnovat jejich vzájemným komutacím. Pro odpovídající Poissonovy závorky snadno získáme Dirakovy kvantovací podmínky pro polohu a hybnost. kde opět označuje Kroneckerovo delta. Komutátor musí tedy podle Dirakových podmínek splňovat Pro libovolnou vlnovou funkci z definičního oboru součinu operátorů a musí tedy platit Na základě definic uvedených operátorů však můžeme psát a tedy též Dirakovy kvantovací podmínky jsou proto ověřeny i pro vzájemné komutace operátorů souřadnic polohy a složek hybnosti. 4.6.3. Energie Hamiltonův operátor Samosdružený operátor, který v rámci kvantové teorie přiřazujeme celkové energii bodové částice, nalezneme pomocí principu korespondence. Celkovou energii částice o hmotnosti M, která se pohybuje ve vnějším poli potenciálu V, reprezentujeme v klasické mechanice tzv. Hamiltonovou funkcí Hamiltonův operátor jako funkce operátorů hybnosti a polohy. Odpovídající kvantověmechanický operátor, který se často nazývá operátorem Hamiltonovým, stručněji hamiltoniánem, získáme podle principu korespondence dosazením operátorů polohy a hybnosti do výše uvedeného vztahu. Tedy kde jsme zavedli vektorové operátory a (Hranaté závorky nyní označují složkový zápis vektoru, nikoliv komutátor!) Druhou mocninu operátoru hybnosti a funkci počítáme obvyklým způsobem. Pro libovolnou vlnovou funkci j z definičního oboru hamiltoniánu tedy můžeme pomocí definic operátorů hybnosti a polohy psát (v níže uvedeném vztahu užíváme částečně bra-ketovou symboliku) a po úpravách Hamiltonův operátor po úpravě. kde symbol D označuje Laplaceův operátor. Stručněji tedy Vlastní hodnoty Hamiltonova operátoru, stacionární Schrödingerova rovnice Podle Dirakovy interpretace reprezentují vlastní hodnoty samosdružených operátorů v kvantové mechanice měřitelné hodnoty odpovídajících dynamických proměnných. Vlastní hodnoty Hamiltonova operátoru zadávají proto realizovatelné hodnoty celkové energie a odpovídající vlastní vektory (vlnové funkce) stavy, v nichž jsou tyto přípustné hodnoty energie nabývány. Rovnici pro vlastní hodnoty hamiltoniánu jednočásticového systému můžeme psát v kompaktním tvaru Stacionární Schrödingerova rovnice. a po rozvinutí symbolu též To je ovšem proslulá stacionární Schrödingerova rovnice. Rovnice pro vlastní hodnoty hamiltoniánu je tedy totožná se stacionární Schrödingerovou rovnicí studovaného systému a odpovídající vlastní vlnové funkce odpovídají vlnovým funkcím stacionárním. Nestacionární Schrödingerova rovnice Dále též vidíme, že nestacionární Schrödingerovu rovnici můžeme psát pomocí Hamiltonova operátoru v kompaktním tvaru 4.6.4. Moment hybnosti Operátory složek momentu hybnosti Samosdružené operátory, které v rámci kvantové teorie přiřazujeme složkám momentu hybnosti, nalezneme pomocí principu korespondence. V klasické fyzice je moment hybnosti bodové částice definován jako vektorový součin jejího polohového vektoru a hybnosti Levi-Civitův symbol. což přepsáno do složek dává s použitím Levi-Civitova symbolu Pro odpovídající kvantověmechanické operátory proto můžeme psát Moment hybnosti hraje velmi významnou roli pro částice nacházející se v poli centrálních sil popsaných sféricky symetrickým potenciálem V klasické fyzice je totiž v takovém případě integrálem pohybu a zachovává se během časového vývoje. Protože je obvykle výhodné popisovat systémy se sférickou symetrií pomocí sférických souřadnic, uveďme pro úplnost i odpovídající vyjádření operátorů složek momentu hybnosti: Operátor momentu hybnosti ve sférických souřadnicích. Operátor kvadrátu momentu hybnosti Velmi významnou roli hraje v kvantové mechanice kvadrát velikosti momentu hybnosti, jemuž na základě principu korespondence přiřazujeme operátor Operátor kvadrátu momentu hybnosti ve sférických souřadnicích. Ve sférických souřadnicích můžeme pro něj psát Komutace operátorů přiřazených momentu hybnosti Operátory a navzájem nekomutují. Dá se ukázat, že platí kde hranatými závorkami označujeme komutátor vepsaných operátorů a je Levi-Civitův symbol. Podle kapitoly věnované obecným relacím neurčitosti není proto možno změřit všechny tři složky momentu hybnosti neomezeně přesně. Vektor momentu hybnosti není tedy v rámci kvantové mechaniky měřitelnou veličinou a jeho složky nejsou kompatibilní pozorovatelné. Na druhé straně je však možno dokázat, že operátor kvadrátu momentu hybnosti komutuje s každou z jeho složek, V rámci kvantové teorie jsou tedy kvadrát momentu hybnosti a libovolná z jeho složek, obvykle se volí složka třetí, současně měřitelné. Navíc hodnoty a jsou maximální možnou informací, kterou můžeme o momentu hybnosti částice v rámci kvantové mechaniky podat. Vlastní hodnoty a vlastní funkce operátoru kvadrátu momentu hybnosti Vlastní hodnoty operátoru odpovídají podle Dirakovy teorie měřitelným (přípustným) hodnotám kvadrátu momentu hybnosti. Získáme je pomocí charakteristické rovnice Vlastními funkcemi operátoru kvadrátu momentu hybnosti jsou kulové funkce. Řešení této rovnice je poměrně obtížné a vyžaduje netriviální matematické znalosti. Zde uveďme jen, že je ve sférických souřadnicích reprezentováno kulovými funkcemi splňujícími Vedlejší a magnetické kvantové číslo. kde l je celé nezáporné číslo a m nabývá pro zadané l hodnot -l, -1+1, …, l-1, l. V atomové fyzice se první z těchto čísel obvykle nazývá vedlejším kvantovým číslem a druhé kvantovým číslem magnetickým. Navíc je možno ukázat, že platí Kulové funkce jsou tedy společnými vlastními funkcemi operátorů a 4.6.5. Střední hodnoty a střední kvadratické fluktuace Střední hodnota Střední hodnotu veličiny A, kterou v kvantové mechanice reprezentuje samosdružený operátor můžeme ve stavu zadaném normalizovanou vlnovou funkcí , počítat pomocí vzorce (v němž částečně používáme bra-ketovou symboliku) Výraz použitý pro výpočet střední hodnoty obecné veličiny A je inspirován vztahy, který je možno v rámci kvantové mechaniky získat pro střední hodnotu polohy a hybnosti částice (viz úvodní příklad zde). Střední kvadratická fluktuace Střední kvadratická fluktuace veličiny A odpovídá podle definice střední hodnotě kvadrátu její okamžité fluktuace což přepsáno do operátorového tvaru dává kde je operátor identity, tj. pro každou vlnovou funkci splňuje relaci Získaný výraz můžeme dále převést umocněním výrazu v závorce v integrálu na levé straně do obvykle používaného tvaru v němž jsme zavedli 4.6.6. Relace neurčitosti Na jiném místě ukazujeme, že střední kvadratické fluktuace hybnosti a polohy částice nejsou nezávislé veličiny. Nyní si ukážeme, že k obdobným závěrům můžeme dospět i pro další dvojice veličin, k čemuž s velkým užitkem využijeme Dirakovy operátorové reprezentace dynamických proměnných. Důsledně též budeme používat bra-ketovou symboliku. Relace neurčitosti Robertsonův vztah představuje zobecněné relace neurčitosti. Nechť a jsou samosdružené operátory, které v rámci kvantové mechaniky přiřazujeme dynamickým proměnným A a B, a nechť je jejich komutátor. Pak platí tzv. Robertsonův vztah kde Da a Db jsou střední kvadratické fluktuace veličin A a B a je normalizovaná vlnová funkce popisující zadaný stav studované částice. Výše uvedená formule je zcela jistě vhodným vyjádřením relace neurčitosti pro veličiny A a B. Kompatibilní a nekompatibilní veličiny Výše uvedený komutátor operátorů a může být buď nulový, nebo nenulový. Je-li nulový, tj. platí-li říkáme, že operátory a komutují. V tomto případě přechází relace neurčitosti pro A a B na triviální tvar Kompatibilní veličiny. který je ovšem vzhledem k definici středních kvadratických fluktuací vždy splněn. Získaný výsledek můžeme proto interpretovat slovy, že měření veličin A a B se v zadaném stavu nijak neovlivňují a obě veličiny je možno v rámci kvantového popisu současně měřit neomezeně přesně. Takové veličiny nazýváme kompatibilními. Nekompatibilní veličiny. Je-li naopak uvedený komutátor nenulový, je součin odpovídajících středních kvadratických fluktuací vždy větší či roven zadanému nezápornému (zpravidla kladnému) číslu a zmenšení chyby měření jedné veličiny znamená proto růst chyby veličiny druhé. Obě veličiny proto nelze současně měřit neomezeně přesně. Takové veličiny nazýváme obvykle nekompatibilními. Poloha a hybnost Pro komutátory operátorů přiřazených odpovídajícím si složkám polohy a hybnosti bodové částice, jak odvozujeme na jiném místě, platí Dosazením do Robertsonova vztahu dostáváme tak vzhledem k normalizaci vlnové funkce Pro jsou komutátory nulové. Nulové jsou i komutátory a tentokrát dokonce pro libovolné hodnoty indexů j a k. Pomocí Robertsonova vztahu proto můžeme psát To je ale obvyklý tvar Heisenbergových relací neurčitosti pro polohu a hybnost. Shrnutí kapitoly V kvantové mechanice reprezentujeme veličiny popisující stav systému (dynamické veličiny) samosdruženými lineárními operátory na příslušném Hilbertově prostoru všech stavů. Vlastní hodnoty těchto operátorů jsou vždy reálné a představují všechny možné hodnoty dané veličiny, kterých může systém nabývat a které jedině můžeme naměřit. Způsob, jakým dané fyzikální veličině přiřadit operátor, řeší tzv. Dirakovy kvantovací podmínky a princip korespondence. Základními veličinami, jejichž operátory bychom měli znát, jsou poloha, hybnost, energie (Hamiltonův operátor) a moment hybnosti. Operátorový přístup spolu s bra-ketovou symbolikou umožňuje zpřehlednit výpočty střední hodnoty a střední kvadratické fluktuace dynamických veličin. Navíc lze zobecnit relace neurčitosti následovně: veličiny, jejichž hodnoty nelze měřit současně absolutně přesně (nekompatibilní veličiny), jsou právě ty veličiny, jejichž operátory spolu nekomutují. Kvantitativně tuto skutečnost popisuje Robertsonův vztah. Otázky k procvičení a opakování 1) Zopakujte si, jak je definován vektorový prostor a co je to lineární operátor. 2) Proč jsou k reprezentaci dynamických proměnných použity samosdružené operátory? Na jakém prostoru pracujeme? 3) Jaký význam mají vlastní hodnoty operátoru přiřazeného dané veličině? Jak se pomocí tohoto operátoru vypočte střední hodnota a střední kvadratická fluktuace této veličiny? 4) Definujte Diracovy kvantovací podmínky a princip korespondence. K čemu slouží? 5) Uveďte konkrétní tvar operátorů polohy, hybnosti, energie a momentu hybnosti. Který z těchto operátorů se nazývá Hamiltonův? 6) Co je to komutátor a jakou roli hraje při určení kompatibility dynamických veličin? Uveďte matematický vztah (jak se nazývá?). Korespondenční úkol č. 9 Odpovězte písemně a pokud možno vlastními slovy na otázku č. 3, č. 4, č. 5 nebo č. 6 kapitoly 4.6. 4.7. Systémy více částic Po prostudování této kapitoly budete schopni: * formulovat pojem spinu částice a uvést jeho základní vlastnosti; * objasnit, jak se započtení spinových efektů projeví v popisu částice pomocí vlnové funkce; * definovat fermiony a bosony; * formulovat tzv. princip nerozlišitelnosti totožných částic a vysvětlit, k jakým důsledkům tento princip vede v popisu systémů více totožných částic; * definovat Slaterův determinant a uvést jeho význam; * formulovat Pauliho vylučovací princip a odvodit jej z obecnějších předpokladů. Pojmy k zapamatování: spin, moment hybnosti, vícesložková vlnová funkce, Pauliho matice, fermion, boson, totožné částice, princip nerozlišitelnosti, permutace, symetrická a antisymetrická vlnová funkce, Slaterův determinant, Pauliho vylučovací princip. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 2 hodiny 4.7.1. Spin Spin je dynamická proměnná, která nemá v klasické fyzice odpovídající protějšek. Nutnost jeho zavedení do kvantového popisu částic vyplynula ze slavného experimentu Sternova-Gerlachova. Spin je interpretován jako vlastní moment hybnosti částice a jemu v rámci kvantové teorie přiřazené operátory mají podobné vlastnosti jako operátory odpovídající orbitálnímu momentu hybnosti. To znamená, že operátory přiřazené jednotlivým složkám spinového vektoru nekomutují a samotné složky nejsou kompatibilními veličinami. Současně proto můžeme s neomezenou přesností určit například pouze velikost spinu a hodnotu jedné jeho vybrané složky, zpravidla třetí, z-tové. Velikost spinu je kvantována stejně jako velikost orbitálního momentu hybnosti. Její přípustné hodnoty jsou proto dány vztahem v němž s je tzv. spinové kvantové číslo. Pro danou částici je toto číslo charakteristickou konstantou podobně jako například její hmotnost či náboj. V odborných textech bývá často spinové kvantové číslo se spinem částice zaměňováno. Pak hovoříme stručně o částici se spinem s. Také třetí složka spinu je kvantována podobně jako třetí složka orbitálního momentu hybnosti: kde je tzv. magnetické spinové kvantové číslo. To může pro částici se spinem s nabývat celkem (2s+1) hodnot: -s, -s+1, …, s-1, s. I magnetické spinové kvantové číslo bývá často zaměňováno s třetí složkou spinu Vícesložkové vlnové funkce Zatímco velikost spinu je pro libovolnou částici vždy konstantní a charakteristická, jeho třetí, z-tová složka může nabývat všech výše uvedených hodnot. Aby byl stav částice určen jednoznačně, musíme kromě její polohy (nebo hybnosti) zadat i okamžitou hodnotu třetí složky jejího spinu. V rámci kvantově-mechanického popisu se to projeví tím, že vlnová funkce bude záviset i na spinové proměnné Tak např. v x-reprezentaci musíme psát, bereme-li v úvahu spin částice, V matematickém formalismu kvantové teorie je však obvyklejší popis pomocí tzv. vícesložkových (multikomponentních) vlnových funkcí (spinorů) Multikomponentní vlnová funkce nebo-li spinor. kde Multikomponentní vlnová funkce je reprezentována sloupcovým vektorem, jehož jednotlivé složky odpovídají vlnové funkci studované částice se zadanou z-tovou komponentou spinu. Takový sloupcový vektor má pro částici se spinem s celkem (2s+1) řádků. Tak např. pro částici se spinem 1/2 (např. elektrony) musíme použít dvoukomponentní vlnovou funkci. Je-li vícesložková vlnová funkce normovaná k jedničce, udává výraz pravděpodobnost, že částici nalezneme v oblasti prostoru W a její třetí složka spinu bude mít hodnotu x. Pravděpodobnost nalezení částice v oblasti W, bez ohledu na z‑tovou komponentu jejího spinu, je pak dána jako a konečně výraz udává pravděpodobnost, že třetí komponenta spinu částice nabývá v zadaném stavu hodnoty x. Operátor spinu Při použití vícesložkových vlnových funkcí odpovídají spinovým stavům částice se spinem s vektory z (2s+1)-rozměrného Hilbertova prostoru. Reprezentace operátorů maticemi. Operátory, které jednotlivým komponentám spinu v rámci kvantové mechaniky přiřadíme, budou proto samosdruženými operátory na tomto prostoru a můžeme je reprezentovat hermitovskými maticemi o (2s+1) řádcích a sloupcích. Tak např. pro částice se spinem 1/2 vystačíme s maticemi 2 x 2, pro částice se spinem 1 potřebujeme matice 3 x 3 atd. Operátory přiřazené jednotlivým složkám spinu částice splňují obdobné komutační relace, s jakými se setkáváme u orbitálního momentu hybnosti, Pro elektrony (a další částice se spinem 1/2) lze operátor spinu psát jako Pauliho matice. kde a jsou tzv. Pauliho matice. Vzhledem k tomu, že spin nemá klasický protějšek, není možné jej chápat jako důsledek vlastní rotace studované částice kolem nějaké prostorové osy. Spin je prostě jen další veličinou charakterizující tuto částici, podobně jako např. její hmotnost či náboj. 4.7.2. Nerozlišitelné částice Princip nerozlišitelnosti V rámci kvantověmechanického popisu jsou totožné částice nerozlišitelné. Totožné částice je nutno v kvantové mechanice chápat poněkud odlišně od toho, nač jsme zvyklí v mechanice klasické. V rámci klasického popisu totiž vždy předpokládáme, že i částice, jejichž všechny fyzikální vlastnosti jsou shodné, je možno alespoň v principu navzájem odlišit. Např. tak, že každé z nich přidělíme pozorovatele, který bude mít za úkol sledovat její trajektorii. Takovému pozorovateli můžeme přidělit identifikační číslo a to můžeme pak použít i k odlišení „jeho“ částice od ostatních. Zajímáme-li se v budoucnosti o některou ze studovaných částic, např. částici K, stačí se obrátit na pozorovatele K a ten nám na ni podle potřeby ukáže. Trajektorie částice je klasický pojem, který nemá kvantový protějšek. V kvantovém světě ovšem nic takového možné není! Především částice už nejsou lokalizovány v prostoru, jejich vlnové funkce se mohou nejrůznějším způsobem překrývat a klasické trajektorie neexistují. Proto je nemůže žádný pozorovatel „uhlídat“. Navíc se v případě mikroskopických částic jejich sledování pozorovatelem neobejde bez podstatného ovlivnění jejich pohybu. Tak kupř. pozorovat částici znamená, že ji musíme osvítit světlem a následně registrovat odražené (rozptýlené) fotony. Srážka fotonu s mikroskopickou částicí však může velmi významně ovlivnit její další vývoj. Vlnové funkce Permutace nerozlišitelných částic. Jakákoliv vlnová funkce soustavy N nerozlišitelných částic musí nutně zohlednit fakt, že libovolnou permutací (záměnou) těchto částic není možno změnit stav studovaného systému. Chceme-li proto při popisu nerozlišitelných částic využít formalismu, který jsme zavedli pro částice rozlišitelné, je nezbytně nutné požadovat, abychom permutací dvojic polohových a spinových proměnných jednotlivých částic, získali vlnovou funkci, která popisuje stejný kvantověmechanický stav jako funkce původní. Dvě vlnové funkce popisují ale, vzhledem ke své statistické interpretaci, stejný stav systému, je-li jedna (komplexním) násobkem druhé. Permutace argumentů mnohočásticové vlnové funkce se může tedy v případě nerozlišitelných částic projevit nanejvýš odlišností v komplexním multiplikativním faktoru. Pracujeme-li s normovanými vlnovými funkcemi, má tento faktor navíc jednotkovou velikost. Speciálním případem permutace je výměna (transpozice) dvou částic, např. částice K a L. Té můžeme přiřadit operátor splňující Má-li vlnová funkce y správně popisovat systém nerozlišitelných částic, musí podle výše řečeného splňovat pro libovolnou dvojici indexů K a L vztah (a je komplexní číslo) Vzhledem k nerozlišitelnosti studovaných částic musí být navíc toto číslo stejné pro všechny možné dvojice indexů K a L. Je velmi snadné určit jeho hodnotu. Dvojí aplikace téhož operátoru transpozice vede totiž k původní vlnové funkci Odtud již vidíme, že a samotný multiplikativní faktor tedy nabývá hodnot Vhodnými kandidáty na vlnové funkce systému N nerozlišitelných částic jsou proto jen ty funkce, které se při výměně libovolné dvojice částic nemění nebo nanejvýš změní své znaménko. První z uvedených funkcí se nazývají vlnovými funkcemi symetrickými a druhé vlnovými funkcemi antisymetrickými. Při provedení libovolné permutace částic se symetrické vlnové funkce nezmění a antisymetrické změní své znaménko podle znaménka provedené permutace. Je možno dokázat následující tvrzení, podrobnější analýza však překračuje rámec této encyklopedie a je ji možno najít ve specializované literatuře. Charakter vlnové funkce libovolného systému obsahujícího nerozlišitelné částice se nemění ani v důsledku samovolného časového vývoje, ani v důsledku vnějších zásahů do něj. Systémy nerozlišitelných částic se takto přirozeně dělí na dvě velké skupiny · ty, které popisujeme symetrickými vlnovými funkcemi, · ty, které popisujeme vlnovými funkcemi antisymetrickými. Bosony a fermiony. Z kvantové teorie pole vyplývá, že první typ částic nese celočíselný spin a typ druhý má spin poločíselný. Částice s celočíselným spinem se obvykle nazývají bosony, neboť ve velkých (makroskopických) systémech vyhovují tzv. Boseho-Einsteinově statistice. Částice nesoucí spin poločíselný se ze stejného důvodu nazývají fermiony. V makroskopické limitě totiž vyhovují tzv. Fermiho-Dirakovu rozdělení. Vyjádření vícečásticových vlnových funkcí pomocí funkcí jednočásticových Vlnová funkce jako součin jednočásticových vlnových funkcí. Vlnové funkce vícečásticových systémů často vyjadřujeme pomocí vlnových funkcí jednočásticových. Možné je to například pro soustavy neinteragujících částic, s přibližnou platností ale i pro částice interagující. Označme normované jednočásticové vlnové funkce. Pak zřejmě jejich součin můžeme chápat jako jednu z možných vlnových funkcí studovaného N-částicového systému. V případě rozlišitelných částic bezezbytku, v případě částic nerozlišitelných je třeba zajistit správné chování této funkce vzhledem k permutaci částic. Tak např. pro bosony musíme použít vlnovou funkci symetrickou, Suma naznačená v uvedeném výrazu probíhá přes všechny různé permutace částic a faktor je do něj zahrnut v zájmu zachování normalizace vícečásticové vlnové funkce. Pro fermiony musíme naopak použít vlnovou funkci antisymetrickou Pauliho vylučovací princip. kde suma probíhá opět přes všechny různé permutace částic a sign(P) označuje znaménko konkrétní permutace P. Významným důsledkem získaného tvaru antisymetrické vlnové funkce fermionů je Pauliho vylučovací princip. Vícečásticové vlnové funkce konstruované jako antisymetrizovaný součin vlnových funkcí jednočásticových hrají významnou roli při popisu elektronů v elektronových obalech atomů a molekul. V atomové fyzice se obvykle vyjadřují pomocí Slaterových determinantů. 4.7.3. Slaterovy determinanty Vlnová funkce pro systém nerozlišitelných fermionů jako součin jednočásticových vlnových funkcí. Antisymetrickou vlnovou funkci soustavy N nerozlišitelných fermionů vyjadřujeme často jako antisymetrizovaný součin vlnových funkcí jednočásticových kde suma na pravé straně probíhá všechny možné permutace N-prvkové množiny indexů a sign(P) označuje znaménko konkrétní permutace P. Nápadná je jistě podobnost užívaného výrazu s definiční formulí pro determinant čtvercové matice Porovnáme-li obě uvedené formule, vidíme, že vlnovou funkci y můžeme psát ve tvaru determinantu který je obvykle nazýván determinantem Slaterovým. 4.7.4. Pauliho vylučovací princip Dva fermiony se nemohou nacházet ve stejném jednočásticovém stavu. Důvod je jednoduchý. Popisujeme-li totiž soustavu fermionů pomocí antisymetrizovaného součinu jednočásticových vlnových funkcí (Slaterova determinantu) kde P označuje permutace N-prvkové množiny indexů {1, …, N} a sign(P) jejich znaménko, a pokud by byly některé z uvedených jednočásticových funkcí stejné, např. byla by nutně pravá strana nulová. Velmi zřetelně to vyplyne, zapíšeme-li vícečásticovou vlnovou funkci pomocí Slaterova determinantu. V případě rovnosti jednočásticových vlnových funkcí a by totiž měl tento determinant dva stejné řádky, a jak je známo z algebry, je takový determinant nulový. Nulová vlnová funkce ovšem znamená, že odpovídající stav není možno ve skutečnosti realizovat. Shrnutí kapitoly Některé částice se vyznačují vlastním momentem hybnosti – spinem. Operátor spinu má podobné vlastnosti jako operátor momentu hybnosti. Vlnová funkce částice s nenulovým spinem musí zohlednit různé spinové stavy této částice. To je možné buď přidáním z-tové komponenty spinu jako další nezávislé proměnné do vlnové funkce nebo zavedením tzv. vícesložkové vlnové funkce. Částice s celočíselným spinem nazýváme bosony, částice s poločíselným spinem fermiony. Pro částice se spinovým číslem ½ (např. elektrony) lze operátor spinu reprezentovat tzv. Pauliho maticemi. Pro částice stejného druhu (totožné částice) platí v kvantové mechanice tzv. princip nerozlišitelnosti. Záměnou (permutací) dvou totožných částic se kvantový stav systému nemůže změnit. Vlnová funkce při uvedené permutaci zůstává stejná (symetrická vlnová funkce) nebo změní znaménko na opačné (antisymetrická vlnová funkce). První možnost nastává u bosonů, druhá u fermionů. Slaterův determinant je nejjednodušší antisymetrická vlnová funkce pro systém n totožných fermionů. Jedná se o antisymetrizovaný součin n jednočásticových vlnových funkcí. Důsledkem antisymetrie vlnové funkce pro systém totožných fermionů je tzv. Pauliho vylučovací princip. Otázky k procvičení a opakování 1) Vysvětlete pojem spinu částice. Jaké má vlastnosti? Které klasické veličině je nejpodobnější? 2) Jak je třeba modifikovat vlnovou funkci, aby správně popisovala částici se spinem? K čemu slouží Pauliho matice? 3) Formulujte princip nerozlišitelnosti totožných částic. Jak se tento princip projevuje ve tvarech vlnových funkcí popisujících vícečásticové systémy? 4) Proč musí být vlnové funkce, popisující systém dvou či více totožných částic, symetrické nebo antisymetrické vůči záměně (permutaci) libovolných dvou částic? 5) Co jsou to bosony a jak jsou definovány fermiony? Jakou symetrií se vyznačují vlnové funkce systémů totožných bosonů, resp. fermionů? 6) Definujte matematicky přesně Slaterův determinant. 7) Jak zní Pauliho vylučovací princip? Vysvětlete, z čeho a jak jej lze odvodit. Korespondenční úkol č. 10 Odpovězte písemně a pokud možno vlastními slovy na vybranou otázku z kapitoly 4.7. 5. Kvantová teorie pole Kvantová teorie pole je univerzální teorií popisující chování elementárních částic a jejich vzájemné interakce. Částice i nositelé fyzikálních interakcí jsou v rámci této teorie považovány za excitace jim přiřazených kvantových polí. Jednotlivé částice jakožto excitace kvantového pole se mohou navzájem přeměňovat, vznikat i zanikat. Slabé a silné interakce. Kvantová elektrodynamika a chromodynamika. V rámci kvantové teorie pole jsou s vysokou přesností popsány základní fyzikální interakce. Speciálními případy jsou kvantová elektrodynamika – kvantová teorie elektromagnetických interakcí - a kvantová chromodynamika – teorie silných interakcí. Ve spojení s teorií kalibračních polí poskytla kvantová teorie pole prostředek k formulování sjednocené teorie všech interakcí. Byla vytvořena a experimentálně potvrzena kvantová teorie elektroslabých interakcí sjednocující popis elektromagnetických jevů a jevů, za něž je zodpovědná slabá interakce. V současné době je rozpracovávána obecnější teorie sjednocující popis elektromagnetických, slabých i silných interakcí. Konečným cílem je pak vytvoření jednotné teorie, která by kromě výše uvedených zahrnovala i interakci gravitační. Renormalizace. Vážným problémem kvantové teorie pole je, že ve vyšších řádech poruchových výpočtů diverguje a poskytuje jen nekonečné výsledky. Naštěstí existuje procedura, jak tato nekonečna z teorie odstranit. Ta pak poskytuje data, která jsou v dokonalém souladu s experimentem. Odstraňování nekonečných veličin z kvantově-polních výpočtů je známo jako teorie renormalizace. 6. Matematické dodatky 6.1. Metoda separace proměnných Metoda separace proměnných je metodou řešení parciálních diferenciálních rovnic, které jsou v rámci této metody převáděny na matematicky snadněji řešitelnou soustavu obyčejných diferenciálních rovnic. Bližší poučení o ní je možno najít např. v příručce Rektorysově. Řešme parciální diferenciální rovnici kde je nějaký diferenciální operátor obsahující parciální derivace podle nezávislých proměnných Ve fyzikálních aplikacích bývá obvykle nebo a nezávislé proměnné odpovídají souřadnicím (ne vždy nutně kartézským) bodové částice. Řešená parciální diferenciální rovnice je pak zpravidla stacionární Schrödingerovou rovnicí a kde je Hamiltonův operátor a E energie studovaného systému. Řešení výše uvedené rovnice hledáme ve tvaru tedy jako součin n nových funkcí, z nichž každá je funkcí jen jediné reálné proměnné. Očekáváme, že po dosazení speciálního tvaru funkce f do původní rovnice získáme novou rovnici kde diferenciální operátory (k = 1,…,n) již obsahují pouze obyčejné derivace podle proměnné a a je nějaká konstanta. Pokud se nám podaří dosáhnout tohoto speciálního tvaru, říkáme, že řešená parciální diferenciální rovnice je v proměnných separovatelná. Nově získanou rovnici je ovšem možno převést na ekvivalentní soustavu n obyčejných diferenciálních rovnic … , v nichž nově zavedené konstanty splňují To proto, že pokud např. přiřadíme nezávislým proměnným pevné hodnoty a měníme pouze proměnnou vidíme ze separované rovnice, kterou můžeme dočasně přepsat do tvaru že výraz zůstává i při změnách konstantní. Konstantní je totiž pravá strana uvedené rovnice. Pak ale musí existovat taková konstanta , že Analogickou úvahu můžeme provést i pro ostatní nezávislé proměnné. Má-li být ovšem splněna původní rovnice, nemohou být konstanty libovolné. Musí splňovat výše uvedenou vazebnou podmínku Při použití metody separace proměnných se během řešení zadané rovnice omezujeme jen na vybrané funkce speciálního tvaru. Není to na újmu obecnosti řešení? Není. Je možno například ukázat, že libovolné fyzikálně přijatelné řešení Schrödingerovy rovnice lze napsat jako lineární kombinaci takto získaných speciálních řešení. 6.2. Fourierova transformace Níže podáváme jen stručný výklad základních pojmů a vět. Podrobnosti může čtenář nalézt např. v příručce Rektorysově. Definice Nechť je v absolutní hodnotě integrovatelná funkce, Potom funkci která je definována předpisem nazýváme Fourierovou transformací funkce f. A funkci nazýváme inverzní Fourierovou transformací funkce f. Poznámka Fourierova transformace přiřazuje každé v absolutní hodnotě integrovatelné funkci f novou funkci Označíme-li množinu všech v absolutní hodnotě integrovatelných funkcí na symbolem můžeme říci, že zmíněný předpis definuje zobrazení kde H je množina všech funkcí, které můžeme získat Fourierovou transformací nějaké funkce z Pak ovšem můžeme ve zkratce psát Funkce však nemusí být obecně z Obdobně definuje předpis pro inverzní Fourierovu transformaci zobrazení jehož pomocí můžeme psát Ani funkce nemusí být obecně z Všimněte si, že obě zobrazení G i jsou lineární. Věta (o Fourierově transformaci) Budiž f spojitá funkce z taková, že její Fourierův obraz je rovněž z Pak platí Poznámka V kvantové teorii nepracujeme zpravidla s funkcemi v absolutní hodnotě integrovatelnými na tedy z ale s funkcemi, jejichž absolutní hodnota je kvadraticky integrovatelná na Obecně však taková funkce nemusí do patřit. Proto použití věty o Fourierově transformaci na kvadraticky integrovatelné funkce vyžaduje jistou obezřetnost. 6.3. Pravděpodobnost V přírodních i technických vědách se velmi často setkáváme se situací, kdy výsledek experimentu, pozorování či měření není jednoznačný. I když zmíněný experiment opakujeme tak, že všechny kontrolovatelné počáteční podmínky jsou ve všech opakováních stejné, mohou se získané výsledky navzájem lišit. Maximální informaci, kterou můžeme o jednotlivých výsledcích získat, je míra očekávání, že ten či onen výsledek v konkrétním opakování nastane. Níže podáváme zjednodušený výklad pojmů a postupů, které dovolují tuto míru očekávání kvantifikovat. Bližší poučení o problému je možno nalézt například v příručce Rektorysově. Statistický experiment Experiment s několika možnými výstupy, které nedokážeme jednoznačně předpovědět, nazveme experimentem statistickým. Statistický experiment provádíme opakovaně se stejným systémem, všechny kontrolovatelné počáteční podmínky experimentu jsou v jednotlivých opakováních stejné. O jednotlivých opakováních experimentu budeme hovořit jako o pokusech. O konkrétní sérii pokusů budeme hovořit jako o realizaci statistického experimentu. Relativní četnost, pravděpodobnost Označme N celkový počet pokusů, které jsme v rámci realizace daného statistického experimentu provedli, a počet pokusů vedoucích ke k-tému výsledku. Pak poměr nazveme relativní četností k-tého výsledku. Je jasné, že se relativní četnosti daného výsledku mohou pro různé realizace experimentu lišit, zejména v závislosti na různých počtech pokusů N. Proto definujeme veličinu, která již na počtu pokusů nezávisí - pravděpodobnost k‑tého výsledku V uvedené definici pravděpodobnosti mlčky předpokládáme, má-li být korektní, že limita na levé straně rovnosti existuje. Pokud tomu tak je pro každý možný výsledek, nazveme příslušný experiment statisticky regulárním. V opačném případě hovoříme o statisticky neregulárním experimentu. Pravděpodobnost jednotlivých výsledků přibližujeme v konkrétní realizaci statisticky regulárního experimentu s dostatečně vysokým počtem provedených pokusů prostřednictvím relativních četností - Věříme, stejně jako v případě jakéhokoliv jiného měření, že dostatečný počet opakování zajistí pouze minimální odchylku relativních četností od limitních pravděpodobností. Rozdělení pravděpodobnosti, náhodné veličiny Předpokládejme, že daný statistický experiment má konečný počet, řekněme n, možných výsledků. Uspořádanou n-tici pravděpodobností jednotlivých výsledků statisticky regulárního experimentu nazveme rozdělením pravděpodobnosti. Vzhledem k definici pravděpodobnosti zřejmě platí Říkáme proto, že rozdělení je normováno k jedničce. Často však bývá výhodné pracovat s pravděpodobnostmi nenormovanými, které se od normovaných liší kladným multiplikativním faktorem. Provádíme-li v rámci daného experimentu měření nějaké veličiny X, může tato v závislosti na výsledku konkrétního pokusu nabývat obecně různých hodnot O veličině X proto hovoříme jako o veličině náhodné, neboť s různými pravděpodobnostmi nabývá náhodně různých hodnot. Střední hodnota, střední kvadratická fluktuace Pro náhodnou veličinu definujeme její střední hodnotu kde N je celkový počet pokusů provedených v konkrétní realizaci daného experimentu a hodnota veličiny X naměřená v K-tém pokusu. V konkrétním měření ovšem střední hodnotu přibližujeme, za předpokladu velkého počtu opakování, vztahem Střední hodnotu veličiny X je však možno získat i jiným způsobem. Stačí si uvědomit, že v celkovém počtu N pokusů se vyskytne první výsledek krát, druhý krát atd. Proto můžeme sumu přepsat do tvaru a pro střední hodnotu psát Střední hodnota veličiny X zadává průměrný výsledek, jehož měřením dosáhneme. Konkrétní výsledky získané v konkrétních pokusech (opakováních experimentu) se od této střední hodnoty obecně liší. Míru odlišnosti popisujeme tzv. střední kvadratickou fluktuací kterou můžeme, podobně jako střední hodnotu počítat pomocí alternativní formule Tento vzorec je možno dále po snadných úpravách převést do formálně jednoduššího, a proto často používaného tvaru kde Střední kvadratická fluktuace je vhodnou veličinou pro odhad chyby měření veličiny X. 6.4. Hilbertův prostor Hilbertův prostor je úplný lineární vektorový prostor se skalárním součinem. Níže podáváme stručný výklad některých použitých pojmů. Bližší poučení lze nalézt např. v učebnici Formánkově. Lineární vektorový prostor (Komplexní) lineární vektorový prostor (LVP) je libovolná množina V, na které jsou definovány operace sčítání a násobení (komplexním) číslem splňující níže uvedené axiomy. Prvky LVP nazýváme vektory a v souladu s konvencí přijatou v kvantové teorii je budeme označovat symboly ap. Axiomy LVP Vektor se obvykle nazývá nulovým vektorem. Násobek vektoru číslem, budeme někdy označovat alternativním symbolem Podobně i pro součet užijeme občas ekvivalentní zápis Podle výše řečeného tedy existuje zobrazení které každé dvojici vektorů a z V přiřazuje jejich součet a zobrazení které komplexnímu číslu a a vektoru přiřazuje násobek Tyto operace musí splňovat výše uvedenou soustavu axiomů platných pro všechny vektory z V a všechna komplexní čísla. Skalární součin Pod skalárním součinem na LVP V rozumíme zobrazení které libovolné dvojici vektorů z V přiřazuje (komplexní) číslo a splňuje níže uvedenou soustavu axiomů. Skalární součin vektorů a budeme označovat v souladu se zvyklostmi zažitými v kvantové teorii symbolem Axiomy skalárního součinu Hvězdičkou označujeme v prvním axiomu komplexní sdružení. Pomocí skalárního součinu definujeme dále na V tzv. Eukleidovskou normu vektoru Úplnost LVP se skalárním součinem Z matematické analýzy víme, že každá posloupnost reálných (či komplexních) čísel splňující tzv. Cauchyovu podmínku má limitu, je konvergentní. Na obecném LVP se skalárním součinem však posloupnost vektorů splňujících Cauchyovu podmínku konvergentní nutně být nemusí. Její eventuální limita může např. ležet mimo množinu V. LVP se skalárním součinem, jehož každá posloupnost vektorů splňujících Cauchyovu podmínku je konvergentní, a má tedy limitu z tohoto prostoru, nazveme úplným. Separabilita Hilbertovy prostory, které hrají významnou roli v kvantové teorii, jsou separabilní. Osvětleme proto stručně i tento pojem. Obecná definice separability Hilbertova prostoru je komplikovaná a zcela překračuje rámec této encyklopedie. Pro naše účely postačí, budeme-li pod separabilním Hilbertovým prostorem rozumět takový Hilbertův prostor V, na němž existuje nejvýše spočetná množina vektorů taková, že libovolný vektor můžeme psát jako lineární kombinaci V případě nekonečněrozměrných prostorů přechází suma na levé straně na nekonečnou řadu jejíž konvergenci vyšetřujeme pomocí výše zavedené Eukleidovské normy. 6.5. Operátory na Hilbertově prostoru Teorie lineárních operátorů na Hilbertových prostorech tvoří velmi obtížnou matematickou disciplínu. Proto níže uvádíme pouze některé základní pojmy. Bližší poučení je možno nalézt ve specializované literatuře nebo též v monografii Formánkově. Lineární operátory Operátorem na Hilbertově prostoru V nazveme zobrazení z tohoto prostoru do sebe sama, Množinu všech vektorů z V, pro které je toto zobrazení definováno, nazveme definičním oborem operátoru Vektor přiřazený tímto zobrazením vektoru budeme označovat symbolem nebo též Splňuje-li navíc toto zobrazení pro libovolnou dvojici vektorů a a libovolné komplexní číslo a relace nazveme operátor lineárním. U lineárních operátorů navíc vyžadujeme, aby jejich definiční obor byl lineárním podprostorem prostoru V. Musí být tedy uzavřený vzhledem ke sčítání vektorů a násobení vektorů komplexním číslem. Neomezené operátory Skalární součin zadává na Hilbertově prostoru normu vektoru: Operátor, pro nějž existuje taková kladná konstanta K, že pro každý vektor z definičního oboru platí nazveme operátorem omezeným. Operátor, který není omezený, nazveme operátorem neomezeným. Neomezené operátory nejsou zpravidla definovány na celém prostoru V. Vždy proto musíme dbát na jejich definiční obor. Jednou z velkých matematických komplikací kvantové teorie je, že operátory přiřazené dynamickým proměnným jsou až na řídké výjimky neomezené. Omezené operátory je naopak možno vždy definovat tak, aby jejich definiční obor splýval s V. Husté podmnožiny Hilbertova prostoru Má-li operátor jehož definiční obor nesplývá s celým Hilbertovým prostorem V, pokrývat V dostatečně účinně, musí jeho definiční obor vytvářet na tomto prostoru dostatečně hustou síť. Požadujeme proto, aby definiční obor operátoru byl hustou podmnožinou Hilbertova prostoru V. Pod hustou podmnožinou přitom rozumíme takovou množinu že pro libovolný vektor a libovolné kladné číslo e existuje vektor takový, že jeho vzdálenost od je menší než zvolené e, tj. Sdružený operátor Nechť a jsou lineární operátory definované na V. Nechť navíc pro libovolnou dvojici vektorů a z nějaké husté podmnožiny V platí Pak operátor nazveme sdruženým operátorem k operátoru Samosdružené operátory Je-li operátor roven svému sdruženému, nazveme jej samosdruženým. Pozor však! Rovnost neznamená pouze, že je na nějaké husté podmnožině V splněn vztah Navíc si musí být navzájem rovny i definiční obory operátorů a Operátor splňující pouze podmínku se nazývá operátorem symetrickým. V základních kursech kvantové teorie se obvykle nebere zřetel na definiční obory operátorů, a proto jsou často symetrické a samosdružené operátory zaměňovány. To ovšem není zcela korektní, neboť pro neomezené operátory samosdruženost sice implikuje symetrii, opak ale obecně neplatí. Protože vzhledem k symetrii samosdruženého operátoru není významné, zda stojí u prvního či druhého činitele skalárního součinu, píšeme obvykle skalární součin pro samosdružený operátor ve tvaru 6.6. Vlastní hodnoty a vlastní vektory samosdružených operátorů Část teorie lineárních operátorů na Hilbertových prostorech zabývající se jejich vlastními vektory a vlastními hodnotami se obvykle nazývá spektrální analýza operátorů. I pro speciální případ samosdružených operátorů se jedná o velice komplikovanou matematickou teorii, z níž si můžeme nastínit pouze základní pojmy a fakta. Bližší poučení je možno nalézt ve specializované literatuře. Vlastní hodnoty a vlastní vektory Nechť je lineární operátor na Hilbertově prostoru V. Nenulový vektor z tohoto prostoru nazveme vlastním vektorem operátoru odpovídajícím vlastní hodnotě (vlastnímu číslu) a, je-li splněna podmínka Množinu všech vlastních hodnot nazýváme pak obvykle též spektrem vlastních hodnot operátoru Vlastními vektory operátorů reprezentujících v kvantové mechanice dynamické proměnné studovaného systému jsou speciální vlnové funkce. Obvykle je nazýváme funkcemi vlastními. Lineární kombinace dvou vlastních vektorů, které odpovídají téže vlastní hodnotě operátoru je zřejmě rovněž vlastním vektorem odpovídajícím stejné vlastní hodnotě. Proto množina všech vlastních vektorů odpovídajících téže vlastní hodnotě, k níž přidáme nulový vektor, tvoří na V lineární podprostor. Vlastní hodnoty a vlastní vektory samosdružených operátorů Vlastní hodnoty samosdružených operátorů jsou reálné. Pro (nenulový) vlastní vektor samosdruženého operátoru a odpovídající vlastní hodnotu a totiž platí a Vzhledem k samosdruženosti operátoru platí ale též a tedy i Vlastní vektory samosdruženého operátoru, které odpovídají různým vlastním hodnotám, jsou navzájem ortogonální. Jsou-li totiž a vlastní vektory příslušné k různým vlastním hodnotám a a b, můžeme psát Dále však platí a proto též Vlastní hodnoty a a b jsou ale podle předpokladu různé, proto musí nutně platit 6.7. Algebraické operace s operátory na Hilbertových prostorech Sčítání operátorů Nechť a jsou dva operátory na Hilbertově prostoru V s definičními obory a Součtem těchto operátorů, který budeme označovat symbolem rozumíme operátor s definičním oborem splňující pro každý vektor Všimněme si rozdílu v interpretaci symbolu „+“ na levé a pravé straně uvedené definiční rovnosti. Zatímco výraz označuje sčítání na množině operátorů definovaných na Hilbertově prostoru V, tedy operaci nově zaváděnou, je „obyčejný“ součet vektorů z tohoto prostoru. Matematickou indukcí je možno operátorové sčítání rozšířit na libovolný konečný počet sčítanců. Vzhledem k axiomům lineárního vektorového prostoru snadno vidíme, že sčítání operátorů je komutativní i asociativní. Násobení operátoru číslem Nechť je operátor na Hilbertově prostoru V a a obecně komplexní číslo. Pak a-násobkem tohoto operátoru, který budeme označovat symbolem rozumíme operátor splňující pro každý vektor (definiční obor operátoru je tedy totožný s definičním oborem operátoru Podobně jako výše sčítání je nyní i násobení na levé a pravé straně definiční rovnosti poněkud odlišné. Zatímco na levé straně násobíme číslem operátor působící na Hilbertově prostoru V, na straně pravé vektor z tohoto prostoru. Násobení operátorů Nechť a jsou dva operátory na Hilbertově prostoru V s definičními obory a Součinem těchto operátorů, který budeme označovat symbolem rozumíme operátor splňující pro každý vektor pro nějž jsou požadované operace definovány, Působení součinu dvou operátorů není tedy ničím jiným než výsledkem postupné aplikace jednotlivých operátorů, a to v pořadí, v jakém jsou v součinu zapsány. Definiční obor operátoru je proto zřejmě dán následujícím předpisem: Operátory na Hilbertově prostoru V jsou podle definice zobrazeními tohoto prostoru do sebe sama. Násobení operátorů pak ovšem odpovídá skládání těchto zobrazení. Matematickou indukcí je možno operátorové násobení rozšířit na libovolný konečný počet činitelů tak, že bude asociativní. Násobení operátorů však není komutativní, obecně záleží na pořadí činitelů v operátorovém součinu. Je ovšem distributivní vůči operátorovému sčítání. Komutátor a antikomutátor operátorů Komutátor operátorů a zpravidla označovaný symbolem je operátor definovaný předpisem V kvantové teorii bývá často užitečný i analogicky definovaný antikomutátor dvou operátorů: Umocňování operátorů Pomocí násobení operátorů můžeme přímočaře definovat jejich obecnou mocninu s kladným exponentem a pro operátory, k nimž existuje operátor inverzní též mocninu s exponentem záporným Obě definice můžeme ještě dále doplnit velmi přijatelným vztahem kde je operátor identity, tj. pro každé Funkce operátoru Nechť f(x) je analytická funkce, kterou je možno na okolí x = 0 rozvést do McLaurinovy řady kde a nechť je operátor na Hilbertově prostoru V. Pak pod funkcí operátoru rozumíme Částečné součty uvedené řady je možno bez větších potíží vyčíslit pomocí výše uvedených definic sčítání a umocňování operátorů a násobení operátoru číslem. Konvergenci samotné řady je pak nutno vyšetřovat bodově pro různé vektory z V. Tj. musíme vyšetřovat konvergenci řad typu kde Analogickým způsobem můžeme definovat i funkce více operátorů. Musíme však dávat velký pozor na to, že násobení operátorů není obecně komutativní! 6.8. Permutace Pod permutací P N-prvkové množiny rozumíme její vzájemně jednoznačné zobrazení na sebe sama, Chápeme-li tuto množinu jako uspořádanou N-tici prvků, znamená permutace změnu jejich pořadí. Celkový počet permutací, které můžeme pro zadanou N-prvkovou množinu zkonstruovat, je dán, bereme-li v úvahu i triviální permutaci, při níž se pořadí prvků nemění, faktoriálem počtu jejich prvků, Speciálním typem permutace je výměna dvou zvolených prvků. Tuto permutaci obvykle nazýváme transpozicí. Je možno ukázat, že libovolnou permutaci můžeme získat následnou aplikací jistého počtu transpozic. Pochopitelně existuje více (nekonečně mnoho) způsobů, jak zadanou permutaci získat. Proto není počet potřebných transpozic určen jednoznačně. Pro zadanou permutaci P je však jednoznačně určeno, zda tento počet bude dán lichým či sudým číslem. Podle toho přiřazujeme permutaci určité znaménko, které označujeme obvykle symbolem sign(P). Je-li počet transpozic nutných ke konstrukci permutace P lichý, přiřadíme jí znaménko sign(P) = -1 a hovoříme o ní jako o permutaci liché, je-li naopak sudý, pokládáme sign(P) = +1 a permutaci nazveme sudou. Vysvětlivky Kvantování Pod kvantováním rozumíme fakt, že některé fyzikální veličiny (kupř. energie nebo moment hybnosti) mohou nabývat jen některých klasicky přípustných hodnot, které jsou od sebe zřetelně odděleny intervaly hodnot zakázaných. Rychlost světla Boltzmannova konstanta Elementární elektrický náboj Permitivita vakua Polární souřadnice Polární souřadnice v rovině souvisejí s kartézskými souřadnicemi (x,y) prostřednictvím transformačních vztahů a Potenciálové pole Vektorové pole nazveme potenciálovým, pokud existuje skalární funkce splňující kde je vektorový operátor. Funkci pak obvykle nazýváme potenciálem pole Gradient Laplaceův operátor Kroneckerovo delta pro pro Hustota veličiny Hustotu r veličiny X spojitě rozložené v prostoru definujeme v zadaném bodě vztahem kde DV je objemový element obsahující bod a DX množství veličiny X v tomto objemu obsažené. Hustota toku veličiny Pod hustotou toku veličiny X rozumíme takové vektorové pole jehož plošný integrál 2. druhu udává množství této veličiny, které proteče za jednotku času orientovanou plochou S. Divergence Gaussova-Ostrogradského věta Pro spojité a spojitě diferencovatelné vektorové pole a prostorovou oblast V s dostatečně hladkou hranicí můžeme psát kde element plochy má orientaci vektoru vnější normály k ploše . Zobecněné Kroneckerovo delta pro pro Dynamické systémy Teorie dynamických systémů se zabývá teoretickým studiem modelů, jejichž časový vývoj je popsán nelineárními evolučními rovnicemi. Soustřeďuje se především na závislost vývoje těchto modelů na neurčitosti počátečních podmínek a přechod od deterministického chování k chaosu. Modifikovaná Gaussova-Ostrogradského věta Pro spojitou a spojitě diferencovatelnou skalární funkci a prostorovou oblast V s dostatečně hladkou hranicí můžeme psát kde element plochy má orientaci vektoru vnější normály k ploše Poissonovy závorky kde a jsou zobecněné souřadnice a hybnosti systému. Levi-Civitův symbol kde symbol sign označuje znaménko výrazu v hranatých závorkách: sign[x] = 1 pro x > 0, sign[x] = -1 pro x < 0 a sign[x] = 0 pro x = 0. Sférické souřadnice Sférické souřadnice v prostoru souvisejí s kartézskými souřadnicemi (x,y,z) prostřednictvím vztahů a Kulové funkce kde (l = 0,1,2,… a m = -l, -l+1,…, l-1, l) jsou přidružené Legendrovy funkce a konstantní multiplikativní faktor zajišťuje vhodnou normalizaci. Rotace Hermitovská matice Hermitovská matice je čtvercová matice, jejíž prvky splňují relace kde hvězdičkou označujeme komplexní sdružení. V případě reálných matic je hermitovská matice maticí symetrickou, Hermiteovy polynomy Protonové číslo Protonové číslo udává počet protonů v atomovém jádře a po vynásobení elementárním elektrickým nábojem i celkový elektrický náboj jádra. Základní fyzikální interakce Mezi základní (fundamentální) fyzikální interakce zahrnujeme interakci gravitační, elektromagnetickou, slabou a silnou. Kvantová teorie pole popisuje velmi dobře poslední tři interakce, kvantování gravitačního pole není dosud uspokojivě vyřešeno. Elektroslabé interakce Teorie elektroslabých interakcí (GSW model) sjednocuje popis elektromagnetických a slabých interakcí do jediné univerzální teorie. V 60. letech 20. století byla formulována A. Salamem, S. Glashowem a S. Weinbergem. Kalibrační pole V rámci teorie kalibračních polí jsou existence i vlastnosti základních fyzikálních interakcí (elektromagnetické, slabé a silné) důsledkem fundamentálních symetrií vesmíru. Slabá interakce Slabá interakce je např. zodpovědná za beta rozpad některých atomových jader, tedy za emisi elektronů či pozitronů z nich. Má extrémně malý dosah. Silná interakce Silně interagují (elementární) částice nazývané hadrony. Mezi ně řadíme například, kromě mnoha jiných, i neutrony a protony. Silná interakce drží pohromadě atomová jádra, která by se bez ní velmi rychle rozpadla v důsledku elektrických odpudivých sil působících mezi kladně nabitými protony. Její dosah je dán zhruba rozměrem atomových jader ( ). Gravitační interakce Gravitační interakce je ze všech elementárních interakcí (s výjimkou interakce slabé) nejslabší. V mikroskopických a makroskopických měřítcích je zcela zanedbatelná, má však nekonečný dosah a je univerzální, působí mezi všemi tělesy ve vesmíru. Její význam prudce vzrůstá v tzv. megasvětě (tj. v oblasti velkých vzdáleností a zejména velkých hmotností). Pro slabá gravitační pole je úspěšně popsána Newtonovým gravitačním zákonem, v případě silných polí je zapotřebí k popisu gravitačního působení použít Einsteinovu obecnou teorii relativity. Per partes kde Nejvýše spočetná množina Pod nejvýše spočetnou množinou rozumíme množinu, která je buď konečná, nebo nekonečná a spočetná (tedy ekvivalentní množině přirozených čísel). Inverzní operátor Nechť je prostý operátor na Hilbertově prostoru V s definičním oborem a oborem hodnot Pod inverzním operátorem k pak rozumíme operátor s definičním oborem splňující pro každé a pro každé Bodová konvergence Řekneme, že posloupnost operátorů konverguje bodově na Hilbertově prostoru V k operátoru právě, když pro každý vektor z průniku definičních oborů operátorů konverguje posloupnost vektorů k vektoru (podle normy zadané skalárním součinem na prostoru V). Literatura [1] FORMÁNEK, J. Úvod do kvantové teorie. 1. vyd. Praha: Academia, 1983. 903 s. [2] BEISER, A. Úvod do moderní fyziky. 1. vyd. Praha: Academia, 1978. 628 s. [3] POLÁK, R. a ZAHRADNÍK, R. Kvantová chemie, 1. vyd. Praha/Bratislava: SNTL/Alfa, 1985. 466 s. ISBN 04-621-85. [4] HAJKO, V., aj. Fyzika v experimentoch. 1. vyd. Bratislava: Veda, 1988. 415 s. [5] KVASNICA, J. Teorie elektromagnetického pole. 1. vyd. Praha: Academia, 1985. 450 s. [6] FORMÁNEK, J. Úvod do relativistické kvantové mechaniky a kvantové teorie pole 1, 2. 1. vyd. Praha: Karolinum, 2000. 932s. ISBN 80-246-0063-3. [7] BROŽ, J., ROSKOVEC, V. a VALOUCH, M. Fyzikální a matematické tabulky. 1. vyd. Praha: SNTL, 1980. 305 s. [8] REKTORYS, K., aj. Přehled užité matematiky. 4. vyd. Praha: SNTL, 1981. 1139 s. ________________________________ [*] Pod hustotou toku částic v zadaném bodě rozumíme počet částic, které projdou detektorem umístěným v tomto bodě za jednotku času. Toto číslo navíc opatříme znaménkem. Pokud se částice pohybují v kladném směru, přiřadíme toku kladné znaménko a naopak.