Kartézský součin, binární relace, zobrazení.


1. Jsou dány množiny A =  {1,2,3,4}, B =  {x, y}.   Zapište kartézské součiny   A x B,  B x A,

    A x A,  B x B.


2. Kolik různých jmen (křestní jméno – příjmení) můžete utvořit z křestních jmen Eva, Jana,

    Hana a příjmení  Nová  a Holá. Zapište je.


3. Zapište množiny K, L, z nichž byly vytvořeny kartézské součiny:

a)      {[2,3] [4,3], [0,1], [2,1], [0,3], [4,1]}

b)      {[4,0] [4,3], [4,1], [4,2]}

c)      {[a,b] [b,a], [b,b], [a,a]}


4. Jsou dány množiny  A =  {a},  B =  {c,d,e},  C =  {e,f}.  Zjistěte, zda pro ně platí rovnosti:

a)      (A  B) x C = (A x C)  (B x C)

b)      A x (C  B)  = (A x C)  (B x C)


5. Kolik prvků mnohou mít množiny M a N, víte-li že kartézský součin M x N má 16

    uspořádaných dvojic?


6. Na množině M =  {0,1,2,3,4} jsou definovány binární relace  R, S, T, U, V, W. Zapište je

    výčtem prvků:

R = {[x,y]  M x M;  x > y}

S = {[x,y]  M x M;  x + y = 5}

T = {[x,y]  M x M;  x < y  x + y = 4}

U = {[x,y]  M x M;  x  je násobkem  y}

V = {[x,y]  M x M;  x = y}

W = {[x,y]  M x M;  x = y  x = 2.y}


7. Určete výčtem prvků relace inverzní  R^-1, S^-1, T^-1 a relace doplňkové R´, U´ k relacím R, S,

     T, U ze cvičení 6.


8. Určete vlastnosti binárních relací   R – W v množině M ze cvičení 6. Rozhodněte, zda je

     některá z těchto relací ekvivalence na množině nebo ostré lineární uspořádání na M.


9. Doplňte co nejméně uspořádaných dvojic do binární relace   R = {[2,2], [1,1], [4,4]

    [2,3] [3,2] [1,4],   …                      }  tak,  aby byla ekvivalencí na množině M =
{1,2,3,4}.

    Nakreslete si její uzlový graf.  Pak zapište rozklad množiny M určený  ekvivalencí R.


10. Je daná  množina M = {a, b, c} a její rozklady T[1 ]= {{a,c}, {b}} a  T[2 ]= {{a}, {b}, {c}}.

     Najděte k těmto rozkladům příslušné relace ekvivalence R[1   ]a [ ]R[2]  .


11. Uvažujte množinu L všech lidí v obci, v níž žijete. Které z následujících binárních relací

      jsou ekvivalence na množině L?  Jak tyto ekvivalence rozkládají množinu L?

S[1]  =  {[x,y]  L x L;  x  je v abecedě před y}

S[2]  =  {[x,y]  L x L;  x  je narozen ve stejném měsíci jako y}

S[3]  =  {[x,y]  L x L;  x  má stejnou matku jako y}

S[4]  =  {[x,y]  L x L;  x  je starší než y}

S[5]  =  {[x,y]  L x L;  x  bydlí ve stejném domě jako y}

     []

12. Jsou dány množiny  K = {1, 2, 3, 4, 5},  L ={k, l, m, n, o}.

      Zapište několik příkladů relací mezi množinami  K a L, která

a)      jsou prostým zobrazením množiny K na L

b)      jsou zobrazením K do L, které není prosté

c)      jsou zobrazením z množiny L do množiny K, které není prosté

d)      jsou prostým zobrazením z K do L

e)      jsou zobrazením v množině L

f)        nejsou zobrazením.


13. Zjistěte, zda se jedná o zobrazení:

      a) osová souměrnost v rovině

      b) měření úseček

      c) každý návštěvník divadla sedí nejvýše na jednom sedadle

      d) znázornění přirozených čísel na číselné ose