Opakování ► Rovnoběžníky se stejnými základnami a stejnými výškami mají stejný obsah. ► Rovnoběžnostěny se stejnými základnami a stejnými výškami mají stejný objem. Opakování ► Poměr obsahů rovnoběžníků se stejnou výškou je stejný jako poměr délek jejich základen. E A F Poměr objemů rovnoběžnostěnů se stejnou výškou je stejný jako poměr obsahů jejich základen. Opakování Odtud: ► S = a-v, kde S = obsah rovnoběžníku, a = velikost strany, v = velikost odp. výšky, ► V = S • w, kde V = objem rovnoběžnostěnu, S = obsah stěny, w = velikost odp. výšky. Obecně pomocí vektorů o--> Objem rovnoběžnostěnu určeného vektory , v2,... je nezáporné reálné číslo, ozn. V(v1? v2,...), takové, že ► V(V!) := llv^l, ► V(v1,v2) := V(v1,w2) = l|Vi||-||w2||, kde w2 = kolmý průmět vektoru v2 do vf, ► V(Vi, v2, v3) := V(Vi, v2, w3) = V(Vi, v2) • ||w3||, kde w3 = kolmý průmět vektoru v3 do R nebo V x • • • x V -> R, kde V = Rn. Definice.........1 Vlastnosti základní: ► anti-symetrické det(v1,v2,...) = -det^Vi,...) ► multi-lineární det(v!, bv2,...) = b • det(v!, v2,...) det(Vi, v2 + w2,...) = det(Vi, v2,...) + det(Vi, w2,...) Vlastnosti odvozené: det(Vi, v2 + avi,...) = det(Vi, v2,...) det(v1? v2,...) = 0 <^^> v1?v2,... jsou lineárně závislé 1viz algebra (DÚ) Vnější součin det: l/x---xl/^]R závisí na souřadnicovém vyjádření vektorů, tj. na zvolené bázi.. .2 Pro ortonormální báze je výsledek tentýž: Vnějším součinem n-tice vektorů (v<\,..., vn) v n-rozměrném eukleidovském prostoru je determinant matice tvořené souřadnicemi těchto vektorů vzhledem k nějaké ortonormální bázi; ozn. ^9...,vn] := det(v1,...,vn). Z předchozího plyne, že 0 pro k > n ±^,...,vk] pro k = n ? pro k < n 2viz matice přechodu a Cauchyova věta (o součinu determinantů) Kouzlo (k = 2) Víme, že V(v1,v2) = l|Vi||-||v2||- sin a, přičemž = Ví - cos2 sin a = ^i-cos^a, cos a = Ví ■ V2 l|Vi||-||V2|| Odtud V(v1,v2) = ••• = :l|v2||2-(vi .v2)2 = Ví . Ví Ví . v2 V2 . Ví v2. v2 zase determinant, Kouzlo (obecně) tzv. Gramův determinant, ozn. G(v1,...,v/C) := Ví ■ Ví V! . V/< V/c - V! V/c - Vk Věta Pro libovolnou k-tici vektorů v eukleidovském prostoru platí Vfa,...,vk) = ^G(v1,...,vk). Kouzlo (důkaz) ------- 1) Pro navzájem kolmé vektory (kvádr): G(v1,w2,w3) = Ví . Ví 0 0 0 w2. w2 0 0 0 w3. w3 2-||w2||2-||w3||2 = V(v1,w2,w3)2, 2) Pro lib. našikmené vektory v2 = w2 + a\i^, v3 : w3 + bv^ + cv2 G(v1,v2,v3) = Ví . Ví Ví . V2 Ví . v3 V2 . Ví v2. v2 v2. v3 V3 . Ví v3. v2 v3. v3 Ví . Ví Ví . V2 Ví . v3 W2 . Ví w2. v2 w2. v3 W3 ■ Ví w3. v2 w3. v3 Ví . Ví Ví . W2 Ví . w3 W2 . Ví w2. w2 w2. w3 W3 . Ví w3. w2 w3. w3 = G(v1,w2,w3). Vektorový součin (n = 3) Ze SŠ známe jako operaci V x V —> V s několika užitečnými vlastnostmi. $-ll«*V|| Sice nevíme proč, ale pro u = (uu u2, u3) a v = , v2, v3) počítáme takto: U X v = ( u2 v2 U1 ) [ U3 v3 U3 ^3 u2 v2 Vektorový součin (obecně) Návod k předchozímu souř. vyjádření — Laplaceův rozvoj determinantu: Ví u2 v2 U1 Ví U1 = + u2 v2 x2 U3 V3 U3 ^3 v2 U3 V3 X3 X3. Důležitá (bezsouřadnicová) interpretace: [u, v,x] = (uxv).x,3 Obecná definice: Vektorovým součinem (n - 1 )-tice vektorů (v<\,..., vn_i) v n-rozměrném eukleidovském prostoru je vektor w := x • • • x vn_i splňující [v^.^v^^x] = w.x pro všechna x e V. 3nalevo vnější součin, napravo tzv. smíšený součin Vektorový součin (vlastnosti) Věta Ozn. w := Vi x • • • x vn_i, n = dim V. ► Toto je anti-symetrické multi-lineární zobrazení V x • • • x V —> V. ► w = o <^^> Vi,..., vn_! ysou lineárně závislé. ► Vi,..., vn_! ysou lineárně nezávislé => ,..., vn_-i, w) je kladná báze. ► w je kolmý ke všem vektorům Vi,..., vn_i. ► ||w|| = y(vu...,yn^). Důkaz. Všechno plyne z definující rovnosti a vlastností determinantu. □ Poznámky K vektorovému součinu pro n = 3: u x v = u • v • sina, kde a = <(u, v), K aplikacím: vzdálenosti podprostorů bez řešení soustav rovnic vlB>C)- V(V1,V2)