Sbírka úloh z ELEMENTÁRNÍ GEOMETRIE pro studium učitelství 1. stupně základní školy Leni Lvovská Říjen 2019 Geometrie má dva poklady: pythagorovu větu a zlatý řez. První má cenu zlata, druhý připomíná spíše drahocenný kámen. Johannes Kepler (1571 - 1630) [10] Úvod Sbírka úloh z elementární geometrie vznikla jako podpora k textům z elementární geometrie pro studium učitelství prvního stupně základní školy [1]. Uvedené texty obsahují jen omezené množství cvičení a žádné řešené úlohy. Tato sbírka nabízí studentům množství řešených příkladů i soubor dalších cvičení. Současně sleduje nejnovější trend mezipředmětovosti a poukazuje v předložených příkladech a cvičeních na propojení geometrie s ostatními předměty a především se světem kolem nás. Celá řada úloh pracuje s magnetickou stavebnicí Geomag. V případě, že ji nemáte, lze tyto úlohy demonstrovat např. pomocí špejlí a kuliček modelíny. K tvorbě většiny obrázků byl použit výukový software GeoGebra, ve kterém lze úlohy řešit i dynamicky. Je tedy snadné použít výukový software GeoGebra také přímo ve výuce nebo při samostatném řešení úloh. Na vybrané dynamické aplety a krokované konstrukce jsou u konkrétních konstrukcí uvedeny přímé odkazy. Tento text vznikl s podporou projektu MUNI/FR/1193/2018, Inovace čtyř předmětů Geometrie pro učitelství 1. stupně základní školy se stavebnicí Geomag a výukovým softwarem Geogebra na Pedagogické fakultě MU v Brně. Velké poděkování patří Heleně Durnové za přípravu anglické verze tohoto textu a Pavlu Křížovi za podporu se sazbou textu v systému fflľfrjX. 5 1 Historický vývoj geometrie Cvičení 1.1. V příloze na konci textu najdete soubor obrázků. Roztřiďte tyto obrázky na tři skupiny tak, že je budete přiřazovat jednomu ze tří základních geometrických útvarů: kružnice, čtverec, rovnostranný trojúhelník. Nad obrázky ve skupinkách diskutujte proč jste je přiřadili právě skupiny příslušící kružnici, čtverci či rovnostrannému trojúhelníku. Vyskytují se tam i obrázky, které by mohly být přiřazeny do dvou či dokonce všech tří skupin? Příklad takové diskuze: Na tento obrázek můžeme pohlížet jako na pravidelný šestiúhelník, proto může být přiřazen k rovnostrannému trojúhelníku, neboi pravidelný šestiúhelník se skládá ze šesti stejných rovnostranných trojúhelníků. Pravidelný šestiúhlník je pravidelný mnohoúhelník, tj. lze mu opsat i vepsat kružnici, můžeme ho tedy přiřadit i ke kružnici. Na tento obrázek lze pohlížet také jako na drátěný model krychle. Tento náhled případně vhodně přibližte spolužákům, kteří ho nevidí. 6 Pravidelný šestiúhelník nebo krychle? Cvičení 1.2. Jakým způsobem se geometrie v dávné minulosti začínala vytvářet? (Formulujte odpověd v několika větách.) Cvičení 1.3. Co víte o spise, který nazýváme Eukleidovy Základy (Ele-menta)! to— T" H E EL EMEN TS EUCLID' ExfliiKed mi Deutsiiýřiitiia st tnd moji tif't Mtthai. Witlltht USE5 nf radi fF/i 0P0SIT10N ]n jlItiicP.irticľd.'. řrí :vl ATHĽ MAT i C K S- j Jjr Clindc Ftjkoíi MillittVf Clrajcí,.1%'friu. Oom mu e>f F K Ľ N C H, CoinM and Auipiiciited, aud llluJirattJ niih ttiiieCop-per Platcs, awl tlie Elli^ici oí B "J C L I D, l\y Htťui Wiilitniti Philojnach. ' /„ O N J) OK: PrinEcd forPhilif íj.t,Glcb:imker, atihe jitlit and Mtrckttt in t]ic P*KÍtťtyy ncar Cvičení 1.4. Jakou úlohu sehrál tzv. 5. Eukleidúv postulát v historii matematiky? (Formulujte odpověd v několika větách.) 7 Cvičení 1.5. Přiřaďte ke jménům významných matematiků správně jejich charakteristiku spjatou s geometrií: • René Descartes (1596 - 1650), • Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), • Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866), • David Hilbert (1862 - 1943). a) Německý matematik a fyzik. Zabýval se zejména geometrií, matematickou analýzou, teorií čísel, astronomií, elektrostatikou, geodézií a optikou. Silně ovlivnil většinu z těchto oborů vědění. Stál také u zrodu neeukleidovské geometrie. b) Jeho spis La Geometrie bývá často považován za počátek analytické geometrie jako vědy. c) Německý matematik, který ve svém díle Základy geometrie vybudoval disciplínu v současnosti nazývanou eukleidovská geometrie, vytvořil tzv. Systém axiomů eukleidovské geometrie. d) Německý matematik, který zásadním způsobem přispěl k rozvoji matematické analýzy a diferenciální geometrie. Na jeho myšlenkách byla dále rozvinuta také algebraická geometrie či teorie komplexních ploch, které se staly základem diferenciální geometrie na varietách a topologie. Řešeni: René Descartes (b), Johann Carl Friedrich Gauss (a), Georg Friedrich Bernhard Riemann (d), David Hilbert (c). Cvičení 1.6. Vysvětlete rozdíl mezi axiomem a matematickou větou. Uvete příklad axiomu a matematické věty. 8 2 Základní geometrické útvary a jejich vlastnosti Příklad 2.1. Vyšetřete všechny možné vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině. Znázorněte a popište. Řešeni: Označme přímky a, b, c. Pak mohou nastat tyto možnosti: a) všechny přímky jsou vzájeně rovnoběžné, tj. an6 = 0A6nc = 0, b) dvě přímky jsou rovnoběžné a třetí je s nimi různoběžná, např. bnc = (/)Aanb = BAanc = C c) všechny přímky jsou vzájemně různoběžné a procházejí jediným společným bodem, a H b H c = P, d) všechny přímky jsou vzájemně různoběžné a po dvou se protínají v různých bodech. 9 Příklad 2.2. Které geometrické útvary mohou vzniknout jako průnik dvou polopřímek, které jsou částí téže přímky? Znázorněte a popište. Řešeni: Bod, úsečka, polopřímka. Cvičení 2.3. Narýsujte úsečku AB. Na přímce AB vyznačte: a) bod C tak, aby bod A ležel mezi body C a B, b) bod D, aby B ležel mezi A a D, c) bod P, který neleží na úsečce AB, ale leží na polopřímce AD. Cvičení 2.4. Narýsujte úsečku KL. Zvolte bod D mezi body KL, vyznačte: a) bod R tak, aby bod K ležel mezi body R a L, b) bod S, aby L ležel mezi K a S, c) bod T, tak, aby bod S ležel mezi body L, T. Nyní rozhodněte, který z výroků je pravdivý: 2) ^ RS C)^ KL = KL, 3) ^RD C) ST = ®, 4) R E KL, Cvičení 2.5. Je dána přímka p a bod A, který na ní neleží. Zakreslete: a) bod M, který náleží polorovině pA, b) bod P, který leží v obou polorovinách určených přímkou p, c) bod N, který leží v opačné polorovině k polorovině pA. Cvičení 2.6. Jsou dány tři různé body A, B, C. a) Kolik úseček, polopřímek a přímek je určeno těmito body? Jak závisí tyto počty na poloze daných bodů? b) Které bodové množiny mohou být průnikem dvou z těchto úseček (polopřímek, přímek) ? Znázorněte a proveďte diskuzi. 10 Cvičení 2.7. Necht bod R leží mezi body P, Q. Vyberte z polopřímek PR, P, RP, RQ, QR, QP dvojice, které: a) splývají, b) jsou opačné, c) jedna je částí druhé, d) jejich průnikem je úsečka. Cvičení 2.8. Určete, které útvary mohou vzniknout průnikem: a) úsečky a poloroviny, b) polopřímky a poloroviny, c) přímky a poloroviny, d) dvou polorovin. Všechny případy uvažujte v jedné rovině. Znázorněte a popište. Cvičení 2.9. V rovině je dáno n přímek, z nichž každé dvě se protínají a žádné tři neprocházejí týmž bodem. Kolik existuje průsečíků? Příklad 2.10. Kolik různých přímek je určeno n body, které leží v jedné rovině a žádné tři neleží na jedné přímce? Řešeni: Pro jeden bod úloha nemá smysl. Načrtněme si danou situaci pro nějaký konečný počet bodů: pro dva body bude přímka jedna, pro tři bodou právě tři přímky, čtyři body určí šest přímek, pět bodů deset přímek atd. Nyní tedy můžeme provést následující úvahu: v n-tém kroku z každého bodu vedeme přímku do (n — 1) bodů, ale tímto způsobem je započítáma každá přímka dvakrát. Výsledek je tedy: n(n — 1) 2 ' Cvičení 2.11. V rovině je dáno n přímek, z nichž každé dvě se protínají a žádné tři cházejí týmž bodem. Kolik existuje průsečíků? Cvičení 2.12. Určete, které útvary mohou vzniknout průnikem: a) úsečky a poloroviny, b) polopřímky a poloroviny, c) přímky a poloroviny. Všechny případy uvažujte v jedné rovině. Znázorněte a popište. Cvičení 2.13. Určete, které útvary mohou vzniknout průnikem dvou polorovin. Obě poloroviny uvažujte v jedné rovině. Znázorněte a popište. 11 Cvičení 2.14. Uvnitř jedné poloroviny určené přímkou p zvolte body A, B. Uvnitř poloroviny opačné zvolte body C, D tak, aby přímky AB a, CD byly s přímkou p různoběžné. Na přímce AB zvolte bod M, na přímce CD zvolte bod N. Jak je nutno zvolit body M, N, aby úsečka MN obsahovala bod přímky p ležící mezi body M a N? Příklad 2.15. Sestrojte kvádr ABCDEFGH (pomocí stavebnice GeoMag nebo pomocí špejlí a plastelíny). A) Určtete všechny přímky incidentní s hranami kvádru, které jsou s přímkou BC: • rovnoběžné • různoběžné • mimoběžné B) S využitím bodů kvádru uveďte příklad trojice rovin, která tvoří svazek rovin, a zapište průnik těchto tří rovin. Řešeni: • rovnoběžné: o AD, o EF, O HG • různoběžné: o AB, o EB, o DC, O CF • mimoběžné o EH, o FG, o AH, o DG Svazek rovin tvoří např. roviny -H- ABC, -H- ABE a -H- AF: o ABC n o ABE n o ABF = o AB. 12 Příklad 2.16. Sestrojte pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV (pomocí stavebnice GeoMag nebo pomocí špejlí a plastelíny). A) Určtete všechny přímky určené body A, B, C, D, V, které jsou s přímkou BC: • rovnoběžné • různoběžné • mimoběžné B) S využitím bodů jehlanu A, B, C, D, V uveďte příklad trojice rovin, která tvoří trs rovin, a zapište průnik těchto tří rovin. Řešení: • rovnoběžné: -H- AD, • různoběžné: o AB, f-> BV, o CV, o CD, • mimoběžné -h- AV, -H- DV. Trs rovin tvoří např. roviny -B- ABC, -H- ABV a -o- BCV: o ABC n ABV n <-> BCV = {B}. 13 3 Konvexní a nekonvexní množina, konvexní a nekonvexní úhel Cvičení 3.1. Jak poznáme, kdy je geometrický útvar konvexní a kdy nekonvexní? Roztřidte geometrické útvary na konvezní a nekonvexní: úsečka, přímka, polorovina, kružnice, trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník, kruh s otvorem, krychle. Cvičení 3.2. Podívejte se kolem sebe a pokuste se vidět i úhly určené třeba hranami tabule nebo hranami lavice, částmi rámu okna, ale také úhly, které svírají např. nohy židle s podlahou, ručičky hodin apod. Některé takové úhly vyznačte i na obrázku. Vyhledejte vlastní podobné obrázky a vyznačte na nich úhly. Cvičení 3.3. Narýsujte polopřímky i—y SC a i—y SD. Červeným obloučkem vyznačte konvexní úhel ^(AB + BC + CA). (1) c Řešeni: Bod S je vnitřní bod trojúhelníka ABC, tedy vznikly tři další trojúhelníky, pro které z trojúhelníkové nerovnosti platí: pro trojúhelník ABS: AS + BS > AB, pro trojúhelník ACS: AS + CS > AC, pro trojúhelník BCS: BS + CS > BC. Sečtením pravých a levých stran uvedených nerovností dostáváme: 2 • AS + 2 • BS + 2 • C S > AB + BC + AC, (2) čímž je nerovnost (1) dokázána. Příklad 4.7. Dokažte, že pro součet těžnic ta, tb, tc trojúhelníku ABC platí vztah: 1 -(a + b + c) < ta + tb + tc < a + b + c. (3) Řešeni: Nejprve dokážeme nerovnost 1 -(a + b + c) c, 23 pro trojúhelník ACC\. tc + | > b, pro trojúhelník BCB\. tb + | > a. Sečtením pravých a levých stran uvedených nerovností dostáváme: 1 ta + tb + tc + -(a + b + c) > a + b + c, (5) tj- 1 ta + tb + tc>-(a + b + c). (6) Dokažme nyní nerovnost ta + tb + tc< a + b + c. (7) Necht body Ai, Bi, C\ jsou opět po řadě středy stran BC, AC a AB daného trojúhelníku. Sestrojme bod A' tak, že bod A\ je středem úsečky AA'. Ctyřúhelník ABA'C je rovnoběžník, jeho úhlopříčky se půlí. Platí tedy AC = BA'. Z trojúhelníkové nerovnosti pro trojúhelník ABA' vyplývá: 2ta < b + c. (8) Analogickým postupem, tj. sestrojením bodů B' a C tak, že bod B\ je středem úsečky BB' a C\ je středem úsečky C C dostaneme: 2tb < a + c (9) a 2tc B1;B1 ekjn^ 6) » CB, 7) " p: — p II CBnv(«p, CB) = va poloměr k2 = vg 8) A;A€«pn»CB, 9) A ABC *. 10/10 H. »M Konstrukce " krok po kroku": https://www.geogebra.org/m/u7e5f3qn#material/rkdepcxf Příklad 4.22. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: b, c, tc. Postup řešení Zápis konstrukce: 1) AB; /AB/ = c 2) Sc; /ASC/ = /SCB/ 3) k.,; k1 (A, b) 4) k2;k2(Sc,y 5) C; C E k, íl k2 6) A ABC r n HH «4 7/7 ►» », (H) 2 Js Vri Konstrukce " krok po kroku": https://www.geogebra.org/m/u7e5f3qn#material/gnr4vvnn 29 Příklad 4.23. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: b,^y,vc. Postup řešení M .« 10/10 » m ® 2 s Konstrukce " krok po kroku": https://www.geogebra.org/m/u7e5f3qn#material/rssprtnv 30 Příklad 4.24. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: ^y,va,Vb. Konstrukce " krok po kroku": https://www.geogebra.org/m/u7e5f3qn#material/sn3wvaed 31 Příklad 4.25. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a, va, b. Postup řešení O Zápis konstrukce: 1) BC; /BC/ = a 2) p, « p'; /«pBC/ = /-.p'BC/ = va 3) ki; k1 (C, b) 4) A; A e k1 n < . p 5) A ABC k1 A2 p x \y \ i B l P' / / / m -«4 9/9 ►*■ ►« r n ® 2 |s U Konstrukce " krok po kroku": https://www.geogebra.org/m/u7e5f3qn#material/ntwfvxns 32 Příklad 4.26. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a, c, tc. Postu p řešen í Zápis konstrukce: 1) AB; /AB/ = c 2) * BAX; UOfiXl = a 3) Sc; IASJ = /SCB/ Konstrukce " krok po kroku": https://www.geogebra.org/m/u7e5f3qn#material/trhbazkf 33 Příklad 4.27. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 7, va, vc. Postup řešení Zápis konstrukce: Konstrukce "krok po kroku": https://www.geogebra.org/m/u7e5f3qn#material/njnjbvh9 34 Příklad 4.28. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a, (5, rv, kde rv je poloměr kružnice trojúhelníku vepsané. Konstrukce " krok po kroku": https://www.geogebra.org/m/u7e5f3qn#material/w547a5au Cvičení 4.29. Sestrojte trojúhelník ABC je-li dáno: a) a + b,j,va b) a-b,^,c c) a + b + c, a, (3 d) a,b, a — (3 e) a + b + c, a,vc Cvičení 4.30. Je dána úsečka AB. a) Sestrojte množinu všech vrcholů konvexního úhlu < ACB = 7, jehož ramena procházejí krajními body úsečky AB. b) Sestrojte A ABC, je-li \AB\ = 6, 7 = 60°, vc = 4. Cvičení 4.31. Sestrojte trojúhelník ABC je-li dáno ta,tb,tc. 35 Příklad 4.32. Dokažte větu o těžnicích trojúhelníku: Těžníce libovolného trojúhelníku se protínají v jednom bodě, zvaném těžiště trojúhelníku. Těžiště dělí každou těžnici na dvě úsečky, z nichž ta, která obsahuje vrchol trojúhelníka, je dvojnásobkem druhé. Důkaz: Je dán trojúhelník ABC, body Ai, B\, C\ jsou po řadě středy jeho stran BC, AC a AB, úsečky AAi, BB\ a CC\ jsou jeho těžnice. V daném trojúhelníku uvažujeme těžnice AA\ a BBi, které se protínají v bodě T. Dokážeme, že bodem T prochází i třetí těžnice CC\. Sestrojme přímku CT a na ní bod U tak, že bod T je střed úsečky CU, tj. CT = TU. V trojúhelníku AU C je úsečka B{T střední příčka, a proto B{T || AU. Protože body Bi, T, B leží na jedné přímce, je i BT || AU. Analogicky v trojúhelníku BUC je úsečka A{T střední příčka, a proto A{T || BU, a tedy i AT || BU. Odtud plyne, že čtyřúhelník ATBU má každé dvě protější strany rovnoběžné, tj. je to rovnoběžník a jeho úhlopříčky AB a TU se půlí. Odtud plyne, že střed strany AB, bod C\, leží na přímce CT. Tím je dokázáno, že těžnice CC\ prochází bodem T. Platí tedy, že těžnice trojúhelníku ABC se protínají v jednom bodě. Tento bod náleží vždy vnitřku daného trojúhelníku. Z vlastností středních příček B{T a A{T trojúhelníků AU C a BUC a z vlastností rovnoběžníku AUBT dále plyne: C B pro trojúhelník AUC: B{T = | \AU, AU ^ BT, tj. B{T = \BT, pro trojúhelník BUC: A{T = \BU, BU = AT, tj. A{T 36 Tím je dokázáno, že těžiště T dělí každou z těžnic AA±, BB\ na dvě části, z nichž ta, která obsahuje vrchol trojúhelníku je dvojnásobkem druhé. Opakováním úvah při volbě jiné dvojice těžnic získáme další vztahy, z nichž plyne pravdivost tvrzení druhé části věty. Cvičení 4.33. Dokažte, že dva trojúhelníky jsou shodné, když se shodují ve dvou stranách a v těžnici k jedné z nich. Návod: Shodnost trojúhelníků dokažte užitím trojúhelníků, které vzniknou rozdělením daného trojúhelníku těžnici. Cvičení 4.34. Nad stranami ostroúhlého trojúhelníku ABC jsou vně sestrojeny rovnostranné trojúhelníky ABH a ACK. Dokažte shodnost úseček CH a BK. Návod: Tvrzení plyne ze shodnosti trojúhelníků ACH a AKB. Cvičení 4.35. Je dán trojúhelník ABC. Jeho vrcholy jsou vedeny rovnoběžky s protilehlými stranami. Dokažte, že průsečíky těchto přímek určí trojúhelník, který je sjednocením čtyř trojúhelníků shodných s trojúhelníkem ABC. Návod: Použijte věty o shodnosti trojúhelníků a vlastnosti dvojic úhlů mezi rovnoběžnými přímkami. Cvičení 4.36. Největší strana konvexního čtyřúhelníka ABCD je AB, nej-menší CD. Dokažte, že