Kontrolní úkoly ke kapitole zobrazení:


 1. Jsou dány množiny A, B:  A = {a, b, c, d},  B = {1, 2, 3}. Rozhodněte, které z binárních relací
R[1 ]- R[5 ] jsou zobrazení z A do B, určete jejich typ a posuďte, zda se jedná o zobrazení prosté:

a)      R[1] = {[a,1], [b,2], [d,3]}

b)      R[2] = {[a,2], [c,1], [a,2], [b,3]}

c)      R[3] = {[a,1], [b,2],[c, 3] [d,1]}

d)      R[4] = {[b,3]}

e)      R[5] = {[a,2], [c,1], [d,2], [b,3]}


 2. Je dána množina skandinávských států S = {Švédsko, Norsko, Finsko, Dánsko} a množina měst M =
{Stockholm, Oslo, Helsinky, Kodaň}. Určete zobrazení množiny S na množinu M a rozhodněte, zda se
jedná o zobrazení prosté.
 3. Zjistěte, zda se jedná o zobrazení a určete jeho typ:

a)      každý návštěvník divadla sedí právě na jednom sedadle,

b)      každý žák 3.A dostal na vysvědčení právě jednu známku z matematiky.

4. Uvažujte množinu všech cestujících v jisté tramvaji, množinu všech sedadel v této tramvaji a
binární relaci určenou vztahem „osoba X sedí na sedadle Y“. Přemýšlejte o různých situacích v této
tramvaji (např. „každý cestující sedí na jednom sedadle a ještě jsou dvě místa volná“) a
rozhodněte, zda se jedná o zobrazení z množiny cestujících do množiny sedadel. Pokud ano, určete
přesně typ tohoto zobrazení.

5. Na pískovišti si hrají Adélka, Agátka, Anežka, Anička a Alžbětka, které jsou dcerami paní
Horákové, Dvořákové a Novákové. Určete, zda relace „každá z žen je matkou  jedné z uvedených dívek“
je zobrazení a o který typ se jedná.



Klíč - řešení kontrolních úloh:

1. R[1] - je prosté zobrazení z A na B

    R[2] - není zobrazení  (prvek a je 1. složkou ve dvou uspořádaných dvojicích

    R[3] = {[a,1], [b,2],[c, 3] [d,1]}   - je zobrazení A na B, není prosté (prvkům a, d je
přiřazen stejný prvek 1)

    R[4] = {[b,3]} - je prosté zobrazení z A do B

    R[5] = {[a,2], [c,1], [d,2], [b,3]}  - je zobrazení A na B, není prosté (prvkům a, d je
přiřazen stejný prvek 2).

2. Zobrazení Z ={[Švédsko, Stockholm], [Norsko, Oslo], [Finsko, Helsinky], [Dánsko, Kodaň]}  je
prosté zobrazení S na M (zobrazení vzájemně jednoznačné).

3. a)  prosté zobrazení  množiny návštěvníků divadla do množiny sedadel (je-li vyprodáno, pak na
množinu sedadel)

   b)  zobrazení množiny žáků do množiny známek (bude-li ve třídě aspoň jedna pětka, pak na množinu
známek) není prosté.

4. Jedná se o prosté zobrazení množiny cestujících do množiny sedadel.

5. Relace není  zobrazením (některá z matek - vzor má více než jedno dítě - více než dva obrazy).




9   Ekvivalence množin


Cíle

Po prostudování kapitoly budete umět:

·        definovat ekvivalentní množiny,

·        definovat kardinální číslo,

·        definovat přirozené číslo.


Prostudování kapitoly Vám zabere přibližně 2 hodiny.



Důležitá pasáž textu:

Množiny A, B nazýváme ekvivalentní a píšeme A ~ B, právě když existuje prosté (vzájemně
jednoznačné) zobrazení množiny A na množinu B.


Řešený příklad 1:

Na obrázku jsou znázorněny množiny A, B, C. Určete, které z nich jsou navzájem ekvivalentní.

A je ekviv


Řešení:

Mezi množinami A, B existuje prosté zobrazení množiny A na množinu B, resp. množiny B na množinu A
(existuje vzájemně jednoznačné přiřazení A na B, resp. B na A).

Naproti tomu nelze sestrojit prosté zobrazení množiny B na množinu C a prosté zobrazení množiny A
na množinu C, to znamená, že množiny A a C a B a C navzájem ekvivalentní nejsou.


Povšimněme si, že množiny A a B mají stejný počet prvků, množiny A a C, resp. B a C nemají stejný
počet prvků. Jestliže dvě množiny mají stejný počet prvků, říkáme, že jsou navzájem ekvivalentní.


Relace R "být ekvivalentní mezi množinami" je relací ekvivalence (je reflexivní, symetrická  a
tranzitivní). Proto k relaci R ~ přísluší rozklad systému množin M na třídy. V téže třídě rozkladu
budou vždy právě všechny množiny, které jsou navzájem ekvivalentní, tj. mají stejný počet prvků.
Každou třídu rozkladu nazveme kardinální číslo.


Řešený příklad 2:

Jsou dány množiny:

A - množina dětských hrdinů knihy Bylo nás pět

B - množina vrcholů pětiúhelníka

C - množina okvětních lístků jabloňového květu

Přesvědčte se, že množiny jsou navzájem ekvivalentní.


Řešení:

Existuje prosté zobrazení množiny  A na množinu B  (a obráceně: množiny B na množinu A): každé
postavě z knihy přiřadíme právě jeden vrchol pětiúhelníka, zobrazení je vzájemně jednoznačné, obě
množiny mají stejný počet prvků.

Stejně posoudíme i relace mezi A a C, B a C, A a D, B a D, C a D. Ve všech případech se jedná o
vzájemně jednoznačná zobrazení. Každé dvě množiny jsou navzájem ekvivalentní, patří do téže třídy
rozkladu T[1 ]=  {A, B, C, D}, mají stejné kardinální číslo (5).


Řešený příklad 3:

Rozhodněte, které množiny tvarů jsou navzájem ekvivalentní.

(Připomeňte si: Dvě množiny jsou ekvivalentní, právě když existuje aspoň jedno prosté zobrazení
jedné množiny na druhou.)









































Řešení:

Vyznačte např.  vzájemně jednoznačné zobrazení množiny trojúhelníků na množinu čtverců.

                  4                                                 7
  M























                                        2

               1                                       3
   6



Kardinální čísla jsou tedy třídy navzájem ekvivalentních množin.. Místo pojmu „kardinální číslo“ se
též užívá pojem „mohutnost množiny“, což vystihuje společnou vlastnost navzájem ekvivalentních
množin. Ekvivalentní množiny mají stejné kardinální číslo, stejnou mohutnost. U konečných množin to
znamená, že mají stejný počet prvků.

Kardinální čísla konečných množin nazveme přirozená čísla.

Např. kardinální číslo (třídu) množin, do které patří v naší úloze množina trojúhelníků, označíme
4.