RNDr. Jiří HERMAN, Ph.D. PaedDr. Vítězslava CHRÁPAVÁ Mgr. Eva JANČOVIČOVÁ Doc. RNDr. Jaromír ŠIMŠA, CSc. Prima Sekunda Kvarta Matematika Kruhy a válce PROMETHEUS Jsou kružnice a kruh souměrné? Vime již, že kružnice je osově souměrný útvar. Každá přímka, která prochází Středem kružnice, je její osou souměrnosti. Stejně tak je i osou souměrnosti knihu, který je touto kružnicí ohraničen. Knižnice je také středově souměrná. Její střed je zároveň jejím středem souměrnosti. Totéž platí i o kruhu, který je touto kružnicí ohraničen. Nakonec ještě připomeneme, jak poznáme shodné kružnice: • Jsou-li dvě kružnice shodné, pak mají stejné poloměry. • Mají-li dvě kružnice stejné poloměry, jsou shodné. r». Narýsujte íi) tři shodné kružnice, které mají různé středy, li) tři růané kružnice, které mají týž střed. 0, Swtrojte kružnici fc(5;4cm). Narýsujte její ifl tmy nouinflnioull o\, 03 luk, Jihy každé dvě svíraly úhel 60°, PiíWčlky tm n kťtifliilcl |nmii vrcholy :.<■:;( iúliclníkii. ScHl.iojU' jeho strany h /.(IrtvodllíMu, Afl | • 1« < 11 pimidclný HťMtiúlicliLÍk, Ij. HcHl.iúheliilk, klciv lllrt >hmlni' v.....lili) nlifitn n nhudiié vltchny vnitřní uhly. 2 KRUŽNICE A PŘÍMKA V této kapitole prozkoumáme,, kolik společných bodů mohou mít přímka a kružnice ležící v jedné rovině a kdy jednotlivé případy nastanou. Jakou vzájemnou polohu může mít kružnice a přímka? Na obrázku je narýsována kružnice k a „daleko" od ní přímka p, Kružnice k a přímka p nemají žádný společný bod. Takové přímce říkáme vnější přímka kružnice k. Představme si, že tuto přímku začneme směrem ke kružnici „posouvat". Posouváme ji tak, že zůstává s původní přímkou rovno-I lěžná. V jednom okamžiku se přímka kružnice „dotkne". Znamená to, že má s kružnicí k jediný společný bod T. Taková přímka se nazývá tefina kružnice k. Bodu T říkáme bod dotyku přímky p a kružnice k. I '1 'Slinujme přímku p dále. Nyní má s kružni-cl /.' dva .společné body A, B. Takové přímce filiálne nečna kružnice k. Body A, B se nazývají průsečíky přímky p a kružnice k. Pii dalším posouvání dostaneme ještě jednu ternu a pak opět vnějňí přímky knižnici! k. UviVlunile m, /e pnihěli pokusu, kleiý JHine provin lěli...../.ávisí na l.oui, jaký •...........In puvndu! pl linku Podle vzájemné polohy přímky a kružnice rozeznáváme: • vnější přímku - nemá s kružnicí žádný společný bod • tečnu - má s kružnicí jediný společný bod - bod dotyku • sečnu - má s kružnicí dva společné body - prús Všechny tři různé vzájemné polohy si znovu prohlédněte na obrázcích do-pliirnýcli o symbolické zápisy: tečna sečna p n k = pnk = {A,B} Ve Itarif matematická literatuře se vnější přímky kružnice nazývají nesečny. I. Narýsujte kružnici Jfc(S;3cm) a sestrojte přímku p, která je vnější přímkou kružnice k, a přímku q, která je její sečnou. 2< /volte kružnici A; a v její vnější oblasti bod X. Sestrojte dvě různé přímky a. b, které procházejí bodem X a jsou a) sečnami kružnice k, b) vnějšími přímkami kružnice k. lni 11 i.l ii m h n n it o vzájemné poloze přímky a kružnice? Vraťme .se ještě jednou k pokusu s posouvali n n přímky. Jistě jste si všimli, že vzájemná poloha přímky a kružnice záleží na tom, jak „daleko" je přímka od kružnice umístěna, .lak |a možné tule» „vzdálenost." popsal.? Správně tulíte, že při tom hraje roli vzdálenost itfodu knižnice od posouvané pilníky. Prozkoumáme teď jinou situaci. Představme si, že v rovině je dána přímka p a bod 5, který na ní neleží. Kolem bodu S opíšeme kružnici o „malém" poloměru. Přímka p bude vnější přímkou této kružnice. Nyní začneme poloměr kružnice zvětšovat. Vidíme, že vzájemná poloha „zvětšované" kružnice a přímky p záleží na poloměru kružnice. Pozorování shrneme: Vzájemná poloha přímky p a kružnice k(S\ r) závisí |.ik na poloměru r, tak i na vzdálenosti středu 5 od přímky p. Mohou nastat tři případy: Přímka p je vnější přímkou kružnice k(S; r), pokud je vzdálenost v středu S od přímky p větší než poloměr r kružnice k: v > r Přímka p je tečnou kružnice fc(í>;r), pokud |r vzdálenost v středu S od přímky p rovna polomeni r kružnice k; v = r Přímka p je sečnou kružnice k(S: r), pokud |e v/.da.lrnosl. ti středu S od přímky p menší in poloměr r kružnice k: i i:i, .Ir dána knižnice 6cm) a přímka q. Určete vzájemnou polohu přím- m§ k.v ) 8cm, c) 6,5cm. I 14. Hod X je od přímky u v/.dáleu K,.r.cm. Jaká je vzáje.....a poloha přímky n a knižnicu k( X ; r), je li u) f - M.ľicin, h) r «6,6cm, c) P"9(6om? • 111K mi'nI i < 11 íl i ľi m i Ki i i/i m i-' Znázornime jeStí Jednou situaci, kdy prím ka ŕ je tečnou kružnice k(S\r). Označme T jejich bod dotyku. Všimněte si, že tečna / je kolmá k poloměru ST. Této vlastnosti využívame při konstrukci tečny kružnice, která prochází daným bodem na kružnici. Postup si prohlédněte na obrázcích. Zvolímo-li na kružnici k se středem S libovolný bod T, pak existuje jediná tečna t, která se kružnice k dotyká v bodě T. Sestrojíme ji jako kolmici vedenou bodem T k přímce ST. Naučili jsme se řešit nejjednodušší úlohu o tečně - vést ji daným bodem ležícím na kružnici. Obtížnější je sestrojit tečnu kružnice, která prochází bodem, který na kružnici neleží. Taková úloha má řešení, jen když daný bod leží ve vnější oblasti kružnice. Naučíme se to později. Příklad 1. Je dána kružnice k se středem S a její vnější přímka p. Sestrojte tečnu i kružnice k, která je s přímkou p rovnoběžná. Kolik takových tečen existuje? Řešení. Nejprve zjistíme, kde leží bod dotyku T hledané tečny. Víme, že poloměr ST musí být k tečně í kolmý Proto musí být kolmý i k přímce p, která je s tečnou t rovnoběžná. 16 lll.diuiv IhmI T tody loži im prlim oktorri |o kolmá k přímém p n prncliMM I....I.m S ľiuin/ľ přímku q jo Nofiiou knižnloo k, protlnŕi |l vr dvou bodooli /, h ľ, KxlstnJÍ tody a knihu K vyplul celou úsečku ;, l,i,i 11111 ■ 11 lnuly l, II /H iK Alt. Přímka p se nazývá určím knihu K u úsečka AB tětiva kruhu K. Častěji však Fikáme, Se úsečka AD je tětivou kružnice k. Již víte, že tětivu, která prochází středem kružnice, nazýváme průměrem. část kružnice spolu s úsečkou AB na první pohled připomíná luk. Zřejmě proto se název tětiva používá nejen pro část luku. ale i pro úsečku s krajními body na kružnici. Jaké vlastnosti má tětiva kružnice? Řekli jsme již, že tětiva kružnice k je každá úsečka XY, jejíž krajní body X, Y leží na kružnici k. Protože vzdálenosti obou bodů X a Y od středu S kružnice k jsou stejné (rovné poloměru kružnice), leží bod S na ose úsečky XY. TětÁva kružnice je každá úsečka, jejíž krajní body leží na této kružnici. Osa tětivy prochází středem kružnice. I 17, .Ink........|vělňl délku muže mil. lělivn knižnice A:(.S'; 4t:ill)7 H. Nu knižnici k\S\r) Jwiu dány čtyři body A, //, (' n I) Ink, že l.él.lvy .1// ii (7) jfioii sliodné. Dokažte, že úhly ASII a < 'SD jsou uhodne \ 1 i (nosí osy tětivy můžeme využit při výpočtu délky tětivy. Pflkhid 2. Sečna, s protíná knižnici k(S\ 2(icin) v hodech 4, B. Vzdnleuoil bodu >V hou mí! kru/ nice a přímka, které leží ve stejné rovině. Nyní bude.....podobnou otázku zkoumat pro dvě kružnice. Jakou vzájemnou polohu mohou mít dvě kružnice? Vystřihněte si z papíru dva kruhy s různými poloměry a špendlíkem vyznačte jejich středy. Oba kruhy budeme přemísťovat v rovině a přitom zkoumat, jakou polohu zaujímají kružnice, které je ohraničují. Kruh s větším poloměrem označíme «x( r2, nemají obě kružnice žádný společný bod: ki n k2 = 0. Nyní kruh K2 posouvejme vodorovně doprava. Zpočátku kruh K2 zůstává v kruhu Ki a kružnice k\ a k2 nemají žádný společný bod: h\ n k2 = 0. Kružnice k2 leží ve vnitřní oblasti kružnice k\. Posunujme kruh K2 dále. V jistém okamžiku (viz obrázek) budou mít kružnice k\ a k2 jediný společný bod T: kj n k2 = {T}. Bod T se nazývá bod dotyku kružnic ki a k2. Říkáme, že kružnice k\ a k2 mají v bodě T vnitřní dotyk. Všimněte si také, že přímka /, která prochází bodem dotyku T a je kolmá k přímce SjS2, je společnou tečnou obou kružnic. K2\ 1 i 1 T ŕ ľn il.il.iliii pimiiiivniil knihu K| I>n don nill knižnice A| m k,, po Jím hni dobu společné dvii body A, li k i i i kj, [ A, II]. Híkame, ze Ne krul nice k\ n k,> protínají v hodech .1, /( Ty sg nazývají průsečíky obou krul nic, .leště v jednom dalším okamžiku l"i don mít obě kružnice jediný společný bod T\ k\ n k2 = {'/'}. 'i'cn se np. i jmenuje bod dotyku obou li....... Nyní však říkáme, že kružnice k\ I / . mají v bodě T vnější dotyk, ľ..... ka í je společnou tečnou obou knižnic v bodě T. Při dalším posouvání kruhu K., u • ne budou mít kružnice k\ a. k-> žádný spo léčný bod: k\ n k2 = 0. V tomto při padě kružnice k2 leží ve vnější oblfl 11 kružnice k\. ľ blil jame, že dvě kružnice buď nemají žádný společný bod, nebo map privl |eden společný bod (pokud se dotýkají), nebo dva společné bodj pokud se protínají). Může nastat ještě jiná situace? \ m i, avfiak pokusem s dvěma kruhy s různými poloměry ji neobjevíme. Nastává tehdy, pokud obě kružnice ki{S\\r{) a k%{S2\r2) JNou soustředné {S\ = S2) a jejich poloměry jsou stejné (n = r2). Tehdy jsou obě" kružnice stejné množiny bodů. Mají tedy nekonečně mnoho společných bodů. Říkáme, že takové kružnice jsou totožné. K, Y 20 1. Narysujte dvě soustředné kružnice lľ a l2 takové, aby kružnice h měla třikrát větší poloměr než kružnice l2. 2. Podle obrázku určete vzájemnou polohu kružnic: a) k\ a k2 b) fci a k3 c) ki a k$ d) k,2 a k$ e) k2 a k4 f) &3 a fc4 í f ) li 1 1 1 r 3 A 4 Na čem závisí vzájemná poloha dvou kružnic? Při pokusu s dvěma kruhy jste si jistě všimli, že vzájemná poloha dvou kružnic ki(Si]r\) a foC-SaV^) závisí nejen na poloměrech rj a r2, ale také na vzdálenosti středů 5i a Sg. Prozkoumáme nyní jednotlivé případy vzájemné polohy podrobněji. Nebude nás už zajímat případ soustředných knižnic (S] = S2). V dalších úvahách tedy budou mít kružnice k\, k2 různé středy (5j ŕ S2). I 'Hečka S] S2 se nazývá středná kružnic fci, k2 (nebo kruhů Ki, K2). Stejný název používáme i pro délku |Si-í?2| této úsečky, kterou značíme s. I 'odol mé jako v pokusu s vystřiženými kruhy budeme předpokládat, že platí ''i • >'■>. • Kružnice h> leží ve vnitřní oblasti kružnice k\. Na obrázku jsou vyznačeny úsečky délek n, r2 a 8. Vidíme, že ÚHCČka délky » I 'V JO Částí Úsečky délky ľ|. PrOtO pUtl * I /•■; < ľ\. .leslliže „osamostatníme" délku m, (llMtlUl....... Knižnice k2 má s kružnicí k\ vnitřní dotyk Z obrázku vyplývá podmínka vnitřního dotyku kružnic s + r% = 7*1, neboli: s - ri - r2 Knižnice k\ a k2 se protínají. Na obrázku protínajících se kružnic vyznačíme poloměry „směřující" do jednoho ze společných bodů. Zapišme dvě trojúhelníkové nerovnosti pro trojúhelník S\S2A: s < n +r2, Ti < s + r2, tzn. ri — r2 < s. Pro střednou s tedy platí: t\ — r2 < s < n + r» K 1 u/nice k2 má s kružnicí k± vnější dotyk. Úsečka SiS2 je nyní bodem dotyku rozdělena na poloměry obou kružnic: s = ri + r2 • KrtlŽnlce k2 leží ve vnější oblasti kružnice fci. A, V l.omlo případě se úsečka SiS2 „skládá" z obou poloměrů a „zbytku": 4 > n 1 ra _ Vňcchny případy v/iijrinné polohy ,,•.!,:>..f/,| Vitu, I",!*,! i,.1..... Ury, rýsování určete, jakou vzájemnou polohu maji loilfthlin: a) /i u k l>) 'a a h <) U a /;) fi |# dána knižnice m(M; 5 cm) a bod O tak, že |A/0| Lem. Proktwroti hod mil n /■ (v centimetrech) n) inu kružnice o(G;r) s kružnicí m vnitřní dotyk, li) le/l kru/nice o(0;r) ve vnitřní oblasti knižnice m, i ) Mi- knižnice o(0;r) a ?n protínají'.'' ll ľo|>ľ.ir vňeehny možné vzájemné polohy dvou shodných kin.nn A|(.S'i; »•), k'2(S'2;r) v závislosti na délce s středné S1S2. (V připniIč "'i Sj klademe .s = 0.) CVIČENI 1 I, N.ľ 1i tlftte dvě protínající se kružnice a zvolte 11 různých bodů lak, aby ■ \ minii oblasti každé z kružnic leželo právě 7 z těchto bodů, n .ujl.e kruh se středem S a jeho dva kolmé průměry AU a. < 'i> Vyznačte 11 bod L, který je vnitřním bodem kruhu i vnitřním bodem úhlu AS< '. I>) bod M, který náleží kružnici, která kruh ohraničuje, a je vniti.....i bodem úhlu BSC, c) bod N, který je vnitřním bodem kruhu a náleží jak úhlu ASI K bal úhlu BSD. :i. Na kolik částí rozdělí kruh dvě rovnoběžné sečny? Na kolik částí ho rozdělí 3, 4 a n rovnoběžných sečen? (Předpokládejte, že žádné dví sečny nejsou totožné.) 4. Narýsujte kružnici fe(5;3cm) a bod Q takový, že \SQ\ =5 cm. Průsečík úsečky SQ a kružnice k označte P. Sestrojte tři rovnoběžné přímky p, q a s tak, aby bod S ležel na přímce s, přímka p byla tečnou kružnice k s bodem dotyku P a přímka q procházela bodem Q. Určete vzájemnou polohu kružnice k a každé z těchto tří přímek. 25