Základy matematiky (MA-0001)
verze 2018
Břetislav Fajmon
OBSAH 1
Obsah
1 Podstata matematiky 4
1.1 Warm-up: Co je základem matematiky? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Přednáška . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Základní typy důkazů 12
2.1 Warm-up: Funkce 01 – Kvadratické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Přednáška . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Důkaz sporem, indukcí, protipříkladem 17
3.1 Warm-up: Funkce 02 – Lineárně lomené funkce . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Přednáška . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Množiny a Vennovy diagramy 22
4.1 Warm-up: Prověrka (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 Přednáška . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Číselné obory, dělitelnost celých čísel 28
5.1 Warm-up: Funkce 03 – Mocninné funkce f(x) = xn
a funkce k nim inverzní 28
5.2 Přednáška . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6 Binární relace 36
6.1 Warm-up: Funkce 04 – Funkce exponenciální (f(x) = ax
) a logaritmické
(f(x) = loga(x)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2 Přednáška . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7 Ekvivalence a rozklady 44
7.1 Warm-up: Funkce 05 – Funkce exponenciální a logaritmické II . . . . . . . 44
7.2 Přednáška . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8 Uspořádané množiny 49
8.1 Warm-up: Prověrka (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8.2 Přednáška . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9 Uspořádané množiny II – operace průsek a spojení 60
9.1 Warm-up: Jazyk R, část 01 – některé základní příkazy, příklad na úročení . 60
9.2 Přednáška . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2 OBSAH
10 Zobrazení 70
10.1 Warm-up: Jazyk R, část 02 – kreslení grafů funkce . . . . . . . . . . . . . . 70
10.2 Přednáška . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11 Základní vlastnosti reálných funkcí 79
11.1 Warm-up: V tomto předmětu jsme už tak zahřátí, že už žádný warm-up
nepotřebujeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.2 Přednáška . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.3 Cvičení 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
12 Goniometrické funkce 85
12.1 Warm-up: Poslední téma předmětu snad ani žádný warm-up nepotřebuje. . 85
12.2 Přednáška . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
12.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
13 Výsledky některých příkladů 97
13.1 Výsledky ke kapitole 1.3 – podstata matematiky . . . . . . . . . . . . . . . 97
13.2 Výsledky ke kapitole 2.3 – základní typy důkazů . . . . . . . . . . . . . . . 97
13.3 Výsledky ke kapitole 3.3 – důkaz sporem, indukcí, protipříkladem . . . . . 97
13.4 Výsledky ke kapitole 4.3 – množiny a Vennovy diagramy . . . . . . . . . . 98
13.5 Výsledky ke kapitole 5.3 – číselné obory, dělitelnost celých čísel . . . . . . . 98
13.6 Výsledky ke kapitole 6.3 – relace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
13.7 Výsledky ke kapitole 7.3 – ekvivalence a rozklady . . . . . . . . . . . . . . 99
13.8 Výsledky ke kapitole 8.3 – uspořádané množiny . . . . . . . . . . . . . . . 99
13.9 Výsledky ke kapitole 9.3 – uspořádané množiny II – operace průsek a spojení101
13.10Výsledky ke kapitole 10.3 – zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
13.11Výsledky ke kapitole 11.3 – základní vlastnosti funkcí . . . . . . . . . . . . 102
13.12Výsledky ke kapitole 12.3 – goniometrické funkce . . . . . . . . . . . . . . 102
OBSAH 3
Úvod
Tato skripta jsou vytvářena jako podpora přednášek i cvičení do předmětů Základy matematiky
(MA-0001) na PdF MU Brno. Studenti se v nich seznámí či připomenou si základní
matematické pojmy a základní matematické principy.
První základní věcí v matematice jsou deﬁnice, tj. jednoznačné vymezení pojmů. Co
se týká pojmů množina, kartézský součin, relace, uspořádání, ekvivalence, zobrazení,
operace, posloupnost, reálná funkce, jejich deﬁnice si studenti musí odnést i
do dalšího semestru a jejich znalost bude prověřena i v navazujícím předmětu Algebra 1
(= MA 0003), protože tyto deﬁnice jsou skutečně základní.
Druhou základní věcí tohoto předmětu jsou vlastnosti číslované (11) až (18) – tato čísla
si studenti pamatovat nemusí (i když autor textu si myslí, že číslování by mohlo pomoci
při jejich zapamatování), ale obsah těchto vlastností ano. Čísla (11) až (14) představují
důležité vlastnosti relací, čísla (15) až (17) důležité vlastnosti uspořádaných množin, číslo
(18) deﬁnici (či vlastnost) zobrazení. Všech osm vlastností jsou vlastnosti různých
relací, protože uspořádání i zobrazení jsou speciálním případem relace.
Třetí základní věcí jsou vůbec principy logického usuzování a metody prokazování
platnosti matematických tvrzení – v textu čtenář najde tuto problematiku v
prvních třech kapitolách a v jedenácti typech důkazů. Tyto důkazy pak hrají roli při potvrzení
platnosti asi dvaceti matematických vět v textu uvedených. Konec matematických
důkazů, pokud jsou uvedeny, je označen symbolem P. Konce některých příkladů, pokud
je rozumné je v textu odlišit od následujících úvah, jsou zakončeny znakem .
Čtvrtou základní věcí v tomto textu je důraz na stručný matematický zápis a matematické
značení pomocí speciálních symbolů. U některých pojmů v matematické
literatuře toto značení není jednoznačně domluveno, nicméně označení v tomto textu je
přijato ve většině literatury a studenti by si měli učit dovednosti tento stručný matematický
zápis číst i psát.
Pátou základní věcí je pojem (reálné) funkce (jedné reálné proměnné), s
níž souvisí dovednost nakreslit grafy některých základních funkcí a určit jejich
vlastnosti. Tuto dovednost budou studenti dále rozvíjet v předmětu Matematická analýza
1 (MA-0004), ale už v předmětu Základy matematiky by si měli zopakovat či se naučit
pracovat s vlastnostmi a grafy některých elementárních funkcí.
Po absolvování tohoto předmětu nebudou studenti znát o mnoho více než to, co si přinesli
ze střední školy, ani nebudou mít nějaké světoborné informace o využití matematiky
v praxi. Nicméně budou seznámeni s některými rysy vysokoškolského přístupu k matematice
a s některými pojmy, jejichž znalost v dalším návazném matematickém vzdělání je
považována za samozřejmou. A protože těch základních věcí je docela dost, pusťme se do
práce a do studia.
Tento text vznikl v roce 2017, v roce 2018 byl doplněn o cvičení a v roce 2019 bude
snad doplněna závěrečná kapitola o výsledky cvičení.
Břetislav Fajmon, Brno 2018
4 1 PODSTATA MATEMATIKY
1 Podstata matematiky
1.1 Warm-up: Co je základem matematiky?
Co je podstatou matematiky? To je otázka pro studenty1
. Přemýšlejte nejprve každý sám
o dvou až třech věcech a řekněte je svému sousedovi.
Na předchozí otázku je možné reagovat řadou odpovědí. Možnou dvojicí odpovědí je
1) číslo ... je podstatou počítání (aritmetiky = práce s čísly, řecky arithmos = číslo); 2)
tvar či obrazec ... je podstatou geometrie = zeměměřičství, pramatky geometrické teorie
i praxe.
Toto hrubé dělení matematiky na dvě oblasti přetrvává i do dneška:
ad 1) místo aritmetiky bychom možná obecněji řekli diskrétní matematika (= matematika
oddělených objektů a struktur, zejména čísel a rovnic, ale i konečných množin,
operací sčítání, odčítání, umocňování, apod.),
ad 2) a protipólem diskrétní matematiky je spojitá matematika, která studuje geometrické
obrazce, ale také reálné funkce reálné proměnné (které jsou často spojité, aspoň
ty elementární z nich).
Uvedené dva typy objektů často nelze oddělit (od nepaměti v geometrii šlo i o délky
objektů, tj. geometrie byla vždy spojena s čísly), naopak v posledních dvou stoletích se
staly revolučními ty obory matematiky, které spojují diskrétní i spojitou matematiku
dohromady – takovou je například analytická geometrie (používá rovnice k popisu rovin,
přímek, ploch, tj. geometrických objektů) nebo matematická analýza (popisuje křivky a
plochy v prostoru pomocí reálných funkcí a dále s nimi pracuje).
Přesto existují i další odpovědi na otázku, co je základem či podstatou matematiky, a
na některé se podíváme právě během tohoto kursu.
1.2 Přednáška
Zaměřmě se nyní na následující odpověď: podstatou matematiky je přesné a logické
odvozování.
Řecké slovo mathéma = nauka (věda) či poučka, platné či pravdivé tvrzení – tj.
matematika je vědou založenou na přesném vyjadřování, vědou o pravdách, jejichž
platnost byla prokázána. Zajímají ji výroky s pravdivostní hodnotou „pravdivý – ty
nazývá matematickými větami (teorémami)2
Deﬁnice 01: Výrok je písemně zaznamenatelné tvrzení, kterému lze v daných souvislostech
jednoznačně přiřadit pravdivostní hodnotu – výroky jsou tedy taková tvrzení,
která lze označit buď za pravdivá (= s pravdivostní hodnotou 1), nebo za nepravdivá (=
s pravdivostní hodnotou 0).
1
Warm-up je anglické slovo, které lze přeložit jako „zahřívátko – jedná se o činnost na začátku hodiny,
která má příchozí zapojit do hodiny či do tématu.
2
Slovo theóró (= vidím, zřím) je též z řečtiny, tj. teoréma = něco, co se nahlédlo a přijalo jako pravda
... ovšem nikoli subjektivní pravda, ale objektivní, která nezávisí na nahlížiteli.
1.2 PŘEDNÁŠKA 5
Poznámka: zákony logiky a ﬁlosoﬁe.
Podstatou přesného či správného vyjadřování jsou tři zákony, na kterých stojí nejen
matematika, ale i ﬁlosoﬁe:
• Zákon: Nemůže současně platit výrok i jeho negace3
. Jinými slovy, pokud při
logickém usuzování dospějeme k tomu, že platí současně výrok i jeho negace, říkáme,
že nastal spor = kontradikce (protiřečení, protimluv), a to znamená, že některý z
předpokladů našeho usuzování má nesprávnou pravdivostní hodnotu.
• Zákon vyloučení třetího (= princip pravdivostní dvouhodnotovosti): Buď
platí výrok, nebo jeho negace, ale je vyloučena třetí možnost. Znáte nějakou
situaci, kde nastanou více než uvedené dvě možnosti? V životě někdy máme více než
dvě řešení, jak se zachovat, a při výběru jedné varianty jednání tím pádem všechny
ostatní vylučujeme – ovšem tento výběr z více než dvou možností je něco jiného než
fakt, že při popisu reality používáme dvouhodnotovou logiku pravda/nepravda; pro
každou z více než dvou možností se totiž rozhodujeme „dvouhodnotově : buď si ji
zvolíme, nebo ne.
• Zákon negace negace: Negací negace dostáváme zase původní výrok4
.
Příklad 1.1. Všechny tři zákony přesného vyjadřování platí u následujících dvou vý-
roků:
výrok A : 2 + 2 = 4; jeho negace je ¬A: 2 + 2 = 4. Negací negace dostaneme zase
původní výrok A. Taktéž nemůže platit současně A i ¬A. A platí buď A, nebo ¬A
a je vyloučena třetí možnost.
výrok B : Berlín leží v Evropě; jeho negace ¬B: Berlín neleží v Evropě. Negací negace
dostaneme zase původní výrok B. Taktéž nemůže platit současně B i ¬B. Platí buď
B, nebo ¬B a je vyloučena třetí možnost.
V dalším budeme pod výroky a matematickými tvrzeními vždy rozumět ta, která
splňují uvedené tři zákonitosti.
Deﬁnice 02: Velká písmena např. A, B budeme nazývat výrokové proměnné, protože
jimi lze označovat různé výroky.
Výroky, nebo i jejich schematické znázornění pomocí výrokových proměnných, lze spojovat
do složených struktur pomocí tzv. ( deﬁnice 03 ) logických spojek – tyto logické
spojky lze vyjádřit slovně, nebo i symboly: Uveďme nyní základní přehled těchto logických
spojek:
• výrok ¬A nazveme negací5
( deﬁnice 04 ) výroku A, jestliže pro dílčí pravdivostní
hodnoty výroku A a jeho negace ¬A platí:
3
Negaci výroku deﬁnujeme jako výrok, který popírá platnost původního výroku.
4
Respektive: Negací negace dostaneme výrok ekvivalentní původnímu výroku.
5
V některých učebnicích je negace výroku A označována i symbolem A nebo A .
6 1 PODSTATA MATEMATIKY
p(A) p(¬A)
1 0
0 1
. Symbol ¬ tedy představuje negaci ve zkráceném symbolickém zápisu,
slovně lze tuto negaci vyjádřit například změnou slovesa v jednoduchém výroku
(rovná se ... nerovná se, leží ... neleží – viz předchozí příklad), nebo uvedením slovního
spojení „není pravda, že před výrok, který negujeme.
• výrok A ∧ B nazveme ( deﬁnice 05 ) konjunkcí (spojením) výroků A, B, jestliže
pro dílčí pravdivostní hodnoty výroků A, B platí tabulka pravdivostních hodnot
jejich konjunkce vzhledem k pravdivostním hodnotám jednotlivých výroků
p(A) p(B) p(A ∧ B)
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
. Symbol ∧ tedy představuje konjunkci ve zkráceném
symbolickém zápisu, slovně lze konjunkci vyjádřit spojkou „a , „a současně , „a
přitom , atd.
• výrok A ∨ B nazveme ( deﬁnice 06 ) disjunkcí výroků A, B, jestliže pro dílčí pravdivostní
hodnoty výroků A, B platí tabulka pravdivostních hodnot jejich disjunkce
vzhledem k pravdivostním hodnotám jednotlivých výroků
p(A) p(B) p(A ∨ B)
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
.
Symbol ∨ tedy představuje disjunkci ve zkráceném symbolickém zápisu, slovně lze
disjunkci vyjádřit spojkou „nebo – tato spojka je ovšem uvedena ve významu
nevylučovacím (disjunkce je pravdivá, pokud je pravdivý aspoň jeden z dílčích
výroků, tedy mohou být pravdivé současně oba dílčí výroky):
Příklad 1.2. Pozor na rozdíl u spojky „nebo mezi běžným významem v češtině a
významem matematickým6
: Uvažujme následující tři výroky:
(a) Zítra pojedu do Prahy, nebo nepojedu.
(b) Dnes večer možná půjdu do kina nebo do divadla.
(c) Za deště nebo mlhy zůstanu doma.
Výrok (a) vyjadřuje, že nastane právě jedna ze dvou možností (a je vyloučena třetí
možnost – princip vyloučení třetího). Výrok (b) chce vyjádřit, že nastane nejvýše
jedna ze dvou možností (kino nebo divadlo), v žádném případě obě, ale nemusí nastat
žádná. Výrok (c) znamená, že při výskytu aspoň jedné z možností (déšť nebo mlha)
zůstanu doma, ale zůstanu doma také při výskytu obou možností současně – v tomto
třetím významu je spojka nebo využívána v matematice a formální logice7
.
• výrok A ⇒ B nazveme ( deﬁnice 07 ) implikací utvořenou z výroků A, B, jestliže
pro dílčí pravdivostní hodnoty výroků A, B platí tabulka pravdivostních hodnot z
6
[2], str.31-32.
7
Tedy češtinářské užití spojky „nebo má jen někdy význam disjunkce.
1.2 PŘEDNÁŠKA 7
nich vytvořené implikace vzhledem k pravdivostním hodnotám jednotlivých výroků
p(A) p(B) p(A ⇒ B)
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
. Symbol ⇒ tedy představuje implikaci ve zkráceném symbolickém
zápisu, slovně lze implikaci vyjádřit: „Pokud platí A, tak z toho plyne, že
B ; „když A, tak B ; apod.
V případě platnosti implikace A ⇒ B se výrok A ( deﬁnice 08 ) nazývá
dostatečná podmínka pro platnost výroku B (protože platnost výroku A dostačuje,
postačuje, aby bylo zaručeno, že platí výrok B – implikaci lze tedy slovně
formulovat „Platnost podmínky A je dostatečná pro to, aby platilo B ) a výrok B
se nazývá ( deﬁnice 09 ) nutná podmínka, která nutně vyplývá z platnosti výroku
A (slovní formulace: „pokud platí A, z toho nutně plyne, že platí i B ).
Příklad 1.3. Příklady implikace: a) Když půjde Ondra na ten večírek, půjdu i já;
b) Když bude pršet, vezmu si deštník; c) Když je přirozené číslo dělitené šesti, tak
je toto číslo dělitelné i třemi.
• výrok A ⇔ B nazveme ( deﬁnice 10 ) ekvivalencí utvořenou z výroků A, B, jestliže
pro dílčí pravdivostní hodnoty výroků A, B je tabulka ekvivalence vzhledem k
pravdivostním hodnotám jednotlivých výroků
p(A) p(B) p(A ⇔ B)
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
. Symbol
⇔ tedy představuje ekvivalenci ve zkráceném symbolickém zápisu, slovně lze spojku
ekvivalence vyjádřit: „A platí právě tehdy, když platí B ; „A tehdy a jen tehdy,
když B ; a podobně.
Příklad 1.4. Příklad ekvivalence: Přirozené číslo je dělitelné šesti právě tehdy, když
je dělitelné dvěma i třemi současně.
Poznámka: Stručný matematický zápis.
Budeme postupně (opakovat a) učit se řadě symbolů stručného matematického zápisu
– výstižně a přesně se vyjadřovat je jedním z cílů matematiky „na úrovni B2 , pokud
bychom si vypůjčili na popis vysokoškolské úrovně matematiky označení zažité z evropského
referenčního rámce výuky cizích jazyků.
• označení 00 : N = {1, 2, 3, . . .} ... množina přirozených čísel; někdy také N0 =
{0, 1, 2, 3, . . .} ... množina přirozených čísel včetně nuly;
• označení 01 : Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} ... množina celých čísel;
• označení 02 : množina racionálních čísel
Q =
m
n
: m ∈ Z, n ∈ N .
8 1 PODSTATA MATEMATIKY
• označení 03 : I ... množina iracionálních čísel, tj. R = Q ∪ I;
• označení 04 : R ... množina reálných čísel;
• označení 05 : C ... množina komplexních čísel;
• označení 06 : ¬A ... negace výroku A;
• označení 07 : A ∧ B ... konjunkce výroků A, B;
• označení 08 : A ∨ B ... disjunkce výroků A, B;
• označení 09 : A ⇒ B ... implikace utvořená z výroků A, B – s významem „Když
platí A, tak platí i B ;
• označení 10 : A ⇔ B ... ekvivalence utvořená z výroků A, B – s významem „A platí
právě tehdy, když platí B ;
Matematika je věda o přesném vyjadřování, a my se nyní tento jazyk budeme učit –
jinými slovy, budeme se učit a) přesně formulovat pojmy, b) přesně formulovat, ze kterých
jednoduchých a platných faktů vycházíme, c) dokazovat platnost nových faktů na základě
faktů samozřených nebo dokázaných už dříve.
Deﬁnice 11: (matematická) deﬁnice je přesné vymezení pojmu, z něhož je patrno,
které objekty toto vymezení splňují a které ne (např. bod, úsečka, přímka, kružnice, úhel,
rovnoběžka ... to vše jsou pojmy, které musíme jednoznačně deﬁnovat v tzv. Euklidovské
geometrii).
Deﬁnice 12: (matematický) axiom je tvrzení o vlastnostech pojmů či o vztazích
mezi pojmy, které se nedokazuje, nýbrž všeobecně přijímá jako pravdivé (např. axiomy
Euklidovské geometrie).
Deﬁnice 13: (matematická) věta je tvrzení o vlastnostech pojmů či vztazích mezi
pojmy, které musíme dokázat pomocí axiomů, deﬁnic a vět dokázaných již dříve8
.
Deﬁnice 14: Výroková forma je výraz složený z výrokových proměnných a logických
spojek vyjádřených symboly. Například implikace A ⇒ B nebo ekvivalence A ⇔ B jsou
výrokové formy.
Pokud nyní budeme mluvit o pravdivosti výrokových forem, učíme se takto principy
správného logického usuzování, aniž bychom znali konkrétní výroky dosazené za výrokové
proměnné A a B.
8
Např.: střed kružnice trojúhelníku vepsané leží na průsečíku os jeho úhlů ... platnost tohoto tvrzení
plyne ze vztahu mezi deﬁnicí kružnice (= množina bodů, které mají stejnou vzdálenost od svého středu)
a deﬁnicí osy úhlu (= množina bodů, které mají stejnou vzdálenost od obou ramen úhlu). Z těchto dvou
deﬁnic plyne, že osy úhlů trojúhelníka se protínají v jednom bodě, a navíc v tomto bodě musí ležet i střed
hledané kružnice. Podrobněji dokazovat nebudeme, daná skutečnost slouží jen jako příklad matematické
věty, která nemusí být každému zcela zřejmá a jejíž platnost je dobré podrobněji zdůvodnit na základě
deﬁnic a axiomů.
1.2 PŘEDNÁŠKA 9
Typ důkazu číslo 1: Důkaz ekvivalence výrokových forem.
Sestavíme tabulku výsledných pravdivostních hodnot obou výrokových
forem. Pokud na každém řádku tabulky (jeden řádek = jedna kombinace
dílčích pravdivostních hodnot) mají obě formy stejné pravdivostní
hodnoty, jsou ekvivalentní.
Zajímavá pravidla logického usuzování dostáváme při kombinaci několika logických
spojek, jak je vidět ze dvou následujících matematických vět:
(věta 01) Výroková forma ¬(A∧B) je ekvivalentní s výrokovou formou (¬A)∨(¬B).
Důkaz: pomocí tabulky pravdivostních hodnot (důkaz typu 1): sestavíme pravdivostní
hodnoty složených výrokových forem pro všechny možnosti pravdivosti dílčích výroků a
porovnáme je:
¬(A∧B):
p(A) p(B) p(¬(A ∧ B))
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 1
; dále ¬A∨¬B):
p(A) p(B) p(¬A ∨ ¬B)
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 1
.
Vidíme, že pravdivostní hodnoty výrokových forem jsou stejné na každém řádku (=
pro tytéž hodnoty dílčích výroků), tj. obě výrokové formy jsou logicky ekvivalentní. Jednu
formu lze ekvivalentně zaměnit tou druhou a naopak. P
Příklad 1.5. Výrok A ∧ B zní: Vezmu si klobouk a vezmu si i boty.
Jeho negaci lze provést velmi pragmaticky uvedením záporky „Není pravda, že , tj.
dostaneme výrok typu ¬(A ∧ B): Není pravda, že si vezmu klobouk i boty.
Matematik ovšem chce pracovat precizně a vyzkoušet i další možnosti – mimo jiné
proto, že často je v jeho zájmu odstranit závorky ve složených výrokových formách
(podobně jako někdy pomůže odstranit závorky při početních úpravách s proměnnými
výrazy). Využije věty 1 a vysloví negaci ve tvaru ¬A ∨ ¬B): Nevezmu si klobouk, nebo
si nevezmu boty, nebo si nevezmu ani klobouk, ani boty (třetí část věty musíme v češtině
dodat, abychom zajistili, že se jedná o negaci v matematickém smyslu, tj. může nastat
první i druhá číst věty současně).
(věta 02) Výroková forma ¬(A∨B) je ekvivalentní s výrokovou formou (¬A)∧(¬B).
Důkaz: provedeme pomoci tabulky pravdivostních hodnot (důkaz typu 1). Velmi
podobný větě 1, vhodný pro cvičení. P
Příklad 1.6. Výrok A ∨ B zní: Číslo 20 je dělitelné dvěma nebo třemi. Je to mimochodem
výrok pravdivý.
Jeho negaci bychom mohli provést pomocí záporky „není pravda, že – ovšem tuto
možnost budeme mít na prověrce nejspíš zakázanou, aby vyučující zjistil, zda dokážeme
odstranit závorky ve výrokové formě. Pokusíme se sestavit výrok typu ¬A ∧ ¬B: Číslo 20
není dělitelné dvěma, a současně toto číslo není dělitelné třemi. To je výrok nepravdivý
(což se dalo čekat, protože negace pravidého výroku je nepravdivá), ale jedná se o správně
vytvořenou negaci původního výroku.
10 1 PODSTATA MATEMATIKY
Poznámka: Univerzální výroky.
Matematika se snaží o vytváření tzv. univerzálních výroků, které platí pro více hodnot
z jisté množiny, například pro všechna přirozená čísla, apod. Jsou to tedy jakési výroky
typu „více v jednom nebo „nekonečno v jednom , jinými slovy pomocí proměnných
vyjádříme výrok, který platí pro více hodnot nebo nekonečně mnoho hodnot.
(deﬁnice 15) Výroková funkce je výraz, který sám není výrokem, protože není speciﬁkováno,
jaké hodnoty nabývá proměnná x, kterou obsahuje, takže není možné stanovit
pravdivostní hodnotu.
Až právě kvantiﬁkátor (deﬁnice 16) je ta část výroku, která vymezuje, jakých hodnot
může proměnná ve výrokové funkci nabývat.
Příklad 1.7. Zde je příklad na výrokovou funkci a kvantiﬁkátor: a) Výraz
x > 0
není výrok, protože není stanoveno, čemu se rovná proměnná x – je to ovšem výroková
funkce.
b) Výraz
∀x ∈ N : x > 0
je pravdivý výrok, protože podmínku x > 0 splňují všechna přirozená čísla. Část ∀x ∈ N
je právě kvantiﬁkátor – říká se mu obecný kvantiﬁkátor, protože upřesňuje, že výroková
funkce bude platit pro každý prvek uvedené množiny (= platí obecně pro všechny prvky
dané množiny).
c) Výraz
∀x ∈ R : x > 0
je nepravdivý výrok, protože existují reálná čísla, pro která daná nerovnost neplatí. Mohli
bychom jej pozměnit do tvaru
∃x ∈ R : x > 0,
který už platí. Část ∃x ∈ R je opět kvantiﬁkátor – říká se mu existenční kvantiﬁkátor, a
dosazením před výrokovou funkci tvrdí, že existují nějaká reálná čísla, ne nutně všechna,
ale může jich být i nekonečně mnoho, pro která platí x > 0.
• označení 11 : V (x) ... výroková funkce s proměnnou x;
• označení 12 : ∀ ... pro každé, pro každou;
• označení 13 : ∃ ... existuje; ∃! ... existuje právě jedno, právě jeden; ∃ ... neexistuje,
neexistují;
• označení 14 : : (dvojtečka) ... tak, že; platí
• označení 15 : ∈ ... patří do, je prvkem;
1.3 CVIČENÍ 11
• označení 16 : ∩ ... průnik množin;
• označení 17 : ∪ ... sjednocení množin;
Kapitola byla vypracována na základě zdrojů [1] (str. 2-3 a str. 5) a [2] (str. 22-50).
1.3 Cvičení
Procvičení k této kapitole:
Cvičení 1.1. Dokažte větu 2 z přednášky 1, ale také věty 3,4,5 z následující přednášky
2.
Cvičení 1.2. [2] str. 26: jedná se o výroky? (nebo jiné cvičení na téma, zda daná
tvrzení jsou výroky nebo ne)
Cvičení 1.3. Cvičení na základní negace výroků: Učebnice Matematika pro gymnázia
(nakl. Prometheus), svazek Základní poznatky z matematiky (Bušek, Boček, Calda), str.
136-146. Velmi dobré by bylo procvičení matematického symbolického zápisu výroků a
jejich negací.
Cvičení 1.4. Negujte výroky lépe než jen dodáním záporky „není pravda, že :
4a) Každé přirozené číslo n je rovno součtu svých dělitelů.
4b) Dnes bude pršet a budeme psát písemku z matematiky.
4c) Žádný učený z nebe nespadl.
4d) Půjdu na ten večírek právě tehdy, když tam půjde Ondra.
4e) Pokud přijde Honza, řeknu mu o tom.
4f) Existují aspoň tři přirozená čísla, která jsou rovna součtu všech svých dělitelů.
4g) Existují nejvýše čtyři prvočísla.
4h) Možná, že dnes večer půjdu do kina nebo si přečtu nějakou zajímavou knihu.
4i) Existují právě dvě celá čísla, která se rovnají své druhé mocnině.
Cvičení 1.5. Zapište následující výroky symbolickým matematickým zápisem, ve kterém
nepoužijete ani jedno slovo z běžné češtiny:
5a) Pro každé přirozené číslo existuje jiné přirozené číslo, které je větší než dvojnásobek
toho prvního čísla zvětšený o jedničku.
5b) Pro každé celé číslo existuje jiné celé číslo, které když zmenšíme o jedničku, stále je
výsledek menší než třetí mocnina toho prvního čísla.
Cvičení 1.6. [14], str. 40-41, příklady B.1, B.4, B.6 a),c), B.8, B.9, B.10.
Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 13.1.
12 2 ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ
2 Základní typy důkazů
2.1 Warm-up: Funkce 01 – Kvadratické funkce
Studenti budou muset umět pracovat se základními reálnými funkcemi a kreslit jejich
grafy. Protože toto téma je obsáhlé a není možné je na posledních dvou přednáškách
stihnout, bude probíráno postupně s nějakými úlohami a úkoly. Proto se před tématem
logiky dnes budeme chvíli věnovat kvadratickým funkcím a kreslení jejich grafu.
Kvadratická funkce je reálná funkce typu f(x) = ax2
+ bx + c, kde a, b, c jsou reálné
konstanty a x je reálná proměnná. Podrobnější probrání kvadratických funkcí viz [9], str.
56-71. Určitě si projděte následující věci (odkazy se týkají učebnice [9], některé příklady
jsou řešené v jejím textu, u většiny neřešených příkladů je uveden výsledek na konci knihy
[9]):
• grafy kvadratických funkcí (paraboly):
– str. 61 ... graf funkce y = a · x2
pro různé hodnoty konstanty a;
– str. 64 ... graf funkce y = 3
4
(x + 1)2
− 3;
– příklad 4.9 na str. 67;
• řešení kvadratických nerovnic:
– str. 69, př. 1: řešte v R:
2x2
+ 5 ≤ 3x2
+ x − 1;
– příklad 4.23 na str. 71.
2.2 Přednáška
Typ důkazu číslo 2: Přímý důkaz implikace A ⇒ B.
Při přímém důkazu implikace A ⇒ B vyjdeme z toho, že platí výrok A;
na základě A a dříve dokázaných matematických vět provedeme logicky
korektní úsudek U1; na základě A, U1 a dříve dokázaných vět provedeme
logicky korektní úsudek U2; atd. až po k krocích logicky korektně usoudíme,
že platí B, a to na základě platnosti A, U1, . . ., Uk.
Příklad 2.1. Dokažte:
a, b ∈ R ⇒ a2
+ b2
≥ 2ab.
Důkaz: Výrokem A budeme rozumět část a, b ∈ R – tedy a, b jsou reálná čísla. Co o
nich lze říci?
Úsudek U1: platí vždy, že (a−b)2
≥ 0 (druhá mocnina reálného čísla je vždy nezáporná);
Úsudek U2: z U1 plyne rozepsáním podle vzorce: a2
− 2ab + b2
≥ 0;
Výrok B platí, protože vztah U2 lze upravit do tvaru a2
+ b2
≥ 2aB. Důkaz je hotov.
Každý důkaz má obvykle nějaké klíčové místo či myšlenku – klíčové v tomto důkazu byl
2.2 PŘEDNÁŠKA 13
přechod od U1 k U2 ... všimneme si, že po umocnění (a − b)2
dostaneme všechny členy v
naší dokazované nerovnosti. P
(věta 03) Výrokové formy A ⇒ B a ¬B ⇒ ¬A jsou ekvivalentní.
Důkaz: pomocí tabulky pravdivostních hodnot dílčích výroků, lze provést v rámci
cvičení.P
Na větě 03 je založen typ důkazu 03:
Typ důkazu číslo 3: NEpřímý důkaz implikace A ⇒ B.
Při NEpřímém důkazu implikace A ⇒ B vlastně dokazujeme platnost
logicky s ní ekvivalentní formy ¬B ⇒ ¬A.
Deﬁnice 17: Forma ¬B ⇒ ¬A se nazývá obměna implikace A ⇒ B9
.
Příklad 2.2. Dokažte matematickou větu:
x ∈ R ⇒ sin x + cos x =
3
2
.
Důkaz: Máme dokázat implikaci typu A ⇒ B neboli výrok
x ∈ R ⇒ sin x + cos x =
3
2
.
Budeme postupovat podle typu důkazu číslo 3, tj. budeme dokazovat obměnu ¬B ⇒ ¬A
neboli výrok
sin x + cos x =
3
2
⇒ x /∈ R.
Vycházíme nyní z výroku ¬B: sin x + cos x = 3
2
;
úsudek U1: po umocnění obou stran rovnice ¬B na druhou dostaneme
sin2
x + 2 sin x cos x + cos2
x =
9
4
;
úsudek U2: z rovnosti U1 a známého faktu F1 (∀x ∈ R : sin2
x+cos2
x = 1) dostaneme
1 + 2 sin x cos x =
9
4
;
úsudek U3: z rovnosti U2 a dalšího známého faktu F2 (∀x ∈ R : 2 sin x cos x = sin(2x))
dostaneme
sin(2x) =
5
4
,
což je zvláštní, protože z grafu funkce sinus víme, že pro reálné vstupy nabývá výstupu
pouze z intervalu −1; 1 ;
9
Obměna implikace je tedy výrok s touto implikací logicky ekvivalentní, tj. nepřímý důkaz implikace
= přímý důkaz její obměny.
14 2 ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ
úsudek U4: argument 2x funkce sinus není reálné číslo, tj. platí ¬A: x není reálné číslo.
Dokázali jsme tedy platnost obměny, platí tedy i původní implikace, která je s obměnou
logicky ekvivalentní. P
(věta 04) Výrokové formy A ⇔ B a (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) jsou ekvivalentní.
Důkaz: pomocí tabulky pravdivostních hodnot obou výrokových forem pro všechny
možné kombinace pravdivostních hodnot dílčích výroků A, B. P
Na větě 04 je založen typ důkazu 04:
Typ důkazu číslo 4: důkaz ekvivalence A ↔ B.
Při důkazu ekvivalence A ⇔ B vlastně musíme dokázat, že platí obě z
implikací A ⇒ B a B ⇒ A.
Deﬁnice 18: Forma B ⇒ A se nazývá obrácení implikace A ⇒ B.10
.
Příklad 2.3. Uvažujme nějaké podmnožiny A, B, C množiny přirozených čísel. Ať jsou
tyto podmnožiny libovolné, platí pro ně rovnost
A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C).
Důkaz. Rovnost množin lze dokázat pomocí ekvivalence
x ∈ A \ (B ∩ C) ⇔ x ∈ (A \ B) ∪ (A \ C).
Podle typu důkazu číslo 4 bude důkaz hotov, pokud dokážeme obě implikace:
a) Dokažme implikaci zleva doprava, tj. implikaci
x ∈ A \ (B ∩ C)
U
⇒ x ∈ (A \ B) ∪ (A \ C)
V
.
Tuto implikaci dokážeme přímo (důkaz typu 2): Předpokládáme platnost předpokladu
x ∈ A \ (B ∩ C) a provedeme řetězec úsudků:
x ∈ A \ (B ∩ C) ⇒ x ∈ A ∧ (x /∈ B ∩ C) ⇒
⇒ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C ⇒
⇒ x ∈ (A \ B) ∨ x ∈ (A \ C) ⇒ x ∈ (A \ B) ∪ (A \ C).
b) Dokažme implikaci zprava doleva, tj. implikaci
x ∈ (A \ B) ∪ (A \ C)
V
⇒ x ∈ A \ (B ∩ C)
U
.
Tuto implikaci dokážeme přímo (důkaz typu 2): Předpokládáme platnost předpokladu
x ∈ (A \ B) ∪ (A \ C) a provedeme řetězec úsudků:
x ∈ (A \ B) ∪ (A \ C) ⇒ x ∈ A \ B ∨ x ∈ A \ C ⇒
⇒ (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x /∈ C) ⇒
⇒ x ∈ A ∧ x /∈ B ∩ C ⇒ x ∈ A \ (B ∩ C).
10
Tedy při důkazu ekvivalence musíme dokázat, že současně platí příslušná implikace i její obrácení.
2.2 PŘEDNÁŠKA 15
závěr: Z platnosti implikací U ⇒ V a V ⇒ U plyne platnost ekvivalence U ⇔ V . Důkaz
je tím hotov. P
O principu vyloučení třetího (buď platí výrok, nebo jeho negace, a je vyloučena třetí
možnost) už byla řeč. Nyní ve větě 5 uvedeme jeho důkaz!!!
(věta 05) (princip vyloučení třetího zapsaný jako výroková forma) Pro každý výrok
A platí
A ∨ ¬A.
Důkaz: Pomocí tabulky pravdivostních hodnot lze ukázat, že daná výroková forma má
vždy pravdivostní hodnotu 1, tedy platí vždy, ať je výrok A jakýkoli. P
V rámci cvičení lze dokázat ekvivalence některých výrokových forem, které nám
pomohou při sestavování negace implikace a negace ekvivalence – podrobnější negace
těchto dvou výrokových forem totiž právě využívá formy jim ekvivalentní.
(věta 06) Forma A ⇒ B je ekvivalentní s formou (¬A) ∨ B.
Důkaz: Důkaz typu 1 provedeme pomocí tabulky logických hodnot. P
(věta 06 - důsledek) Forma ¬(A ⇒ B) je ekvivalentní s formou A ∧ (¬B).
Důkaz: Mohli bychom důkaz provést pomocí tabulky logických pravdivostních hodnot,
ale lze také užít větu 06 a větu 0211
: podle věty 06 je implikace ekvivalentní s formou
(¬A)∨B, takže negace implikace musí být ekvivalentní s formou, kterou získáme z (¬A)∨B
využitím věty 02 (která říká, že negací disjunkce dílčích výroků je konjunkce jejich dílčích
negací):
¬(A ⇒ B)
v.06
⇔ ¬(¬A ∨ B)
v.02
⇔ A ∧ ¬B. P
Příklad 2.4: negace implikace. Uvažujme implikaci „Když bude pršet, vezmu si
deštník. Její negace je: Bude pršet a nevezmu si deštník.
(věta 07) Forma ¬(A ⇔ B) je ekvivalentní s formou
(A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ ¬A).
Důkaz: Mohli bychom provést pomocí tabulky pravdivostních hodnot, ale místo toho
provedeme jen přímý důkaz úpravy výrazu na základě vět 01, 04 a 06-důsledek:
¬(A ⇔ B)
v.04
⇔ ¬((A ⇒ B)∧(B ⇒ A))
v.01
⇔ ¬(A ⇒ B)∨¬(B ⇒ A)
v.06−důsl.
⇔ (A∧¬B)∨(B∧¬A). P
Příklad 2.5: negace ekvivalence. Uvažujme ekvivalenci „Číslo n je dělitelné šesti tehdy
a jen tehdy, když je dělitelné dvěma i třemi. Negace tohoto výroku (mimochodem nepravdivá,
protože původní výrok je pravdivý) je podle věty 07 celá dlouhá věta:
(Číslo n je dělitelné šesti a současně není dělitelné dvěma i třemi) nebo (číslo
n je dělitelné dvěma i třemi a současně není dělitelné šesti).
11
Vlastně se jedná o přímý důkaz (typ 2) pomocí úpravy výrazu na základě vět 02 a 06.
16 2 ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ
Tato kapitola byla zpracována na základě [1]. str. 4,6,10 (ale důkazy rovnosti množin
ze str. 10, věty 2.1 dokazovat pomocí typu 4: důkaz ekvivalence. Ve čtvrté kapitole se naučíme
(připomeneme si) schůdnější metodu důkazu rovnosti množin pomocí tzv. Vennových
diagramů). Další materiál viz [2], str. 88-91, str. 100-103.
2.3 Cvičení
Cvičení 2.1. . Přímý důkaz využívající příklad 2.1 ([2], str. 92, příklad 4.2, řešení na
konci knihy [2]): pro všechna kladná reálná čísla a, b platí:
1
a
+
1
b
≥
4
a + b
.
Cvičení 2.2. . Nepřímý důkaz ([2], str. 100, př. 1): Pro všechna přirozená čísla a, b
platí: když se nedá zkrátit zlomek a−b
a+b
, pak se nedá zkrátit ani a
b
.
Cvičení 2.3. . Nepřímý důkaz ([2], str.103, př. 4.14): Když n není druhá mocnina
přirozeného čísla, tak
√
n není racionální číslo.
Cvičení 2.4. Dokažte distributivní zákony pro sjednocení a průnik množin a) pomocí
důkazu ekvivalence, b) pomocí Vennových diagramů (také viz přednáška 4, typ důkazu
číslo 8):
X ∪ (Y ∩ Z) = (Z ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z), X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z).
Cvičení 2.5. Dokažte de Morganova pravidla (viz přednáška 4, věty 09, 10) pro
operace doplňku množiny, sjednocení a průniku množin a) pomocí důkazu ekvivalence, b)
pomocí Vennových diagramů.
Cvičení 2.6. Zjednodušte symbolický zápis, aby ve výsledku nebyl symbol negace před
žádnou závorkou, pouze u dílčích výrokových proměnných:
6a) ¬((A ⇒ B) ∧ C) = . . .
6b) ¬(A ⇒ (B ∨ C)) = . . .
6c) ¬((A ∨ B) ∧ C) = . . .
Cvičení 2.7. Napište obměnu výroku: Pokud n je sudé číslo, pak jeho druhá mocnina
n2
je sudé číslo.
Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 13.2.
17
3 Důkaz sporem, indukcí, protipříkladem
3.1 Warm-up: Funkce 02 – Lineárně lomené funkce
V opakování vlastností a grafů základnách typů funkcí se budeme nyní chvíli zabývat
lineárně lomenými funkcemi, tj. funkcemi typu
f(x) =
ax + b
cx + d
,
tj. funkcemi, které vytváříme pomocí podílu dvou lineárních funkcí (proto tedy název
„lineárně lomená funkce).
Podrobnější výklad viz [9], str. 72-84. Lineárně lomená funkce je vlastně podílem dvou
lineárních funkcí, odtud její název. Určitě si projděte následující věci (odkazy se týkají
učebnice [9]):
• str. 77 ... graf funkce y = k
x
pro různé hodnoty konstanty k;
• str. 78-80 ... obecnější grafy lineárně lomených funkcí – příklady 1 a 2;
• str. 82, příklad 5.9 ... grafy dalších typů, je důležité všechny nakreslit;
3.2 Přednáška
Na základě věty 05 lze provádět důkazy následujícího typu:
Typ důkazu číslo 5: Důkaz sporem.
Předpokládáme platnost negace daného tvrzení a logicky správně z této
negace odvozujeme další úsudky, dokud nedojdeme k nesmyslu, který neplatí.
Protože jsme pracovali logicky naprosto správně, tak kořen rozporu
je ve startovacím předpokladu – nyní víme, že předpoklad ¬A neplatí, a
tedy platí výrok A.
Příklad 3.1. Dokažte, že log2 3 není racionální číslo.
Důkaz: budeme předpokládat negaci zadaného výroku, tj. že log2 3 je racionální číslo,
tj. lze tuto hodnotu vyjádřit zlomkem:
log2 3 =
m
n
pro m ∈ Z a n ∈ N. Nyní budeme vyvozovat nějaké důsledky a úsudky a využijeme
přitom deﬁnice logaritmu, tj. faktu F1: Pro log2 x = y platí 2y
= x.
Úsudek U1: Z rovnosti, jejíž platnost předpokládáme, a faktu F1 plyne
2
m
n = 3.
Umocněme tento vztah na n-tou, abychom se zbavili zlomku v mocnině:
2m
= 3n
,
18 3 DŮKAZ SPOREM, INDUKCÍ, PROTIPŘÍKLADEM
a na obou stranách této rovnosti se přitom vyskytují přirozená čísla.
Úsudek U2: Protože číslo 2 je dělitelem čísla 2m
a platí 2m
= 3n
, musí být číslo 2 také
dělitelem čísla 3n
– ale to je spor se známým faktem, že číslo 2 není dělitelem žádného
lichého čísla (a číslo 3n
jako násobek n lichých čísel je liché).
Naprosto korektními úvahami jsme přišli k nesmyslu, tj. nesprávný byl náš výchozí
předpoklad – a tedy platí jeho negace, neboli to, co jsme chtěli dokázat. Důkaz je hotov. P
Typ důkazu číslo 6: Důkaz matematickou indukcí.
Při matematické indukci dokazujeme tzv. univerzální výrok, který platí
většinou pro všechna přirozená čísla, která jsou větší nebo rovna přirozenému
číslu n0, tj. výroky typu
∀n ≥ n0 : V (n).
Platnost tohoto univerzálního výroku dokazujeme ve dvou krocích:
a) Dokážeme platnost výroku V (n0).
b) Dokážeme platnost implikace V (n) ⇒ V (n + 1).
Pokud platí obě tyto věci, „dosáhne platnost V (n) na jakékoli přirozené
číslo n.
Deﬁnice 19: Indukční předpoklad se nazývá předpoklad V (n) v implikaci
V (n) ⇒ V (n + 1)
v podmínce (b), kterou dokazujeme při indukci.
Poznámka: důkaz indukcí vyplývá ze struktury množiny N:
ad a) jednička je nejmenší přirozené číslo;
ad b) každé další přirozené číslo různé od jedničky získáme zvýšením předchozího přirozeného
čísla o jedničku.
Tedy nekonečným opakováním kromu (b) projdeme všechna přirozená čísla – viz [2], str.
121: „pravdivost tohoto výroku se dědí od čísla k číslu . My ovšem při důkazu tohoto tzv.
indukčního kroku = části (b) projdeme tento proces jen jednou – dokážeme, že jakékoli
přirozené číslo větší než n0 danou vlastnost „dědí od čísla o jedničku menšího.
Označení 18: | ... dělí beze zbytku = je dělitelem. Například 2|6 (dvojka dělí šestku),
2|8 (dvojka dělí osmičku), 3|21 (číslo 3 je dělitelem čísla 21).
Příklad 3.2. Dokažte, že
∀n ∈ N : 9|(n3
+ (n + 1)3
+ (n + 2)3
)
3.2 PŘEDNÁŠKA 19
(slovně: dokažte, že číslo 9 je dělitelem výrazu v závorce, kde n je libovolné přirozené
číslo)
Důkaz: Pokud máme tvrzení dokázat pro všechna přirozená n, takový úkol se typicky
dokazuje indukcí = důkazem typu 6.
a) Ukažme, že rovnost platí pro n0 = 1:
9|(1 + 23
+ 33
) = 27 . . . to platí.
b) Dokažmě platnost implikace V (n) ⇒ V (n + 1), která má v našem případě tvar
9|(n3
+ (n + 1)3
+ (n + 2)3
)
V (n)
⇒ 9|((n + 1)3
+ (n + 1 + 1)3
+ (n + 1 + 2)3
)
V (n+1)
.
Předpokládejme, že platí indukční předpoklad V (n), tedy číslo (n3
+(n+1)3
+(n+2)3
)
je dělitelné devíti.
Úsudek U1: Vyjádřeme si náš předpoklad pomocí deﬁnice dělitelnosti12
: existuje nějaké
přirozené číslo k, že
(n3
+ (n + 1)3
+ (n + 2)3
) = 9k.
Úsudek U2: Upravujme číslo ((n + 1)3
+ (n + 1 + 1)3
+ (n + 1 + 2)3
) a snažme se jej
vyjádřit jako násobek čísla 9 – pokud se nám to podaří, budeme vědět, že je dělitelné
devíti a důkaz bude u konce. Tak tedy:
((n+1)3
+(n+2)3
+(n+3)3
) = (n + 1)3
+ (n + 2)3
+ n3
k
+3n2
·3+3n·9+27 = 9·(k+n2
+3n+3).
Použili jsme pouze vzorec (a+b)3
= a3
+3a2
b+3ab2
+b3
a označení čísla k z rovnosti
předpokladu. Jsme hotovi – skutečně se dala devítka vytknout z celého výrazu, tj.
(n+1)-ní člen posloupnosti zadané naším vzorcem „zdědí dělitelnost devíti od členu
předchozího. Protože jsme v předpokladu vyšli od libovolného přirozeného n, platí
tato vlastnost pro všechna přirozená čísla. P
Typ důkazu číslo 7: Důkaz existence (typ 7A) nebo protipříklad (typ 7B)
7A: Důkaz existence uvedením příkladu či konstrukcí ... Uvedeme důkaz
toho, že jistá struktura existuje, prostě tak, že ji sestrojíme
(popíšeme její konstrukci).
7B: Vyvrácení univerzální platnosti pomocí protipříkladu ... tvrzení, že
něco existuje či platí v každém případě (např. pro všechna přirozená
čísla) jednoduše vyvrátíme tím, že sestavíme aspoň jeden protipříklad,
kdy daná skutečnost neplatí (např. najdeme jedno přirozené
číslo, které zadanou vlastnost nesplňuje).
12
Kterou jsme sice ještě neprobrali, ale řekněme si ji za čtrnáct dní a intuitivně ze střední školy chápeme,
o co se jedná
20 3 DŮKAZ SPOREM, INDUKCÍ, PROTIPŘÍKLADEM
Oba typy důkazu označeny číslem 7 mají společné to, že jakmile sestavíme příklad
či protipříklad splňující zadané předpoklady, důkaz je hotov. Ad 7B: důkaz typu 7B je
založen na skutečnosti, že negací výroku
∀x ∈ M : V (x)
je výrok
∃x0 ∈ M : neplatí V (x0).
Příklad 3.3. (studenti samostatně) Vyvraťte následující tvrzení pomocí protipříkladu:
Každé přirozené číslo n > 1 lze „zaplatit sumou pouze dvoukorunových a pětikorunových
mincí předaných v jisté obálce nebo kontejneru.
Řešení je jednoduché – kromě jedničky existuje ještě jedno přirozené číslo, které nelze
vyčíslit sečítáním kladných násobků dvojky a pětky – najdete ho?
Tato kapitola byla zpracována podle [1], str. 6-7, příklady byly vzaty z knihy [2].
3.3 Cvičení
Cvičení 3.1. Důkaz sporem: dokažte, že
√
3 není racionální číslo.
Cvičení 3.2. Důkaz indukcí:
2a) Dokažte ([2], str.124, př.4), že všechny celočíselné peněžní obnosy, které jsou větší
nebo rovny 4 kč, je možné vyplatit na hromadu pouze z dvojkorun a pětikorun.
2b) Dokažte ([14],str.42, př. B11a)):
1 + 2 + 3 + · · · + n =
n · (n + 1)
2
.
2c) Dokažte ([14],str.42, př. B11b)):
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2
.
Cvičení 3.3. Pomocí důkazu typu 7 (existence nebo protipříklad) vyřešte následující
úlohy:
3a) Dokažte nebo vyvraťte: Čtyři rovnostranné trojúhelníky nelze sestavit pomocí 12
zápalek stejné délky.
3b) Dokažte nebo vyvraťte: Čtyři rovnostranné trojúhelníky nelze sestavit pomocí 9 zápalek
stejné délky.
3c) Dokažte nebo vyvraťte: Čtyři rovnostranné trojúhelníky nelze sestavit pomocí 6 zápalek
stejné délky.
Cvičení 3.4. Zapište následující výroky symbolickým matematickým zápisem, ve kterém
nepoužijete ani jedno slovo z běžné češtiny:
3.3 CVIČENÍ 21
4a) Pro každé přirozené číslo platí, že když je dělitelné šesti, tak je dělitelné i třemi.
4b) Přirozené číslo je dělitelné šesti tehdy a jen tehdy, když je dělitelné dvěma i třemi
současně.
4c) Existuje přirozené číslo takové, že když k němu přičteme pět, výsledek je větší než
deset.
4d) Pokud přirozené číslo je dělitelné dvěma i třemi současně, tak je dělitelné i šesti.
Cvičení 3.5. Uvažujme výrok: Pro každé přirozené číslo platí, že když je dělitelné
šesti, tak je dělitelné i třemi.
5a) Přepište tento výrok v symbolickém zápisu bez českých slov.
5b) Negujte tento výrok z části (a) symbolicky tak, aby ve výsledku nebyly závorky.
Cvičení 3.6. Proveďte negaci následujícího tvrzení, a sice podrobněji než jen stylem
„není pravda, že nebo uvedením znaku negace před závorku – ve výsledku nesmí být znak
negace před žádnou závorkou. Tvrzení zní:
∀a, b, c ∈ Z : (a|b ∧ a|c) ⇔ a|(b + c).
Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 13.3.
22 4 MNOŽINY A VENNOVY DIAGRAMY
4 Množiny a Vennovy diagramy
4.1 Warm-up: Prověrka (a)
Jako dostatečný warm-up studentů ve 4. týdnu semestru poslouží prověrka (a) znalostí na
první tři týdny přednášky. Bude se prověřovat:
1. deﬁnice pojmů (nemusíte si pamatovat jejich čísla);
2. tvrzení a důkazy vět 1 až 7 (nemusíte si pamatovat číslo věty, ale musíte vědět, že
negace konjunkce dvou výroků je ...; nebo: s implikací jsou ekvivaletní výrokové
formy .... (věta 3 ... tento tvar se používá pro nepřímý důkaz implikace) a ....
(věta 6 ... tento tvar se používá pro úpravy výrokových forem, ve kterých implikaci
nahradíme pomocí disjunkce); atd.
3. probraná označení a stručný matematický zápis některých výroků;
4. vysvětlení podstaty důkazů typu 1 až 7;
5. vlastnosti a grafy kvadratické funkce a lineárně lomené funkce.
Na prověrku se lze připravit na základě pročtení přednášky a projítí warmupů 2 a 3
(o funkcích) a příkladů ze cvičení, zejména příklady, které jsou v části cvičení výslovně
napsány, protože ty pocházejí z loňských prověrek. Nebudou se zkoušet důkazové příklady,
pouze důkazy vět 1 až 7 a vysvětlení podstaty důkazů typu 1 až 7.
4.2 Přednáška
Po tématu logiky se nyní budeme krátce zabývat druhým základním pilířem matematiky,
a to je pojem množiny a množinové operace, tj. operace sjednocení (∪) a průniku (∩). To
jsou pojmy čtenáři známé ze střední školy, nyní jen zopakujme a mírně rozšiřme celou
problematiku.
Množinou M ( deﬁnice 20 ) rozumíme soubor navzájem rozlišitelných13
prvků, o
kterých lze jednoznačně rozhodnout, že do něj patří.
Prvky množiny budeme vypisovat do složených závorek:
• označení 19 : Levá závorka { a pravá závorka } označují množinu.
Například N = {1, 2, 3, . . .} označuje množinu přirozených čísel, čísla 1, 2, 3 jsou prvky
množiny N.
Poznámka: Zadávání množiny.
Množiny lze zadávat buď výčtem prvků jako v předchozím příkladě, nebo charakteristickou
vlastností, jež splňují její prvky.
13
Tj. jeden objekt nemůže být dvakrát prvkem téže množiny: {6, 6} = {6}.
4.2 PŘEDNÁŠKA 23
Příklad 4.1. Zadání množiny charakteristickou vlastností:
A = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 2}
(čteme: A je množina všech reálných čísel x takových, že 0 ≤ x ≤ 2)14
– charakteristická
vlastnost množiny následuje v tomto zápisu za dvojtečkou.
Označení operací průniku a sjednocení čtenář zná – v následující deﬁnici připomeneme
deﬁnici disjunktních množin, univerzální množiny a doplňku množiny:
Množiny A, B se nazývají disjunktní ( deﬁnice 21 ), když jejich průnikem je prázdná
množina (A ∩ B = ∅).
Univerzální množina15
( deﬁnice 22a ) je taková množina, která obsahuje všechny
prvky, které má smysl uvažovat. Doplňkem množiny A vzhledem k univerzální množině
( deﬁnice 22b ) jsou ty prvky univerzální množiny, které neleží v množině A.
Příklad 4.2. Pokud U = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} je univerzální množina a
A = {. . . , −2, −1 − 0, 1, 2},
tak doplňkem množiny A vzhledem k univerzální množině U je množina
A = {3, 4, 5, . . .}.
Označení, která čtenář musí zvládnout, jsou tedy tato:
• označení 20 : A ... doplněk množiny A (vzhledem k univerzální množině U);
• označení 21 : „:= ... deﬁniční, přiřazovací rovnítko, které znamená „se deﬁnuje
jako ... ; například lze deﬁnovat doplněk množiny A takto:
A := {x ∈ U : x /∈ A}
(čteme: doplněk množiny A se deﬁnuje jako množina (či označuje množinu) těch
prvků x z množiny U, které nepatří do A)
• označení 22 : ∅ ... prázdná množina;
• označení 23 : ⊆ ... je podmnožinou;
• označení 24 : ⊂ ... je vlastní podmnožinou, tj. je podmnožinou, ale nerovná se dané
množině; v matematických symbolech A ⊂ B tehdy, když
A ⊆ B ∧ A = B.
• ( označení 25 ) rozdíl množin A a B budeme označovat sešikmeným znaménkem
minus, aby bylo patrno, že se jedná o jinou operaci než odčítání reálných čísel:
A \ B := {x ∈ A : x /∈ B};
14
Všimněte si, že dvojtečku nyní čteme „takových, že nebo „tak, že .
15
Česky: všeobecná, všeobsahující.
24 4 MNOŽINY A VENNOVY DIAGRAMY
Vennovy diagramy ( deﬁnice 23 ) jsou diagramy, které schematicky reprezentují množiny
pomocí části roviny – část roviny označená jako M reprezentuje všechny prvky
množiny M.
Příklad 4.3. Nakreslete Vennovy diagramy následujících množin16
: a) A∪B, b) A∩B,
c) A ∩ B, d) A ∪ B, e) A ∪ B, f) A ∩ B. Řešení najdete na obrázku 1, kde daný obdélník
reprezentuje univerzální množinu U, která je nadmnožinou množin A, B.
Obrázek 1: Výsledky příkladu 4.3 (Vennovy diagramy).
Typ důkazu číslo 8: Rovnost množin Vennovými diagramy.
Rovnost, ve které na obou stranách vystupují množiny a operace mezi
nimi, lze dokázat pomocí Vennových diagramů – sestavíme Vennův diagram
pro každou stranu rovnosti a vyšrafujeme v něm části odpovídající
výsledkům daných operací; pokud pak v obou Vennových diagramech
jsou vyšrafovány stejné části roviny, tvrzení o rovnosti je tím dokázáno.
(Věta 08) Pro libovolné tři množiny platí tzv. asociativní zákony vzhledem k operacím
průniku a sjednocení:
a) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), b) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Důkaz (typ 8) nakreslíme Vennův diagram pro každou ze stran rovnosti a porovnáme
šrafované oblasti – zjistíme, že se rovnají, tj. schematický (či graﬁcký) důkaz je hotov
(vyučující na tabuli). P
Dále platí velmi zajímavé rovnosti množin, které souvisí také s operací doplňku
množiny vzhledem k univerzální množině (= s deﬁnicí 22):
(věta 09) De Morganovo pravidlo (a): Pro každé dvě množiny A, B, které jsou podmnožinou
univerzální množiny U, platí:
A ∩ B = A ∪ B.
16
Tento příklad viz [4], str. 795. Většina této kapitoly je zpracována podle [4], str. 791-800.
4.3 CVIČENÍ 25
Důkaz lze provést pomocí Vennových diagramů – viz cvičení. P
(věta 10) De Morganovo pravidlo (b): Pro každé dvě množiny A, B, které jsou podmnožinou
univerzální množiny U, platí:
A ∪ B = A ∩ B.
Důkaz lze provést pomocí Vennových diagramů – viz cvičení. P
V dalších kapitolách budeme potřebovat pojem kartézského součinu: ( deﬁnice 24 )
Kartézský součin množin A, B je množina všech uspořádaných dvojic [a, b], kde a ∈ A
a současně b ∈ B. Speciálně pokud A = B, kartézský součin A × A nazveme kartézskou
mocninou neboli kartézským čtvercem. Prvky kartézského součinu se nazývají
uspořádané dvojice.
• ( označení 26 ) kartézský součin množin A a B budeme označovat jako A × B, tj.
A × B := {[a; b] : a ∈ A ∧ b ∈ B}.
Příklad 4.4. Pro A = {a, b} a B = {1, 2, 3} lze sestavit jejich kartézský součin, který
má šest prvků (= šest uspořádaných dvojic):
A × B = {[a, 1], [a, 2], [a, 3], [b, 1], [b, 2], [b, 3]}
(tedy vidíme, že u konečných množin je dán počet prvků jejich kartézského součinu součinem
počtů prvků jednotlivých množin). Pozor, záleží na pořadí, protože A × B = B × A.
Speciálně
B × A = {[1, a], [1, b], [2, a], [2, b], [3, a], [3, b]}.
V uspořádaných dvojicích v hranatých závorkách tedy záleží na pořadí jednotlivých prvků.
Někdy se v úvodu do teorie množin uvádí kromě operací doplňku, sjednocení a průniku
ještě operace ( deﬁnice 25 ) symetrický rozdíl množin A, B, deﬁnovaný pomocí rovnosti
A ÷ B := (A \ B) ∪ (B \ A)
(z obrázku Vennova diagramu 2 je patrný výsledek této operace použité na množiny A,
B).
• ( označení 27 ) Symetrický rozdíl množin A a B budeme označovat jako A ÷ B, tj.
A ÷ B := {x : x ∈ (A \ B) ∨ x ∈ (B \ A)}.
4.3 Cvičení
Cvičení 4.1. Pomocí Vennových diagramů dokažte de Morganova pravidla – věty 9 a 10.
Cvičení 4.2. Vidíte souvislost mezi větami 1 a 2 a větami 9 a 10? Z jakého důvodu
tato souvislost existuje?
Cvičení 4.3. Dokažte pomocí Vennových diagramů:
26 4 MNOŽINY A VENNOVY DIAGRAMY
Obrázek 2: Výsledek operace symetrického rozdílu množin A, B.
3a) Pro nějaké dvě podmnožiny A, B univerzální množiny U platí: (A∩B)∪(A∩B) = A.
3b) Pro nějaké dvě podmnožiny A, B univerzální množiny U platí: (A ∪ B) ∪ (A \ B) =
A ∪ B.
Cvičení 4.4. Napište množinové výrazy, jejichž výsledkem je vyšrafovaná plocha Vennova
diagramu na obrázku 3.
Obrázek 3: Ke cvičení 4.4: vyjádřete šrafovanou plochu pomocí množinových operací.
Cvičení 4.5. Prozkoumejte17
operaci symetrického rozdílu a pomocí Vennových diagramů
dokažte, že platí
5a) A ÷ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B),
5b) A ÷ B = B ÷ A,
5c) A ∪ B = A ÷ (B ÷ (A ∩ B)),
17
Viz [14], str.44, př 1.2.B6.
4.3 CVIČENÍ 27
5d) A \ B = A ÷ (A ∩ B),
5e) A ∩ (B ÷ C) = (A ∩ B) ÷ (A ∩ C).
Cvičení 4.6. Vyjádřete matematickým zápisem bez jakékohokoli českého slova deﬁnice
všech operací, které jsme v této kapitole prošli:
6a) A = . . .
6b) A \ B = . . .
6c) A × B = . . .
6d) A ∪ B = . . .
6e) A ∩ B = . . .
6f) A ÷ B = . . .
Cvičení 4.7. Uveďte de Morganova pravidla (věty 9 a 10) pouze slovně, bez jakéhokoli
matematického symbolu.
Cvičení 4.8. Na univerzální množině U všech přirozených čísel jsou zadány množiny
A = {2, 3, 4, 5, 8, 10}, B = {3, 5, 10, 12, 15}, C = {3, 10, 17, 18, 19}. Udejte výčtem prvků
množinu (A ∪ B) ∩ C.
Cvičení 4.9.
a) Uveďte deﬁnici množiny: Množina je ...
b) Vyjádřete šrafovanou část S Vennova diagramu na obrázku 4 pomocí množin na
obrázku a známých množinových operací: S = . . .
Obrázek 4: Ke cvičení 4.9: vyjádřete šrafovanou plochu pomocí množinových operací.
Cvičení 4.10. Na konci jistého výrobního procesu prochází 500 součástek třemi kontrolami
K1, K2, K3. Zjistilo se, že 38 součástek neprošlo kontrolou K1 (= bylo shledáno
nevyhovující); 29 neprošlo K2; 30 neprošlo K3; 7 součástek neprošlo K1 ani K2; 5 neprošlo
K2 ani K3; 8 neprošlo K1 ani K3; 3 součástky neprošly žádnou z kontrol. Určete, kolik
součástek
a) prošlo všemi kontrolami bez vady, tj. žádná z kontrol je neshledala nevyhovujícími.
b) neprošlo právě jednou z kontrol K1, K2, K3 (některou z nich).
Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 13.4.
28 5 ČÍSELNÉ OBORY, DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL
5 Číselné obory, dělitelnost celých čísel
5.1 Warm-up: Funkce 03 – Mocninné funkce f(x) = xn
a funkce
k nim inverzní
Podrobněji viz [9], str. 85-116. Určitě si projděte následující věci (odkazy se týkají učebnice
[9]):
• Kreslení grafů mocninné funkce:
– str. 87 ... grafy funkce y = xn
pro n ∈ N;
– str. 90 ... grafy funkce y = xn
pro n ∈ Z−
;
– str. 91, příklad 6.7;
• Hledání inverzní funkce – v každém z následujících příkladů by se hodil obrázek obou
funkcí f a f−1
v jednom grafu, aby bylo patrno, že oba grafy jsou osově souměrné
vzhledem k ose souměrnosti y = x:
– str. 95 ... nalezněte funkci inverzní k funkci y = 3x − 2 pro D(f) = −1; 2 .
Včetně obou funkcí f a f−1
v jednom grafu.
– nalezněte inverzní funkci k funkci y = (x − 2)2
+ 3 a) pro D(f) = (−∞, 2 ; b)
pro D(f) = 2, ∞).
– nalezněte inverzní funkci k funkci y = x3
pro D(f) = R.
5.2 Přednáška
Po logice a množinách je třetí odpovědí na otázku ohledně podstaty matematiky – používání
čísel různého druhu. V tomto úvodním předmětu pouze zopakujeme základní
fakta o číslech reálných a komplexních, protože přirozená čísla, celá čísla a zlomky zná
každý student, který absolvoval maturitu.
Příklad 5.1. (nebo spíše otázka) Řekněte sousedovi v lavici odpovědi na následujících
pět otázek:
1. Proč existuje N?
2. Proč existuje Z, nestačilo by N?
3. Proč existuje Q, nestačilo by Z?
4. Proč existuje R, nestačilo by Q?
5. Proč existuje C, nestačilo by R?
Označení daných číselných oborů N, Z, Q, R, C už bylo zmíněno v přednášce první,
na tomto místě se chvíli věnujme rozdíl mezi množinami Q a R – uvedeme nyní velmi
jednoduchý princip, který souvisí s důkazem typu 9, a pak pomocí tohoto principu
dokážeme větu 11, která ukazuje na hlavní rozdíl mezi racionálními čísly (= čísly, která
5.2 PŘEDNÁŠKA 29
lze vyjádřit ve tvaru zlomku) a iracionálními čísly (která nelze vyjádřit ve tvaru zlomku).
Typ důkazu číslo 9: Dirichletův princip.
Pokud rozdělujeme n + 1 předmětů do n přihrádek, aspoň v jedné přihrádce
najdeme po rozdělení aspoň dva předměty.
Platnost Dirichletova principu18
je vidět „přirozeně = celkem s ní každý souhlasí.
V tom nejhorším případě se může totiž stát, že po rozdělení n předmětů je v každé z
n přihrádek jeden – ale ten poslední „n plus první předmět, už musíme tedy přidat
do nějaké přihrádky, kde nějaký jeden předmět je ... tedy v aspoň jedné přihrádce
budou po rozdělení aspoň dva předměty. Samozřejmě se může stát, že pokud předměty
rozdělujeme libovolně, nikoli rovnoměrně, po rozdělení budou dva nebo tří předměty v
pěti přihrádkách a řada dalších přihrádek bude prázdná – to je možné. Nás ale jen zajímá,
že určitě existuje jedna přihrádka (šuplík) obsahující aspoň dva předměty – tento fakt je
zaručen tím, že předmětů je více než přihrádek.
Tento velmi jednoduchý typ důkazu lze kupodivu použít při důkazu celkem důležité
věty, která vystihuje rozdíl mezi číslem racionálním a číslem iracionálním.
(věta 11) Každé racionální číslo má desetinný rozvoj buď konečný, nebo periodický.
Důkaz: Uvažujme nejprve konkrétní zlomek 1
7
jako vyjádření jednoho racionálního čísla
a nalezněme jeho desetinný rozvoj, tj. vyjádření ve tvaru s desetinnou čárkou – všechny
úvahy pak lze vztáhnout na obecné racionální číslo m
n
pro m ∈ Z, n ∈ N.
Při dělení 1 : 7 postupujeme následovně:
• 1 : 7 = 0, zbytek 1, napíšeme desetinnou čárku do výsledku a připíšeme nulu;
• 10 : 7 = 1, zbytek 3, ke zbytku připíšeme nulu;
• 30 : 7 = 4, zbytek 2, ke zbytku připíšeme nulu;
• 20 : 7 = 2, zbytek 6, let us put down another zero to the remainder;
• 60 : 7 = 8, the remainder is 4, let us put down another zero to the remainder;
• 40 : 7 = 5, the remainder is 5, let us put down another zero digit to the remainder;
• 50 : 7 = 7, the remainder is 1, let us put down another zero digit to the remainder;
• Od této chvíle dělíme 10 : 7 = 1, zbytek 3 ... ale to už tady jednou bylo, zbytky i
výsledky po dělení se začínají periodicky opakovat. Proč tomu tak je?
Rozeberme si tuto situaci: Při dělení sedmi se po určité době dělenec „vyčerpá v tom
smyslu, že neobsahuje žádné další cifry a přidáváme ke zbytku v nižších řádech pouze
nuly19
. Jediný vliv na každý další řádek písemného dělení mají tedy jen zbytky zbytky po
dělení sedmi, ke kterým připisujeme stále jen nulu.
18
Též: přihrádkový princip, anglicky – pigeonhole principle.
19
Nám se dělenec v našem příkladu dělení vyčerpal už po prvním kroku, protože byl jednociferný.
30 5 ČÍSELNÉ OBORY, DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL
Víme, že zbytků po dělení sedmi je sedm různých – jsou to čísla (a současně cifry) 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6. A nyní využijeme Dirichletův (přihrádkový) princip: Stačí provést osm kroků
částečného dělení po „vyčerpání dělence a protože možných zbytků po dělení sedmi je
pouze sedm, jeden zbytek se po daných osmi krocích zopakuje dvakrát – a po zopakování
daného zbytku se už periodicky opakují všechny další zbytky ve stejném pořadí, takže
desetinný rozvoj našeho čísla je nekonečný, ale periodický.
Přesněji řečeno, pokud některý z dílčích zbytků je roven nule, v dělení už nepokračujeme
a desetinný rozvoj takového zlomku je konečný. Tedy obecně lze říci, že při dělení
m : n po „vyčerpání dělence m (který má konečně mnoho cifer, a tak se vyčerpat někdy
musí) stačí provést dalších maximálně n + 1 kroků a dostaneme dílčí zbytek nula (tj.
desetinný rozvoj daného racionálního čísla je konečný, ukončený), nebo se některý z nenulových
zbytků zopakuje (a tedy desetinný rozvoj daného čísla je nekonečný periodický). P
Poznámka: Komplexní čísla
Ke komplexním číslům20
nyní velmi stručně, snad podle materiálu [1], str. 15,16,18:
Důvodem existence komplexních čísel je snaha najít řešení například rovnice
x2
+ 1 = 0,
která má záporný diskriminant. Z Tohoto důvodu se v matematice zavádí tzv.
( označení 28 ) imaginární jednotka i taková, že i2
= −1, a také (−i)2
= −1. Pak
můžeme říci, že řešením rovnice x2
+ 1 = 0 jsou i a −i.
Deﬁnice 26a: Každé komplexní číslo z lze vyjádřit v algebraickém tvaru z = a + bi,
kde a a b jsou reálná čísla a i je imaginární jednotka.
Díky tomu, že každé komplexní číslo je jednoznačně určeno uspořádanou dvojicí reálných
čísel [a, b], lze každé komplexní číslo znázornit v tzv. Gaussově rovině ( deﬁnice 26b ),
kde na vodorovnou osu vyneseme reálné číslo a, na svislou osu reálné číslo b a obraz
komplexního čísla z = a + bi je pak na průsečíků kolmice k vodorovné ose v bodě a s
kolmicí ke svislé ose v bodě b – viz obr. 5.
Na základě modelu komplexních čísel v Gaussově rovině lze deﬁnovat pro každé komplexní
číslo kromě nuly ( deﬁnice 27a ) pro z = 0 tzv. argument komplexního čísla z jako
úhel ϕ = argz, který svírá průvodič obrazu tohoto čísla v Gaussově rovině s kladným
směrem osy Re(z) (= vodorovné osy21
, na kterou vynášíme tzv. reálnou část a komplexního
čísla z = a + bi), a ( deﬁnice 27b ) absolutní hodnotu neboli velikost komplexního
čísla |z| jako vzdálenost jeho obrazu v Gaussově rovině od počátku (= jako délku tohoto
průvodiče), tj. (podle Pythagorovy věty)
|z| =
√
a2 + b2, ϕ = argz,
(viz obr. 6). A konečně, pokud máme deﬁnován trojůhelník a úhel, lze zavést tzv.
( deﬁnice 27c ) goniometrický tvar komplexního čísla z, jenž využívá délky přepony |z| v
20
Detailnějšího počítání s komplexními čísly se dotkneme v předmětu Algebra 3.
21
Podobně Im(z) označuje svislou osu, na kterou vynášíme tzv. imaginární část komplexního čísla z.
5.2 PŘEDNÁŠKA 31
Obrázek 5: Obraz komplexního čísla z := a + ib v Gaussově rovině.
Obrázek 6: Význam argumentu a velikosti komplexního čísla.
daném trojúhelníku a argumentu ϕ daného komplexního čísla z:
z = |z| · (cos ϕ + i · sin ϕ).
Výpočet velikosti |z| komplexního čísla je patrný z Pythagovory věty, výpočet argumentu
ϕ plyne z téhož pravoúhlého trojúhelníku, ale pro konkrétní hodnoty a, b čísla
z = a + bi potřebuje přesné vyjádření pečlivější výčet:
ϕ =



0 . . . a = 0, b = 0
π
2
. . . a = 0, b > 0
−π
2
. . . a = 0, b < 0
arctgb
a
. . . 1. a 4. kvadrant
π + arctgb
a
. . . 2. kvadrant
−π + arctgb
a
. . . 3. kvadrant
Příklad 5.2. Počítání s komplexními čísly:
2a) Vypočtěte součet a součin čísel z1 = 2 − i a z2 = 1 + 3i.
2b) Vypočtěte podíl čísel z1 = 2 − i a z2 = 1 + 3i.
2c) Vypočtěte i2
, i3
, i4
, i5
, i6
, i7
, i8
, atd.
32 5 ČÍSELNÉ OBORY, DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL
Řešení příkladu: ad 2a) Uvidíme, že součtem i součinem dvou komplexních čísel je zase
komplexní číslo:
z1 + z2 = 2 − i + 1 + 3i = (2 + 1) + i(−1 + 3) = 3 + 2i;
dále protože i2
= −1, dostaneme při násobení komplexních čísel
z1 · z2 = (2 − i) · (1 + 3i) = 2 + 6i − i − 3i2
= 2 + 5i − 3(−1) = 5 + 5i;
ad 2b) Aby podílem dvou komplexních čísel bylo komplexní číslo, nesmíme dělit nulou,
ale jinak pro nenulové z2 dostaneme výsledek „vynásobením zlomku vhodnou jedničkou :
z1
z2
=
2 − i
1 + 3i
=
2 − i
1 + 3i
·
1 − 3i
1 − 3i
=
2 + 6i − i − 3i2
1 − 9i2
=
5 + 5i
1 + 9
=
1
2
+
1
2
· i;
Ve jmenovateli součinu zlomků jsme užili vzorec x2
− y2
= (x − y) · (x + y) – tímto
způsobem vždy lze odstranit imaginární jednotku i ze jmenovatele daného podílu – tj.
výsledkem dělení komplexního čísla nenulovým komplexním číslem je zase komplexní číslo.
ad 2c) Víme, že i2
= −1; proto lze další mocniny imaginární jednotky počítat
i3
= i2
· i = (−1) · i = −i;
i4
= i3
· i = (−i) · i = −i2
= 1
i5
= i4
· i = 1 · i = i;
i6
= i5
· i = i · i = −1;
i7
= i6
· i = (−1) · i = −i;
i8
= i7
· i = (−i) · i = 1;
atd.
Z toho je vidět, že vyšší mocniny imaginární jednotky i můžeme vždy redukovat na reálné
číslo nebo na ±i, a tedy i umocněním komplexního čísla dostaneme opět komplexní číslo.
Poznámka: dělení celých čísel beze zbytku a se zbytkem
Deﬁnice 28: Celé číslo a beze zbytku dělí neboli je dělitelem celého čísla b, když
existuje celé číslo q tak, že platí b = a · q. Pokud číslo qinZ s touto vlastností neexistuje,
říkáme, že a nedělí (není dělitelem čísla) b.
Studenti pozor, dělitelnost známou ze střední školy jsme trochu rozšířili i na záporné
dělitele, a tím se počet dělitelů každého celého čísla zdvojnásobil – kromě kladného
znaménka existují i dělitelé se stejnou absolutní hodnotou, jen se jedná o záporná čísla.
Deﬁnice 29: Každé celé číslo b má vždy následující čtyři dělitele: 1, −1, b, −b ...
tito dělitelé se nazývají nevlastní dělitelé čísla b. Všichni ostatní dělitelé (pokud nějací
existují) se nazývají vlastní dělitelé čísla b. S tím souvisí další pojem – deﬁnice 30 – celé
číslo p se nazývá prvočíslo, pokud má pouze nevlastní dělitele; pokud má i vlastní dělitele,
nazývá se složené číslo.
5.2 PŘEDNÁŠKA 33
(Věta 12) - věta o dělení se zbytkem
Pro libovolná celá čísla a > 0, b ≥ 0 existuje dvojice celých čísel q, r takových22
, že
q ≥ 0, dále 0 ≤ r < a, a platí
b = a · q + r.
Důkaz tohoto tvrzení je příkladem důkazu indukcí (typu 6), proto jej provedeme23
:
Dokažme indukcí pro pevné a a měnící se b:
a)
b = 0 ⇒ 0 = a · 0 + 0, tj. q = 0, r = 0
b = 1 ⇒ 1 = a · 0 + 1, tj. q = 0, r = 1
b = 2 ⇒ 2 = a · 0 + 2, tj. q = 0, r = 2
...
b = a ⇒ a = a · 1 + 0, tj. q = 1, r = 0
b) Pokusme se nyní dokázat obecný krok, tj. implikaci24
V (b) ⇒ V (b + 1).
Předpokládejme, že platí V (b), tj. existují qb, rb tak, že
b = a · qb + rb.
Zkusme nyní přičíst k oběma stranám rovnice jedničku – na levé straně tím dostaneme
dělence (b + 1), který nás právě zajímá:
b + 1 = a · qb + rb + 1.
Nyní mohou nastat dvě situace: buď rb + 1 < a, a pak hledané qb+1, rb+1 existují ve
tvaru qb+1 = qb, rb+1 = rb + 1; nebo (při druhé možné situaci) rb + 1 = a, a pak
b + 1 = a · qb + a = a · (qb + 1)
a hledané hodnoty jsou qb+1 = qb +1, rb+1 = 0. Tedy platí i V (b+1), našli jsme podíl
i zbytek pro dělení čísel (b + 1) a a. V obou případech jsme našli celá čísla qb+1, rb+1
tak, aby platilo b + 1 = a · qb+1 + rb+1.
Následující tři matematické věty jsou důležité věty z teorie i praxe dělitelnosti celých
čísel. Bylo by možné o nich mluvit více, ovšem zde jsou uvedeny jako zajímavé věty z
hlediska svého důkazu – na procvičování důkazových metod (viz cvičení).
22
Označení pramení z anglického quotient = podíl, remainder = zbytek.
23
Tvrzení se zdá celkem zřejmé, ale musíme provést buď existenční důkaz (typ 7 ... že daný podíl a
zbytek sestrojíme pro jakoukoli dvojici a, b ... viz [1], věta 4.2 na str. 23), nebo tvrzení univerzálně dokázat
indukcí pro nekonečně mnoho dvojic (typ 6 ... viz [15], str.13) – tuto druhou variantu si nyní projdeme.
Důkaz je zkrácen díky nápadu Jana Pokorného.
24
Označení: V (b) ... tvrzení platí pro b.
34 5 ČÍSELNÉ OBORY, DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL
Věta 13. Pro celá čísla a, b, c platí:
a) a|b ∧ a|c ⇒ a|(b + c);
b) a|b ∧ a|c ⇒ a|(b − c)
(tedy pokud a dělí dvě celá čísla, dělí i jejich součet, a dělí také jejich rozdíl).
Důkaz: viz cvičení.
Věta 14. (Euklidův algoritmus pro nalezení největšího společného dělitele přirozených
čísel a, b)25
: Přeznačme si čísla a, b tak, aby b ≥ a. Proveďme nyní následující posloupnost
dělení se zbytkem (podle věty 12):
b : a = q0, zbytek je r0, tedy máme vztah (v) b = a · q0 + r0;
a : r0 = q1, zbytek je r1, tedy máme vztah (iv) a = r0 · q1 + r1;
r0 : r1 = q2, zbytek je r2, tedy máme vztah (iii) r0 = r1 · q2 + r2;
...
rn−2 : rn−1 = qn, zbytek je rn, tedy máme vztah (ii) rn−2 = rn−1 · qn + rn;
rn−1 : rn = qn+1, zbytek je 0, tedy máme vztah (i) rn−1 = rn · qn+1;
Pak poslední nenulový zbytek rn v této posloupnosti dělení je roven největšímu
společnému děliteli čísel a, b.
Důkaz: Protože a > r0 > r1 > . . ., tak po konečném počtu kroků musí nastat rn+1 = 0.
Další důkaz provedeme ve dvou krocích: a) dokážeme, že rn|a, rn|b; b) dokážeme, že každý
jiný dělitel j, který dělí a i b, dělí i rn.
ad a) Uvažujme vztahy (i), (ii), . . . , (v) z tvrzení věty (postupujeme nyní od spodního
vztahu (i) k hornímu vztahu (v)):
(i)
v.13a
⇒ rn|rn−1
(ii)
v.13a
⇒ rn|(rn−1 · qn + rn), tj. rn|rn−2
...
(iii)
v.13a
⇒ rn|r0
(iv)
v.13a
⇒ rn|(r0 · q1 + r1), tj. rn|a
(v)
v.13a
⇒ rn|(a · q0 + r0), tj. rn|b
Z posledních dvou řádků plyne, že rn je společným dělitelem čísel a i b.
25
viz [15], str. 13-14.
5.3 CVIČENÍ 35
ad b) Uvažujme nyní jiného dělitele j čísel a i b a postupujme nyní od horního vztahu
(v) ke spodnímu vztahu (i):
(v)
v.13b
⇒ j|b ∧ j|a ⇒ j|r0
(iv)
v.13b
⇒ j|a ∧ j|r0 ⇒ j|r1
(iii)
v.13b
⇒ j|r0 ∧ j|r1 ⇒ j|r2
...
(ii)
v.13b
⇒ j|rn−2 ∧ j|rn−1 ⇒ j|rn
Každý jiný dělitel j čísel a, b je i dělitelem čísla rn (viz poslední řádek), tj. rn je ze
všech dělitelů čísel a, b ten největší. P
Věta 15. (Bezoutova26
rovnost) Pro libovolná celá čísla a, b existují celá čísla u, v
taková, že platí:
a · u + b · v = NSD(a, b),
kde NSD(a, b) je největší společný dělitel čísel a, b.
Důkaz: Podobně jako v důkazu věty 14, projdeme systém rovností věty 14 zdola nahoru:
rn
(ii)
= rn−2−rn−1·qn
(...)
= rn−2−(rn−3−rn−2·qn−1)·qn = rn−3·(−qn)+rn−2·(1+qn−1·qn) = . . .
(v)
= a·u+b·v.
5.3 Cvičení
Cvičení 5.1. Procvičte si výpočty s komplexními čísly:
1a) Pro čísla z1 = 1 + 2i, z2 = 2 − 2i vypočtěte jejich součet, součin, podíl a druhé
mocniny;
1b) V oboru komplexních čísel řešte rovnici x2
+ x + 1 = 0.
Cvičení 5.2. Dokažte věty 13a a 13b důkazem přímým (typ 2) z deﬁnice číslo 28.
Cvičení 5.3. Procvičte si praktické užití věty 14: podle procesu popsaného ve větě
14 nalezněte největšího společného dělitele čísel 208 a 364. Nalezněte tohoto dělitele také
druhým způsobem, a sice rozkladem čísel na součin prvočísel.
Cvičení 5.4. Pokud se vám nechce číst geniální důkaz věty 14, ve zbývajícím čase
můžete dokázat (pokud jste je tedy nedělali v předmětu MA0002) následující jednoduché
skutečnosti, které platí pro celá čísla. Jako první krok si ovšem všechny tři úkoly musíte
přepsat pomocí symbolického matematického zápisu bez českých slov:
4a) Druhá mocnina každého lichého čísla zmenšená o jedničku je dělitelná osmi;
4b) rozdíl druhých mocnin dvou libovolných lichých čísel je dělitelný osmi;
4c) součet tří po sobě následujících celých čísel, z nichž první a třetí jsou lichá, je dělitelný
šesti.
Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 13.5.
26
Čti: [bezutova]. Viz [15], str. 15.
36 6 BINÁRNÍ RELACE
6 Binární relace
6.1 Warm-up: Funkce 04 – Funkce exponenciální (f(x) = ax
) a
logaritmické (f(x) = loga(x))
Podrobněji viz [9], str. 117-150. Určitě si projděte následující věci (odkazy se týkají učebnice
[9]):
• Str. 129, obr. 7.7: Nakreslete graf funkce y = ax
a funkce k ní inverzní y = loga x,
pokud konstanta a ∈ (0; 1).
• Str. 129, obr. 7.6: Nakreslete graf funkce y = ax
a funkce k ní inverzní y = loga x,
pokud konstanta a ∈ (1; ∞). Pro zapamatování si správného spárování grafů souvisejících
v této a minulé odrážce platí princip, který lze snadno dokázat, že totiž
inverzní funkce k rostoucí funkci je zase rostoucí – a analogicky inverzní
funkce ke klesající funkci je zase klesající.
• str. 122, př. 1, př. 2 ... porovnávání hodnot, které využívá znalostí o grafech funkce
exponenciální;
• str. 124, př. 7.8.a) ... kreslení grafu funkce exponeciální;
6.2 Přednáška
V této kapitole vyjdeme z deﬁnice kartézského součinu (deﬁnice 24) a deﬁnujeme pojem
relace, který vychází z latinsko-anglického relation = příbuznost, vztah.
V běžném životě užíváme řadu relací mezi prvky dvou různých množin, např.
• „mám v rozvrhu je relace mezi množinou dnů v týdnu a množinou předmětů ve
škole;
• „má občas snídani je relace mezi množinou lidí a množinou potravin (poživatin);
Příkladem relací mezi prvky jedné množiny jsou
• „je biologickým dítětem ... relace na množině lidí; zvláštní vlastností této relace je
to, že s každým dítětem jsou spojeni dva rodiče
• „jeho matka je ... relace na množině lidí; zvláštní vlastností této relace je to, že a)
jedna matka může být v relaci s více dětmi; na druhé straně, některé ženy nejsou v
relaci s žádným dítětem; b) když jdeme v opačném směru, tak jedno dítě je v relaci
s právě jednou matkou;
• ≤, ≥ na množině celých čísel;
• | (dělí = je dělitelem) na množině přirozených čísel;
• ⊆, ⊇ na množině všech podmnožin dané množiny;
• atd.
6.2 PŘEDNÁŠKA 37
Lidově řečeno, relace je množina nějakých vztahů, přičemž každý vztah spojuje dva
objekty (dva prvky) buď ze dvou různých množin, nebo z jedné množiny. Platí ovšem
ještě jedna věc, kterou obsahují všechny výše uvedené příklady: v tomto vztahu mezi
dvěma objekty záleží na pořadí, ve kterém je uvádíme – to se rozumí samo sebou, ale
zejména v relaci mezi prvky téže množiny si musíme dát pozor, který prvek uvádíme jako
první a který jako druhý, aby bylo patrno, např. kdo je matka a kdo dcera; které číslo je
menší než to druhé číslo, apod.
Celkem tedy shrnuto, pojem relace (což je jediný pojem, kterým se dnes budeme
zabývat) je (i) množina vztahů mezi dvojicemi objektů; (ii) v těchto dvojicích většinou
záleží na pořadí. Je tedy vidět, že k deﬁnici relace lze užít pojmu kartézského součinu,
protože to je právě množina dvojic, ve kterých záleží na pořadí.
Deﬁnice 31a: relace mezi množinami M1 a M2 je nějaká podmnožina kartézského
součinu M1 × M2. Deﬁnice 31b: relace na množině M je nějaká podmnožina kartézského
součinu M × M.
Prvky relace jsou tedy uspořádané dvojice [x, y], ve kterých záleží na pořadí. Pozor
na rozdíl mezi pojmem kartézský součin a relace – kartézský součin je množina všech
možných uspořádaných dvojic, které můžeme z daných dílčích množin sestavit; kdežto
relace je pouze množina některých těchto dvojic. Např.
N × N = {[1; 1], [2; 2], [1; 2], [2; 1], [3; 3], [1; 3], [3; 1], [2; 3], [3; 2], . . .},
ovšem např. relace „je ostře menší než obsahuje jen některé uspořádané dvojice přirozených
čísel:
je ostře menší než = {[1; 2], [1; 3], [2; 3], . . .}.
Poznámka: Rozdíl mezi relacemi a operacemi
Kromě řady relací se v matematice používá řada operací. O operacích (např. sčítání,
odčítání, průnik, sjednocení) bude ještě řeč – nyní jen zmíníme hlavní rozdíl mezi relacemi
a operacemi: výsledkem operace ∗ (za hvězdičku si dosaďte např. sčítání, násobení, průnik,
apod) mezi dvěma prvky a, b je obecně nějaký třetí prvek a ∗ b (např. 2 + 3 = 5), kdežto
relace jen uvádí do vztahu dané dva prvky a, b (např. 2 ≤ 3).
Poznámka: Zadávání relace
Relaci budeme buď zadávat výčtem dvojic, mezi kterými existuje vztah daného typu,
například27
ρ = {[a, b], [b, a], [b, c], [b, b]};
ve shodě s učebním textem [16], str.17, budeme též relaci vypisovat takovým stylem, že
označení relace bude umístěno v zápise mezi danými prvky (podobně jako znak „≤ je
27
Podle [1], str. 41-42, s tím rozdílem, že uspořádané dvojice budeme znázorňovat nikoli v kulatých
závorkách, ale ve hranatých – kulaté závorky si šetříme pro výpis souřadnic vektorů v předmětu Algebra
2. Dále některé učebnice uvádějí relace označené písmenem R, i když to koliduje s označením množiny
reálných čísel. Je třeba proto označení R věnovat pozornost – ale snad ze souvislostí bude vždy jasné, zda
se jedná o množinu reálných čísel nebo množinu uspořádaných dvojic.
38 6 BINÁRNÍ RELACE
napsán mezi čísly 2 a 3, tj. v našem příkladu tatáž relace bude zapsaná pomocí vztahů
aρb, bρa, bρc, bρb.
Každou relaci na konečné množině můžeme též reprezentovat grafem, kde prvek [a, b]
znázorníme šipkou vycházející z a a směřující do b, prvek [b, b] znázorníme smyčkou z b do
b, atd. Tedy v našem příkaldu relace se čtyřmi prvky (= čtyřmi vztahy = čtyřmi dvojicemi)
Obrázek 7: Grafová reprezentace relace ρ – příklad.
Další způsob, jak lze reprezentovat relaci ρ, je matice relace (pro tentýž příklad):
a b c d
a
b
c
d





0 1 0 0
1 1 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0





(na průsečíku prvního řádku (= řádku prvku a) a druhého sloupce (= sloupce prvku
b) matice je hodnota 1, protože uspořádaná dvojice [a, b] je prvkem relace ρ; dále na
průsečíku druhého řádku a druhého sloupce matice je 1, protože smyčka [b, b] je prvkem
relace ρ; na třetím a čtvrtém řádku matice jsou samé nuly, protože c ani d není první
souřadnicí žádné uspořádané dvojice z ρ, atd). Čtyřem šipkám v grafové reprezentaci
odpovídají čtyři hodnoty 1 v matici relace.
U pojmu relace budeme studovat určité další deﬁnované vlastnosti a rysy, to zejména u
relace typu 31b, tj. relace na množině M. Z historických důvodů psaní tohoto textu (a
označení na obrázcích dříve skenovaných) bych rád studenty požádal, aby přijali číslování
(11) až (18) těchto vlastností, i když ještě neznají vlastnosti označené (1) až (10) ... ty se
dozvíte až během 2.semestru28
.
28
Dále bych čtenáře tohoto textu rád požádal, aby si čísla vlastností (11) až (18) pokud možno zapamatoval,
protože v dalším se text bude na vlastnost odkazovat jejím číslem, nikoli výpisem vlastnosti –
svým způsobem by to mělo přispět k lepší orientaci mezi různými vlastnostmi a k lepšímu zapamatování.
Jou to jediná čísla, která si máte pamatovat – žádná další čísla vět, deﬁnic, typů důkazu nejsou důležitá.
Vlastnosti (11) až (20) budou podbarvena zeleně, podobně jako deﬁnice – jedná se o deﬁnice, ale nebudeme
je do číslování deﬁnic zahrnovat.
6.2 PŘEDNÁŠKA 39
Příklad 6.1 (vyučující – studenti) V následujících deﬁnicích řekněte,
(i) jak lze danou vlastnost poznat z grafové reprezentace relace (a z reprezentace maticí);
(ii) uveďte příklad této relace ze života nebo z matematiky.
Relace ρ na množině M se nazývá (musíte znát tyto deﬁnice slovně z poznámky pod
čarou, ale i ve stručném matematickém zápisu)
reﬂexivní, když ∀x ∈ M : xρx (vlastnost (11) )
(Slovně: Každý prvek zadané množiny je v relaci se sebou samotným);
antireﬂexivní, když ∀x ∈ M : ¬(xρx); (vlastnost (anti-11) )
(Slovně: Žádný prvek zadané množiny není v relaci se sebou samotným);
symetrická, když ∀x, y ∈ M : xρy ⇒ yρx; (vlastnost (12) )
(Lidově: každý vztah, který existuje, je oboustranný! Přesně matematicky: Relace může
obsahovat uspořádané dvojice stejných prvků a musí s každou dvojicí různých prvků obsahovat
i dvojici těchto prvků v opačném pořadí);
antisymetrická, když ∀x, y ∈ M : (xρy ∧ yρx ⇒ x = y); (vlastnost (anti-12) )
(Lidově: žádný vztah (kromě vztahu k sobě samému) není oboustranný. Přesně matematicky:
Relace může obsahovat uspořádané dvojice stejných prvků a nesmí s žádnou dvojicí
různých prvků obsahovat také dvojici prvků v opačném pořadí);
tranzitivní, když ∀x, y, z ∈ M : xρy ∧ yρz ⇒ xρz; (vlastnost (13) )
(Lidově řečeno: Relace dědičnosti, neboli prvek z automaticky zdědí od prvku y i jeho
vztah k prvku x. Přesně matematicky: Pokud prvek x je v relaci s prvkem y a prvek y je
v relaci s prvkem z, tak musí být i prvek x v relaci s prvkem z);
úplná, když ∀x, y ∈ M : xρy ∨ yρx; (vlastnost (14) )
(Pro každou dvojici prvků (nebo i stejné prvky) musí platit, že prvek x je v relaci s
prvkem y nebo prvek y je v relaci s prvkem x).
Poznámky k úplné relaci. Z deﬁnice úplné relace je vidět, že úplná relace je automaticky
reﬂexivní (tj. pro x = y plyne, že xρx. Někdy se úplná relace deﬁnuje na základě
podmínky, která platí jen pro navzájem různé prvky, tj. zhruba jako
∀x, y ∈ M : x = y ⇒ xρy ∨ yρx;
40 6 BINÁRNÍ RELACE
my se ovšem budeme držet té deﬁnice úplné relace, která zahrnuje i reﬂexivitu. Tato
rozdílnost v deﬁnici zpravidla nehraje roli, protože většina relací, které jsou zajímavé pro
naše studium a používané v praxi, jsou úplné a současně reﬂexivní.
A ještě jedna poznámka k úplné relaci: úplná relace stále ještě nemusí být rovna
kartézskému součinu daných množin (nebo kartézské mocnině dané množiny): Například
relace „≤ na množině přirozených čísel je úplná, ale neobsahuje všechny možné uspořádané
dvojice z kartézského čtverce (= kartézské druhé mocniny) N ×N, protože například
[2; 1] není prvkem relace „≤ .
Příklad 6.2 (v trojicích, jen studenti) Vezměte si stránku A4 a rozdělte na osm
částí. V každé části nakreslete pět bodů znázorňujících pětiprvkovou množinu, označte
je a, b, c, d, e. Do množiny šipkami znázorněte relaci, která
1. je reﬂexivní,
2. je antireﬂexivní,
3. není ani reﬂexivní, ani antireﬂexivní29
,
4. je symetrická,
5. je antisymetrická,
6. není ani symetrická, ani antisymetrická30
,
7. je tranzitivní,
8. není tranzitivní.
Příklad 6.3 (v trojicích, jen studenti) Jaké vlastnosti splňuje relace | (dělí, je dělitelem)
na množině(Z, ·)? Relaci | deﬁnujeme normálně, jak bychom u dělitelnosti čekali:
∀x, y ∈ Z : x|y ⇔ (∃p ∈ Z : y = x · p)
Příklad 6.4 (vyučující – studenti) Jen dvě otázky, než pokročíme k vážnějším příkla-
dům:
• Může být některá relace symetrická a antisymetrická současně?
A nyní už zajímavější příklady:
Příklad 6.5 (v trojicích, jen studenti) U následujících příkladů rozhodněte, jaké vlastnosti
splňují zadané relace:
a) Relace ≤ na množině N = {1, 2, 3, . . .};
b) relace (být rovnoběžný) na množině přímek v rovině;
c) Relace je zadána grafovou reprezentací31
na obrázku 8:
6.2 PŘEDNÁŠKA 41
Obrázek 8: Příklad 6.5.c.
Obrázek 9: Příklad 6.5.d.
d) Zadání opět grafem32
, obrázek 9:
Deﬁnice 32: Inverzní relace ρ−1
k relaci ρ je taková relace, která obsahuje právě ty
uspořádané dvojice, které byly utvořeny z prvků relace ρ přehozením pořadí prvků.
Tedy platí
ρ−1
= {[y, x] ∈ M × M : [x, y] ∈ ρ}.
Inverzní relaci k zadané relaci sestrojíme velmi jednoduše v grafové reprezentaci – v
inverzní relaci se všechny šipky grafové reprezentace otočí opačným směrem (a smyčky
zůstanou, protože na orientaci smyčky v grafové reprezentaci prvku [x; x] nezáleží). V
maticové reprezentaci se matice transponuje podle hlavní diagonály, tj. pro ty, kdo ještě
nerozumí, o čem je řeč: řádky maticové reprezentace relace ρ se napíší do sloupců maticové
reprezentace relace ρ−1
.
29
Takové relace existují, protože vlastnosti reﬂexivity a antireﬂexivity nejsou si navzájem negacemi.
30
Takové relace existují, protože vlastnosti symetrie a antisymetrie nejsou si navzájem negacemi.
31
[16], str.20, obr. 2a.
32
[16], str.20, obr. 2b.
42 6 BINÁRNÍ RELACE
6.3 Cvičení
Cvičení 6.1. Nakreslete všechny relace (v grafové reprezentaci) na a) jednoprvkové
možině, b) na dvouprvkové množině, c) na tříprvkové množině; d) pokuste se vyslovit
větu o počtu všech relací na n−prvkové množině.
Cvičení 6.2. Uveďte příklad relace ρ na množině {1, 2, 3, 4}, která je symetrická a
současně není tranzitivní.
Cvičení 6.3. Pokud dvě relace ρ1, ρ2 jsou obě tranzitivní, pak jejich sjednocení ρ1 ∪ρ2
je také tranzitivní. Dokažte nebo vyvraťte tvrzení v předchozí větě33
.
Cvičení 6.4. Uveďte příklad relace ρ na množině {1, 2, 3, 4}, která není ani symetrická,
ani antisymetrická a obsahuje mimo jiné také prvky [3; 4] a [4; 3].
Cvičení 6.5. a) Je relace dělitelosti | antisymetrická na množině N? b) Je relace
dělitelnosti | antisymetrická i na množině Z?
Cvičení 6.6. Na množině Z je dána relace ρ deﬁnovaná vztahem
xρy ⇔ x2
= y.
Určete její vlastnosti, zejména ověřte (11), anti-(11), (12), anti-(12), (13), (14).
Cvičení 6.7. Negujte vlastnost (12) relace ρna množině M, a to důkladněji než jen
stylem „není pravda, že . Postup:
a) Napište vlastnost (12) symbolickým matematickým zápisem;
b) Negujte část (a).
Cvičení 6.8 Negujte vlastnost anti-(12) relace ρna množině M, a to důkladněji než
jen stylem „není pravda, že . Postup:
a) Napište vlastnost anti-(12) symbolickým matematickým zápisem;
b) Negujte část (a).
Cvičení 6.9. Negujte vlastnost (13) relace ρna množině M, a to důkladněji než jen
stylem „není pravda, že . Postup:
a) Napište vlastnost (13) symbolickým matematickým zápisem;
b) Negujte část (a).
Cvičení 6.10. Podmnožiny X, Y množiny A = {1, 2, 3, 4, 5} jsou v relaci ρ, když
X ∪ Y = A. Zjistěte, které z vlastností (11), anti-(11), (12), anti-(12), (13), (14) platí pro
tuto relaci.
33
Pokud si studenti neví rady, doporučte nakreslení tří obrázků: jeden obrázek pro relaci ρ1, druhý pro
relaci ρ2 a třetí pro relaci ρ1 ∪ ρ2. Dále doporučte studentům tvrzení spíše vyvracet než dokazovat.
6.3 CVIČENÍ 43
Cvičení 6.11. Na množině přirozených čísel je dána relace ρ1 takto: xρ1y, když x · y
je liché číslo. Zjistěte, jaké vlastnosti ((11), anti-(11), (12), anti-(12), atd.) má tato relace.
Cvičení 6.12. Ve fotbalové lize hraje34
v každém ročníku každý tým s každým jiným
týmem dva zápasy, z toho jeden zápas se hraje na hřišti jednoho týmu a druhý na hřišti
druhého týmu. Deﬁnujme relaci aρ2b tehdy, když tým a hraje proti týmu b na svém hřišti v
daném roce. Určete vlastnosti relace na množině všech týmů ligy v daném ligovém ročníku.
Cvičení 6.13. Co se ještě nedělalo z příkladů B1 (tento příklad obsahuje inverzní
relaci), B2, B6, B8, B9, B10, B11 na stranách 48-49 sbírky [14].
Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 13.6.
34
Tento systém platil do roku 2018, v příštím roce v ČR v první fotbalové lize to bude jinak.
44 7 EKVIVALENCE A ROZKLADY
7 Ekvivalence a rozklady
7.1 Warm-up: Funkce 05 – Funkce exponenciální a logaritmické
II
• deﬁnice logaritmu uvádí do souvislosti pojem logaritmické funkce jako inverzní
funkce k funkci exponenciální (kde neznámá x se nachází v exponentu funkce):
loga z = x ⇔ ax
= z.
Pak následující příklady:
– str. 132, příklad 1: log2 8 = . . .
– str. 133, příklad 2: log10 0,01 = . . .
– str. 134, příklad 4: log8 t = 3 ⇒ t = . . .
– str. 134, příklad 5: loga 100 = 2 ⇒ a = . . .
• str. 131, příklad 7.16 ... příklad na porovnávání hodnot;
• str. 131, příklad 7.18 ... logaritmické nerovnice.
• str. 134, příklady 7.23, 7.26 ... výpočet hodnot, jednoduché logaritmické rovnice.
• str. 135-136 ... věty o logaritmech: protože logaritmy jsou vlastně mocniny, tak z
pravidel pro mocniny vyplývají i pravidla pro logaritmy:
loga(r · s) = loga r + loga s
loga
r
s
= loga r − loga s
loga (rs
) = s · loga r
• Str. 136, příklad 1 ... úprava výrazu s logaritmy (pomocí výše uvedených vzorců);
• str. 138, př. 7.30 ... další počítání s logaritmy podle vzorců;
• Mezi logaritmy různých základů existuje vztah, který převádí logaritmus jistého
základu na logaritmus jiného základu. Z těchto vzorců se nám bude hodit speciálně
převod všech základů na logaritmus o tzv. přirozeném základu ( označení 29 )
ln x := loge x,
kde e = 2,718281828459 . . . je Eulerovo číslo, o kterém už byla řeč v kapitole 10.
Převodní vzorec je tvaru
loga x =
ln x
ln a
(vzorec lze zapamatovat tím způsobem, že ve funkci loga x píšeme v jistém smyslu
x nad hodnotu a, respektive a je napsáno v dolním indexu – podobně ve zlomku na
7.2 PŘEDNÁŠKA 45
pravé straně se vyskytuje podíl funkcí ln a opět argument x se vyskytuje graﬁcky
nad argumentem a)35
.
• A ještě poslední označení ( označení 30 ): pokud u funkce log x není uveden žádný
základ, zpravidla se jedná o
log x := log10 x
(není to vždy pravidlem, v některých učebnicích se výrazem log x označuje přirozený
logaritmus – v tom případě by to ovšem učebnice měla dát čtenáři vědět; v tomto
textu log x znamená logaritmus o základu 10 a pro přirozený logaritmus budeme
užívat jeho klasickou značku ln x).
7.2 Přednáška
V minulých dvou kapitolách jsem se zabývali studiem relací, které splňují vlastnosti
(11), (anti-12), (13) – uspořádáními. Nyní se budeme zabývat relacemi, kterých se v
matematice též objevuje celá řada a které též splňují tři vlastnosti, jen druhá vlastnost je
oproti minulým dvou kapitolám obměněna36
.
Deﬁnice 33: Relace ρ na množině M se nazývá ekvivalence, pokud splňuje vlastnosti
(11), (12) a (13).
Příklad 7.1. Relace rovnoběžnosti na množině přímek v rovině je ekvivalence (viz
příklad 6.5.b). Ověřte, že platí vlastnosti (11), (12), (13).
Příklad 7.2. Na množině všech zlomků (= všech racionálních čísel) existuje známá
ekvivalence ρ mezi těmi zlomky, které všechny lze zkrátit na jeden základní tvar. Tuto
relaci ekvivalence na množině Q všech zlomků lze deﬁnovat takto:
a
b
,
c
d
∈ ρ tehdy, když platí ad = bc.
Například 3
5
je číslo ekvivalentní s číslem 15
25
, které lze převést na 3
5
vykrácením čitatele i
jmenovatele pěti (platí tedy deﬁniční podmínka 3 · 25 = 5 · 15).
Nebo číslo −1
3
je v ekvivalenci s číslem −3
9
, které lze převést na −1
3
vykrácením třemi
(protože platí (−1) · 9 = 3 · (−3)), atd.
S pojmem relace ekvivalence velmi úzce souvisí další pojem, a to rozklad množiny.
Deﬁnice 34: Řekneme, že systém podmnožin Mi množiny M tvoří rozklad množiny M,
když
35
Tento převodní vzorec budou studenti potřebovat v předmětu matematická analýza – při derivaci či
integraci logaritmů různých základů obvykle převádíme na základ přirozený, Eulerovo číslo, a pak teprve
provádíme integraci či derivaci. Hodí se nám přitom vědět, že ln a je konstanta, protože základ a se
nemění, tak proto s ln a zacházíme při integraci či derivaci stejně jako s jakoukoli jinou konstantou. Také
díky vzorci je možné si pamatovat (nebo mít tabulky) pouze logaritmy o přirozeném základu a všechny
logaritmy o ostatních základech pomocí toho přirozeného základu spočítat.
36
A vracíme se též k reprezentaci relací pomocí tzv. grafu = soustavy orientovaných šipek mezi jednotlivými
prvky, tj. Hasseův diagram z minulých dvou kapitol je čistě určen k reprezentaci uspořádaných
množin.
46 7 EKVIVALENCE A ROZKLADY
a) Mi = ∅;
b) i=1,...,n Mi = M;
c) Mi ∩ Mj = ∅ pro i = j.
Tj. ad a) množiny Mijsou neprázdné, ad b) sjednocením množin Mi je celá množina M,
a ad c) množiny Mi jsou po dvou disjunktní, tj. každé dvě z nich mají prázdný průnik.
Příklad 7.3. Vypište (a znázorněte graﬁcky) všechny možné rozklady tříprvkové
množiny M = {a, b, c}. Řešení: viz příprava ... takových možných rozkladů existuje pět:
a) rozklad M na tři jednoprvkové podmožiny, b) rozklad M na M1 = {a, b}, M2 = {c};
c) rozklad M na M1 = {a, c} a M2 = {b}; d) rozklad M na M1 = {b, c} a M2 = {a}; e) a
konečně, rozklad M na jedinou tříprvkovou podmnožinu M1 := M. P
Pojem rozkladu je spojen s deﬁnicí ekvivalence následujícími dvěma způsoby:
a) Konstrukce ekvivalence na základě rozkladu
Je zadán rozklad množiny M – deﬁnujeme-li relaci E vztahem
xEy ⇔ x, y ∈ Mi pro nějaké i,
(prvky x, y jsou v relaci, když leží ve stejné třídě rozkladu), pak tato relace je ekvivalence
a nazývá se relace určená (= indukovaná) rozkladem množiny M ( deﬁnice 35 ).
Příklad 7.4. Napište relaci ekvivalence indukované (= určené) každým z rozkladů
tříprvkové množiny M = {a, b, c} v předchozím příkladu. Řešení: viz tabule.
Příklad 7.5. (jen studenti) a) Nakreslete všechny možné rozklady čtyřprvkové množiny
M = {a, b, c, d}; b) jinou barvou do diagramů těchto rozkladů vyznačte (pomocí
grafové reprezentace) relaci ekvivalence indukovanou vždy daným rozkladem. Na obě
části úkolu máte dohromady deset minut.
b) Konstrukce rozkladu na základě ekvivalence
Je zadána ekvivalence E na množině M – deﬁnujeme-li rozklad M způsobem „v jedné
třídě rozkladu leží právě ty prvky, které jsou navzájem všechny po dvojicích ekvivalentní ,
dostaneme také strukturu označenou stejně jako v předchozí deﬁnici s tím rozdílem, že
první nebylo vejce, ale slepice (promiňte – první nebyl rozklad, ale ekvivalence), a množina
M/E se nazývá ( deﬁnice 36 ) faktorová množina množiny M podle ekvivalence E, nebo
krátce faktormnožina37
, značíme ( označení 31 )
M/E := {M1, M2, . . . , Mn}.
Pro upřesnění, které se nám bude hodit v předmětu Algebra 1, dodejme, že jednotlivé
třídy Mi považujeme za prvky této faktormnožiny M/E.
37
Česky: rozkladová množina (ale vžil se anglický název, FACTOR (jako sloveso) znamená ROZLOŽIT).
7.2 PŘEDNÁŠKA 47
Ad příklad 7.1. Pokud se vrátíme k relaci = (rovnost racionálních čísel), tak v
jedné třídě rozkladu Q/= jsou právě ty zlomky, které lze krácením či rozšířením převést
navzájem jeden na druhý.
Než přikročíme k důležitému příkladu 7.6, deﬁnujeme na množině Z relaci kongruence:
• Deﬁnice 37 : celá čísla a, b jsou kongruentní podle modulu n, pokud n|(b − a);
• Označení 32 vztahu z deﬁnice 37: a ≡ b (mod n);
Příklad 7.6. Podle relace kongruence podle modulu 5 lze množinu celých čísel rozdělit
do pěti podmnožin.
Obrázek 10: Množina zbytkových tříd Z5.
V této situaci lze nyní říci:
a) Označíme-li znakem E danou relaci kongruence, můžeme psát xEy, když x, y náleží
do stejné podmnožiny rozkladu ... tato relace je relací ekvivalence na Z (je to relace
reﬂexivní (např. 5 ≡ 5), symetrická (např. 5 ≡ 10 implikuje38
, že 10 ≡ 5), tranzitivní
(5 ≡ 10, 10 ≡ 30 ⇒ 5 ≡ 30).
b) Označíme-li tyto podmnožiny M0 := [0], M1 := [1], M2 := [2], M3 := [3], M4 :=
[4], tak systém podmnožin {M0, M1, M2, M3, M4} tvoří rozklad množiny Z podle
ekvivalence E.
c) Když se na Mi přestaneme dívat jako na množiny a začneme se na ně dívat jako na
prvky, dostaneme pětiprvkovou množinu
Z/E := {M1, M2, M3, M4, M5},
kde všechna čísla v každé množině Mi jsme ztotožnili v jedno a označili za jediný
prvek. Je to faktorová množina (= rozkladová množina) množiny Z podle ekvivalence
E, nebo krátce faktormnožina. P
38
Česky: z toho plyne, že ...
48 7 EKVIVALENCE A ROZKLADY
Relace E kongruence podle modulu 5 a k ní příslušná faktormnožina jsou důležitým
příkladem „ze života = ze situací matematiky na SŠ i ZŠ: v jedné třídě ekvivalence E
jsou právě ta celá čísla, které mají po vydělění pěti tentýž zbytek, neboli jejich obrazy na
číselné ose jsou stejně vzdáleny směrem doprava od obrazu nejbližšího násobku čísla 5.
7.3 Cvičení
Cvičení 7.1. V relaci ekvivalence E jsou navzájem ty prvky z množiny M = {1, 2, . . . , 20},
které dávají po vydělení číslem 4 stejný zbytek. Popište (nebo nakreslete) faktormnožinu
M/E množiny M podle relace E.
Cvičení 7.2. Je zadán rozklad množiny M na podmnožiny M1 = {1, 3, 5},
M2 = {2, 4, 10}, M3 = {6, 7, 8},
M4 = {9}. Popište (nebo nakreslete) relaci ekvivalence indukovanou (určenou) tímto
rozkladem.
Cvičení 7.3. Na množině {1
2
, 1
1
, 1
3
, 2
4
, 3
6
, 2
1
, 8
4
, 3
1
, 1
4
, 2
6
} deﬁnujte nějakou užitečnou (tu
nejznámější či nejpřirozenější) relaci ekvivalence E (řekněte, kdy jsou dva prvky ve vztahu
relačním) a nakreslete obrázek faktormnožiny podle této ekvivalence.
Cvičení 7.4. Další cvičení: příklady ze sbírky [14], str. 58-59, příklady 1.7.A3, 1.7.A4,
1.7.B1, 1.7.B4, 1.7.B5, vsunout jeden příklad na relaci kongruence modulo 4, B6, B7
(geometrické ekvivalence v rovině), B8, B9 (příklad B9 je důkazový, ale dobrý).
Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 13.7.
49
8 Uspořádané množiny
8.1 Warm-up: Prověrka (b)
Prověrka (b) shrnuje znalosti z týdnů 1 až 7, dílčí pokyny obdržíte emailem. Těžiště je
zaměřeno na týdny 4 až 7, ale může se objevit i něco z prvních tří týdnů.
8.2 Přednáška
Příklad 8.1. (ve trojicích, jen studenti) Jaké vlastnosti splňuje relace na obrázku39
číslo
11?
Obrázek 11:
Relace podobného typu, jako je ta na obrázku, jsou v matematice natolik důležité, že
mají své jméno a budeme se jim věnovat téměř dva týdny naší exkurze po základních
pojmech matematiky. Kupodivu si lze položit otázku: co mají společného relace ≤ na
množině racionálních čísel, relace ⊆ (být podmnožinou) na množině všech podmnožin
jisté množiny a relace dělitelnosti | na množině všech přirozených čísel. Jedná se o tři
různé vztahy mezi prvky různého charakteru, a přesto mají tyto tři základní relace v
matematických přístupech na základní a střední škole něco společného, co je charakterizuje.
A tak dříve než v navazujících semestrech se budeme věnovat tomu, co a jak
učit na základní (a střední) škole v matematice, nyní v tomto vysokoškolském úvodu do
studia matematiky, se chvíli podívejme na otázku, kterou by si položili studenti v kursu
„matematika pro dospělé : co mají relace „menší nebo rovno , „je podmnožinou a „je
dělitelem společného? Ukazuje se, že tyto celkem různorodé relace mají společné celkem
tři vlastnosti: (11), anti-(12) a (13). Matematicky hloubavý člověk v této situaci zbystří,
odstoupí od konkrétních středoškolských operací a studuje právě jen i obecné struktury,
které splňují uvedené tři vlastnosti – tyto struktury se nazývají uspořádané množiny.
Deﬁnice 38: Binární relace na množině P, která je reﬂexivní (11), antisymetrická
(anti-12) a tranzitivní (13), se nazývá uspořádání. Množina P, na které je deﬁnovaná
relace uspořádání, se nazývá částečně uspořádaná množina – v textu [16]40
je označována
39
[16], str.24.
40
Str.23, deﬁnice 1.6.
50 8 USPOŘÁDANÉ MNOŽINY
poněkud nezvyklým termínem poset (z anglického Partially Ordered SET)41
.
Poznámka: obecné označení relace uspořádání.
Ikdyž relace uspořádání je blízká relaci ≤ (respektive ≤ je čtenáři známým příkladem
uspořádání), budeme ji označovat (v souladu s textem [16]) obecnějším symbolem ¢,
který zaručuje, že se ne vždy bude jednat o relaci zcela totožnou s klasickou relací ≤ na
množině celých či reálných čísel. Obecnou uspořádanou množinu budeme tedy zapisovat
zápisem (P, ¢).
Deﬁnice 39: Pro relaci uspořádání zavádíme kromě grafové reprezentace přehlednější
strukturu, a sice tzv. Hasseovy diagramy, ve kterých
1. reﬂexivitu (= smyčky) nevyznačujeme, protože ji automaticky předpokládáme u
všech prvků uspořádané množiny;
2. šipky odstraníme tak, že Hasseův diagram jednoznačně orientujeme zdola nahoru, a
pak místo šipek spojujeme prvky neorientovanou úsečkou – jestliže prvek je spojen
s jiným prvkem výš v diagramu, tak je s ním v relaci;
3. hranami vyznačíme jen bezprostředně následující prvky – ostatní šipky vyplývající z
tranzitivity nevykreslujeme; pak pokud x ¢ y, tak je mezi prvky x a y řetězec spojů
mezi bezprostředními předchůdci a následovníky;
4. antisymetrie bude z nákresů patrna též – ta ovšem spočívá spíše v neexistenci oboustranných
šipek mezi různými prvky (a právě díky neexistenci oboustranných šipek
můžeme orientaci šipek z částečně uspořádané množiny odstranit).
Příklad 8.2 – Hasseův diagram. Pro ilustraci je na obrázku 12 nakreslen Hasseův diagram
pro pětiprvkovou množinu P = {a, b, c, d, e} a relaci ρ na P deﬁnovanou výčtem
uspořádaných dvojic:
ρ = {[a, a], [b, b], [c, c], [d, d], [e, e], [a, d], [d, e], [a, e], [b, d], [d, e], [b, e]}.
Příklad 8.3 ilustrační – Hasseův diagram: Překreslete relaci uspořádání z úvodního
příkladu této kapitoly (obr. 11) do Hasseova diagramu (zde není provedeno).
Příklad 8.4. (úkol pro studenty) Nakreslete Hasseovy diagramy všech různých (až na
přeznačení prvků) tříprvkových posetů42
.
Označení 33: Pokud (P, ¢) je poset, označme symbolem ¢ relaci uspořádání (reﬂexivní,
antisymetrická, tranzitivní) a symbolem ¡ relaci ostré uspořádání na množině
P, pokud ¡ je antireﬂexivní (anti-11), antisymetrická (anti-12) a tranzitivní (13) (ostré
uspořádání je tedy uspořádání zbavené reﬂexivity, nemůže nastat x¡x pro žádný prvek x).
41
Je to skutečně neobvyklý termín pro češtinu, až extrémní – ale navrhuji jej autorovi, panu Kopkovi,
odpustit, určitě jej použil s dobrým záměrem, aby studenti a vyučující nemuseli stále vypisovat dlouhý
termín částečně uspořádaná množina.
42
Jedno prvkový poset je až na přeznačení jeden, dvouprvkové posety jsou dva.
8.2 PŘEDNÁŠKA 51
Obrázek 12: Hasseův diagram relace uspořádání.
Označení 34: Symbolem budeme označovat relaci bezprostředího předchůdce v
množině P, když ∀x, y ∈ P:
x y ⇔ (x ¡ y ∧ ∃ a ∈ P : x ¡ a ¡ y)
(jinými slovy, mezi x, y už nelze vložit další prvek a různý od y). Říkáme, že prvek x
bezprostředně předchází prvku y (nebo že prvek y bezprostředně následuje za prvkem x)43
.
Deﬁnice 40: (P, ¢) je úplně uspořádaná množina = řetězec = lineárně uspořádaná
množina44
, pokud ¢ je uspořádání a současně úplná relace, tj. pokud pro ni platí
vlastnosti (11), (anti-12), (13), (14). (anglicky: coset = Completely Ordered SET = úplně
uspořádaná množina)
Příklad 8.5 ilustrační – coset. Na obrázku 13 vidíte příklad jednoho cosetu = úplně
uspořádané množiny – je jím nekonečná množina Z.
Označení 35: Symbolem ¤ označujeme relaci inverzní k relaci ¢, symbolem £ relaci
inverzní k ¡.
Věta 16:
(P, ¢) je poset ⇒ (P, ¤) je také poset.
Důkaz: (typ 2 – přímý důkaz, na základě deﬁnic pojmů, které se ve větě vyskytují)
Vlastně stačí dokázat (ukázat), že relace ¤ je uspořádání, tj. dokázat pro ni vlastnosti
(11), (anti-12), (13).
43
Pomocí ostrého uspořádání ¡ a relace bezprostředního předchůdce lze lépe popsat konstrukci
Hasseových diagramů: vyznačujeme v nich hranami pouze relaci bezprostředního předchůdce ([16], str.30,
lemma 4). Pro konečný poset (P, ¢) a jeho prvky a, b ∈ P tedy platí: a ¡ b (ostře menší než) znamená, že
v množině P existuje řetězec bezprostředních následovníků a = x0 x1 x2 . . . xn = b.
44
Tj. všechny prvky jsou pospojovány v jedné linii, v jednom řetězci. Tato tři označení se bohužel
používají v různé literatuře, tj. názvosloví zde není jednotné. Zcela postačí termín „úplně uspořádaná z
deﬁnice úplné relace, někteří jej považují za málo názorný a používají termín „lineárně uspořádaná , a
termín „řetězec je také historicky známý i názorný.
52 8 USPOŘÁDANÉ MNOŽINY
Obrázek 13: Množina Z je coset = řetězec = úplně uspořádaná množina.
ad (11) ... reﬂexivita se zachová z původního uspořádání ¢ ... „inverzním prvkem ke
smyčce je zase smyčka, mluvíme-li terminologií grafové reprezentace relace.
ad (anti-12) a (13) ... antisymetrie (anti-12) a tranzitivita (13) relace ¤ plynou z
toho, že všechny šipky jsou přesměrovány v opačném směru vzhledem k původní relaci
¢, která antisymetrická a tranzitivní je – a pouhým přesměrováním všech šipek v grafové
reprezentaci relace se antisymetrie ani tranzitivita neporuší. P
Je zajímavé si uvědomit, že pokud máme k dispozici Hasseův diagram relace ¢ nebo
¡, příslušný Hasseův diagram relace inverzní získáme otočením původního Hasseova
diagramu o 180 stupňů, tj. směr „nahoru se stane směrem „dolů . Někdy45
se uspořádání
¤ nazývá duální uspořádání k uspořádání ¢, nikoli inverzní uspořádání.
Význačné prvky posetu:
Pokud (P, ¢) je poset, M = ∅ je podmnožina množiny P, tak prvek a ∈ M nazveme
a) ( deﬁnice 41 ) nejmenší prvek množiny M, když
∀x ∈ M : a ¢ x;
b) ( deﬁnice 42 ) minimální prvek množiny M, když
∃ x ∈ M : x ¡ a;
c) ( deﬁnice 43 ) největší prvek množiny M, když
∀x ∈ M : a ¤ x;
d) ( deﬁnice 44 ) maximální prvek množiny M, když
∃ x ∈ M : x £ a.
45
Viz [16].
8.2 PŘEDNÁŠKA 53
Příklad 8.6 ilustrační. Ad obrázek 14: V tříprvkové množině M s uspořádáním
zadaným v Hasseově diagramu je 1 prvek minimální a nejmenší současně, a dále 3 je prvek
maximální a největší současně. V množině N s klasickým uspořádáním ≤ je nejmenší
prvek 1 a číslo 1 je též minimální prvek. Největší prvek množiny N neexistuje.
Obrázek 14: Dvě dobře uspořádané množiny = wosety.
Dále na obrázku 15 je množina M, ve které a je minimální i nejmenší prvek současně.
Na druhé straně, největší prvek tato množina nemá – má pouze dva maximální prvky c,
d.
Obrázek 15: Rozdíl mezi maximálním a největším prvkem.
Tj. maximální prvek množiny M je takový, „nad kterým už není v této množině
žádný prvek. Na druhé straně největší prvek musí být srovnatelný (= v relaci) se všemi
prvky množiny M a musí být větší nebo roven než libovolný z nich.
Pro pořádek ještě zmiňme příbuznou deﬁnici dobře uspořádané množiny. Než se k ní
dostaneme, deﬁnujeme vlastnost (15):
V posetu (P, ¢) je splněna vlastnost (15), když každá jeho neprázdná podmnožina M
obsahuje svůj nejmenší prvek, tj. platí
(P, ¡) je poset a ∀M = ∅, M ⊆ P : M má nejmenší prvek. (vlastnost (15) ).
Věta 17: V posetu platí:
(15) ⇒ (14).
54 8 USPOŘÁDANÉ MNOŽINY
Důkaz: (typu 2 – přímý důkaz na základě vlastnosti (15) a deﬁnice nejmenšího
prvku) Vlastnost (15), jejíž platnost předpokládáme na daném posetu, tvrdí, že každá
dvouprvková podmnožina {a, b} posetu musí mít nejmenší prvek. Pokud je tím nejmenším
prvkem a, tak platí a ¢ b, pokud je jím b, tak b ¢ a. Jedna z těchto dvou možností musí
nastat, tj. prvky a, b jsou srovnatelné, platí (14). P
Deﬁnice 45: Poset (P, ¢) se nazývá dobře uspořádaná množina (woset ... z anglického
Well Ordered SET), když splňuje vlastnosti (14)46
a (15).
Jaký je tedy rozdíl mezi wosetem a cosetem? V cosetu nemusí mít některé podmnožiny
(např. ani celá daná množina samotná) nejmenší prvek, kdežto ve wosetu ano. Tedy M
a N z obrázku 14 jsou dobře uspořádané množiny (wosety), kdežto Z z obrázku 13 ne,
protože samotná množina Z nemá nejmenší prvek.
Obrázek 16: Vztah mezi danými pojmy poset, coset, woset.
Na obr. 16 vidíme vztah mezi danými třemi pojmy: jen některé velmi hezké řetězce
jsou wosety, všechny řetězce jsou cosety (to je ekvivalentní označení), a nejvíce je posetů,
protože to jsou mnohem obecnější struktury, které mohou obsahovat i dvojice navzájem
nesrovnatelných prvků. Tento vztah je zřejmý, když si uvědomíme deﬁnice těchto pojmů
vyjádřené pomocí našich vlastností číslovaných speciálními čísly47
:
• poset splňuje (11), (anti-12), (13);
• coset splňuje (11), (anti-12), (13), (14);
• woset splňuje (11), (anti-12), (13), (14), (15)48
.
46
Vlastnost (14) je do deﬁnice doplněna pro ignoranty, kteří nečetli předchozí větu – běžně se v deﬁnici
wosetu uvádí jen (15), protože vlastnost (14) vyplývá z vlastnosti (15).
47
Je vidět, že struktur, které splňují více vlastností (nějakou další vlastnost ve srovnání se strukturami
předchozího typu), je méně – kdyby tomu tak nebylo, nemuseli bychom nový pojem zavádět, protože by
popisoval přesně stejnou kategorii struktur jako pojem předchozí. Někdy se ovšem stane, jak je vidět u
ekvivalentních pojmů řetězec – lineární poset – úplný poset, že existují v různé literatuře různé pojmy,
nebo se deﬁnují různé pojmy, o kterých matematika později dokáže, že se jedná o totéž.
48
Vlastnost (15) není už tak jednoduchá sama o sobě, protože má v sobě „zabaleny všechny předchozí
vlastnosti (11), (anti-12), (13), (14) (vlastnost (15) je deﬁnována jen pro posety, tj. skrývá v sobě i platnost
(11), (anti-12), (13); dále vlastnost (14) plyne z (15), jak už bylo řečeno). Ale pojem wosetu (15) hraje
důležitou roli v předmětu Teorie množin ve 4. ročníku, proto byl zmíněn už nyní a porovnán s předchozími
pojmy.
8.2 PŘEDNÁŠKA 55
Označení 36: Symbol 2A
označuje množinu všech podmnožin množiny A. Například
množina A = {1, 2, 3} má osm podmnožin: prázdnou množinu, tři jednoprvkové podmnožiny,
tři dvouprvkové podmnožiny a osmou podmnožinou je množina A samotná.
Označení má svou logiku: pokud A má n prvků, jejích všech možných podmnožin je 2n
.
Příklad 8.7. Dva důležité příklady posetů.
a) Relace ⊆ na množině 2P
všech možných podmnožin množiny P = {1, 2, 3} je poset,
jeho Hasseův diagram je na obrázku 17:
Obrázek 17: Poset (2P
, ⊆) pro P = {1, 2, 3}.
b) Na množině N deﬁnujme uspořádání pomocí dělitelnosti, tj. a ¢ b ⇔ a|b. Pak (N, ¢)
je poset, který má nekonečně mnoho prvků. Na obrázku 18 je nakreslena jen jeho
dolní část:
Obrázek 18: Poset (N, |).
Ze struktury dělitelů vidíme, že např. číslo 24 má dělitele 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 a 24).
56 8 USPOŘÁDANÉ MNOŽINY
Příklad 8.8 – úkol pro studenty. Nakreslete Hasseovský diagram posetu všech kladných
dělitelů čísla 60 vzhledem k relaci |.
Podívejme se nyní na další význačné prvky v posetech:
Když (P, ¢) je poset a M je nějaká neprázdná podmnožina množiny P, nazýváme
prvek a ∈ P (pokud takový prvek existuje):
• ( deﬁnice 46 ) dolní závora množiny M, pokud a ¢ x ∀x ∈ M;
• ( deﬁnice 47 ) inﬁmum množiny M (označujeme inf M), pokud je největším prvkem
na množině všech dolních závor množiny M; tj. a je inﬁmum, pokud pro všechny
další dolní závory d platí
d ¢ x ∀x ∈ M ⇒ d ¢ a;
• ( deﬁnice 48 ) horní závora množiny M, pokud a ¤ x ∀x ∈ M;
• ( deﬁnice 49 ) supremum množiny M (označujeme sup M), pokud je nejmenším prvkem
na množině všech horních závor množiny M. Tj. a je supremum, pokud pro
všechny další holní závory h platí
h ¤ x ∀x ∈ M ⇒ h ¤ a;
Nejdůležitějším postřehem k předchozím deﬁnicím je asi to, že závory nebo inﬁmasuprema
množiny M nemusí samy být prvky množiny M!! Obecně závora, inﬁmum či
supremum je prvek množiny P, který může a nemusí ležet v dané množině M.
Příklad 8.9 ilustrační.
a) Například v posetu přirozených čísel s uspořádáním zadaným dělitelností těchto čísel
(obr. 18) uvažujme množinu M = {12, 8, 20}. Dolní závorou množiny M jsou čísla
1, 2, 4 (společní dělitelé prvků v množině M), a tedy inﬁmem je číslo 4 jako největší
z těchto prvků (tj. inﬁmem v (N, |) je největší společný dělitel prvků v množině M.
Analogicky horní závorou množiny M jsou společné násobky čísel 12, 8, 20, tj. čísla
120, 240, 360, atd., a tedy supremem je nejmenší horní závora, tedy číslo 120.
b) V posetu podmnožin tříprvkové množiny (obr. 17) například platí
inf{{1, 2}, {1, 3}} = {1, 2} ∩ {1, 3} = {1},
inf{{1, 2}, {2}, {2, 3}} = {2},
tedy inﬁmem několika množin je jejich vzájemný průnik,
sup{{1, 2}, {1}} = {1, 2} ∪ {1} = {1, 2}
(supremem několika množin v dané struktuře je jejich sjednocení).
Příklad 8.10. Najděte suprema množin na obrázku 19, pokud existují:
8.3 CVIČENÍ 57
Obrázek 19: Příklad suprem dvouprvkových podmnožin posetu.
8.3 Cvičení
Cvičení 8.1.
• i) Vypište podle Hasseova diagramu relaci ¢ výčtem uspořádaných dvojic na obrázku
20: a) poset (a); b) poset (b)49
;
• ii) Vypište podle Hasseova diagramu obou posetů relaci ¡ ostrého uspořádání;
• iii) Vypište podle Hasseova diagramu obou posetů relaci bezprostředního před-
chůdce.
49
[16], str.28, obrázky 5a,5b.
58 8 USPOŘÁDANÉ MNOŽINY
Obrázek 20: Uspořádané množiny (a) a (b).
Cvičení 8.2. Nakreslete Hasseův diagram posetu 2P
pro P = {1, 2, 3, 4} – pro
zjednodušení k uzlům diagramu nevpisujte závorky a čárky, tj. množiny budou označeny
jen znaky prvků: např ∅, 12, 124 jsou označení různých množin.
Cvičení 8.3. Nakreslete Hasseův diagram posetu všech kladných dělitelů čísla 144
vzhledem k relaci dělitelnosti beze zbytku.
Cvičení 8.4. Nakreslete Hasseovy diagramy všech různých (až na přeznačení prvků)
čtyřprvkových posetů.
Cvičení 8.5. Jaký je rozdíl mezi posetem, cosetem a wosetem?
Cvičení 8.6. Jaký je rozdíl mezi minimálním prvkem, nejmenším prvkem a inﬁmem
množiny M?
Cvičení 8.7. Uveďte příklad pětiprvkového posetu, který má právě dva prvky maximální
a právě tři prvky minimální.
Cvičení 8.8. Nalezněte poset, který má maximální prvek, nemá největší prvek a
nemá minimální prvek.
Cvičení 8.9. Nalezněte poset všech kladných dělitelů čísla 60 uspořádaných vzhledem
k relaci dělitelnosti |.
Cvičení 8.10. Uveďte příklad posetu, který obsahuje nějaké dva nesrovnatelné prvky
– uveďte, které to jsou.
Cvičení 8.11. Uveďte příklad pětiprvkového posetu, ve kterém současně platí všechny
následující podmínky:
a) v Hasseově diagramu jsou znázorněny minimálně čtyři hrany.
b) Platí a ≤ b a současně b ≤ c.
c) Každý prvek je srovnatelný aspoň s jedním dalším prvkem.
8.3 CVIČENÍ 59
d) Existují v něm tři prvky, které jsou navzájem mezi sebou nesrovnatelné.
Cvičení 8.12.
a) uveďte deﬁnici největšího prvku: x0 z posetu (P, ≤) je největší prvek množiny M ⊆ P,
když . . .
(pokračujte zkráceným matematický zápisem);
b) negujte předchozí deﬁnici, tj.: x0 z posetu (P, ≤) není největší prvek množiny M ⊆ P,
když . . .
(pokračujte zkráceným matematický zápisem – nestačí přitom položit znak negace
před část a), proveďte tuto negaci podrobněji);
Cvičení 8.13.
a) Vysvětlete, co je to Hasseův diagram (jak je v něm zachycen vztah [x, y] relace? jaké
relace pomocí Hasseova diagramu popisujeme?) a jak jsou v něm zachyceny vlastnosti
(11), anti-(12) a (13).
b) Nakreslete Hasseův diagram množiny všech kladných dělitelů čísla 72 uspořádané
vzhledem k relaci | (= je dělitelem).
Cvičení 8.14.
a) Relace je zadána grafovou reprezentací (viz obrázek 21). Zjistěte, zda se jedná o uspořádání,
a pokud ano, překreslete tuto relaci do Hasseova diagramu. Pokud ne, uveďte,
která vlastnost uspořádání není splněna.
b) Uveďte příklad cosetu (= úplně uspořádané množiny), která není wosetem (= dobře
uspořádanou množinou):
Obrázek 21: Ke cvičení 8.14: Relace zadaná grafovou reprezentací.
Cvičení 8.15.
a) Na posetu (P, ¢) uvažujme neprázdnou podmnožinu M. Číslo m je inﬁmum množiny
M v tomto posetu, když ... dokončete deﬁnici:
b) Na posetu (N, |) přirozených čísel uspořádaných podle relace „dělí běze zbytku , máme
podmnožinu M = {8, 12, 30}. Nalezněte infM a supM.
Cvičení 8.16. Dále to, co se ještě nedělalo ze sbírky [14] z příkladů 1.6.A4-str.55,
1.6.B1, 1.6.B2, 1.6.B6, 1.6.B7, 1.6.B8, 1.6.B9, 1.6.B11, pokud se ještě nedělaly.
Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 13.8.
60 9 USPOŘÁDANÉ MNOŽINY II – OPERACE PRŮSEK A SPOJENÍ
9 Uspořádané množiny II – operace průsek a spojení
9.1 Warm-up: Jazyk R, část 01 – některé základní příkazy, příklad
na úročení
Zmínění jazyka R jako vylepšené kalkulačky, instalace a některé výpočty. Prvním podstatným
výpočtem bude příklad na úročení.
Jazyk R si lze nainstalovat z internetu, zadáte-li do vyhledávače „jazyk R nebo „R
language . Funguje jako dobrá kalkulačka oﬄine, navíc si může uživatel prohlédnout veškeré
předchozí výpočty. Základní informace: knihy [12], [13] jsou manuály k programu v
češtině, nebudeme je příliš potřebovat, jen oddíly o matematických funkcích a o kreslení
graﬁky bude v první fázi využitelné50
. Platí zde například:
• Pozor, desetinná čísla se zadávají s desetinnou tečkou, po americku, to je malá daň
za jeho free užívání. Des. čárka slouží jako oddělovač rovnic a parametrů funkcí.
• Faktoriál zadáme příkazem (a následným stiskem klávesy ENTER)
> factorial(n);
• Celočíselné dělení zadáme operátorem %/%, zbytek po dělení příkazem %%. Napří-
klad
> 62 %/% 5
vede po stisku klávesy ENTER na výsledek 12 (celočíselný podíl),
> 62 %% 5
vede na výsledek 2 (zbytek po dělení pěti).
• Umocnění zadáme šipkou nahoru (na klávese čísla 6), například
> 15^2
vede na výsledek 225,
> sqrt{144}
vede na odmocninu51
z čísla 144, tj. 12.
Vypočtěte příklad následující: Vypočtěte zůstatek na účtu při vkladu 100 kč a složeném
úrokování po 25 letech, když úročíme
50
Tento program studentům doporučuji kvůli předmětu Pravděpodobnost a statistika ve 4.semestru.
51
Řídící slovo „sqrt je z anglického „square root .
9.2 PŘEDNÁŠKA 61
• a) jedenkrát ročně 4 procenta;
• b) dvakrát ročně 2 procenta;
• c) čtyřikrát ročně 1 procento;
• d) stokrát ročně 4
100
procenta;
Výsledek: viz kniha [11], str. 31. Je zajímavé, že při rostoucím počtu úročení nižší částkou
se výsledný zůstatek na účtu na konci stále téhož období blíží e-násobku vkladu, kde
e = 2,718281828
(ale dále desetinný rozvoj čísla je neperiodický, podobně jako u čísla π) je tzv. Eulerovo52
číslo.
9.2 Přednáška
V předešlé kapitole jsme zavedli pojmy inﬁmum (= největší dolní závora) a supremum
(= nejmenší horní závora) konečné množiny. Pomocí těchto pojmů nyní deﬁnujeme na
posetu P dvě operace: operaci průseku a operaci spojení .
Pokud v posetu (P, ¢) má každá dvouprvková podmnožina své inﬁmum, lze deﬁnovat
operaci průsek ( deﬁnice 50 )
x y := inf{x, y}
a poset (P, ¢) se nazývá průsekový polosvaz; to tedy znamená, že prokaždé dva prvky
x, y ∈ P
• x y je dolní závorou množiny {x, y}, tj.
x y ¢ x, x y ¢ y; vlastnost ( 16a )53
• x y je největší dolní závorou množiny {x, y}, tj.
∀d ∈ P : (d ¢ x ∧ d ¢ y ⇒ d ¢ x y). vlastnost ( 16b )54
Pokud v posetu (P¢) má každá dvouprvková podmnožina své supremum, lze deﬁnovat
operaci spojení ( deﬁnice 51 )
x y := sup{x, y}
a poset (P, ¢) se nazývá spojový polosvaz; to tedy znamená, že
• x y je horní závorou množiny {x, y}, tj.
x ¢ x y, y ¢ x y; vlastnost ( 17a )55
52
Čti: [ojlerovo].
53
(16a) ... průsek dvou prvků je menší nebo roven než každý z nich
54
(16b) ... pokud nějaký prvek je menší nebo roven než jiné dva, pak je též menší nebo roven než jejich
průsek
55
(17a) ... spojení dvou prvků je větší nebo rovno než každý z nich
62 9 USPOŘÁDANÉ MNOŽINY II – OPERACE PRŮSEK A SPOJENÍ
• x y je nejmenší horní závorou množiny {x, y}, tj.
∀h ∈ P : (x ¢ h, y ¢ h ⇒ x y ¢ h). vlastnost ( 17b )56
Poznámka: průsek a spojení v Hasseově diagramu.
a) Pokud poset (P, ¢) je průsekový polosvaz, v jeho Hasseově diagramu ∀x, y ∈ P ∃! z ∈
P,
• do něhož se po hranách dostanete z x i y cestou stále dolů (z je dolní závora
množiny {x, y}),
• přičemž z je ze všech takových uzlů nejvýše (je největší dolní závora množiny
{x, y}).
b) Pokud poset (P, ¢) je spojový polosvaz, v jeho Hasseově diagramu ∀x, y ∈ P ∃! z ∈ P,
• do něhož se po hranách dostanete z x i y cestou stále vzhůru (z je horní závora
množiny {x, y}),
• přičemž z je ze všech takových uzlů nejníže (je nejmenší horní závora množiny
{x, y}).
Příklad 9.1. (učitel společně se studenty) Rozhodněte, zda je daný poset také průsekový
polosvaz nebo spojový polosvaz, vypočtěte dané operace průseku nebo spojení:
(i) Viz poset na obrázku 22.
Obrázek 22: Poset P1.
(ii) Viz poset na obrázku 23.
(iii) Viz poset na obrázku 24.
(iv) Viz poset na obrázku 25.
56
(17b) ... pokud nějaký prvek je větší nebo roven než jiné dva, pak je též větší nebo roven než jejich
spojení.
9.2 PŘEDNÁŠKA 63
Obrázek 23: Poset P2.
Obrázek 24: Poset P3.
Obrázek 25: Poset P4.
64 9 USPOŘÁDANÉ MNOŽINY II – OPERACE PRŮSEK A SPOJENÍ
Vlastnosti operací průsek a spojení
, jsou operace – lze tedy studovat bližší vlastnosti těchto operací!!!!!!!!!!! Například
ve větě 08 jsme pomocí Vennových diagramů dokázali tzv. asociativní zákon pro operace
průniku a sjednocení. Platí podobý asociativní zákon pro operaci průseku nebo operaci
spojení? Pokud ano, tak při jeho důkazu asi bude nutné použít jiné metody než Vennovy
diagramy.
(Věta 18) Asociativita operace průsek a spojení
a) V každém průsekovém polosvazu (P, ) platí:
∀x, y, z ∈ P : (x y) z = x (y z).
b) V každém spojovém polosvazu (P, ) platí:
∀x, y, z ∈ P : (x y) z = x (y z).
Důkaz. Dokažmě pouze tvrzení (a): Při odvozování důkazu je nad implikacemi nebo
nerovnostmi vždy číslo vlastnosti, na základě které příslušná implikace nebo nerovnost
platí.
No a v této fázi důkazu zbývá už jen malý kousek, stačí si uvědomit, že relace ¢ je
antisymetrická, tj. platí (anti-12):
a ¢ b ∧ b ¢ a ⇒ a = b.
Tedy z obou nerovností, ke kterým jsem při odvozování dospěli, plyne nakonec rovnost v
daném vztahu, což je dokazované tvrzení (a):
[(x y) z ¢ x (y z)] ∧ [x (y z) ¢ (x y) ]z ⇒
⇒ (x y) z = x (y z).
Pokud byl pro čtenáře právě předvedený důkaz příliš náročný, lze jej udělat jiným
způsobem: lze si obě jeho hlavní části nakreslit. Snad lze následující metodu důkazu
9.2 PŘEDNÁŠKA 65
označit jako nový typ – typ číslo 10.
Typ důkazu číslo 10: Rovnost výrazů pomocí Hasseových diagramů.
Rovnost, ve které na obou stranách vystupují operace průsek a spojení,
lze dokázat pomocí Hasseových diagramů, do kterých kreslíme výsledky
těchto operací – rovnost a = b plyne při vlastnosti (anti-12) z nerovností
a ¢ b a b ¢ a, které platí současně. Důkaz rovnosti provedeme tak, že
nakreslíme Hasseův diagram pro každou z nerovností.
Důkaz věty 15a pomocí Hasseových diagramů57
: Hasseovy diagramy nerovností (x
y) z ¢x (y z) a x (y z)¢(x y) z vidíme na obrázku 26, platí tedy obě nerovnosti
– a z vlastnosti (anti-12) tedy plyne rovnost obou výrazů. P
Obrázek 26: Důkaz věty 15 pomocí Hasseových diagramů.
Analogií operace s průnikem a operace se sjednocením na struktuře (2A
, ⊆)
(tedy struktura 2A
je současně průsekový i spojový polosvaz) jsme si připravili půdu
k následující deﬁnici, která je tedy celkem přirozená. V dalším se teď budeme zabývat
otázkou: Jaké vlastnosti má poset, který je současně polosvazem obou typů?
Deﬁnice 52: Poset (P, ¢), který je současně průsekový i spojový polosvaz, se nazývá
svaz58
. Analogicky lze říci, že protože svaz je spojením vlastností průsekového polosvazu
a spojového polosvazu, tak pro svaz je charakteristické, že s každou svou dvouprvkovou
podmnožinou obsahuje i její inﬁmum a supremum59
.
58
Anglicky: lattice. Pozor, neplést s hlávkovým salátem: lettuce. Anglicky polosvaz: semilattice.
59
Které ovšem nemusí ležet přímo v dané dvouprvkové podmnožině, jak jsme už na několika příkladech
viděli.
66 9 USPOŘÁDANÉ MNOŽINY II – OPERACE PRŮSEK A SPOJENÍ
Poznámka: Jak lze chápat svaz.
Svazem tedy rozumíme strukturu (P, ¢, , ), kde
a) relace ¢ splňuje vlastnosti (11), (anti-12), (13);
b) operace splňuje dvojici vlastností (16a),(16b);
c) operace splňuje dvojici vlastností (17a),(17b).
Příklad 9.2. Důležité svazy.
9.2.a) Systém všech podmnožin vzhledem k relaci „je podmnožinou , tedy struktura
(2A
, ⊆), svaz.
9.2.b) I druhý hlavní příklad posetu z předchozí kapitoly, množina N s relací deﬁnovanou
na základě dělitelnosti, je svaz. Průsekem dvou přirozených čísel je jejich největší
společný dělitel, spojením dvou čísel je jejich nejmenší společný násobek – tyto dvě
charakteristiky vždy existují pro každá dvě přirozená čísla.
9.2.c) I některé podposety svazu (N, |) jsou svazy, například podsvaz60
všech dělitelů čísla
24
nebo podsvaz všech dělitelů čísla 30
60
Z příkladů je vidět, že aby podmnožina svazu byla též svazem, musí být uzavřená vzhledem k operacím
průsek a spojení. Takovou podmnožinu nazveme podsvaz.
9.2 PŘEDNÁŠKA 67
Naopak řada podposetů posetu (N, |) svazem není, protože nejsou uzavřené na operace
průseku a spojení. Například podposet prvních devíti přirozených čísel není
svazem, protože v něm neexistuje například supremum dvouprvkové množiny {4, 6}:
9.2.d) Každý řetězec (= coset) je svaz ... například N s klasickým uspořádáním ≤ je
svaz, (Z, ≤) je svaz.
Dříve než přistoupíme ke studiu dalších vlastností svazu (pravděpodobně se k tomu
dostaneme až v příštím semestru), všimneme si ještě jedné věci, která platí i v každém
polosvazu – každý polosvaz deﬁnuje tzv. duální polosvaz, jehož Hasseovský diagram je
obrácen vzhůru nohama o 180 stupňů:
Deﬁnice 53 Pokud například (P, ¢) je průsekový polosvaz, tak inverzní uspořádání
¤ deﬁnuje tzv. duální polosvaz a jedná se o spojový polosvaz61
.
61
A naopak, duální polosvaz ke spojovému polosvazu je průsekový polosvaz
68 9 USPOŘÁDANÉ MNOŽINY II – OPERACE PRŮSEK A SPOJENÍ
Příklad 9.3.
Na obrázku vidíme −polosvaz (P, ¢) a vedle něj nakreslený −polosvaz (P, ¤)
zadaný toutéž množinou, pouze všechny šipky mají opačný směr, tj. Hasseovský diagram
je oproti původnímu polosvazu „hlavou dolů .
Ve svazech, kde jsou deﬁnovány obě operace současně, tj. existují současně inﬁma
i suprema dvouprvkových podmnožin, lze někdy využívat těchto duálních vztahů mezi
pojmy a z platnosti určité vlastnosti jednoduše dokázat příslušnou duální vlastnost
pouze záměnou za , ¤ za ¢, horních závor za dolní závory, suprem za inﬁma. To je
pro matematiky velmi pomocný poznatek, protože jim usnadňuje práci s dokazováním
vlastností ve svazech na polovinu.
Typ důkazu číslo 11: Důkaz pomocí polosvazové duality.
Pokud jsme už jinými prostředky dokázali rovnost či nerovnost, která
platí ve svazu, tak platnost tzv. duální rovnosti nebo nerovnosti plyne ze
vztahu duality mezi průsekovým a spojovým polosvazem. V tomto vztahu
duality
• znak relace ¢ musíme zaměnit za znak ¤;
• znak musíme zaměnit za znak ;
• vlastnost (16a), pojem dolní závory, musíme zaměnit za vlastnost
(17a), pojem horní závory;
• vlastnost (16b), pojem největší dolní závory, musíme zaměnit za
vlastnost (17b), pojem nejmenší horní závory.
Důkaz věty 15b pomocí polosvazové duality. Vztah
∀x, y, z ∈ P : (x y) z = x (y z)
plyne z věty 15a na základě polosvazové duality – přesně stejně zopakujeme důkaz věty 15a
(buď rozepsáním, nebo graﬁcky), pouze duálně nahradíme všechny pojmy z 15a duálními,
9.3 CVIČENÍ 69
které plynou z náhrady relace ¢ inverzní relací ¤. Po duálních záměnách dostaneme
(sestavení negraﬁckého důkazu ):
Důkaz obou nerovností je přesně stejný jako u věty 15a, jen všechny pojmy a symboly byly
duálně zaměněny). Dohromady spojením obou nerovností plyne z (anti-12) rovnost62
.
9.3 Cvičení
Cvičení 9.1. Co to znamená x y na uspořádané množině (P, ¢)? Uveďte, co označení
znamená a jak se prakticky spočítá – uveďte příklad výpočtu x y a) pro navzájem
srovnatelné prvky, b) pro nesrovnatelné prvky x, y vzhledem k relaci ¢.
Cvičení 9.2. Deﬁnujte vlastnosti (16a), (16b) ve zkráceném matematickém zápisu
(pokračujte bez použití českých slov):
a) x y je dolní závora množiny {x, y}, když ...
b) x y je největší dolní závora množiny {x, y}, když ...
Cvičení 9.3. Deﬁnujte vlastnosti (17a), (17b) ve zkráceném matematickém zápisu
(pokračujte bez použití českých slov):
a) x y je horní závora množiny {x, y}, když ...
b) x y je nejmenší horní závora množiny {x, y}, když ...
Cvičení 9.4. Negujte (každou zvlášť) vlastnosti (16a), (16b), (17a), (17b).
Cvičení 9.5. Podle posetu na obrázku 27 doplňte místo otazníků správnou relaci: =,
≤ nebo ≥ pro dané konkrétní prvky x, y, z, 0 (= nejmenší prvek posetu P), 1 (= největší
prvek posetu P):
x (y z) ?? (x y) z.
Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 13.9.
62
Respektive pokud víme, že ve svazu platí dualita mezi operacemi a , nemusíme důkaz vůbec
provádět, jen napíšeme duální rovnost 15b výměnou duálních pojmů z 15a, tedy jen záměnou spojení za
průsek.
70 10 ZOBRAZENÍ
Obrázek 27: K příkladu 9.5. Doplňte výsledek operace pro dané prvky posetu.
10 Zobrazení
10.1 Warm-up: Jazyk R, část 02 – kreslení grafů funkce
Přepracuj tak, aby se v první fázi kreslil jen jeden graf s pořádnými osami, s výběrem
hodnot zaznamenaných na ose x, apod.
V této druhé části úvodu k jazyku R se pokusíme v daném prostředí vytvářet obrázky
grafů funkcí.
Dejme tomu, že chceme nakreslit graf funkce y = 2 · sin x + 1 na intervalu −5; 5 . To
uděláme zcela jednoduše příkazem „curve (křivka):
> curve(2*sin(x)+1,-5,5);
Pokud bychom chtěli nakreslit do jednoho obrázku grafy dvou funkcí, je to trošinku
náročnější, protože musíme nejprve nadeﬁnovat „hrací plochu pomocí intervalu −5; 5 ,
a pak nakreslit prázdné hřiště, do kterého přidáváme jednotlivé funkce:
1. Vytvoříme vektor x rozdělením intervalu −5; 5 na tisíc podintervalů s krokem jedna
setina63
:
> x<-seq(-5,5,0.01);
2. Připravíme si do vektorů f1, f2 obě funkce, například funkci 2 · sin x + 1 a 2 · sin x:
> f1<- 2*sin(x)+1;
> f2<- 2*sin(x);
3. Nyní nakreslíme hrací plán příkazem „plot 64
:
63
šipka vzniklá ze symbolů „menší než a „minus ... přiřazovací symbol, který jazyk R používá místo
rovnítka;
seq ... z anglického sequence = posloupnost (hodnot).
64
Z anglického „plot = nakreslit. Význam symbolů:
c() ... vytváří se vektor hodnot, z anglického „column = sloupec, tedy sloupcový vektor;
xlab ... popis osy x, nyní bude prázdný, ale lze vepsat označení proměnné (podobně ylab = popis osy y);
type=”n” ... funkce se zatím nevykreslí.
10.1 WARM-UP: JAZYK R, ČÁST 02 – KRESLENÍ GRAFŮ FUNKCE 71
> plot(c(x,x),c(f1,f2),xlab="",ylab="",type="n");
4. A nakonec přidáme příkazem „lines do obrázku funkce65
:
> lines(x,f1,lty=1, col="red");
> lines(x,f2,lty=1, col="blue");;
5. Příkazem „segments ještě můžeme přidat souřadné osy66
:
> segments(-5,0,5,0, col="black");
> segments(0,-2,0,3, col="black");
6. Pokud bychom chtěli vepsat popis funkcí přímo do obrázku, lze také na příslušné
souřadnice napsat řetězec znaků, např:
> legend(-3,2,"2sin(x)+1");
> legend(-5,-1,"2sin(x)");
7. Celý obrázek si nyní můžeme uložit, když naň najedeme myší a klikneme levým
tlačítkem – tak se zaktivní soubor obrázku; dále v levém horním rohu otevřeme
volbu FILE, a pak SAVE AS a uložíme například jako PDF soubor. Vznikne obrázek,
který lze vložit například do těchto skript (najdeme jej ve stejném adresáři, kde běží
program R):
8. A poslední poznámka k tomuto náročnějšímu souboru příkazů: Pokud bychom nechtěli
soubor několika příkazů neustále opisovat na obrazovku R, můžeme například
náš soubor příkazů uložit do souboru kresleni.txt do stejného adresáře, ve kterém
běží program R – pouze úvodní zobáčky každého řídícího řádku smažeme a zakončíme
každý řádek středníkem:
x<-seq(-5,5,0.01);
f1<-2*sin(x)+1;
f2<-2*sin(x);
plot(c(x,x),c(f1,f2), xlab="",ylab="",type="n");
lines(x,f1,lty=1,col="red");
lines(x,f2,lty=1,col="blue");
segments(0,-2,0,3,col="black");
segments(-5,0,5,0,col="black");
legend(-3,2,"2sin(x)+1");
legend(-5,-1,"2sin(x)");
65
lty ... typ vykreslené linie: typ 1 = plná čára, typ 2 = čárkovaná čára, atd.
col ... volba barvy pro danou funkci.
66
Např. čísla [−5, 0] a [5, 0] znamenají souřadnice počátečního a koncového bodu úsečky, který chceme
nakreslit.
72 10 ZOBRAZENÍ
−4 −2 0 2 4
−2−10123
2sin(x)+1
2sin(x)
Obrázek 28: Obrázek dvou funkcí posunutých o hodnotu 1 ve svislém směru.
Pak lze jen v jazyce R kdykoli později celou sekvenci příkazů vyvolat řídícím příka-
zem
> source("kresleni.txt")
(popřípadě můžeme pozměnit interval či funkce, které chceme nakreslit, vymazat
některé příkazy a soubor uložit) – a provede se celá dávka najednou.
10.2 Přednáška
Už pátou přednášku se zabýváme pojmem relace, a tento oddíl tomu bude nejinak –
podíváme se na deﬁnici jedné z relací, která je v matematice klíčová, a to je zobrazení67
,
a budeme studovat některé vlastnosti tohoto pojmu.
Deﬁnice 54: Relace f na kartézském součinu X × Y se nazývá zobrazení z množiny
X do množiny Y , jestliže pro ni platí podmínka
[x, y] ∈ f ∧ [x, z] ∈ f ⇒ y = z
(tj. v grafové reprezentaci zobrazení nemohou z prvku x vycházet orientované hrany do
dvou různých prvků y, z množiny Y ). Na obrázku 29 je znázorněn příklad relace, která
není zobrazením.
Dále deﬁnujeme ( deﬁnice 55 ) deﬁniční obor zobrazení f jako množinu D(f) těch
prvků z X, které jsou v relaci f s některým z prvků množiny Y , neboli ve stručném
matematickém zápisu
D(f) = {x ∈ X : ∃y ∈ Y : [x, y] ∈ f}
67
V této kapitole bude využit výklad z knihy [8], kapitola 6.
10.2 PŘEDNÁŠKA 73
Obrázek 29: Příklad relace f, která není zobrazením.
a ( deﬁnice 56 ) obor hodnot zobrazení f jako množinu Im(f) těch prvků z Y , se kterými
je v relaci f aspoň jeden prvek množiny X, neboli
H(f) = {y ∈ Y : ∃x ∈ X : [x, y] ∈ f}.
Poznámka: ekvivalentní zápis zobrazení prvků.
Pokud je f zobrazení z X do Y , tak pro [x, y] ∈ f můžeme vzhledem k jednoznačnosti
prvku y psát y = f(x) (a číst: prvek y ∈ Y je obrazem prvku x ∈ X vzhledem k zobrazení
f) a v této symbolice zapisovat veškeré vlastnosti týkající se zobrazení f, tj. také i pojmy
deﬁničního oboru a oboru hodnot zobrazení f:
D(f) = {x ∈ X : ∃y ∈ Y : y = f(x)}
H(f) = {y ∈ Y : ∃x ∈ X : y = f(x)}.
Obrázek 30: Příklad zobrazení f z množiny X do množiny Y .
Příklad 10.1. U zobrazení f z X do Y na obrázku 30 je D(f) = {a, b, c} a
H(f) = {x, z}.
Deﬁnice 57: Podle toho, jakou část množiny X zabírá D(f), jakou část množiny Y
zabírá H(f)a zda je zobrazení f prosté nebo ne (tato vlastnost bude hned vysvětlena),
rozeznáváme šest typů zobrazení:
a) zobrazení z X do Y , pokud D(f) je vlastní podmnožina množiny X, H(f) je vlastní
podmnožina množiny Y ; příklad viz obrázek 30;
b) zobrazení X do Y , pokud D(f) = X, H(f) je vlastní podmnožina množiny Y ; příklad
viz obrázek 31;
74 10 ZOBRAZENÍ
c) zobrazení z X na Y , pokud D(f) je vlastní podmnožina množiny X, H(f) = Y ; příklad
viz obrázek 32;
d) surjekce neboli zobrazení X na Y , pokud D(f) = X, H(f) = Y ; příklad viz obrázek
33;
e) injekce neboli prosté zobrazení X do Y , pokud D(f) = X, H(f) je vlastní podmnožina
množiny Y a platí podmínka prostého zobrazení (= podmínka injektivity):
∀x, y ∈ X : x = y ⇒ f(x) = f(y);
příklad viz obrázek 34 – z příkladu je vidět, že zobrazení typu (e) vzniká spojením
vlastnosti typu (b) a podmínky injektivity;
f) bijekce neboli prosté zobrazení X na Y , pokud D(f) = X, H(f) = Y a platí podmínka
injektivity. Příklad viz obrázek 35. O zobrazení bijektivním lze na základě graﬁckého
názoru minimálně pro konečné množiny říci, že existuje mezi množinami, které
mají stejný počet prvků. Z příkladu je vidět, že zobrazení typu (f) vzniká spojením
vlastnosti typu (d) a vlastností typu (e) – respektive vlastnosti (b), vlastnosti (d) a
podmínky injektivity.
Zobrazení typu b), tj. zobrazení X do Y , má speciální označení – ( označení 37 )
f : X → Y .
Obrázek 31: Příklad zobrazení X do Y .
Obrázek 32: Příklad zobrazení z X na Y .
Věta 19.
Podmínce prostého zobrazení(= podmínce injektivity) je logicky ekvivalentní pod-
mínka
∀x, y ∈ X : f(x) = f(y) ⇒ x = y
10.2 PŘEDNÁŠKA 75
Obrázek 33: Příklad zobrazení X na Y (surjekce).
Obrázek 34: Příklad prostého zobrazení X do Y (injekce).
Obrázek 35: Příklad prostého zobrazení X na Y (bijekce).
(neboli pokud se dva obrazy rovnají, tj. f(x) = f(y), tak se musí jednat o tentýž vzor, tj.
x = y).
Důkaz: Plyne z platnosti věty 03: dokazovaná vlastnost je logicky ekvivalentní obměně
implikace z vlastnosti (18). P
Kromě jednoho zobrazování či zobrazení lze studovat (a budeme jim věnovat čas) ty
situace, kdy skládáme dvě různá zobrazení, tj. nejprve zobrazujeme prvky z X do Y , a
pak z Y do Z:
Deﬁnice 58: Pokud f : X → Y je zobrazení a g : Y → Z je zobrazení, deﬁnujeme
složené zobrazení g ◦ f ( označení 38 ) množiny X do množiny Z takto:
(g ◦ f)(x) := g(f(x))
(čti „g po f – toto čtení také umožňuje zapamatovat si pořadí, v jakém zobrazování
provádíme: nejprve na prvek x použijeme zobrazení f, a pak teprve zobrazení g)
76 10 ZOBRAZENÍ
Obrázek 36: Příklad složeného zobrazení g ◦ f.
Příklad 10.2. Vezměme X = Y = Z množinu reálných čísel a zobrazení f : R → R
deﬁnované předpisem f(x) = 2x, podobně g : R → R deﬁnované g(x) = x+5. Pak složené
zobrazení g ◦ f je deﬁnované vztahem
g(f(x)) = g(2x) = 2x + 5,
jedná se tedy opět o zobrazení R → R.
Poznámka: Iverzní relace f−1
někdy není zobrazením.
Inverzní relaci f−1
netřeba zvlášť deﬁnovat, protože je to relace, v jejíž grafové reprezentaci
všechny šipky změní směr na opačný vzhledem k f (a v množinové reprezentaci
všechny uspořádané dvojice změní pořadí svých souřadnic). Problém je ten, že inverzní
relace f−1
není vždy zobrazením: Uvažujme zobrazení f : R → R dané vztahem pro
druhou mocninu f(x) = x2
. Pak např. f(2) = 4 a f(−2) = 4, tj platí [4; 2] ∈ f−1
a
[4; −2] ∈ f−1
, tj. f−1
není zobrazení.
Věta 20. Inverzní relace f−1
z Y do X je zobrazením z Y do X právě tehdy, když
zobrazení f : X → Y je injekce.
Důkaz: Dokažme (typ 4) obě implikace této ekvivalence.
• Dk. implikace „⇒ :dokažme
f−1
je zobrazení ⇒ f : X → Y je injekce.
Sporem (typ 5): předpokládáme platnost negace, tj. platí A ∧ ¬B:
f−1
je zobrazení ∧ f : X → Y není injekce.
Pak existují prvky x, y ∈ X, x = y tak, že f(x) = z = f(y) pro nějaké z ∈ Y . To by
ale znamenalo, že [z, x] ∈ f−1
, [z, y] ∈ f−1
, a to je spor s tím, že f−1
je zobrazení.
Tedy neplatí výchozí předpoklad a platí daná implikace.
• Dk. implikace „⇐ :dokažme
f : X → Y je injekce ⇒ f−1
je zobrazení .
10.3 CVIČENÍ 77
Sporem (typ 5): předpokládáme platnost negace, tj. platí A ∧ ¬B:
f : X → Y je injekce ∧ f−1
není zobrazení .
Pak existují prvky x1, x2 ∈ X a z ∈ Y , x1 = x2 tak, že [z, x1] ∈ f−1
a [z, x2] ∈ f−1
.
To by ale znamenalo, že f(x1) = z, f(x2) = z, a to je spor s tím, že f je injekce.
Tedy neplatí výchozí předpoklad a platí daná implikace.
Příklad 10.3. Například zobrazení f : R → R zadané vztahem f(x) = 2x je prosté
(injektivní), a tedy k němu existuje zobrazení inverzní f−1
(x) = x
2
(tedy předpis zobrazení
představujícího násobení dvěma je inverzní k předpisu zobrazení představujícího dělení
dvěma).
And last but not least, nyní jsme schopni si říci vysokoškolskou deﬁnici operace:
( deﬁnice 59 ): Binární operace ♥ na množině M je zobrazení M ×M → M, tj. zobrazení,
které přiřadí uspořádané dvojici [a; b] z kartézského součinu M ×M výsledek této operace,
prvek a♥b.
Příkladem operací, které lze dosadit za symbol ♥, je celá řada: +, −, ·, :, ∩, ∪, , ,
atd. Jejich podrobnějšímu studiu se budeme věnovat ve druhém semestru studia.
Deﬁnice 60: Zobrazení f : N → R (tedy D(f) je množina přirozených čísel, H(f) je
množina reálných čísel) se nazývá posloupnost reálných čísel.
Například posloupnost někdy zapisujeme ve tvaru
(a1, a2, a3, . . .)
a to znamená, že přirozené číslo 1 se zobrazilo na reálné číslo označené a1, přirozené číslo
2 se zobrazilo na reálné číslo označené a2, atd.
Deﬁnice 61: Zobrazení f z množiny reálných čísel R do množiny reálných čísel R se
nazývá (reálná) funkce (jedné) reálné proměnné.
10.3 Cvičení
Cvičení 10.1. Nakreslete příklad zobrazení f : X → Y , které je injekce, ale není surjekce.
Cvičení 10.2. Nakreslete příklad zobrazení f : X → Y , které je surjekce, ale není
injekce.
Cvičení 10.3.
a) Uveďte deﬁnici složení dvou zobrazení f, g.
b) f(x) = sin x, a dále g(x) =
√
x jsou reálné funkce; zadejte vzorcem zobrazení g ◦ f.
Cvičení 10.4.
a) Co je to zobrazení? Uveďte deﬁnici.
78 10 ZOBRAZENÍ
b) Jsou zadány reálné funkce f(x) = 2x
, g(x) = (x + 1)2
, h(x) = 1
x
. Sestavte složenou
funkci h ◦ g ◦ f proměnné x.
Cvičení 10.5.
a) Nakreslete příklady všech šesti typů zobrazení, ovšem v jiném pořadí, než zaznělo v
deﬁnici – jejich popis si ale napište bokem, abyste hned neprozradili, o jaký typ se
jedná.
b) Vyměňte si sešity ve dvojicích či trojicích a napište tužkou ke každému zobrazení v
sešitě svého souseda jeho typ. Pak si své výsledky zkontrolujte společně.
Cvičení 10.6 Dostatečné cvičení je přístupné v knize [8], str.62-65. Další cvičení lze
najít v knize [14], str. 52-54, příklady 1.5.B2, 1.5.B3, B5, B6, B7, B13.
Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 13.10.
79
11 Základní vlastnosti reálných funkcí
11.1 Warm-up: V tomto předmětu jsme už tak zahřátí, že už
žádný warm-up nepotřebujeme.
11.2 Přednáška
Nyní shrneme trochu přesněji vlastnosti reálné funkce vlastnosti a pojem grafu.
Deﬁnice 62: Když f je reálná funkce, tak graf je množina všech bodů [x, f(x)] ve
zvolené rovinné soustavě souřadnic (zadané počátkem a dvěma kolmými osami reálných
čísel, které se protínají v počátku), pro které x ∈ D(f)68
.
V dalším se zaměříme na přesnější vyjádření vlastnosti reálných funkcí. Studenti budou
muset znát deﬁnice následujících vlastností, a také vědět, jak se daná vlastnost pozná z
grafu funkce f(x). Říkáme, že
• funkce f je ( deﬁnice 63 ) rostoucí na intevalu I, když
∀x, y ∈ I : x < y ⇒ f(x) < f(y);
• funkce f je ( deﬁnice 64 ) klesající na intevalu I, když
∀x, y ∈ I : x < y ⇒ f(x) > f(y);
• x0 z D(f) je ( deﬁnice 65 ) lokální minimum funkce f, když existuje otevřený interval
I obsahující x0 a platí
f(x) ≥ f(x0) ∀x ∈ I;
• x0 z D(f) je ( deﬁnice 66 ) lokální maximum funkce f, když existuje otevřený interval
I obsahující x0 a platí
f(x) ≤ f(x0) ∀x ∈ I;
• funkce f je ( deﬁnice 67 ) sudá na svém deﬁničním oboru, když D(f) je symetrická
množina na vodorovné reálné ose vzhledem k číslu 0 a
∀x ∈ D(f) : f(−x) = f(x);
• funkce f je ( deﬁnice 68 ) lichá na svém deﬁničním oboru, když D(f) je symetrická
množina na vodorovné reálné ose vzhledem k číslu 0 a
∀x ∈ D(f) : f(−x) = −f(x);
• funkce f není ( deﬁnice 69 ) ani sudá, ani lichá na svém deﬁničním oboru, když neplatí
ani deﬁnice 67, ani deﬁnice 68.
68
Bod [x, f(x)] modeluje prvek relace f a v rovině jej znázorňujeme na průsečíku kolmice k vodorovné
ose v bodě x s kolmicí ke svislé ose v bodě f(x).
80 11 ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI REÁLNÝCH FUNKCÍ
• funkce f je ( deﬁnice 70 ) zdola ohraničená na svém oboru hodnot H(f), když
∃K ∈ R : ∀x ∈ D(f) : K ≤ f(x);
• funkce f je ( deﬁnice 71 ) shora ohraničená na svém oboru hodnot H(f), když
∃L ∈ R : ∀x ∈ D(f) : f(x) ≤ L;
• funkce f je ( deﬁnice 72 ) ohraničená na svém oboru hodnot H(f), když je ohraničená
shora i zdola, tj. když
∃K, L ∈ R : ∀x ∈ D(f) : K ≤ f(x) ≤ L;
• funkce f je ( deﬁnice 73 ) periodická, když
∃p ∈ R : p > 0 ∧ ∀x ∈ D(f) : (x + p ∈ D(f) ∧ f(x) = f(x + p)).
Budeme se učit poznávat uvedené vlastnosti (včetně těch, které byly deﬁnovány v
minulé kapitole, jako je D(f), H(f), rozeznání, zda je funkce prostá = injektivní, a
následné sestavení inverzní funkce) na základě grafu funkce.
Rozeznání některých vlastností z grafu funkce:
1. Deﬁniční obor poznáme z grafu funkce takto: kolmice z bodů grafu na vodorovnou
osu soustavy souřadnic ji protínají právě v bodech z D(f).
2. Obor funkčních hodnot: kolmice z bodů grafu na svislou osu soustavy souřadnic ji
protínají právě v bodech z H(f).
3. Lokální minimum v bodě x0 z D(f) (na vodorovné ose) nastává tehdy, když existují
body a, b ∈ D(f) tak, že
x0 ∈ (a, b) ∧ f je klesající na a; x0 ∧ f je rostoucí na x0; b ;
4. Lokální maximum v bodě x0 z D(f) (na vodorovné ose) nastává tehdy, když existují
body a, b ∈ D(f) tak, že
x0 ∈ (a, b) ∧ f je rostoucí na (a; x0 ∧ f je klesající na x0; b);
5. Sudou funkci poznáme tak, že její graf je osově souměrný vzhledem ke svislé ose
soustavy souřadnic (osa y je osa souměrnosti).
6. Lichou funkci poznáme tak, že její graf je středově souměrný vzhledem k průsečíku
souřadných os (bod [0; 0] je střed souměrnosti).
7. Funkci, která není ani sudá, ani lichá, poznáme tak, že její graf není ani osově souměrný
vzhledem ke svislé ose, ani středově souměrný vzhledem k počátku soustavy
souřadnic69
.
69
Aby to funkci ani sudé, ani liché nebylo líto, tak pokud je její deﬁniční obor středově symetrický
vzhledem k počátku a funkce je dostatečně slušná, tedy například spojitá, lze ji vyjádřit jako součet
dvou (spojitých!) funkcí, z nichž jedna je sudá a druhá lichá – tedy z každé spojité funkce na vhodném
deﬁničním oboru lze separovat dvě hodnoty, z nichž jedna přispívá do sudosti a druhá do lichosti. Tato
separace funkce na sudou a lichou část ovšem nepatří do základních dovedností, jimiž se budeme zabývat.
11.2 PŘEDNÁŠKA 81
8. Funkci ohraničenou zdola poznáme tak, že existuje konstantní funkce y = K rovnoběžná
s osou x tak, že graf funkce f(x) je celý nad přímkou y = K.
9. Funkci ohraničenou shora poznáme tak, že existuje konstantní funkce y = L rovnoběžná
s osou x tak, že graf funkce f(x) je celý pod přímkou y = L.
10. Funkci ohraničenou zdola i shora poznáme tak, že existují konstantní funkce y = K
a y = L rovnoběžné s osou x tak, že graf funkce f(x) je celý nad přímkou y = K a
pod přímkou y = L.
11. To, že funkce f je prostá (injektivní), poznáme z jejího grafu tak, že rovnoběžky s
osou x její graf protnou vždy nejvýše v jednom bodě.
12. To, že funkce f je surjektivní, poznáme z jejího grafu tak, že rovnoběžky s osou x
vždy protnou její graf v nějakém bodě (aspoň jednom).
13. To, že funkce f je bijekce R na R, poznáme z jejího grafu tak, že rovnoběžky s osou
x její graf protnou vždy právě v jednom bodě.
14. Pokud je naším úkolem nakreslit funkci inverzní f−1
k funkci f, tak můžeme využít
faktu, že grafy funkcí f a f−1
jsou osově souměrné vzhledem ke grafu lineární funkce
y = x70
.
15. To, že funkce je periodická, poznáme z jejího grafu tak, že část grafu odpovídající
délce nejmenší periody na vodorovné ose se opakuje v tom smyslu, že rovnoběžky s
osou x protínají graf funkce v nekonečně mnoha bodech, jejichž vzájemná vzdálenost
je rovna násobku této nejmenší periody.
přehled úkolů pro rozbor funkce f(x):
a) Určete D(f).
b) Určete H(f).
c) Určete intervaly, na kterých je funkce rostoucí (klesající), nalezněte její lokální ex-
trémy.
d) Určete, zda je funkce sudá, lichá, nebo není ani sudá, ani lichá.
e) Určete zda je funkce ohraničená (zhola nebo shora).
f) Určete, zda je funkce prostá – pokud ano, tak vyjádřete funkcí k ní inverzní.
g) Určete, zda je funkce periodická – pokud ano, najděte délku její nejmenší periody.
h) Nakreslete graf funkce f.
70
To plyne mimo jiné z toho faktu, že při hledání inverzní funkce zaměňujeme x za y ve funkčním předpisu
y = f(x) a vyjadřujeme proměnnou x jako funkci proměnné y, a tedy oba grafy jsou „zaměnitelné
= osově symetrické vzhledem k této „ose zaměnitelnosti y = x.
82 11 ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI REÁLNÝCH FUNKCÍ
A) Lineární funkce f(x) = a · x + b
Grafem lineární funkce f(x) = a · x + b, kde a, b jsou pevně zvolené konstanty, je
přímka, tj. se zde jen odkážeme na analytickou geometrii, která se přímkami podrobně
zabývá71
. Studenti by měli umět najít rovnici přímky, která prochází dvěma zadanými
body.
B) Funkce s absolutními hodnotami
Těmito funkcemi se v této fázi také nebudeme zabývat, blíže lze nalézt řadu věcí v
[9], str. 41-56. Zejména u funkcí, ve kterých se vyskytují absolutní hodnoty, s velkým
úspěchem využijeme faktu, že některé z těchto funkcí jsou sudé – pokud například víme,
že funkce f je sudá a D(f) = R, můžeme na základě znalosti grafu funkce na intervalu
(0; ∞) jedoduše dokreslit její graf pouhým překlopením v osové souměrnosti s osou y72
.
C) Další základní typy funkcí
Většina dalších základních funkcí byla procvičena během warmupů na přednáškách
2 (kvadratické funkce), 3 (lineárně lomené funkce), 5 (mocninné funkce, pojem inverzní
funkce), 6 a 7 (exponenciální a logaritmické funkce). Na goniometrické funkce se podíváme
speciálně příští týden.
11.3 Cvičení 11
V rámci cvičení 11 může proběhnout opakování vlastností a grafů všech dosud uvedených
elementárních funkcí. Kromě funkcí goniometrických, kterým se budeme věnovat příší
týden.
Cvičení 11.1. Uveďte příklad vzorce (nikoli jen obrázku) reálné funkce, která je sudá.
Cvičení 11.2. Uveďte příklad vzorce (nikoli jen obrázku) reálné funkce, která je lichá.
Cvičení 11.3. Pro následující funkce nakreslete jejich graf, určete D(f), H(f) a
najděte příslušnou funkci inverzní: a) f(x) = x2
, b) f(x) = x3
.
Cvičení 11.4. Pro následující funkce nakreslete jejich graf, určete D(f), H(f) a
najděte příslušnou funkci inverzní: a) f(x) = x−2
, b) f(x) = x−3
.
Cvičení 11.5. Pro následující funkce nakreslete jejich graf, určete D(f), H(f) a
najděte příslušnou funkci inverzní: a) f(x) = 2x−2
, b) f(x) = x−3
− 1.
Cvičení 11.6. Nakreslete grafy funkcí y = x−3
a y = x−4
. Existuje nějaký bod z
deﬁničného oboru těchto funkcí, ve kterém tyto funkce nabývají lokálního minima? Pokud
71
Nebo na učebnici [9], str. 23-40
72
Každá funkce, ve které se neznámá proměnná vyskytuje pouze ve tvaru |x|, je sudá. Například f(x) =
|x|
|x|+2 je sudá, protože platí |−x|
|−x|+2 = |x|
|x|+2 . Zkuste si cvičně nakreslit její graf po absolvování opakování
funkcí typu D = lineárně lomených funkcí.
11.3 CVIČENÍ 11 83
ano, který? Pokud ne, proč?
Cvičení 11.7. Je dána funkce f(x) = 3x − 2. Najděte vzorec pro inverzní funkci f−1
a nakreslete oba grafy do jednoho obrázku.
Cvičení 11.8. Je dána funkce f(x) = (x − 2)2
+ 3 pro D(f) = (−∞; 2 . Najděte
vzorec pro inverzní funkci f−1
a nakreslete oba grafy do jednoho obrázku.
Cvičení 11.9. Je dána funkce f(x) = 2x
. Najděte vzorec funkce inverzní f−1
a
nakreslete oba grafy do jednoho obrázku, určete D(f), H(f), D(f−1
), H(f−1
).
Cvičení 11.10. Je dána funkce f(x) = 1
2
x
. Najděte vzorec funkce inverzní f−1
a
nakreslete oba grafy do jednoho obrázku, určete D(f), H(f), D(f−1
), H(f−1
).
Cvičení 11.11. Je číslo 7
3
−0,5
větší nebo menší než číslo 1? Odpovězte na základě
grafu nějaké konkrétní funkce.
Cvičení 11.12. Porovnejte hodnoty 0,41,6
a 0,41,8
na základě grafu nějaké exponenciální
funkce.
Cvičení 11.13. Nakreslete grafy funkcí (do tří různých obrázků) a) y = 0,3x
; b)
y = −0,3x
; c) y = 2 − 0,3x
; k poslední uvedené funkci najděte vzorec pro funkci inverzní
a nakreslete ji do obrázku c).
Cvičení 11.14.
a) Nakreslete graf funkce f(x) = log0,5 x, určete Df a Hf.
b) Nakreslete graf funkce f−1
k funkci f(x) v části (a) a vyjádřete f−1
vzorcem.
Cvičení 11.15. Pro funkci y = 2 · log4 x − 1 nalezněte vzorec funkce inverzní.
Cvičení 11.16. Porovnejte hodnoty log3 5 a log3 8 pomocí grafu jisté konkrétní funkce.
Cvičení 11.17. Porovnejte hodnoty log0,5 7 a log0,5 8 pomocí grafu jisté konkrétní
funkce.
Cvičení 11.18. Porovnejte hodnoty log3 10 a log1
3
10 pomocí grafů dvou funkcí
zakreslených do jednoho obrázku.
Cvičení 11.19. Porovnejte hodnoty log0,4 7 a log0,4 6 pomocí grafu jisté konkrétní
funkce.
Cvičení 11.20. Vypočtěte:
a) log2 8 = . . .
b) log10 0,01 = . . .
84 11 ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI REÁLNÝCH FUNKCÍ
c) log8 t = 3 ⇒ t = . . .
d) loga 100 = 2 ⇒ a = . . .
Cvičení 11.21. Dokončete deﬁnice nebo jejich negace bez jediného českého slova, jen
pomocí matematických symbolů (u negací nejprve vytvořte příslušnou pozitivní deﬁnici,
a teprve pak symbolický zápis negujte):
a) Relace f je zobrazení z X do Y , když ...
b) Relace f není zobrazení z X do Y , když ...
c) Funkce f je rostoucí na intervalu I, když ...
d) Funkce f není rostoucí na intervalu I, když ...
e) Funkce f je klesající na intervalu I, když ...
f) Funkce f není klesající na intervalu I, když ...
g) Reálné číslo x0 je lokální minimum funkce f, když ...
h) Reálné číslo x0 není lokální minimum funkce f, když ...
i) Reálné číslo x0 je lokální maximum funkce f, když ...
j) Reálné číslo x0 není lokální maximum funkce f, když ...
k) Funkce f je sudá, když ...
l) Funkce f není sudá, když ...
m) Funkce f je lichá, když ...
n) Funkce f není lichá, když ...
o) Funkce f je shora ohraničená, když ...
p) Funkce f není shora ohraničená, když ...
Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 13.11.
85
12 Goniometrické funkce
12.1 Warm-up: Poslední téma předmětu snad ani žádný warmup
nepotřebuje.
12.2 Přednáška
Odkud se vzaly goniometrické funkce? Označení pochází z řečtiny: hé gé ... země, odtud
„geometrie = měření země, zeměměřičství; dále hé gónia ... úhel, roh, úhelný kámen, tj.
odtud „goniometrie = měření úhlů, úhloměřičství.
A. Označení goniometrických funkcí
Pokud přeskočíme deﬁnici úhlu ze základní školy a podíváme se na středoškolskou
deﬁnici goniometrických funkcí, mohla by se odehrávat následovně: Když se podíváme na
pravoúhlé trojúhelníky ABC, AB C , AB C , které jsou podobné díky všem třem úhlům
navzájem shodným (viz obrázek 37, trojúhelníky ABC, AB C , AB C ),
Obrázek 37: Pravoúhlé trojúhelníky, které jsou podobné.
vidíme, že například poměr délky odvěsny protilehlé vrcholu A ku délce přepony se
nemění a zůstává ve všech třech pravoúhlých trojúhelnících stejný – a je tedy spíše vlastností
úhlu α sklonu přepony vůči vodorovné odvěsně, než vlastností délek; označme tento
poměr sin α:
sin α :=
|BC|
|AC|
=
|B C |
|AC |
=
|B C |
|AC |
.
V praxi pak například lze určit z těchto vztahů |BC| = |AC| · sin α, tj. délku jedné strany
pravoúhlého trojůhelníka lze vypočítat pomocí délky jiné strany a hodnoty sin α.
Podobně v obrázku vidíme další poměry stran, které se nemění, pokud zachováváme
všechny úhly trojúhelníka stejné, přičemž jeden z nich je pravý, a sice
cos α :=
|AB|
|AC|
=
|AB |
|AC |
=
|AB |
|AC |
,
tg α :=
|BC|
|AB|
=
|B C |
|AB |
=
|B C |
|AB |
=
sin α
cos α
,
cotg α :=
|AB|
|BC|
=
|AB |
|B C |
=
|AB |
|B C |
=
cos α
sin α
=
1
tg α
86 12 GONIOMETRICKÉ FUNKCE
(v daných rovnostech jsou uvedeny jak deﬁniční vztahy :=, tak z nich vyplývající
vztahy mezi jednotlivými deﬁnicemi, které plynou z toho, že u funkcí tg α, cotg α
dáváme funkce sin α, cos α do vzájemného poměru). Tím způsobem jsme deﬁnovali funkce
popisující jistou vlastnost ostrých úhlů, tj. úhlů, které mohou vzniknout jako vnitřní úhly
při vrcholu A v pravoúhlém trojůhelníku ABC.
B. Dvě metody měření úhlů
Při měření a popisu úhlů existují dvě základní metody neboli míry:
a) Stupňová míra ... plnému úhlu se přisoudí velikost 360◦
, pravému úhlu velikost 90◦
,
přímému úhlu velikost 180◦
, atd.
b) Oblouková míra = délka oblouku:
Obrázek 38: Namotání reálné osy na kružnici o poloměru 1.
Když reálnou číselnou osu „namotáme 73
na jednotkovou kružnici se středem v počátku
a poloměrem 1, na této kružnici dostáváme obrazy reálných čísel – nyní dostáváme
úhly určené na jedné straně polopřímkou určenou kladným směrem vodorovné
osy, na druhé straně polopřímkou vycházející z počátku, která prochází obrazem reálného
čísla „namotaného na jednotkové kružnici. Obloukové míře se někdy říká i
radiánová míra, kde jednotka jeden radián odpovídá úhlu s vrcholem v počátku a
rameny procházejícími obrazy bodů 0 a 1 na jednotkové kružnici (úhel o velikosti
jednoho radiánu tedy vytíná na jednotkové kružnici popsané v předchozí konstrukci
oblouk délky 1).
V těchto dvou mírách potom
73
Na obě strany donekonečna, tj. to namotávání by nám zabralo hodně času – nicméně toto přibližné
vyjadřování je formální, ne že bychom to nekonečné namotávání museli prakticky provést.
12.2 PŘEDNÁŠKA 87
hodnotě 45◦
odpovídá oblouková délka π
4
rad,
hodnotě 90◦
odpovídá oblouková délka π
2
rad,
hodnotě 180◦
odpovídá oblouková délka π rad,
atd.
C. Rozšířená deﬁnice goniometrických funkcí
Tímto „namotáním reálné číselné osy na jednotkovou kružnici, která se dále nachází
také v rovině, ve které jsme umístili kartézskou soustavu souřadnic (= vodorovnou a
svislou osu) s počátkem ve středu kružnice, lze rozšířit deﬁnici goniometrických funkcí
sin x, cos x (a tím i tg x, cotg x) pro jakékoli reálné x následovně – viz obrázek 39 :
Obrázek 39: Rozšíření deﬁnice funkcí sin x a cos x pro libovolné reálné x.
Souřadnice obrazu bodu x po namotání na jednotkovou kružnici jsou v kartézské
soustavě bodů v rovině, ve které se kružnice nachází, rovny [cos x, sin x].
D. Význačné hodnoty goniometrických funkcí
Je důležité pamatovat si hodnoty goniometrických funkcí pro některé důležité úhly x,
minimálně hodnoty v tabulce:
x (◦
) 0◦
30◦
45◦
60◦
90◦
180◦
270◦
x (rad) 0 π
6
π
4
π
3
π
2
π 3π
2
sin x 0 1
2
√
2
2
√
3
2
1 0 −1
cos x 1
√
3
2
√
2
2
1
2
0 −1 0
tg x 0
√
3
3
1
√
3 není def. 0 není def.
cotg x není def.
√
3 1
√
3
3
0 není def. 0
Zapamatování údajů z předchozí tabulky právě usnadňuje geometrický význam těchto
hodnot jako souřadnic [cos x, sin x] obrazu bodu x při namotání reálné osy na jednotkovou
88 12 GONIOMETRICKÉ FUNKCE
kružnici74
.
• Význačné hodnoty funkcí sin x, cos x pro násobky úhlu π
4
jsou uvedeny na obrázku 40:
Obrázek 40: Jednotková kružnice nám usnadňuje zapamatovat si hodnoty sin x a cos x pro
násobky úhlu π
4
.
• Význačné hodnoty funkcí sin x, cos x pro násobky úhlu π
6
jsou uvedeny na obrázku 41:
E. Graf a vlastnosti goniometrických funkcí
Podívejme se nyní na grafy funkcí sin x, cos x, tg x, cotg x s deﬁničním oborem rozšířeným
pro všechna x ∈ R a z grafů se pokusíme vyčíst jejich vlastnosti.
• Vlastnosti funkce sin x vyčtené z jejího grafu:
a) Graf funkce sin x vidíme na obrázku 42.
b) D(f) = R.
c) H(f) = −1; 1 .
d) Funkce sin x je rostoucí na každém z intervalů −π
2
+ 2kπ, π
2
+ 2kπ a klesající
na každém z intervalů π
2
+ 2kπ, 3π
2
+ 2kπ (pro k ∈ Z). Odtud lze odvodit, že
lokální minimum nastává v bodech −π
2
+ 2kπ (pro k ∈ Z), lokální maximum v
bodech π
2
+ 2kπ (pro k ∈ Z).
74
Pozor, záleží na pořadí, první souřadnice bodů na jednotkové kružnici je rovna hodnotě cos x, druhá
souřadnice hodnotě sin x.
12.2 PŘEDNÁŠKA 89
Obrázek 41: Jednotková kružnice nám usnadňuje zapamatovat si hodnoty sin x a cos x pro
násobky úhlu π
6
.
−6 −4 −2 0 2 4 6
−1.0−0.50.00.51.0
atd.
atd.
Obrázek 42: Graf funkce f(x) = sin x.
e) Funkce sin x je lichá, protože její graf je středově souměrný podle počátku soustavy
souřadnic, tj. platí sin(−x) = − sin x pro libovolné x ∈ R.
f) Funkce sin x je ohraničená zdola (např. konstantou K = −1) i shora (např.
konstantou L = 1).
g) Funkce sin x je periodická s délkou nejmenší periody p = 2π.
90 12 GONIOMETRICKÉ FUNKCE
h) Funkce f(x) = sin x není prostá (= injektivní), protože například hodnoty nula
nabývá v nekonečně mnoha bodech, tj. 0 je v relaci f−1
s nekonečně mnoha
body, a tak je porušena podmínka z deﬁnice zobrazení. Tedy obecně řečeno
k funkci sin x funkce inverzní neexistuje. Ovšem pokud bychom se omezili na
f(x) = sin x pro x ∈ −π
2
; π
2
, tato funkce prostá je a inverzní funkce k ní
existuje, označujeme ji f−1
(x) = arcsin x. Grafy této funkce sin x na zúženém
deﬁničním oboru a funkce k ní inverzní vidíte na obrázku 43:
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
−1.5−1.0−0.50.00.51.01.5
sin(x)
arcsin(x)
Obrázek 43: f(x) = sin x (modře) pro x ∈ −π
2
; π
2
a funkce k ní inverzní (červeně) f−1
(x) =
arcsin x.
• Vlastnosti funkce cos x vyčtené z jejího grafu:
a) Graf funkce cos x vidíme na obrázku 44.
b) D(f) = R.
c) H(f) = −1; 1 .
d) Funkce cos x je rostoucí na každém z intervalů π + 2kπ, 2π + 2kπ a klesající
na každém z intervalů 0 + 2kπ, π + 2kπ (pro k ∈ Z). Odtud lze odvodit, že
lokální minimum nastává v bodech π + 2kπ (pro k ∈ Z), lokální maximum v
bodech 0 + 2kπ (pro k ∈ Z).
e) Funkce cos x je sudá, protože její graf je osově souměrný podle svislé osy y, tj.
platí cos(−x) = cos x pro libovolné x ∈ R.
f) Funkce cos x je ohraničená zdola (např. konstantou K = −1) i shora (např.
konstantou L = 1).
g) Funkce cos x je periodická s délkou nejmenší periody p = 2π.
h) Funkce f(x) = cos x není prostá (= injektivní), protože například hodnoty nula
nabývá v nekonečně mnoha bodech, tj. 0 je v relaci f−1
s nekonečně mnoha
body, a tak je porušena podmínka z deﬁnice zobrazení. Tedy obecně řečeno
12.2 PŘEDNÁŠKA 91
−6 −4 −2 0 2 4 6
−1.0−0.50.00.51.0
atd. atd.
Obrázek 44: Graf funkce f(x) = cos x.
k funkci cos x funkce inverzní neexistuje. Ovšem pokud bychom se omezili na
f(x) = cos x pro x ∈ 0; π , tato funkce prostá je a inverzní funkce k ní existuje,
označujeme ji f−1
(x) = arccos x. Grafy funkce cos x na zúženém deﬁničním
oboru a funkce k ní inverzní vidíte na obrázku 45:
−1 0 1 2 3
−10123
cos(x)
arccos(x)
Obrázek 45: Graf f(x) = cos x (modře) pro x ∈ 0; π a funkce k ní inverzní (červeně)
f−1
(x) = arccos x.
• Vlastnosti funkce tg x vyčtené z jejího grafu:
a) Graf funkce tg x vidíme na obrázku 46.
92 12 GONIOMETRICKÉ FUNKCE
−4 −2 0 2 4
−15−10−5051015
Obrázek 46: Graf funkce f(x) = tg x.
b) D(f) = R − {π
2
+ kπ}.
c) H(f) = R.
d) Funkce tg x je rostoucí na každém z intervalů −π
2
+ kπ, π
2
+ kπ a nemá lokální
extrémy.
e) Funkce tg x je lichá75
, protože její graf je středově souměrný podle počátku
soustavy souřadnic, tj. platí tg (−x) = −tg x pro libovolné x ∈ D(f).
f) Funkce tg x není ohraničená shora ani zdola.
g) Funkce tg x je periodická s délkou nejmenší periody p = π.
h) Funkce f(x) = tg x není prostá (= injektivní), protože například hodnoty nula
nabývá v nekonečně mnoha bodech, tj. 0 je v relaci f−1
s nekonečně mnoha
body, a tak je porušena podmínka z deﬁnice zobrazení. Tedy obecně řečeno
k funkci tg x funkce inverzní neexistuje. Ovšem pokud bychom se omezili na
f(x) = tg x pro x ∈ −π
2
; π
2
, tato funkce prostá je a inverzní funkce k ní existuje,
označujeme ji f−1
(x) = arctg x. Grafy funkce tg x na zúženém deﬁničním
oboru a funkce k ní inverzní vidíte na obrázku 47:
• Vlastnosti funkce cotg x vyčtené z jejího grafu:
a) Graf funkce cotg x vidíme na obrázku 48.
b) D(f) = R − {0 + kπ}.
c) H(f) = R.
d) Funkce cotg x je klesající na každém z intervalů (0 + kπ, π + kπ) a nemá lokální
extrémy.
75
Součin nebo podíl dvou funkcí, z nichž jedna je lichá a druhá sudá, je lichá funkce ... díky této
vlastnosti víme, že funkce tg x i cotg x jsou liché.
12.2 PŘEDNÁŠKA 93
−10 −5 0 5 10
−10−50510
tg(x)
arctg(x)
Obrázek 47: Graf fukce f(x) = tg x (modře) pro x ∈ −π
2
; π
2
a funkce k ní inverzní
(červeně) f−1
(x) = arctg x.
−4 −2 0 2 4
−15−10−5051015
Obrázek 48: Graf funkce f(x) = cotg x.
e) Funkce cotg x je lichá, protože její graf je středově souměrný podle počátku
soustavy souřadnic, tj. platí cotg (−x) = −cotg x pro libovolné x ∈ D(f).
f) Funkce cotg x není ohraničená shora ani zdola.
g) Funkce cotg x je periodická s délkou nejmenší periody p = π.
h) Funkce f(x) = cotg x není prostá (= injektivní), protože například hodnoty
nula nabývá v nekonečně mnoha bodech, tj. 0 je v relaci f−1
s nekonečně mnoha
body, a tak je porušena podmínka z deﬁnice zobrazení. Tedy obecně řečeno k
94 12 GONIOMETRICKÉ FUNKCE
funkci cotg x funkce inverzní neexistuje. Ovšem pokud bychom se omezili na
f(x) = cotg x pro x ∈ (0; π), tato funkce prostá je a inverzní funkce k ní
existuje, označujeme ji f−1
(x) = arccotg x. Grafy funkce cotg x na zúženém
deﬁničním oboru a funkce k ní inverzní vidíte na obrázku 49:
−10 −5 0 5 10
−10−50510
cotg(x)
arccotg(x)
Obrázek 49: Graf fukce f(x) = cotg x (modře) pro x ∈ (0; π) a funkce k ní inverzní
(červeně) f−1
(x) = arccotg x.
Zapamatovat si průběh grafů zúžených goniometrických funkcí a funkcí k nim inverzních
lze pomocí následujících dvou faktů: a) inverzní funkce k rostoucí funkci je opět
rostoucí (jak je to u funkcí zúžený sin x a zúžený tg x); inverzní funkce ke klesající funkci
je opět klesající (jak je to u funkcí zúžený cos x a zúžený cotg x); b) D(f) = H(f−1
) a
H(f) = D(F−1
) ... platí pro všechny čtyři zúžené goniometrické funkce.
12.3 Cvičení
Projděme si důležité pertie cvičení ke goniometrickým funkcím podle učebnice [10] (dané
učebnice se týkají i následující odkazy na strany a čísla příkladů)76
:
1. Velikost úhlu ve stupňové a obloukové míře
(a) Str. 21-23, řešený př. 1.
(b) Převodní vztahy mezi stupni a radiány získáme z trojčlenky podle toho, zda se
nám líbí více vzorec se 180◦
nebo 360◦
:
1 rad ...
π
180
stupnů =
2π
360
stupňů;
76
Základní uvedení do stupňové a obloukové míry úhlů a do funkcí sin x, arcsin x, cos x, arccos x, tg x,
arctg x, cotg x, arccotg x viz přednáška v této kapitole.
12.3 CVIČENÍ 95
x rad ... α stupňů.
Odtud získáme vzorec pro převod stupňů na radiány
α =
x · 180
π
=
x · 360
2π
nebo radiány na stupně
x =
α · π
180
=
α · 2π
360
.
(c) Str. 24, příklady 5 a 6 ... konkrétní převod míry úhlu z radiánů na stupně nebo
naopak. Další příklady str. 25, př. 2.10.a), 2.11.a).
2. Orientovaný úhel a jeho vlastnosti
(a) Str. 27-28 ... základní velikost orientovaného úhlu: 0 ≤ α < 2π v obloukové
míře, respektive 0◦
≤ α < 360◦
v úhlové míře;
(b) orientovaný úhel, který nemá základní velikost, lze převést na úhel se základní
velikostí odečtením či přičtením vhodného násobku 2π, respektive v úhlové míře
vhodného násobku 360◦
;
(c) př. 1-str. 29, další příklady: 2.19-str.32, 2.20-str.33, 2.21, 2.22.
3. Vlastnosti funkcí sin x, cos x
(a) Řešené příklady 6-str.37 a 1-str.38-39;
(b) další příklady: str.40-41, příklady 2.24 až 2.33.
4. Grafy funkcí sin x, cos x
(a) Str. 42 ... grafy; str. 43 – př. 1, str. 44 – př. 2, str. 46 – př. 3, str. 48 – př. 2.39;
(b) další příklady: str. 49 – př. 2.40.
5. Grafy funkcí tg x, cotg x
(a) Str. 57-58 ... grafy; str. 55 – příklad 1;
(b) str. 60 – př. 2.43 až 2.49.
6. Grafy a vlastnosti cyklometrických funkcí arcsin x, arccos x, arctg x, arccotg x77
(a) Nakreslete graf a určete vlastnosti funkce f(x) = arcsin x
2
− π
2
;
(b) Nakreslete graf a určete vlastnosti funkce f(x) = arccos (3x − 2);
(c) Nakreslete graf a určete vlastnosti funkce f(x) = 1
2
· arccotg (2x − 5) + π.
7. Goniometrické rovnice
(a) Str. 61 – příklad 1 ... využití jednotkové kružnice;
77
Následující tři příklady nejsou vzaty z učebnice [10], a tedy budou vyřešeny na přednášce, to make
sure that the students know the results. Výsledky ostatních příkladů viz závěr učebnice [10].
96 12 GONIOMETRICKÉ FUNKCE
(b) další příklady: str.68 – př. 2.52, str. 69 – př. 2.57.
8. Úlohy k opakování – str. 69-70, příklady 2.60 až 2.68.
Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 13.12.
97
13 Výsledky některých příkladů
13.1 Výsledky ke kapitole 1.3 – podstata matematiky
K této kapitole dosud nejsou uvedeny žádné příklady s výsledkem.
13.2 Výsledky ke kapitole 2.3 – základní typy důkazů
K této kapitole dosud nejsou uvedeny žádné příklady s výsledkem.
13.3 Výsledky ke kapitole 3.3 – důkaz sporem, indukcí, proti-
příkladem
Ad Cvičení 3.1. Důkaz sporem: Předpokládejme, že
√
3 JE racionální číslo, tj. lze je
vyjádřit ve tvaru zlomku. Předpokládejme bez újmy na obecnosti, že v tomto zlomku už
nelze krátit, tj. pokud je krácení možné, provádíme je tak dlouho, až dospějeme do vztahu
√
3 =
m
n
,
kde m ∈ Z, n ∈ N a čísla m, n jsou nesoudělná (= nemají společného dělitele většího než
číslo 1). Umocněním obou stran na druhou dostaneme
3 =
m2
n2
,
a tedy
3n2
= m2
.
Z poslední rovnosti plyne, že číslo m2
je dělitelné třemi, a tedy i číslo m musí být dělitelné
třemi, tj. m = 3k pro k ∈ N. Dosazením do naší rovnosti máme
3n2
= 9k2
, po vydělení třemi n2
= 3k2
.
Z poslední rovnosti plyne, že číslo n2
je dělitelné třemi, a tedy i číslo n musí být dělitelné
třemi, tj. n = 3l pro nějaké l ∈ N – ale to je spor s konstrukcí čísel m, n, protože jsme
je sestavili tak, aby neměli žádného jiného přirozeného dělitele než číslo 1. Dospěli jsme
řetězcem přesných úvah ke sporu – nesprávný je tedy původní předpoklad, tj. platí jeho
opak,
√
3 není číslo racionální, nelze ji vyjádřit ve tvaru zlomku.
Ad Cvičení 3.2. Důkaz indukcí: 2a) První část: dokažme pro prvních několik hodnot:
4 kč lze vyplatit pomocí dvou dvoukorun, 5 kč pomocí jedné pětikoruny, 6 kč pomocí tří
dvoukorun.
Druhá část: Výrok V (n) má tvar: Obnos n kč lze sestavit pouze ze dvoukorun a pětikorun.
Dokažme indukční implikaci
V (n) ⇒ V (n + 1)
pro libovolné přirozené n počínaje hodnotou 7. Předpokládejme, že platí V (n). Popišme,
jak pomocí této hromady vyčíslíme hromadu o sumě (n + 1):
98 13 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ
1. Pokud n je liché počínaje sedmičkou, tak tuto hodnotu lze odměřit pomocí jedné
pětikoruny a zbytek dosypat pouze ze dvoukorun. Pak hodnotu (n+1) odměříme tak,
že vezmem z hromady pětikorunu a místo ní vrátíme tři dvoukoruny, tj. dotaneme
číslo o jednu korunu větší.
2. Pokud n je sudé počínaje osmičkou, tak tuto hodnotu lze odměřit pomocí samých
dvoukorun. Pak hodnotu (n + 1) odměříme tak, že dvě dvoukoruny odebereme a
vrátíme jednu pětikorunu.
2b, 2c) podobně jako příklad dokazovaný indukcí na přednášce; obě tyto rovnosti lze
dokázat i jinak než indukcí – zkuste přemýšlet, jak.
Ad Cvičení 3.3. Ve všech třech případech lze splnit příslušný úkol, tj. existenční
důkaz vykonáme konstrukcí daného úkolu:
a) Ze dvanácti zápalek lze snadno sestavit čtyři samostnatné trojúhelníky.
b) Z devíti zápalek už potřebujeme šetřit – pokud sestavíme jeden větší rovnostranný
trojúhelník o délce strany ze dvou zápalek, zbydou nám ještě tři zápalky na spojení
středů jejich stran – tím je velký trojúhelník rozdělen na čtyři menší.
c) Zadání je zde nejednoznačné. Pokud by zadávající trval na tom, aby výsledkem byly
čtyři stejně velké trojúhelníky v rovině, řešení neexistuje. Ovšem bez omezení na
rovinu můžeme jeden trojůhelník ze tří zápalek postavit jako základnu čtyřstěnu,
zbylé tři zápalky tvoří hrany čtyřstěnu v prostoru – a čtyřstěn, jak známo, má čtyři
shodné trojůhelníky ze svých stěn.
13.4 Výsledky ke kapitole 4.3 – množiny a Vennovy diagramy
Ad cvičení 4.2. Teorie množin je vystavěna na dvouhodnotové logice, protože náš
přístup je ten, že každý objekt do množiny buď patří, nebo ne. Kromě vět 1,2 a 9,10
existují další vztahy mezi logikou a teorií množin, například zákonu negace negace výroku
(¬(¬A) ⇔ A) odpovídá rovnost pro doplněk doplňku množiny A = A.
Ad cvičení 4.4. a) (B ∩ C) \ A; b) (B \ (A ∩ C)) ∪ (A ∩ B ∩ C); c) (B ∩ D) \ C; d)
B \ (A ∪ C).
13.5 Výsledky ke kapitole 5.3 – číselné obory, dělitelnost celých
čísel
Ad cvičení 5.2. Ad 13a) Vyjdeme z předpokladu a|b, a|c a užitím deﬁnice 28 tento
předpoklad přepíšeme:
b = a · q1, c = a · q2 pro nějaká čísla q1, q2 ∈ Z.
Pak lze číslo (b + c) vyjádřit jako
b + c = aq1 + aq2 = a · (q1 + q2),
tedy podle deﬁnice 28 je (b + c) nějaký násobek čísla a, tj. a|(b + c).
Ad 13b) Důkaz je podobný důkazu věty 13a).
13.6 VÝSLEDKY KE KAPITOLE ?? – RELACE 99
13.6 Výsledky ke kapitole 6.3 – relace
Ad příklad 6.1: reﬂexivní relace je reprezentována smyčkami u všech prvků (jedničkami
na celé hlavní diagonále), antireﬂexivní relace nepřítomností smyček (nepřítomností
jedniček na hlavní diagonále), symetrická relace má pro každou šipku též šipku v opačném
směru, antisymetrická relace nemůže mít oboustranné šípky mezi dvěma různými prvky,
tranzitivní relace musí pro např. šipku od a do b a od b do c obsahovat i šipku od a do c.
Ad příklad 6.2: Studentům by mělo být jasné, že např. antireﬂexivní (anti − 12)
relace není negací relace reﬂexivní (11), ale úplným protipólem reﬂexivní relace – tj. že
existují relace s nějakou smyčkou, které nejsou ani reﬂexivní, ani antireﬂexivní. Podobně
u tranzitivní relace nemusí být všechny možné tranzitivní spoje prvky relace, ale jen
ty, které jsou vynuceny šipkami v posloupnosti tří prvků (tj. xρy a yρz vynucují šipku xρz).
Ad příklad 6.3: R je reﬂexivní (11) a tranzitivní (13). Je důležité si všimnout,
že relace R není antisymetrická, protože například 3|(−3) a (−3)|3, ale odtud neplyne
3 = −3. Není ani symetrická, protože pokud 3|6, neplyne odtud, že 6|3.
Ad příklad 6.4: ad a) může, ale jen relace, která je podmnožinou reﬂexivní relace,
bez šipek mezi různými prvky;
Ad příklad 6.5: ad a) R je reﬂexivní (11), antisymetrická (anti − 12) a tranzitivní
(13).
ad b) R je reﬂexivní (11), symetrická (12) a tranzitivní (13).
ad c) R je reﬂexivní (11), antisymetrická (anti − 12) a tranzitivní (13).
ad d) R je pouze reﬂexivní (11), jinak nic rozumného nelze říci.
13.7 Výsledky ke kapitole 7.3 – ekvivalence a rozklady
K této kapitole dosud nejsou uvedeny žádné příklady s výsledkem.
13.8 Výsledky ke kapitole 8.3 – uspořádané množiny
Ad příklad 8.1: Relace je reﬂexivní, antisymetrická a tranzitivní – takže je to podle
deﬁnice, která bude následovat, uspořádání!!
Ad příklad 8.4: Neizomorfních posetů na tříprvkové množině je pět – viz obrázek 50:
Obrázek 50: Všechny navzájem různé (až na přeznačení prvků) tříprvkové posety.
100 13 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ
Ad příklad 8.10: ad a) sup{a, d} = c, sup{e, f} = e.
ad b) sup M neexistuje, protože množina horních závor {b, c, d} nemá nejmenší prvek.
Ad cvičení 8.1: i)
¢a = {[1, 1], [2, 2], [3, 3], [4, 4], [1, 2], [2, 3], [1, 3], [1, 4], [4, 3], [1, 3]};
¢b = {[1, 1], [2, 2], [3, 3], [4, 4], [3, 4], [4, 1], [3, 1], [4, 2], [3, 2]}.
ii)
¡a = {[1, 2], [2, 3], [1, 3], [1, 4], [4, 3], [1, 3]};
¡b = {[3, 4], [4, 1], [3, 1], [4, 2], [3, 2]}.
iii)
a= {[1, 2], [2, 3], [1, 4], [4, 3]};
b= {[3, 4], [4, 1], [4, 2]}.
Ad cvičení 8.2: Jedná se o poset zobrazený na titulní straně textu [16]: obrázek 51.
Obrázek 51: Poset (2P
, ⊆) pro P = {1, 2, 3, 4}.
Ad cvičení 8.4: Navzájem různých posetů (až na přeznačení prvků) na čtyřprvkové
množině je šestnáct – viz obrázek 52.
Ad cvičení 8.6. Vzájemné souvislosti mezi minimálním prvkem, nejmenším prvkem
a inﬁmem jsou vymezeny na obrázku 53, kde jsou posety rozděleny do různých tříd (= velkých
množin) podle toho, zda v nich existuje miminální prvek, nejmenší prvek či inﬁmum.
13.9 VÝSLEDKY KE KAPITOLE ?? – USPOŘÁDANÉ MNOŽINY II – OPERACE
PRŮSEK A SPOJENÍ 101
Obrázek 52: Všechny navzájem různé (až na přeznačení prvků) čtyřprvkové posety.
Obrázek 53: Klasiﬁkace posetů posle toho, zda obsahují nejmenší prvek, minimální prvek
či inﬁmum.
13.9 Výsledky ke kapitole 9.3 – uspořádané množiny II – operace
průsek a spojení
Ad příklad 9.1: ad i) 4 7 = 2, 6 2 = 2, 7 7 = 7, 3 7 = 6, 6 8 = 6; jedná se o
průsekový i spojový polosvaz;
102 13 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ
ad ii) 6 3 = 7, 6 3 neexistuje. Jedná se o průsekový polosvaz, který není spojovým
polosvazem
ad iii) 5 7 = 10, 2 3 neexistuje, 2 7 neexistuje. Jedná se o spojový polosvaz, který
není průsekovým polosvazem.
ad iv) 4 5 neexistuje, 2 3 neexistuje. Tedy daný poset není ani průsekovým, ani
spojovým polosvazem.
13.10 Výsledky ke kapitole 10.3 – zobrazení
K této kapitole dosud nejsou uvedeny žádné příklady s výsledkem.
13.11 Výsledky ke kapitole 11.3 – základní vlastnosti funkcí
K této kapitole dosud nejsou uvedeny žádné příklady s výsledkem.
13.12 Výsledky ke kapitole 12.3 – goniometrické funkce
K této kapitole dosud nejsou uvedeny žádné příklady s výsledkem.
13.12 VÝSLEDKY KE KAPITOLE ?? – GONIOMETRICKÉ FUNKCE 103
Seznam literatury:
1 P. Horák: M 1125 Základy matematiky. Elektronický text do analogického předmětu na
Přírodovědecké fakultě MU Brno. Počet stran 100 v roce 2013. Tento text pokrývá
předmět M0001 Základy matematiky na Pedagogické fakultě asi z poloviny, ale i
daná polovina se věnuje záležitostem odlišným od těch, na které je kladen důraz na
Pedagogické fakultě.
2 Rediger Thiele: Matematické důkazy. SNTL Praha 1985. Počet stran 160. Představení
zákonitostí logického usuzování a dokazování v matematice. Poněkud širší pokrytí
tématu logika, kterému jsou v předmětu Základy matematiky věnovány první tři
přednášky.
3 Raymond Smullyan: Jak se jmenuje tahle knížka? Zajímavé logické problémy od jednoduchých
hádanek pro ZŠ až po složitější logické úlohy, které vyžadují důkladný
vysokoškolský rozbor.
4 D.Jordan, P.Smith: Mathematical techniques. Oxford 2008, 4th Edition. V kontextu
předmětu Základy matematiky nás z knihy zajímá zatím jen kapitolka 35 – sets (=
množiny) na str. 791-800.
5 Eva Nováková: Analýza výsledků soutěže Matematický klokan, Brno 2016. Zajímavá
kniha seznamující s mezinárodní soutěží Matematický klokan a rozborem výsledků
této soutěže v ČR v kategorii pro 4.-5. třídy ZŠ. Tato kniha dobře uvádí do problematiky
didaktiky matematiky na ZŠ: úlohy různého typu, dělení matematiky na
různá odvětví, apod.
6 B.Fajmon: Algebra 1 – verze 2016. Doplnění přednášek v předmětu Algebra 1 podle
starých osnov, které jsou od roku 2017 změněny, takže některé věci přebývají a
některé naopak chybí. Počet stran 66.
7 Herman, Chrápavá, Jančovičová, Šimša: Matematika pro primy – úvodní opakování.
Prometheus 1997, 2.přepracované vydání. Opakování učiva 1.stupně. Nultá kniha ze
série sedmnácti knih pro 2.stupeň ZŠ a nižší ročníky osmiletých gymnázií.
8 Charles Pinter: A book of Abstract Algebra, 2010. Jedná se o reprint druhého vydání
z roku 1990. Tento text je vhodný pro partie navazujícího předmětu Algebra 1 na
PdF MUNI, nicméně autora přednášky Základy matematiky už částečně inspiroval.
Je neobyčejně čtivě napsán. Pinter říká, že napsal svou knihu z té pozice, že algebra
(a tím i diskrétní matematika) je důležitá a má důležitá uplatnění.
9 O.Odvárko: Funkce, Prometheus 1993. Edice Matematika pro gymnázia, sešit 3, počet
stran 160. Tento text je potřeba v závěru předmětu Základy matematiky a v úvodu
navazujícího předmětu Matematická analýza 1 na Pedagogické fakultě MU.
10 O.Odvárko: Goniometrie, Prometheus 1994. Edice Matematika pro gymnázia, sešit 7,
počet stran 127. Tento text je potřeba v závěru předmětu Základy matematiky a v
úvodu navazujícího předmětu Matematická analýza 1 na Pedagogické fakultě MU.
104 13 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ
11 S.Kowal: Matematika pro volné chvíle. Praha 1985, druhé vydání. Kniha, která na
velkém množství úloh prochází celou historii matematiky v rámci zajímavých úloh,
jejichž řešení uvádí buď v textu, nebo na konci každé kapitoly. Název láká širokou
veřejnost, ale řada úloh je vysokoškolské obtížnosti, i když jejich řešení je často
proveditelné i na SŠ.
12 P. Drozd – základy práce se softwarem R. Manuál ke stažení z internetu o některých
základních funkcích jazyka R, který lze v 1.ročníku VŠ doporučit jako lepší kalkulačku
zvládající běžné matematické funkce, a současně jednoduché kreslení obrázků,
které lze stáhnout v různých formátech. Program po instalaci funguje oﬄine.
13 J. Koláček: Výuka jazyka R. Rovněž úvod do jazyka R, nyní od vysokoškolského učitele
matematiky, což je vhodným doplněním předchozího textu [12].
14 P. Horák: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I, Brno 2002. Sbírka příkladů ke
staršímu vydání textu [1] na Přírodovědecké fakultě MU.
15 Jiří Rosický: Algebra – grupy a okruhy 2000, reprint textu z roku 1985. Tento text
je vhodný pro partie navazujícího předmětu Algebra 1 na PdF, nicméně jen až jako
doplnění čtivější knihy [8].
16 Jan Kopka: Svazy a Booleovy algebry (Ústí nad Labem 1991, zejména str. 19-82).
Kolega Kopka napsal svůj text z té pozice, že by rád přehledně a srozumitelně podal
přehled pojmů algebry a diskrétní matematiky, aby byla vidět její krása. Kniha
je hlubším rozvedením pojmu uspořádaná množina uvedeným v předmětu Základy
matematiky.