Kvantifikované výroky. Výrokové formy. Logické úlohy.


Ve školské matematice, ale i běžně v různých životních situacích se používají vyjádření  typu

všichni, ne všichni, někdo, nikdo, žádný, každý, kterýkoliv, některý, aspoň jeden apod., která
vedle číslovek také vyjadřují  počet nebo množství – jsou to tzv. kvantifikátory (v širším smyslu).

V logice vystačíme se dvěma kvantifikátory:

Obecný kvantifikátor  ( x – „pro každé x platí, že …“)

Existenční kvantifikátor  ( x – „existuje aspoň jedno x …, pro které platí, že …“)


Negace kvantifikovaných výroků.

Není pravda, že všichni jsou tady.   --  Aspoň jeden tady není.

Není pravda, že si všichni umyli ruce. – Aspoň jeden si neumyl ruce.


Není pravda, že někdo neumí zpívat. --  Každý umí zpívat.

Není pravda, že někdo tady umí hrát na kytaru. – Nikdo (každý) tady neumí hrát na kytaru.



Výrokové formy.

Sdělení, v nichž se vyskytuje jedna nebo více proměnných. V případě, že za proměnné dosadíme z tzv.
definičního oboru výrokové formy, dostaneme z ní výrok.

Obvykle nás zajímá  obor pravdivosti výrokové formy, tj. množina prvků, pro něž dostaneme
z výrokové formy  pravdivý výrok.

Příklady:

Žák  X dnes chybí.

Pan/í  ………… , nar. ………………  se zúčastnil ……………….  .

x + 10  13

(Obor pravdivosti závisí na tom, jak je určen definiční obor)


Z výrokové formy můžeme také dostat výrok, vážeme-li všechny proměnné pomocí kvantifikátorů:
obecného nebo existenčního .

Např. x  N:   x + 10  13  (Pro každé přirozené číslo x je ...)  je nepravdivý výrok

          x  N:   x + 10  13  (Existuje přirozené číslo x takové, že ...)  je pravdivý výrok.


Úroveň abstraktního myšlení dětí v předškolním i mladším školním věku je poměrně nízká. V případě
uvažování nad pravdivostí tvrzení vycházejí ze svých osobních zkušeností, uvažují o pravdivosti
konkrétní situace.

Jde o to, aby o pravdivosti jednoduchých výroků dokázaly rozhodnout – hry: je pravda, není pravda.

Jde zde o propedeutiku, kdy se učí postupně zpřesňovat svoje vyjadřování, učí se postupně
argumentovat.

Př. Je/není to pravda?

Venku teď prší.     V této místnosti je slon.       Jedna a jedna jsou dvě.         Dnes jsou tady
všichni.     Někdo ze třídy je nemocný.       Aspoň jeden z vás nosí brýle.    Nikdo si nezapomněl
umýt ruce před obědem.

Hry

1. Budíček:  Děti mají skloněné hlavy – „spí“. Učitel říká různá tvrzení. Když vysloví nepravdivé
tvrzení, zvednou hlavu – „probudí se“.

2. Letí – letí   Učitel říká různá tvrzení. Je-li pravdivé, děti zvednou ruce nad hlavu, např.
„Letí, letí, co má křídla, všechno letí. Vrabec letí.“

3. Vytvořte příklady z běžného života, ve kterých je potřeba rozhodovat o pravdivosti. (ve formě
výroků)

4. Ke zvolenému obrázku zformulujte jednoduché výroky, týkající se situace znázorněné na obrázku.
(Cílem činnosti s dětmi je rozvíjení schopnosti rozhodovat o pravdivosti vyslovených tvrzení.)

Užívání kvantifikátorů si děti osvojují také  na  úkolech :

Ukliď všechny hračky do krabice.

Postav ze všech žlutých kostek věž .

Polož na lavici aspoň jednu žlutou kostku a aspoň dvě modré kostky. atd.