Kapitola 4
Některé další geometrické pojmy
V následujícím textu uvedeme definice a základní vlastnosti některých dalších geometrických
pojmů. U vybraných vlastností předkládáme i důkazy, další důkazy necháváme
na čtenáři. Uvedené pojmy a jejich vlastnosti jsou využity ve cvičení při řešení důkazových
a konstrukčních úloh.
4.1 Kruh, kružnice, kulová plocha, koule
Seznámíme se s definicí kružnice, kruhu, kulové plochy a koule pomocí shodnosti úseček.
Tento způsob odpovídá zavedení těchto pojmů v učivu geometrie na 1. stupni
základní školy. Současně si připomeneme definici těchto pojmů pomocí vzdálenosti
bodů, které jsme poznali také již na základní škole.
Definice 4.1 Nechť je dán bod S ležící v rovině ρ a úsečka r. Kružnicí k o středu
S a poloměru r se nazývá množina všech takových bodů X roviny ρ, pro které platí,
že úsečka SX je shodná s úsečkou r.
Symbolicky:
k(S, r) = {X ∈ ρ ; SX ∼= r}.
Definice 4.2 Nechť je dán bod S ležící v rovině ρ a reálné číslo r > 0. Kružnicí k
o středu S a poloměru r se nazývá množina všech takových bodů X roviny ρ, které
mají od středu S vzdálenost r.
Symbolicky:
k(S, r) = {X ∈ ρ ; |SX| = r}, r ∈ R+
.
Poznámka 4.1 Je třeba si uvědomit, že v definici 4.1 je r úsečka, zatímco v definici
4.2 je r kladné reálné číslo. Z toho je patrný dvojí význam pojmu poloměr kružnice jednak
jím rozumíme úsečku, jednak kladné reálné číslo.
1
2 KAPITOLA 4. NĚKTERÉ DALŠÍ GEOMETRICKÉ POJMY
Definice 4.3 Nechť je dán bod S ležící v rovině ρ a úsečka r. Kruhem K o středu
S a poloměru r se nazýváme sjednocení všech úseček SX, pro které platí SX ∼= r a
SX ⊂ ρ.
Označujeme: kruh K(S, r).
a) kružnice k(S, r)
S
X
k
b) kruh K(S, r)
S
X
K
Obr. 4.1
Definice 4.4 Nechť je dán bod S ležící v rovině ρ a reálné číslo r > 0. Kruhem K
o středu S a poloměru r se nazývá množina všech takových bodů X roviny ρ, jejichž
vzdálenost od středu S je nejvýše rovna r.
Symbolicky:
kruh K(S, r) = {X ∈ ρ ; |SX| r}, r ∈ R+
.
Poznámka 4.2 Podobně jako poloměr kružnice má i poloměr kruhu dvojí význam,
jak je patrno z definic 4.3 a 4.4. Rovněž termín poloměr koule nebo kulové plochy
má tentýž dvojí význam, jak poznáme v následujících definicích. Navíc si uvědomme
analogii definic kružnice a kulové plochy, kruhu a koule.
Definice 4.5 Nechť je dán bod S a úsečka r. Množina všech bodů X prostoru, pro
které platí, že úsečka SX je shodná s úsečkou r, se nazývá kulová plocha κ se středem
S a poloměrem r.
Symbolicky:
κ(S, r) = {X ∈ Z ; SX ∼= r}.
4.2. KRUŽNICE, ÚHLY STŘEDOVÉ A OBVODOVÉ 3
Definice 4.6 Nechť je dán bod S a reálné číslo r > 0. Množina všech bodů X prostoru,
jejichž vzdálenost od středu S je rovna r, se nazývá kulová plocha κ se středem S a
poloměrem r.
Symbolicky:
κ(S, r) = {X ∈ Z ; |SX| = r}, r ∈ R+
.
Definice 4.7 Nechť je dán bod S a úsečka r. Koulí κ o středu S a poloměru r se
nazýváme sjednocení všech úseček SX v prostoru, které jsou shodné s úsečkou SX.
Označujeme: koule κ(S, r).
Definice 4.8 Nechť je dán bod S a reálné číslo r > 0. Koulí κ o středu S a poloměru
r se nazývá množina všech bodů X v prostoru, jejichž vzdálenost od středu S je nejvýše
rovna r.
Symbolicky:
koule κ(S, r) = {X ∈ Z ; |SX| = r}, r ∈ R+
.
4.2 Kružnice, úhly středové a obvodové
Kružnici jsme definovali definicemi 4.1 a 4.2. V tomto odstavci si připomeneme některé
další pojmy vztahující se ke kružnici a vztahy mezi nimi. Tyto pojmy, jejich vlastnosti
a vztahy pak využijeme při řešení konstrukčních úloh v závěru kapitoly 4.
Jsou-li A, B dva různé body kružnice k, pak úsečka AB se nazývá tětiva kružnice
k. Jestliže tětiva AB obsahuje střed kružnice k, nazýváme ji průměr kružnice k. Část
kružnice k, která leží v jedné z polorovin s hraniční přímkou AB se nazývá oblouk
kružnice k, body A, B jsou krajní body oblouku. Je-li AB průměr, nazýváme oblouky
s krajními body A, B polokružnice. Není-li AB průměr, pak oblouk, který leží v
polorovině ABS nazýváme větší oblouk a oblouk v polorovině opačné k polorovině
ABS nazýváme menší oblouk s krajními body A, B.
Definice 4.9 Nechť S je střed kružnice k a AB její tětiva, která není průměrem. Pak
úhel ¡ASB nazýváme středový úhel příslušný menšímu oblouku kružnice k s
krajními body A, B (obr. 4.2 a). Úhel  ASB nazýváme středový úhel příslušný
většímu oblouku kružnice k s krajními body A, B (obr. 4.2 b). Je-li úsečka AB průměrem
kružnice k, vzniknou dva přímé úhly ASB, které též nazýváme úhly středové,
z nichž každý přísluší té polokružnici s krajními body A, B, která je jeho podmnožinou
(obr. 4.2 c).
4 KAPITOLA 4. NĚKTERÉ DALŠÍ GEOMETRICKÉ POJMY
a)
S
A
B
k
b)
S
A
B
k
c)
S
A B
k
Obr. 4.2
Poznámka 4.3 Stručně je možno říci, že středový úhel ASB přísluší vždy tomu oblouku
kružnice s krajními body A, B, který je jeho podmnožinou. Zřejmě platí, že
shodným obloukům příslušejí v téže kružnici shodné středové úhly a naopak.
Definice 4.10 Nechť je dána kružnice k a na ní tři různé body A, B, X. Konvexní
úhel ¡AXB se nazývá obvodový úhel příslušný tomu oblouku kružnice k, který leží
v polorovině opačné k polorovině ABX. Středový úhel ASB, který přísluší k tomuto
oblouku AB se nazývá středový úhel příslušný k obvodovému úhlu ¡AXB.
Poznámka 4.4 Stručně je možno říci, že obvodový úhel ¡AXB přísluší tomu oblouku
kružnice s krajními body A, B, který je jeho podmnožinou. Obvodový a k němu
příslušný středový úhel příslušejí témuž oblouku (obr. 4.3 a – c).
a)
S
A
B
X
k
b)
SA
B
X
k
c)
S
A
B
X
k
Obr. 4.3
Vztah mezi obvodovým a k němu příslušným středovým úhlem vyjadřuje následující
věta:
4.2. KRUŽNICE, ÚHLY STŘEDOVÉ A OBVODOVÉ 5
Věta 4.1 Velikost středového úhlu v kružnici k je rovna dvojnásobku velikosti obvodového
úhlu příslušného k témuž oblouku kružnice k jako daný středový úhel.
Důkaz věty 4.1 přesahuje rámec tohoto textu a lze jej najít v uvedené literatuře. Užitím
věty 4.1 lze dokázat větu 4.2:
Věta 4.2 Všechny obvodové úhly příslušné k témuž oblouku kružnice jsou navzájem
shodné.
Definice 4.11 Nechť je dána kružnice k(S, r) a dva její různé body A, B. V bodě
A je sestrojena tečna AC kružnice k. Potom úhel ¡BAC nazýváme úsekový úhel
příslušný k tomu oblouku AB kružnice k, který v tomto úhlu leží. Středový úhel
¡ASB, který k tomuto oblouku přísluší, se nazývá středový úhel příslušný k úsekovému
úhlu ¡BAC (obr. 4.4).
S
BA
C
O
k
Obr. 4.4
Věta 4.3 Velikost úsekového úhlu v kružnici k je rovna polovině velikosti k němu
příslušného středového úhlu.
4.1 Důkaz věty 4.3 proveďte jako cvičení. Využijte při tom trojúhelníka AOS, kde
O je střed tětivy AB (obr. 4.4).
Úsekový úhel ¡BAC znázorněný na obrázku 4.4 přísluší menžímu z oblouků s
krajními body A, B. Uvažujte i o úsekových úhlech příslušných k polokružnici a k
většímu z oblouků s krajními body A, B a dokažte větu i pro tyto případy.
Z předcházejících vět je zřejmé, že úsekový úhel a obvodový úhel, které příslušejí k
témuž oblouku kružnice, mají stejné velikosti. Toho využíváme při řešení úlohy určit
množinu vrcholů všech konvexních úhlů o dané velikosti α, které procházejí danými
různými body A, B (viz cvičení 4.4).
6 KAPITOLA 4. NĚKTERÉ DALŠÍ GEOMETRICKÉ POJMY
4.3 Trojúhelník, vztahy mezi stranami a
úhly trojúhelníka, příčky trojúhelníka
Trojúhelník jsme definovali v předcházející části textu definicemi ?? a ??. Nyní si
připomeneme některé vlastnosti týkající se jeho stran, úhlů a příček.
Věta 4.4 (Trojúhelníková nerovnost)
Součet velikostí kterýchkoliv dvou stran trojúhelníka je větší než velikost strana třetí.
Věta 4.4 je jednou ze základních vět elementární geometrie. Je možno ji formulovat
také užitím pojmů grafický součet stran trojúhelníka. Také věta o součtu velikostí
(resp. o grafickém součtu) všech vnitřních úhlů trojúhelníka patří mezi základní věty
elementární geometrie – viz cvičení 4.2.
Definice 4.12 Vnějším úhlem trojúhelníka nazýváme úhel, který je vedlejší k
jeho vnitřnímu úhlu.
A
C
B
α α
β β
γ
γ
Obr. 4.5
Věta 4.5 Velikost vnějšího úhlu trojúhelníka je rovna součtu velikostí jeho vnitřních
úhlů, k nimž tento úhel není vedlejší.
Důsledek věty 4.5: Vnější úhel trojúhelníka při daném vrcholu je větší než kterýkoliv
jeho vnitřní úhel při zbývajícím vrcholu.
Věta 4.6 (O stranách a protějších úhlech trojúhelníka)
Proti shodným stranám trojúhelníka leží shodné vnitřní úhly. Proti větší ze dvou stran
leží větší vnitřní úhel.
Platí též: Proti shodným vnitřním úhlům trojúhelníka leží shodné strany, proti většímu
ze dvou vnitřních úhlů leží větší strana.
4.3. TROJÚHELNÍK – VLASTNOSTI 7
Důkaz: a) Nejdříve dokážeme, že proti shodným stranám trojúhelníka leží shodné
vnitřní úhly. Uvažujme trojúhelník ABC a nechť AC ∼= BC (obr. 4.6). Dokážeme, že
α ∼= β. Sestrojme osu úhlu ACB a její průsečík se stranou AB označme C1. Platí
AC ∼= BC, CC1
∼= CC1, ¡ACC1
∼=¡BCC1, tj. AC1C ∼= BC1C podle věty sus.
Platí tedy ¡CAC1
∼=¡CBC1, tj. α ∼= β.
A
C
BC1
o
α β
γ
Obr. 4.6
b) Nyní dokážeme tvrzení obrácené, tj. že proti shodným vnitřním úhlům trojúhelníka
leží shodné strany. Uvažujme opět trojúhelník ABC a nechť je α ∼= β. Dokážeme,
že BC ∼= AC. Sestrojíme opět osu úhlu ACB a její průsečík se stranou AB označme
C1 (obr. 4.6). Platí ¡ACC1
∼=¡BCC1 a α ∼= β. Trojúhelníky ACC1 a BCC1 se tedy
shodují ve dvou úhlech, z čehož vyplývá, že se shodují ve všech třech úhlech a navíc
mají stranu CC1 společnou. Tj. podle věty usu platí AC1C ∼= BC1C a odtud již
plyne BC ∼= AC, což jsme měli dokázat.
a)
A
C
B
D
b)
A
C
B
D
X
α β
γ
Obr. 4.7
Trojúhelník ABC je rovnoramenný s hlavním vrcholem C. Ze shodnosti AC1C ∼=
BC1C plyne, že C1 je střed strany AB a že úhly ¡AC1C, ¡BC1C jsou pravé, neboť
se jedná o shodné vedlejší úhly. Jako vedlejší výsledek tedy dostáváme, že osa vnitřního
úhlu rovnoramenného trojúhelníka při jeho hlavním vrcholu je kolmá na jeho základnu
a prochází jejím středem.
8 KAPITOLA 4. NĚKTERÉ DALŠÍ GEOMETRICKÉ POJMY
c) Nyní se zaměříme na důkaz tvrzení, že proti větší starně trojúhelníka leží větší
vnitřní úhel. Nechť je dán trojúhelník ABC a nechť AC > BC (obr. 4.7 a) ). Dokážeme,
že ¡ABC >¡CAB. Sestrojme bod D ∈ AC tak, že je BC ∼= DC. Podle části
a) důkazu věty 4.6 platí, že ¡CDB ∼=¡CBD. Úhel ¡CDB je vnějším úhlem trojúhelníka
ABD, a je tedy větší než ¡CAB. Úhel ¡ABC je však větší než ¡CBD, neboť je
roven grafickému součtu úhlů ¡CBD, ¡ABD a úhel ¡ABD není nulový (podle předpokladu
je AC > BC, a tedy A = D). Z uvedených vztahů plyne: ¡ABC >¡DBC,
¡DBC ∼=¡CDB, ¡CDB >¡CAB a tedy ¡ABC >¡CAB, což jsme měli dokázat.
d) Zbývá dokázat, že proti většímu úhlu trojúhelníka leží větší strana. Nechť je dán
trojúhelník ABC a nechť α < β. Dokážeme, že AC > BC (obr. 4.7 b) ). Sestrojme
úhel ¡ABX shodný s úhlem α tak, že polopřímka BX náleží polorovině ABC. Protože
je α < β, je ¡ABX < β a β =¡ABX+¡XBC. Body A, C náležejí opačným
polorovinám s hraniční přímkou BX, a tedy existuje bod D tak, že D ∈→ BX ∩ AC.
Podle části b) důkazu věty 4.6 je AD ∼= BD. Z věty 4.4 plyne pro trojúhelník BCD,
že BD + DC > BC. Platí AD ∼= BD, a tedy AD + DC > BC, tj. AC > BC, což
jsme měli dokázat.
Definice 4.13 V trojúhelníku ABC označme po řadě A1, B1, C1 středy stran a, b, c.
Úsečky A1B1, B1C1, C1A1 se nazývají střední příčky trojúhelníka ABC příslušné
po řadě ke stranám c, a, b (obr. 4.8 a). Úsečky AA1, BB1, CC1 se nazývají těžnice
trojúhelníka ABC (obr. 4.8 b).
a)
A
C
BC1
B1 A1
b)
T
A
C
BC1
B1 A1
Obr. 4.8
Věta 4.7 Střední příčka trojúhelníka je rovnoběžná se stranou tohoto trojúhelníka,
jejíž střed neobsahuje, a její velikost se rovná polovině velikosti této strany.
Věta 4.8 Těžnice trojúhelníka ABC procházejí týmž bodem T, zvaným těžiště trojúhelníka.
Těžiště T dělí každou těžnici na dvě úsečky, z nichž ta část, která obsahuje
vrchol trojúhelníka, je dvojnásobkem druhé části (obr. 4.8 b).
4.3. TROJÚHELNÍK – VLASTNOSTI 9
Definice 4.14 V trojúhelníku ABC označme po řadě va, vb, vc kolmice vedené vrcholy
A, B, C trojúhelníka ABC k přímkám BC, AC, AB. Přímky va, vb, vc se nazývají
výšky trojúhelníka ABC (obr. 4.9).
a)
A
C
B
vc
vb
va
V
b)
S
A
C
BC1
B1 A1
Obr. 4.9
Poznámka 4.5 Výškou též nazýváme úsečku, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníka
a průsečík kolmice vedené tímto vrcholem k přímce, v níž leží protější strana,
s touto přímkou. Také velikost této úsečky se nazývá výška. Pojem výška trojúhelníka
má tedy trojí význam. Proto je třeba, aby bylo vždy alespoň z kontextu zřejmé, o
který z významů jde. Ve větě 4.9 je výška chápána ve smyslu definice 4.14.
Věta 4.9 Výšky trojúhelníka ABC procházejí týmž bodem V , zvaným průsečík výšek
nebo též ortocentrum trojúhelníka ABC (obr. 4.9 a) ).
Definice 4.15 Osami stran trojúhelníka ABC nazýváme osy úseček AB, BC a
AC.
Věta 4.10 Osy stran trojúhelníka se protínají v jediném bodě, který je středem kružnice
trojúhelníku opsané (obr. 4.9 b) ).
Mezi příčky trojúhelníka řadíme též osy jeho vnitřních úhlů. Pro jejich vzájemnou
polohu platí věta 4.11.
Věta 4.11 Osy vnitřních úhlů trojúhelníka se protínají v jediném bodě, který je středem
kružnice trojúhelníku vepsané (obr. 4.10).
10 KAPITOLA 4. NĚKTERÉ DALŠÍ GEOMETRICKÉ POJMY
A B
C
O
Obr. 4.10
4.4 Čtyřúhelník, třídění čtyřúhelníků
Definice 4.16 Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží
v přímce. Sjednocení trojúhelníků ABD a BDC nazveme čtyřúhelníkem ABCD
právě tehdy, když průnikem těchto trojúhelníků je úsečka BD (obr. 4.4).
a)
A
B
C
D
b)
A
B
C
D
Obr. 4.11
Čtyřúhelník na obrázku a) je konvexní, na obrázku b) je nekonvexní. Konvexní čtyřúhelník
ABCD je možno definovat také jako průnik polorovin:
Konvexní čtyřúhelník ABCD = → ABC ∩ → BCD ∩ → CDB ∩ → ADB, přičemž
ovšem předpokládáme, že body A, B, C, D leží v téže rovině a žádné tři z nich neleží
v přímce.
Body A, B, C, D nazýváme vrcholy čtyřúhelníka ABCD, úsečky AB, BC, CD,
DA jeho strany a úsečky AC, BD jeho úhlopříčky. Vnitřními úhly čtyřúhelníka z
4.4. ČTYŘÚHELNÍK, TŘÍDĚNÍ ČTYŘÚHELNÍKŮ 11
definice 4.16 nazýváme tyto úhly: BAD, BCD, ABC = ABD ∪ DBC a
ADC = ADB ∪ BDC. Pro součet vnitřních úhlů čtyřúhelníka platí věta 4.12.
Věta 4.12 Součet velikostí všech vnitřních úhlů čtyřúhelníka je roven 360◦
.
Čtyřúhelníky můžeme třídit podle různých hledisek, např. podle toho, zda mají některé
dvojice stran rovnoběžné, případně shodné, zda jsou některé strany na sebe kolmé
apod. Pro zopakování uvádíme následující třídění čtyřúhelníků:
Čtyřúhelníky



různoběžníky
čtyřúhelníky s rovnoběžnými
stranami



lichoběžníky
rovnoběžníky



pravoúhelníky
obdélníky
čtverce
kosodélníky
kosodélníky
kosočtverce
Jiné třídění čtyřúhelníků lze provádět např. vzhledem k vlastnostem uhlopříček
čtyřúhelníka:
Uhlopříčky čtyřúhelníka



kolmé



shodné
půlí se – čtverce
nepůlí se
neshodné
půlí se – kosočtverce
nepůlí se
kosé



shodné
půlí se – obdélníky
nepůlí se
neshodné
půlí se – kosodélníky
nepůlí se
V závěru odstavce o čtyřúhelnících zavedeme ještě dva nové pojmy, a to pojem
tětivového a pojem tečnového čtyřúhelníka.
Definice 4.17 Nechť ABCD je čtyřúhelník. Existuje-li kružnice, která prochází body
A, B, C, D nazýváme tento čtyřúhelník tětivový.
Věta 4.13 Součet velikostí každých dvou protějších vnitřních úhlů tětivového čtyřúhelníka
je roven 180◦
.
Důkaz: Vyjdeme-li z označení v obrázku 4.12, je třeba dokázat, že α + γ = β + δ =
180◦
. Platí ω + ω = 360◦
. Podle věty 4.1 platí, že ω = 2α, ω = 2γ. Tedy 2α + 2γ =
ω + ω = 360◦
toho bezprostředně plyne, že α + γ = 180◦
. Odtud z věty 4.12 pak plyne
též, že β + δ = 180◦
.
12 KAPITOLA 4. NĚKTERÉ DALŠÍ GEOMETRICKÉ POJMY
S
A
B
C
D
α
β
γ
δ
ω
ω
Obr. 4.12
Definice 4.18 Nechť ABCD je čtyřúhelník. Existuje-li kružnice, která se dotýká
všech jeho stran, nazýváme tento čtyřúhelník tečnový.
Věta 4.14 Součty velikostí protějších stran tečnového čtyřúhelníka jsou si rovny.
Důkaz: Vyjdeme-li z označení v obrázku 4.13, je třeba dokázat, že |AB| + |CD| =
|AD| + |BC|. Trojúhelníky SBP a SBQ jsou shodné podle věty Ssu (SB je společná
strana , SP ∼= SQ, ¡SPB =¡SQB). Ze shodnosti těchto trojúhelníků vyplývá, že
BP ∼= BQ. Podobně se ukáže, že CQ ∼= CR, DR ∼= DT a AT ∼= AP. Nechť |AP| = p,
|BP| = r, |CQ| = s a |DR| = q. Pak je
|AD| + |BC| = p + q + r + s,
|AB| + |DC| = p + r + s + q.
Platí tedy |AD| + |BC| = |AB| + |CD|, což jsme měli dokázat.
Definice 4.19 Čtyřúhelník, jemuž lze opsat i vepsat kružnici, se nazývá čtyřúhelník
dvojstředový.
4.4. ČTYŘÚHELNÍK, TŘÍDĚNÍ ČTYŘÚHELNÍKŮ 13
S
T
P
Q
R
A
B
C
D
p
p
r
r
s
s
q
q
Obr. 4.13
Cvičení:
4.2 Analogicky k větě 4.4 vyslovte větu o součtu velikostí (resp. o grafickém součtu)
všech vnitřních úhlů trojúhelníka a dokažte ji.
4.3 Zdůvodněte větu 4.12.
4.4 Je dána úsečka AB.
a) Sestrojte množinu všech vrcholů konvexního úhlu ¡ACB = γ, jehož ramena procházejí
krajními body úsečky AB.
b) Sestrojte ABC, je-li |AB| = 6, γ = 60◦
, vC = 4.
4.5 Je-li v rovnoramenném trojúhelníku ABC úhel při základně AB roven trojnásobku
úhlu při vrcholu C a rozdělí-li se úhel BAC při základně na tři shodné
úhly (tak, že M, N jsou takové body strany BC, pro něž platí NAB ∼= MAN ∼=
CAM), pak platí AB ∼= AN ∼= BM, AM ∼= CM. Dokažte.
4.6 Bodem A ležícím vně kružnice k(S, r) je vedena sečna CD tak, že AC < AD
a |AC| = r. Dokažte, že
ASC =
1
3
BSD,
14 KAPITOLA 4. NĚKTERÉ DALŠÍ GEOMETRICKÉ POJMY
kde bod B je průsečík přímky AS s kružnicí k takový, že S leží mezi body A, B.
4.7 Uvnitř trojúhelníku ABC zvolte bod S. Dokažte, že součet úseček SA, SB,
SC je větší než poloviční součet stran daného trojúhelníku, tj. že
SA + SB + SC >
1
2
(AB + BC + CA).
4.8 Dakažte, že součet úseček, které spojují vnitřní bod P trojúhelníku s krajními
body jedné jeho strany, je menší než součet zbývajících dvou stran daného trojúhelníku.
4.9 Přímka o je osou úsečky AB. Bod X je libovolný vnitřní bod poloroviny oA.
Dokažte, že platí: AX < BX.
4.10 Bod U je vnitřním bodem trojúhelníku ABC.
Dokažte, že platí: AUB > ACB, BUC > BAC a AUC > ABC.
4.11 Leží-li bod X na ose daného konvexního úhlu AV B, pak má od jeho ramen
stejné vzdálenosti. Dokažte.
4.12 Splývá-li těžnice trojúhelníka s jeho výškou, je tento trojúhelník rovnoramenný.
Dokažte.
4.13 V trojúhelníku ABC je BAC = α = 50◦
, ABC = β = 60◦
, osa ABC
protíná stranu AC v bodě D. Seřaďte úsečky AB, BC, CD, AD, AC, BD podle
velikosti.
4.14 Určete velikost vnitřních úhlů trojúhelníka A1B1C1, jehož vrcholy jsou průsečíky
os vnějších úhlů daného trojúhelníka ABC.
4.15 Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC a bod D, který je středem jeho základny
AB. Bodem D jsou vedeny kolmice k ramenům AC, BC trojúhelníka ABC.
Jejich paty jsou označeny M, N. Dokažte, že DMC ∼= DNC.
4.16 Sestrojte trojúhelník ABC je-li dáno:
a) c, b, tc b) α, c, tc c) a, va, b
d) a, α, vb e) b, c, va f) α, vb, rv
g) b, γ, vc h) γ, va, vb i) c, va, vb
j) a, va, vb k) γ, va, vc l) ro, vc, tc
m) a, b, tc n) α, β, rv o) α, β, ro
p) b, β, vb q) a, β, rv r) c, ta, tb
s) b, β, ta t) a, ta, tb u) a, va, tb
v) ta, tb, tc w) ta, tb, γ z) ta, va, vb
kde ro je poloměr kružnice opsané a rv je poloměr kružnice vepsané trojúhelníku ABC.
4.17 Sestrojte rovnoběžník ABCD, jsou-li dány velikosti uhlopříček e, f a velikost
výšky va.
4.4. ČTYŘÚHELNÍK, TŘÍDĚNÍ ČTYŘÚHELNÍKŮ 15
4.18 Sestrojte lichoběžník ABCD, AB CD, jsou-li dány velikosti uhlopříček e,
f, velikost úhlu DAB = α a velikost úhlu AEB = ω, kde E je průsečík uhlopříček.
4.19 Sestrojte trojúhelník ABC je-li dáno:
a) c, b, tc b) α, c, tc c) a, va, b
d) a, α, vb e) b, c, va f) α, vb, rv
g) b, γ, vc h) γ, va, vb i) c, va, vb
4.20 Sestrojte různoběžník ABCD, je-li dáno: velikost strany AB, velikost strany
BC, velikosti obou uhlopříček AC, BD a velikost úhlu AEB = ω, kde E je průsečík
uhlopříček.
4.21 Sestrojte kružnici k, je-li dána její tečna t s bodem dotyku T a další její tečna
q.
4.22 Největší strana konvexního čtyřúhelníka ABCD je AB, nejmenší CD. Dokažte,
že ABC < ADC.
4.23 Uvažujte množinu všech čtyřúhelníků a čtyři její podmnožiny A, B, C, D.
Přitom:
A je množina všech čtyřúhelníků s alespoň jednou dvojicí rovnoběžných stran,
B je množina všech čtyřúhelníků, jejichž uhlopříčky se půlí,
C je množina všech čtyřúhelníků, jejichž uhlopříčky jsou shodné,
D je množina všech čtyřúhelníků, jejichž uhlopříčky jsou kolmé.
Nakreslete Vennův diagram pro tyto množiny a určete vlastnosti čtyřúhelníků, které by
byly znázorněny v jednotlivých elentárních polích diagramu. Pro každé pole znázorněte
alespoň jeden čtyřúhelník příslušných vlastností.
4.24 Čtyřúhelník, jemuž lze opsat i vepsat kružnici, tj. čtyřúhelník, který je současně
tětivový i tečnový (viz definice 4.17 a 4.18), se nazývá dvojstředový. Dovedete
určit alespoň jeden dvojstředový čtyřúhelník, který není čtvercem?
16 KAPITOLA 4. NĚKTERÉ DALŠÍ GEOMETRICKÉ POJMY
4.5 Okolí bodu
Definice 4.20 Nechť M je bodová množina (rovina, prostor, popř. jiná bodová množina),
A je bod, A ∈ M, δ ∈ R+
. Množina bodů OM (A, δ) = {X ∈ M : |AX| < δ} se
nazývá sférické okolí bodu A v množině M.
Příklad 4.1 Množina M, ve které definujeme okolí daného bodu je podstatná, neboť
v různých množinách potom může okolí stejného bodu vypadat naprosto odlišně. Na
obrázku 4.14 je znázorněno sférické okolí bodu A v množině:
a) M1 = ρ, kde ρ je rovina, Oρ(A, δ) = {X ∈ ρ : |AX| < δ},
b) M2 = Z, kde Z je prostor, OZ(A, δ) = {X ∈ Z : |AX| < δ}.
Zatímco v případě a) je sférickým okolím bodu A vnitřní oblast kružnice o poloměru
δ, tak v případě b) se jedná o vnitřní oblast kulové plochy o poloměru δ.
Obr. 4.14
Definice 4.21 Útvar U se nazývá omezený v množině M právě tehdy, když existuje
takový bod A, A ∈ M a takové okolí OM (A, δ), že útvar U je podmnožinou tohoto
okolí.
Útvar, který není omezený se nazývá neomezený.
Definice 4.22
Bod A se nazývá vnitřní bod útvaru U v množině M právě tehdy, když existuje
alespoň jedno jeho okolí v množině M, jehož každý bod je bodem útvaru U.
Bod B se nazývá vnější bod útvaru U v množině M právě tehdy, když existuje
alespoň jedno jeho okolí v množině M, jehož žádný bod nepatří útvaru U.
Bod C se nazývá hraniční bod útvaru U v množině M právě tehdy, když každé jeho
okolí v množině M obsahuje jak body, které patří útvaru U, tak body, které nepatří
útvaru U.
Obr. 4.15
4.5. OKOLÍ BODU 17
Definice 4.23 Množina všech hraničních bodů útvaru U se nazývá hranice útvaru
U. Množina všech vnitřních bodů útvaru U se nazývá vnitřek útvaru U. Množina
všech vnějších bodů útvaru U se nazývá vnějšek útvaru U.
Příklad 4.2 Nechť množinou M je roviina ρ a útvarem U je úsečka AB (obr. 4.16).
Pak každý bod úsečky AB je hraničním bodem této úsečky vzhledem k rovině ρ. V
rovině ρ je tedy hranicí útvaru, kterým je úsečka AB, právě tato úsečka. Bod C je
vnější bod úsečky AB vzhledem k rovině ρ. Vnějšek uvažovaného útvaru, úsečky AB,
je tedy množina M = ρ − AB.
Obr. 4.16
Poznámka 4.6 Často se setkáváme s nesprávným užitím termínu „vnitřek kruřnice .
Chápeme-li kružnici jako podmnožinu roviny. Každý bod kružnice vzhledem k rovině,
v níž kružnice leží, je totiž hraničním bodem kružnice a vnitřek kružnice je prázdná
množina. Terminologicky správné je užívat pojmy vnitřní oblast kružnice a vnější oblast
kružnice.
Definice 4.24 Útvar U se nazývá uzavřený v množině M právě tehdy, když obsahuje
všechny své hraniční body (vzhledem k množině M).
Útvar U se nazývá otevřený v množině M právě tehdy, když neobsahuje žádný svůj
hraniční bod.
Definice 4.25 Říkáme, že útvary U1, U2 se nepřekrývají v množině M právě tehdy,
když průnik útvarů U1, U2 je podmnožinou průniku jejich hranic.
Jinak: Útvary U1, U2 se nepřekrývají v množině M právě tehdy, když jejich průnik
neobsahuje žádný bod, který je vnitřním bodem alespoň jednoho z útvarů U1, U2
(vzhledem k množině M).
Příklad 4.3 Jsou dány trojúhelníky ABC a KLM, které leží v rovině ρ. Trojúhelníky
ABC a KLM na obrázku 4.17 a), b), c) se nepřekrývají v rovině ρ, trojúhelníky ABC
a KLM na obrázku 4.17 d), e) se v rovině ρ překrývají.
Obr. 4.17
18 KAPITOLA 4. NĚKTERÉ DALŠÍ GEOMETRICKÉ POJMY
4.6 Mnohoúhelník
Definice 4.26 Lomenou čárou A0A1A2 . . . An, (n > 1), rozumíme sjednocení všech
úseček A0A1, A1A2, . . . , An−1An konečné posloupnosti úseček, z nichž žádná neleží v
přímce, která obsahuje předcházející (následující) úsečku této posloupnosti (obr. 4.18).
Obr. 4.18
Lomenou čárou tedy rozumíme sjednocení konečného počtu úseček A0A1, A1A2, . . . , An−1An,
z nichž každé dvě sousedící mají společný pouze jeden (krajní) bod a neleží v téže
přímce.
Body A0A1A2 . . . nazýváme vrcholy lomené čáry, úsečky A0A1, A1A2, . . . nazýváme
strany lomené čáry, strany úseček Ak−1Ak, AkAk+1, k = 1, . . . , n − 1, nazýváme
sousední strany lomené čáry.
Definice 4.27 Jednoduchou lomenou čárou rozumíme lomenou čáru, jejíž každé
dvě nesousedící strany jsou disjunktní – tzn. žádné dvě nesousedící strany nemají
společný bod (obr. 4.19).
Obr. 4.19
Definice 4.28 Jednoduchou uzavřenou lomenou čárourozumíme jednoduchou
lomenou čáru A0A1A2 . . . An, kde A0 = An (obr. 4.20).
Obr. 4.20
Jednoduchá uzavřená lomená čára má důležité vlastnosti. Rozděluje totiž všechny
body roviny, které jí nepatří, do dvou neprázdných podmnožin takových, že mezi
každými dvěma body patřícími různým podmnožinám leží alespoň jeden bod lomené
čáry. Pro každé dva různé body téže podmnožiny pak platí, že je lze spojit úsečkou
nebo jednoduchou lomenou čarou, přičemž tyto útvary leží v této podmnožině. Tyto
dvě podmnožiny nazveme vnitřní a vnější oblast jednoduché lomené čáry.
Přesněji: Nechť L je jednoduchá uzavřená lomená čára A0A1A2 . . . An, (A0 = An).
Označme M množinu všech bodů roviny, které nepatří jednoduché čáře L a dále
označme R relaci definovanou takto: X, Y jsou v relaci R, právě tehdy, když existuje
taková lomená čára obsahující body X, Y , která nemá s jednoduchou uzavřenou
lomenou čárou L žádný společný bod.