SZ_9005  Soubor úloh


1. Kolik litrů 60 % a kolik litrů 80 % lihu je možno vyrobit ze 100 litrů 90 % lihu a 35 litrů
čisté vody?

2. Upravte výraz:    :

3. Dva mnohoúhelníky mají dohromady 24 stran a 109 úhlopříček. Kolik vrcholů má každý z nich?

4. Geometrický průměr dvou čísel, z nichž jedno je o 16 větší než druhé, je o dvě menší než jejich
aritmetický průměr. Která jsou to čísla?

5. Řešte v oboru C reciprokou rovnici: x^5 - x^4 - x +1 = 0

6. Tři čísla, která tvoří aritmetickou posloupnost, mají součet 30. Odečteme-li od prvního 5, od
druhého 4 a třetí ponecháme, dostaneme geometrickou posloupnost. Určete ji i původní tři čísla.

7. Z vrcholu rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníka je spuštěna kolmice na přeponu, z její paty
kolmice na odvěsnu, odtud opět na přeponu atd. Určete délku vzniklé nekonečné lomené čáry, má-li
odvěsna trojúhelníka délku a.

8. Dokažte, že součet třetích mocnin tří po sobě jdoucích přirozených čísel je dělitelný devíti.

9. Kolik je třeba vzít prvků, aby počet variací třetí třídy z nich utvořený bez opakování byl právě
tak veliký jako počet kombinací třetí třídy bez opakování zvětšený o pětinásobný počet prvků?

10. Užitím Moivreovy věty vyjádřete funkcemi jednoduchého argumentu: sin 3x, cos 3x.

11. Nádrž na vodu tvaru kvádru má mít čtvercové dno a objem 256 m^3. Vypočtěte její rozměry tak,
aby spotřeba materiálu na vyzdění stěn a dna nádrže byla nejmenší.

12. Jak velký je objem tělesa vzniklého otáčením oblouku křivky y = sin x v intervalu (0, p) kolem
osy x?

13. Sestrojte rovnostranný trojúhelník, je-li dána jeho kružnice vepsaná a bod M na jedné jeho
straně.

14. Nad stranami AB a AC ostroúhlého trojúhelníka ABC sestrojte čtverce ABQR a ACST, které leží vně
trojúhelníka ABC. Dokažte, že platí CR = BT.

15. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a, t[a] , t[b ].

16. Kružnici je opsán a vepsán pravidelný šestiúhelník. Rozdíl jejich obsahů je 8  . Určete poloměr
kružnice.

17. Nalejeme-li do nádoby tvaru polokoule 2 litry vody, naplní se do výšky 6 cm. Určete poloměr
polokoule.

18. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů v trojúhelníku o stranách 79 mm, 58 mm, 37 mm.

19. Určete vrcholy a vnitřní úhly trojúhelníku, jehož strany mají rovnice x + 7y + 11 = 0,

x - 3y - 1 = 0, 3x + y - 7 = 0.

20. Jaký úhel svírají křivky  8x^2 + 9y^2 = 72, y^2 = 4x ?