Co je úkolem učitelů geometrie na základních školách? Jak stará geometrie je a co do ní patří? Mgr. Leni Lvovská, Ph.D., Mgr. Jitka Panáčová, Ph.D. / Katedra matematiky 1 Co je úkolem učitelů na základních školách? §Vytvořit u žáků kvalitní základy geometrických znalostí §Podněcovat abstraktní geometrické myšlení žáků takovým způsobem, aby žáci byli schopni je sami nadále rozvíjet v oblastech, které si sami zvolí §Tento předmět je koncipován tak, aby si budoucí učitelé vytvořili nadhled a sledovali propojení geometrie s dalšími oblastmi matematiky a ostatních disciplín § § Mgr. Leni Lvovská, Ph.D., Mgr. Jitka Panáčová, Ph.D. / Katedra matematiky 2 Definujte zápatí - název prezentace / pracoviště 3 Jak stará geometrie je a co do ní patří? Co je geometrie a co do ní patří? §Vše, co dokumentuje pochopení a využití tvarů §Všude kolem nás je přítomen jistý prvek geometrické abstrakce §Geometrická abstrakce se promítá do všech dalších matematických i nematematických disciplín §Geometrické myšlení je příznačné po tisíce let § § Mgr. Leni Lvovská, Ph.D., Mgr. Jitka Panáčová, Ph.D. / Katedra matematiky 4 Geometrie 1 §Opakování a upřesnění geometrických pojmů, se kterými jsme se setkali na ZŠ a SŠ §Přiblížení podstaty axiomatické výstavby geometrie, především vytváření nových pojmů pomocí pojmů dříve zavedených §Naznačeny otázky, které souvisí s axiomatickou výstavbou geometrie § § Mgr. Leni Lvovská, Ph.D., Mgr. Jitka Panáčová, Ph.D. / Katedra matematiky 5 Motivační úloha §Úloha 1 : Ve staré Babylónii potřebovala moudrá královna získat pozemek od loupeživého kupce. Navrhla množství zlata, které mu dá za pozemek ohraničený kůží z jeho největšího vola, do které udělá otvor. Kupec se usmíval pod vousy, neboť si představil plochu o obsahu kůže z jeho vola a hromada zlata přišla mu dvojnásobná za libovolně velký pozemek vymezený kůží. Když ho ale královna přivedla k pozemku, zblednul. Jakým způsobem moudrá královna udělala otvor v kůži a obvod pozemku vytyčila? 7 Analogické zadání: Prolezu otvorem v pohlednici? Motivační úlohy §Úloha 2 : §V království měli dva různě velké čtverce vzácné zlaté látky. Potřebovali udělat nový královský trůn, kterým bude tato látka pokrytá. Jak velký nový čtverec mohou udělat z těchto dvou čtverců, aby látka nezbyla? §Uvažujte např. čtverce o stranách 30cm a 40cm. § §A jakým způsobem má švadlena látku rozstříhat? § 9 § Historické úlohy 10 Historické úlohy 11 Různé metody zkoumání geometrie §Úvodem si uvědomíme, že geometrie je dnes rozsáhlý vědní obor. Geometrické objekty a prostory, jejich vlastnosti a vzájemné vztahy můžeme zkoumat různými metodami. §Syntetická geometrie - axiomatický přístup § Analytická geometrie § Diferenciální geometrie § Kleinova (transformační) geometrie 12 §V rámci syntetické geometrie se objevuje axiomatický přístup ke geometrii. Axiomatický přístup znamená budovat nějakou teorii z co nejmenšího počtu jednoduchých pravidel (axiomů). §Náznaky se objevily už u Eukleida z Alexandrie, který formuloval slavných 5 postulátů. §V moderním pojetí jsou ukázkou axiomatického přístupu ke geometrii Hilbertovy axiómy. § ě Axiomatická výstavba geometrie §Počátky geometrie jako vědecké disciplíny ve 3. stol. př. n. l. § §Řecký matematik Eukleides shrnul ve své knize ZÁKLADY dosavadní znalosti prostorových a rovinných útvarů, utřídil je a vyslovil 5 postulátů = axiomů, které shrnovaly vztahy (relace) mezi třemi základními geometrickými objekty = BOD, PŘÍMKA, ROVINA § 14 § Definujte zápatí - název prezentace / pracoviště 15 Axiomatická výstavba geometrie §AXIOM = základní věta, jejíž správnost nedokazujeme, ale uznáváme za správnou na základě dosavadních zkušeností; vystupují v ní základní pojmy bod, přímka, rovina, které nejsou definovány. Pomocí těchto pojmů pak definujeme pojmy další a z axiomů pak deduktivně odvozujeme další platná tvrzení (věty) § AXIOMATICKÁ VÝSTAVBA GEOMETRIE § 16 EUKLEIDOVY ZÁKLADY §Obsahují 13 knih §Eukleides poznatky utřídil a podal jejich deduktivní důkazy §První snaha o deduktivní odvozování geometrických poznatků (znalosti z geometrie měli lidé už mnohem dříve) § 17 EUKLEIDOVY ZÁKLADY §Eukleides si uvědomil, že není možné podat důkazy všech tvrzení, ale je třeba některé tvrzení považovat za pravdivé. Z těch pak vycházel a deduktivně odvozoval další poznatky (matematické věty). Jako první k tomu použil 5 postulátů. § §Dedukce = logické vyvození, způsob logického myšlení postupujícího od obecného k jednotlivému (úsudek) § 18 EUKLEIDOVY POSTULÁTY 1.Dvěma body lze vést jedinou přímku. 2.Úsečku je možno neomezeně prodloužit. 3.Z libovolného středu je možno libovolným poloměrem opsat kružnici 4.Všechny pravé úhly jsou shodné 5.Dvě přímky v jedné rovině, které protínají další přímku této roviny, se vždy protínají na té straně od této přímky, kde je součet přilehlých vnitřních úhlů menší než úhel přímý (180°) 6. § § 19 EUKLEIDOVY POSTULÁTY §5. Eukleidův postulát je ekvivalentní s tvrzením = § AXIOM ROVNOBĚŽNOSTI: § § „Nechť p je přímka a A bod, který na ní neleží. V rovině určené přímkou p a bodem A existuje právě jedna přímka procházející bodem A, která nemá s přímkou p žádný společný bod.“ § § 20 5. POSTULÁT EUKLEIDA §Po Eukleidovi se řada matematiků snažila dokázat 5. postulát pomocí čtyř předchozích. Snahy o důkaz 5. postulátu trvaly více než 2000 let. §Otázka o jeho závislosti/nezávislosti na přechozích čtyřech byla vyřešena až v 19. století matematikem Lobačevskim a nezávisle na něm matematikem J. Bolyaiem a K. F. Gaussem. § § § 21 EUKLEIDOVSKÁ GEOMETRIE §Geometrii, kterou vybudoval Eukleides a která mezi axiomy přijala 5. postulát (=axiom rovnoběžnosti), nazýváme eukleidovská geometrie (žáci na ZŠ a SŠ) §Geometrii, která přijala negaci 5. postulátu nazýváme tzv. neeukleidovská geometrie 22 ZÁKLADNÍ VÝZNAM AXIOMATICKÉ VÝSTAVBY TEORIE §Cesta, jak budovat axiomaticky ostatní matematické disciplíny §Vyjasnění požadavků, co musí axiomatický systém splňovat: § - nezávislost axiomů (viz výše) § - úplnost § - bezespornost (nelze odvodit větu V a zároveň její negaci V´) § 23 INOVACE GEOMETRIE §Objevy neeukleidovských geometrií neoslabily význam geometrie eukleidovské §Potřeba precizovat Eukleidovy poznatky a závěry v průběhu 18. – 19. století. §David Hilbert – vytvořil ve svém díle Základy geometrie (1899) systém axiomů, ze kterého je možno deduktivně budovat eukleidovskou geometrii §Hilbertův axiomatický systém používáme dodnes 24 HILBERTOVY AXIOMY §5 skupin axiomů: 1.Axiomy incidence (I) 2.Axiomy uspořádání (U) 3.Axiomy shodnosti (S) 4.Axiomy spojitosti (D) 5.Axiom rovnoběžnosti (R) § 25 GEOMETRIE §Eukleidovská – budovaná na základě axiomů 1 – 5 §Absolutní – budovaná na základě axiomů 1 – 4 §Lobačevského – budovaná na základě axiomů 1 – 4 a negace 5. axiomu – odporuje vžitým představám § 26 Literatura: §L. Lvovská, M. Francová: Texty k základům ELEMENTÁRNÍ GEOMETRIE pro studium učitelství 1. stupně základní školy. Brno: MU, 2014 27 Poznámky: §René Descartes (1596 -- 1650), Descartův spis La Géométrie, který byl vydán roku 1637 jako jeden z dodatků k jeho filozofickému dílu Discours de la méthode (Rozprava o metodě), bývá často považován za počátek analytické geometrie jako vědy. Podrobněji viz literatura. §Johann Carl Friedrich Gauss (1777 -- 1855, Göttingen) byl slavný německý matematik a fyzik. Zabýval se zejména geometrií, matematickou analýzou, teorií čísel, astronomií, elektrostatikou, geodézií a optikou. Silně ovlivnil většinu z těchto oborů vědění. Mezi jeho stěžejní díla patří spis Disquisitiones Arithmeticae, který napsal již ve věku 21 let (1798; publikováno bylo ale až v roce 1801). Tato práce položila základy teorie čísel jakožto matematické disciplíny. §Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 -- 1866) byl německý matematik, který výrazně přispěl k rozvoji matematické analýzy a diferenciální geometrie. Na jeho myšlenkách byly dále rozvinuty například Riemannova geometrie, algebraická geometrie či teorie komplexních ploch. Tyto oblasti matematiky se staly základem topologie. V reálné analýze přispěl definicí Riemannova integrálu a rozvinul také teorii trigonometrických řad. 28