Zápočtová práce  PS 2018



1. Je dána množina A = {-2, -1, 0, 1, 2}. V množině A jsou definovány binární relace R,S a U
takto:

R  = {[x, y] A A, x + y = 0}

S = {[x, y] A A, y = êx÷},   ( êx÷ je absolutní hodnota čísla x)

U = {[x, y] A A, y = x + 1  x -2 }

Zapište tyto relace výčtem prvků a rozhodněte, zda se jedná o zobrazení. Pokud ano, určete přesně
jejich typ.

Dále určete výčtem prvků binární relace R S a  S^-1  a rozhodněte, zda jsou tyto relace zobrazení.



2. Je dána množina  M = {x, y, z}.

    Na této množině je definována binární algebraická operace  o následující tabulkou:

o

 x

  y

   z

x

 z

  x

   y

y

 x

  y

   z

z

 y

  z

   y


     Určete všechny vlastnosti této operace.

     Dále určete přesně typ  algebraické struktury (M, o).

     Svá tvrzení zdůvodněte.



3. Binární algebraické operace o  a  Ñ  v množině všech celých čísel C  jsou dány předpisy:

             a o b  =  a + b – 3                              a Ñ b  =   2.a.b


a)      Zjistěte vlastnosti operací o  a  Ñ v množině C.

b)      Pokud mají  operace vlastnosti EN a EI, zapište neutrální prvek  e  vzhledem ke každé z
obou operací  a určete inverzní prvky k číslům  7,  11  a  -3  vzhledem k operaci o  a  vzhledem k
operaci Ñ v množině C.

c)      Určete přesně typ algebraických  struktur  (C, o) a  (C, Ñ).



4. Jsou dány množiny  K = {a, b, c} a    L ={a, y}.

     a) Porovnejte kardinální čísla množin K, L a zdůvodněte výsledek (pomocí definice

         nerovnosti mezi kardinálními čísly).

     b) Vypočtěte  součet a součin kardinálních čísel množin K, L.



5. Napište číslo, které bezprostředně následuje po daném čísle v dané číselné soustavě (pokud

možno bez převodu do desítkové soustavy, abyste si procvičili počítaní po jedné v různých číselných
soustavách!!):

    a)   110111[2          ]   b)   123[4               ]c)   32288[9                   ]d)
2A3B[12                  ]e)   FFF[16]



6. Napište číslo, které bezprostředně předchází před daným číslem v dané číselné soustavě

    (pokud možno bez převodu do desítkové soustavy!):

     a)  322[4]            b)   1000[2]             c) 2000[5]         d) 450[6                ]e)
20[16]      f)  13BA[16]





7.  Vypočítejte a provádějte si zkoušky správnosti


     a)  4652[8] + 7454[8] =                                   b)    9A82[16  ]+ D5F[16 ] =


     c)  14352[7] - 6453[7] =                                d)    B71[12] – 1A3[12] =


     e)  3202[4] . 123[4] =                                      f)     5412[6] : 5[6] =



8. Číslo 94 zapište v číselné soustavě se základem z = 4 (procvičte si obě metody převodu).

    Dále proveďte přímé převody zápisu tohoto čísla ze soustavy čtyřkové do soustavy

    dvojkové a pak do šestnáctkové soustavy.



9. Trojciferné číslo zapsané v desítkové soustavě je zakončeno číslicí 5. Zaměníme-li mezi

     sebou číslice na místě stovek a jednotek, dostaneme nové číslo, které je o 396 menší než

     původní číslo. Určete původní číslo.


10. Jsou dána celá čísla   A = ,  B = .   Vypočítejte:

a) součet A + B

b) součin  A . B

c) rozdíly  A – B,   B – A.

Připomeňte si definici přirozeného uspořádání celých čísel a rozhodněte a zdůvodněte, které z čísel
A, B je větší než druhé.



11. Vypočítejte celé číslo  X =  z rovnice  A = X . B,   je-li   A = ,  B = .



12. Dokažte, že rovnice A.X = B nemá v množině celých čísel řešení pro A = , B = .



13.  Vypočtěte:       + a       pro  a = -5 ,  b = 4



14. Vypočtěte neúplný podíl q a zbytek z

             a)   při dělení čísla  a = 21       číslem  b = 4,

             b)   při dělení čísla  a = 21      číslem  b = -4,

             c)   při dělení čísla  a = -21     číslem  b =  4,

             d)   při dělení čísla  a = -21   číslem  b = -4,