12
III. METODY MĚŘENÍ A ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÍ
Způsob, jímž se provádí fyzikální měření, závisí jednak na povaze měřené veličiny, jednak
na tom, ze kterých vztahů pro měřenou veličinu vyjdeme a jakých přístrojů použijeme.
Všechny měřicí metody se dělí na:
1. absolutní měřicí metody,
2. srovnávací měřicí metody.
ad 1) Absolutní měřicí metody vycházejí z definice měřené veličiny, která se určí výpočtem
ze známých základních fyzikálních veličin. Používají se k měření základních veličin.
ad 2) Hodnota měřené veličiny se srovnává se známou hodnotou veličiny téhož druhu nebo
veličiny jiného druhu, jež je známou funkcí měřené veličiny. Sem patří všechny měřicí
metody kromě metod absolutních. Srovnávací metody dále dělíme na výchylkové, nulové,
koincidenční a speciální.
Podle způsobu určení měřené veličiny lze měření rozdělit na:
měření přímá - hodnotu měřené veličiny získáváme přímo, aniž by bylo nutno dodatečně
provádět výpočty založené na funkční závislosti dané veličiny na jiných známých veličinách;
např. určení velikosti proudu z údaje ampérmetru,
měření nepřímá - hodnota měřené veličiny se určuje pomocí přímých měření veličin jiného
druhu, které jsou s měřenou veličinou vázány známými vztahy; např. měření odporu pomocí
Ohmova zákona,
měření kombinační - hodnoty určitého počtu měřených veličin stanovíme z různých kombinací
výsledků měření přímých nebo nepřímých řešením soustavy rovnic; např. měření teplotních
součinitelů odporů.
V dalším popíšeme dvě měřicí metody, používané při měření úloh uvedených v těchto
skriptech.
1. METODY MĚŘENÍ
a) Metoda kompenzační
Podstatou metody je, že měřenou veličinu kompenzujeme (vyrovnáváme) veličinou téhož
druhu, stejné a známé velikosti, ale opačného znaménka tak, aby se oba účinky vyrovnaly
a nastala rovnováha.
Metoda bývá velmi často uspořádána tak, že po vykompenzování měřicí přístroj ukazuje
nulovou výchylku. Má to tu výhodu, že nemusíme znát příslušné hodnoty na stupnici přístroje
a nezáleží na přesnosti stupnice. Stačí, když přístroj dosti přesně ukazuje nulovou polohu.
Takovou metodou je vlastně vážení na analytických vahách, kdy silový moment tělesa
kompenzujeme momentem závaží, kompenzační metoda měření elektromotorického napětí a
mnohé další.
b) Metoda omezovací
Pro měření času u periodických dějů, které se opakují ve velkém počtu a pro něž je jedna
perioda delší než dvojnásobek odhadu chyby jednoho měření, můžeme použít omezovací
metodu, kterou lze za uvedených předpokladů dosáhnout libovolné relativní přesnosti. Postup
vyložíme na příkladu měření doby kyvu reverzního kyvadla.
13
Změříme stopkami např. dobu deseti kyvů:
10 τ = 12,2 s.
Víme-li teď, že tato doba je zaručena uvnitř mezí ± 0,2 s (což je přesnost jednoho měření
stopkami), můžeme zapsat:
12,0 s < 10 τ < 12,4 s.
Pro 20 kyvů bude tedy
24,0 s < 20 τ < 24,8 s.
Tyto meze jsou užší, než doba jednoho kyvu. Stačí tedy spustit stopky na začátku libovolného
kyvu a bez počítání kyvů je zastavit při ukončení kyvu po 24,0 sekundách. Na stopkách přečteme
hodnotu, např. 24,4 s. Tím se zúží meze pro 20 kyvů a bude
24,2 s < 20 τ < 24,6 s.
Z toho pak pro 50 kyvů
60,5 s < 50 τ < 61,5 s.
Rozdíl mezí je opět menší než doba jednoho kyvu, takže zastavením stopek po 60,5 sekundách
dostaneme zase přesnější určení doby 50 kyvů. Určili jsme 61,2 s. Tím se zúží meze pro
50 kyvů a bude
61,0 s < 50 τ < 61,4 s.
Pro 100 kyvů bude tedy
122,0 s < 100 τ < 122,8 s.
Rozdíl mezí je opět menší než doba jednoho kyvu, stačí tedy spustit stopky na začátku libovolného
kyvu a bez počítání kyvů je zastavit při ukončení kyvu po 122,0 sekundách.
Ukončíme-li teď měření, je údaj 100 τ = 122,4 s zaručen uvnitř mezí ± 0,2 s:
122,2 s < 100 τ < 122,6 s.
Z toho pro dobu jednoho kyvu platí:
1,222 s < τ < 1,226 s,
neboli
τ = (1,224 ± 0,002) s.
Výhodou metody je, že můžeme určit dobu velkého počtu opakovaných dějů bez jejich
přesného počítání. Podstatnou podmínkou použití této metody ovšem je, abychom volili jen
takový násobek, aby rozdíl mezí násobku byl menší než velikost měřeného intervalu.
2. METODY ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÍ
a) Interpolace
je početní postup, kterým můžeme určit velikost měřené veličiny x, odpovídající dané
výchylce y měřicího přístroje, zjistíme-li dvě výchylky y1, y2 , odpovídající dvěma známým
hodnotám x1, x2 téže veličiny tak, aby platilo y1 < y < y2. V malém rozmezí výchylek lze závislost
výchylky y na měřené veličině x pokládat za lineární a musí tedy platit:
y1 = a x1 + b , y2 = a x2 + b (1)
a taky
y = a x + b. (2)
14
Vyloučením konstant a, b obdržíme pro velikost měřené veličiny interpolační vztah:
( )1
1 2 1
2 1
y y
x x x x
y y
−
= + −
−
. (3)
Tento postup se nazývá lineární interpolace a je znázorněn na obr. 1.
Lineární interpolaci budeme používat při
vážení na tlumených analytických vahách. Protože
je pracné vyvážit předmět závažím přesně do
výchylky nezatížených vah (≈ y), vyvážíme
předmět nějakým závažím (≈ x1) do výchylky na
stupnici (≈ y1 ≠ y) a přidáme (nebo ubereme) malý
přívažek (≈ ∆x) tak, aby nové závaží (≈ x2 = x1
± ∆x) způsobilo výchylku (≈ y2) na druhé straně
stupnice. Hmotnost váženého předmětu (závaží x,
odpovídající výchylce y ) určíme pak interpolací
ze vztahu (3).
Další interpolační metodou, kterou budeme
používat, je interpolace grafická. Zjišťujeme závislost výchylky měřicího přístroje (nebo
odpovídající fyzikální veličiny) na měřené veličině pro řadu známých hodnot měřené veličiny.
Tuto závislost (nemusí být lineární!) vyneseme do grafu a body proložíme křivkou. Velikost
měřené veličiny odpovídající zjištěné výchylce potom odečítáme z grafu. Nutnou podmínkou
je dodržení zásad pro konstrukci grafu (viz článek 3, kapitola III).
b) Metoda skupinová
Patří mezi metody, jimiž provádíme vyrovnání naměřených hodnot. Obvykle se používá
ke stanovení parametrů, obsažených ve funkční závislosti dvou měřených veličin.
Dosadíme naměřené hodnoty obou veličin do předpokládaného vztahu. Vzniklé rovnice
rozdělíme na tolik skupin, kolik je neznámých parametrů. V každé skupině sečteme všechny
rovnice a vydělíme jejich počtem. Obdržíme soustavu tolika rovnic, kolik parametrů hledáme
a jejím řešením dostaneme přibližně hodnoty hledaných parametrů.
Postup ukážeme na příkladu lineární funkce. Máme n dvojic naměřených hodnot veličin
x, y a víme, že nebude obecně platit současně všech n rovnic
yi = a xi + b, i = 1, 2, ..., n. (4)
Dvojice odpovídajících naměřených hodnot xi, yi seřadíme podle velikosti veličiny x a rozdělíme
na dvě skupiny I a II o nI a nII měřeních, i = 1, 2, ..., nI; nI + 1, ... , nI + nII = n, pro
n sudé je nI = nII, pro n liché nI = nII + 1. Sečteme rovnice (4) v obou skupinách a vydělíme
jejich počtem. Označíme-li průměry naměřených hodnot v obou skupinách:
I I I
I I
I II I II
1 1 1 1I II I II
1 1 1 1
; ; ;
n n nn
i i i i
i i n i i n
x x x x y y y y
n n n n= = + = = +
= = = =∑ ∑ ∑ ∑ , (5a)
dostaneme pro přibližné hodnoty a0, b0 konstant a, b dvě rovnice:
I 0 I 0 II 0 II 0;y a x b y a x b= + = + , (5b)
jejichž řešením obdržíme:
II I I II II I
0 0
II I II I
;
y y y x y x
a b
x x x x
− −
= =
− −
. (6)
y2
y
y1
x1 x x2
Obr. 1 Lineární interpolace
15
Zbývá rozhodnout otázku přesnosti určení konstant a0, b0 . Dosadíme je do odchylkových
rovnic
0 0i i ia x b y∆ = + − (7)
a vypočteme střední kvadratické chyby jednoho měření yi v každé skupině
( ) ( )
2 2
(I) (II)
I II
I II
;
1 1
i i
s s
n n
∆ ∆
= =
− −
∑ ∑
. (8)
Aby nejistota určení konstant a0, b0 byla nejmenší, musí platit I IIs s≅ . Nejsou-li tyto hodnoty
alespoň přibližně stejné, posuneme rozhraní obou skupin tak, aby pokud možno počet měření
v I. skupině nI a počet měření v II. skupině nII byl v poměru příslušných směrodatných odchylek
nI : nII = sI : sII.
Pro nejistoty konstant a0, b0 můžeme pak odvodit vztahy:
0
2 2
I II
II I I II
1
;a
s s
u
x x n n
= +
−
0
2 2
2 2I II
II I
II I I II
1
b
s s
u x x
x x n n
= +
−
. (9)
V případě, že v lineárním vztahu dvou veličin určujeme pouze jednu konstantu a0 (b0 = 0),
stačí sečíst všechny hodnoty závisle proměnné y a vydělit součtem všech hodnot nezávisle
proměnné x:
1
0
1
n
i
i
n
i
i
y
a
x
=
=
=
∑
∑
. (10)
c) Metoda postupná
Tato metoda je vhodná pro měření, která se vícekrát opakují a kde konečná hodnota
jednoho měření je počáteční hodnotou měření následujícího. Její princip spočívá v početním
zpracování naměřených údajů. Používá se obecně v těch případech, kdy měření postupuje po
stejných hodnotách měřené veličiny a naměřené hodnoty tvoří přibližně aritmetickou posloupnost.
Tak je tomu u periodických časových měření nebo při stanovení vlnové délky stojatého
vlnění v rezonátoru.
Máme tedy n naměřených hodnot x1
, x2
, ..., xn a velikosti měřené veličiny y odpovídá rozdíl
dvou po sobě jdoucích hodnot xi a yi = xi+1
- xi, kde i = 1, 2, ..., n-1. Kdybychom za nejsprávnější
hodnotu veličiny y vzali aritmetický průměr hodnot yi (jak to děláme v případě
opakovaných měření), dostaneme hodnotu průměru
( ) ( ) ( ) 1
2 1 3 2 1
1
...
1 1
n
n n
x x
y x x x x x x
n n
−
−
= − + − + + − =  − −
, (11)
jež je nezávislá na všech ostatních naměřených hodnotách kromě první a poslední.
Přesnější výsledek získáme, rozdělíme-li po sobě jdoucí naměřené hodnoty na dvě poloviny
(počet naměřených hodnot n musí být tedy sudý!) a utvoříme rozdíly prvních, druhých
16
až posledních měření v obou skupinách. Je-li v každé polovině m = n/2 hodnot, udává každý
z těchto rozdílů Yi = xm + i
- xi , i = 1, 2, ..., m m-násobnou hodnotu měřené veličiny y.
Zpracujeme-li teď veličiny Yi statisticky, dostaneme:
( )
( )
2
1
1
1
;
1
m
im
i
i Y
i
Y Y
Y Y u
m m m
=
=
−
= =
−
∑
∑ , (12)
kde je stejnoměrně využito všech naměřených hodnot. Pro střední hodnotu měřené veličiny y
pak bude platit:
1 1
; y Y
y Y u u
m m
= = . (13)
Protože nejistota veličiny y (viz kap. IV), stanovená z průměru (11), je řádově stejná jako Y
u ,
lze postupnou metodou stanovit přesnější výsledek měření, jak je patrno ze vztahu (13). Uvedený
postup ilustrujeme na příkladu měření vlnové délky stojatého vlnění v rezonátoru (Tabulka
č.1)
Tabulka č. 1.
A B C
i xi x5+i
5
2
i
iY
λ
=
(∆Yi) (∆Yi)2
2
i
iy
λ
=
(∆yi) (∆yi)2
i
(cm) (cm) (cm) (cm) (cm)2
(cm) (cm) (cm)2
1 4,3 53,6 49,3 -0,04 0,16·10-2
9,5 -0,31 9,61·10-2
1
2 13,8 63,5 49,7 0,36 12,96·10-2
9,9 0,09 0,81·10-2
2
3 23,7 73,3 49,6 0,26 6,76·10-2
10,1 0,29 8,41·10-2
3
4 33,8 82,5 48,7 -0,64 40,96·10-2
9,4 0,41 16,81·10-2
4
5 43,2 92,6 49,4 0,06 0,36·10-2
10,4 0,59 34,81·10-2
5
6 53,6 9,9 0,09 0,81·10-2
6
7 63,5 9,8 -0,01 0,01·10-2
7
8 73,3 9,2 -0,61 37,21·10-2
8
9 82,5
10 92,6
10,1 0,29 8,41·10-2
9
Σ= 246,7 61,2·10-2
88,3 116,90·10-2
( )
49,34 cm, 0,175 cm
19,74 cm, 0,07 cm
19,74 0,07 cm
YY u
uλλ
λ
= =
= =
= ± ( )
9,81cm, 0,13 cm
19,62 cm, 0,26 cm
19,6 0,3 cm
yy u
uλλ
λ
= =
= =
= ±
V části A tabulky jsou uvedeny naměřené hodnoty; rozdíl po sobě jdoucích hodnot odpovídá
délce půlvlny λi/2. Naměřené hodnoty jsou rozděleny na dvě poloviny, zapsané vedle sebe.
V části B jsou tyto hodnoty zpracovány postupnou metodou a v části C pro srovnání postupem
(viz rovnice (11)).
17
d) Zprostředkující měření - metoda nejmenších čtverců
U těchto měření půjde o zjištění nejpravděpodobnějších hodnot několika fyzikálních veličin
nebo konstant fyzikálních zákonů, jejichž souvislost s měřenými veličinami může být
dána různým způsobem, a které vedle toho mají někdy splňovat jisté podmínky. Vyjádříme-li
souvislost mezi měřenými a hledanými veličinami matematickým vztahem a dosadíme-li do
tohoto vztahu naměřené hodnoty, dostaneme tzv. určující rovnice. Počet určujících rovnic je
vždy větší než počet neznámých, a protože měření je zatíženo nejistotami, neexistují takové
hodnoty hledaných veličin, které by splňovaly všechny určující rovnice současně. Hledáme
proto nejpravděpodobnější hodnoty stanovovaných veličin. Řešení podobných úloh se nazývá
vyrovnávání měření a je založeno na metodě nejmenších čtverců.
Princip vyrovnání měření metodou nejmenších čtverců objasníme na následujícím pří-
kladu:
Provedli jsme n měření veličin x a y tak, že hodnotě xi odpovídá hodnota yi (i = 1, 2, ..., n);
(x může být např. teplota a y některá veličina, závislá na teplotě; yi pak značí hodnotu, kterou
dostaneme měřením y při dané teplotě x = xi). Předpokládáme, že mezi veličinami x a y
platí funkční vztah
y = a x + b, (14)
počet měření n > 2 a máme určit nejpravděpodobnější hodnoty konstant a, b. Kdyby při
měření nevznikaly chyby, platilo by pro jedinou dvojici konstant a, b a pro všechna měření
přesně yi = a xi + b a všechny body (xi, yi) by ležely na přímce dané rovnicí (14). Ve skutečnosti
platí yi = a xi + b + nejistota. Body (xi, yi) jsou kolem přímky y = a x + b rozptýleny.
Měření yi pak můžeme vyjádřit rovnicí
yi = a xi + b + ui, i = 1, 2, ..., n, (15)
kde u1, u2, ..., un jsou nejistoty měření, které považujeme za náhodné veličiny.
Rovnice (15) jsou určující rovnice a úlohou je proložit body (x1
, y1
), (x2
, y2
), ..., (xn, yn)
přímku, tj. určit konstanty a, b tak, aby přímka co nejlépe přiléhala k empirickým bodům
(xi, yi). Konstanty, které tuto podmínku splňují, označíme a*
, b*
a jejich určení závisí na tom,
jaké zvolíme kritérium pro "přiléhavost přímky k bodům".
Metoda nejmenších čtverců požaduje, aby součet čtverců rozdílů ∆yi = * *
i iy a x b− − byl
nejmenší:
( )
2* *
1
n
i i
i
S y a x b
=
= − −∑ . (16)
Podmínky extrému
*
0
S
a
∂
=
∂ *
0
S
b
∂
=
∂
(17)
představují tzv. normální rovnice, které po provedení naznačených parciálních derivací
a úpravě zapíšeme ve tvaru
* 2 *
1 1 ´ 1
n n n
i i i i
i i i
a x b x x y
= = =
+ =∑ ∑ ∑
* *
1 1
n n
i i
i i
a x b n y
= =
+ =∑ ∑ (18)
18
Řešením rovnic (18) dostaneme pro daný počet experimentálních bodů (xi, yi) nejpravděpodobnější
hodnoty konstant a*
, b*
:
∑ ∑
∑∑






−












−Σ
=•
i i
ii
i
ii
i
iii
xxn
yxxyxn
a 2
2
∑ ∑
∑∑∑∑






−












−











=∗
i i
ii
i
ii
i
i
i
i
i
i
xxn
yxxyx
b 2
2
2
. (19)
Veličina S ve vztahu (16) se nazývá chybový součet čtverců. Pomocí ní vypočteme střední
odchylku jednoho měření yi:
pn
S
s
−
= , (20)
kde p představuje počet stanovovaných veličin (konstant), v našem případě p = 2. Výraz n-p
je počet stupňů volnosti. Pro standardní nejistoty konstant a, b, můžeme odvodit vztahy:
∑ ∑ 





−
=
i i
ii
a
xxn
n
su 2
2
,
∑ ∑
∑






−
=
i i
ii
i
i
b
xxn
x
su 2
2
2
. (21)
• Poznámka :
Není-li mezi měřenými veličinami lineární vztah, lze někdy vhodnou substitucí jejich souvislost "linearizovat"
a pak použít vyrovnání měření pro tyto nové proměnné, např. :
Y = a log X + b, X´ = log X Y = a X´ + b ;
Y = a Xn
+ b, X´ = Xn
y = a X´ + b ;
Y = eaX
+ b, Y´ = ln Y Y´ = a X + b ; apod.
3. GRAFICKÉ ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ
Grafické zpracování výsledků měření jednoduchým způsobem poskytuje názornou
představu o provedeném měření závislosti dvou fyzikálních veličin.
Při měření závislosti y = f (x) obdržíme n bodů (xi, yi), které slouží ke konstrukci grafu
a svým rozložením naznačují průběh křivky. Často můžeme předpokládat plynulý průběh
jevu a tím i spojitou změnu parametrů fyzikální soustavy. V praxi však často pozorujeme při
konstrukci grafu určitý rozptyl bodů získaných měřením. Proto každou závislost, která má
zřejmě plynulý průběh, znázorníme jednoduchou hladkou křivkou. Křivku nevedeme přímo
19
naměřenými body (výjimkou je korekční křivka, která je tvořena lomenou čarou), ale mezi
body tak, aby algebraický součet odchylek jednotlivých bodů od křivky byl roven 0.
Pokud se stane, že jedna nebo více naměřených hodnot jsou zatíženy chybou, která přesahuje
možnou nejistotu měření, a je-li v daném oboru vyloučena náhlá změna průběhu sledované
závislosti, lze tyto odchylky vysvětlit pouze hrubou chybou. Takové body z grafu vynecháme,
případně, zjistíme-li hrubou chybu již v průběhu měření, v těchto bodech měření
opakujeme.
Hlavní zásady grafického zobrazení.
1. K sestrojení grafů použijte buď milimetrový, logaritmický či semilogaritmický papír nebo
využijte možnosti počítačového zpracování.
2. Pokud grafy kreslíte tužkou, použijte pravítko a křivítko. Čáry a křivky nikdy nekreslete
od ruky!
3. Základem grafu jsou souřadné osy. Na každou osu vyneste vhodně zvolenou rovnoměrnou
stupnici, zahrnující rozsah naměřených hodnot. Měřítko volte takové, aby nejistota odečítání
z grafu byla menší, než nejistota určení znázorňované veličiny. Dílky stupnic vyznačte
krátkými kolmými ryskami, k nimž připojíte číselný údaj vně os. Osy popište symboly
příslušných veličin a jejich jednotkami.
4. Při kreslení grafu y = f (x) hodnoty nezávisle proměnné vynášejte zásadně na osu x, hodnoty
závisle proměnné na osu y. Souřadnice bodů odpovídajících naměřeným hodnotám
na osách ani v grafu nevyznačujte!
5. Zakreslete všechny body, z nichž je graf konstruován, a to křížkem, kroužkem apod. Těmito
body pak proložte plynulou křivku tak, aby procházela co nejblíže jednotlivých bo-
dů.
6. Graf musí mít v záhlaví nadpis, vyjadřující, jaká závislost je grafem zobrazena.
7. Zásady uvedené v bodech 3 až 6 dodržujte i v případě, že graf konstruujete na počítači.
Vzorový graf je uveden na obr. 2.
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0 5 10 15 20 25 U (V)
I (A)
Obr. 2. Závislost proudu na napětí při regulaci potenciometrem (RZ → ∞)
I = f (U)