Kapitola 1
Shodnost
V této kapitole zavedeme další axiomatický pojem – shodnost úseček. Tento pojem
je zaveden axiomy shodnosti a jeho užitím dále definujeme shodnost úhlů, shodnost
trojúhelníků i pojem shodného zobrazení v rovině a v prostoru. Shodná zobrazení, pak
umožní definovat pojem shodných geometrických útvarů.
1.1 Shodnost úseček a axiomy shodnosti
Jak již bylo řečeno, zavádějí axiomy shodnosti do geometrie vztah shodnosti úseček.
Jsou-li AB, CD úsečky, budeme jejich shodnost zapisovat AB ∼= CD.
S1: Je-li AB ∼= CD, je A = B a C = D. Pro každé dva různé body A, B platí
AB ∼= BA.
S2: Nechť AB je úsečka, CD polopřímka. Pak existuje jediný bod E polopřímky CD,
pro který platí AB ∼= CE.
S3: Je-li AB ∼= CD a CD ∼= EF, pak je AB ∼= EF.
S4: Leží-li bod C mezi body A, B, bod C mezi body A , B a platí-li AC ∼= A C ,
BC ∼= B C , pak platí AB ∼= A B .
S5: Nechť A, B, C a A , B , K jsou dvě trojice bodů neležících v přímce a nechť
AB ∼= A B . Pak existuje jediný bod C poloroviny A B K, pro který platí AC ∼=
A C a BC ∼= B C .
S6: Nechť A, B, C a A , B , C jsou dvě trojice bodů neležících v přímce a nechť
platí AB ∼= A B , BC ∼= B C a CA ∼= C A . Leží-li bod P mezi body A, B, bod
P mezi body A , B a platí-li, že AP ∼= A P , je CP ∼= C P .
Axiom S1 vyjadřuje, že shodnost se týká jen dvojic různých bodů. Pro úplnost našich
úvah zavedme ještě tzv. nulovou úsečku, což bude úsečka, jejíž krajní body splývají.
Tato úsečka vyhovuje definici ?? v případě, že A = B. Každé dvě nulové úsečky
budeme také považovat za shodné.
1
2 KAPITOLA 1. SHODNOST
Užitím axiomů shodnosti se dá vcelku snadno dokázat, že relace shodnost dvou
úseček je reflexivní a symetrická v množině všech úseček. Protože z axiomu S3 je
zřejmá tranzitivnost tohoto vztahu, je relace shodnost dvou úseček relací ekvivalence
na množině všech úseček.
Axiomu S2 využíváme při nanášení úsečky na danou polopřímku. Axiom S4 je východiskem
k zavedené pojmů grafický součet a grafický rozdíl úseček a násobek úsečky.
Jednoznačnost přenesení trojúhelníka k dané polopřímce do dané poloroviny vyjadřuje
axiom S5 a axiom S6 pak vyjadřuje základní vlastnost přeneseného trojúhelníka.
1.2 Porovnávání úseček, grafický součet a rozdíl
dvou úseček, násobek úsečky
Axiomy shodnosti nám umožňují zavést porovnávání úseček a pojmy grafický součet,
grafický rozdíl a grafický násobek úsečky. Tyto pojmy patří mezi základní pojmy elementární
geometrie a jsou též zařazeny do učiva matematiky na 1. stupni základní
školy.
Porovnávání úseček
Při porovnávání úseček AB a CD postupujeme takto: Na polopřímce CD sestrojíme
bod E tak, že CE = AB. Leží-li bod E mezi body C, D, říkáme, že úsečka AB je
menší než úsečka CD a píšeme AB < CD (viz obr. 1.1a).
Je-li E = D, je AB ∼= CD (viz obr. 1.1b) a leží-li bod D mezi body C, E, říkáme,
že úsečka AB je větší než úsečka CD a píšeme AB > CD (viz obr. 1.1c).
a)
C E D
A B
b)
C D = E
A B
c)
C ED
A B
Obr. 1.1
Grafický součet úseček
Nechť jsou dány úsečky AB a CD. Zvolme polopřímku KL a sestrojme na ní bod E
tak, že AB ∼= KE. Pak sestrojíme bod F na polopřímce opačné k polopřímce EK tak,
aby EF ∼= CD. Úsečka KF se nazývá grafický součet úseček AB a CD (viz obr. 1.2).
Zapisujeme: AB + CD = KF.
1.3. SHODNOST ÚHLŮ 3
C
D
A
B
X E F L
Obr. 1.2
Grafický rozdíl úseček
Úsečku CD nazýváme grafický rozdíl úseček KF a AB právě tehdy, když úsečka KF
je grafickým součtem úseček AB a CD (viz obr. 1.2).
Zapisujeme: CD = KF − AB.
Grafický násobek úsečky
Platí-li, že KL = AB + AB, nazývá se úsečka KL dvojnásobkem úsečky AB, což
zapisujeme KL = 2AB. Dále lze určit součet úseček 2AB + AB = PQ, kde úsečku
PQ nazýváme trojnásobkem úsečky AB. Je tedy:
AB + AB = 2AB,
2AB + AB = 3AB,
3AB + AB = 4AB atd.
n-násobek úsečky AB se pak pro každé n ∈ N, n > 1 definuje jako grafický součet
n − 1 násobku úsečky AB a úsečky AB. přitom jednonásobkem úsečky AB je úsečka
AB, tj. 1AB = AB.
Poznámka 1.1 Zavedený pojem grafického součtu dvou úseček lze snadno rozšířit na
grafický součet více než dvou úseček. Např. na obrázku 1.3 je úsečka AE = AB +
BC + CD + DE. Pak lze např. pětinásobek úsečky AB vyjádřit takto: 5AB = AB +
AB + AB + AB + AB, což odpovídá naší názorné představě.
A B C D E
Obr. 1.3
1.3 Shodnost úhlů
Užitím shodnosti úseček budeme nyní definovat shodnost úhlů.
4 KAPITOLA 1. SHODNOST
Definice 1.1 Konvexní úhel AV B je shodný s konvexním úhlem CUD právě tehdy,
když na polopřímkách UC, UD existují takové body A , B , že platí
UA ∼= V A, UB ∼= V B a A B ∼= AB.
V
A
B
U
A
B
C
D
Obr. 1.4
Pro úplnost je třeba ještě dokázat, že shodnost konvexních úhlů AV B a CUD nezávisí
na volbě bodů A, B na ramenech AV B. Tento důkaz však nebudeme provádět.
Z definice 1.1 a vlastností vztahu shodnosti úseček vyplývá, že každé dva přímé,
každé dva plné a každé dva nulové úhly jsou shodné.
Definice 1.2 Nekonvexní úhel AV B je shodný s nekonvexním úhlem CUD právě
tehdy, jsou-li shodné konvexní úhly AV B a CUD.
Cvičení:
1.1 Zdůvodněte, proč nelze v definici 1.1 vynechat přívlastek konvexní u úhlů AV B
a CDU.
1.2 Uvažujte o binární relaci shodnost úhlů v množině všech úhlů a určete její
vlastnosti.
1.4 Porovnávání dvou úhlů, grafický součet a rozdíl
dvou úhlů
Máme-li zaveden pojem shodných úhlů, můžeme definovat porovnávání, grafický součet
a grafický rozdíl dvou úhlů. Tyto pojmy patří také k základním pojmům elementární
geometrie a jsou zařazeny do geometrie 5. ročníku základní školy jako rozšiřující učivo.
1.4. POROVNÁVÁNÍ, GRAFICKÝ SOUČET A ROZDÍL ÚHLŮ 5
Při porovnávání dvou úhlů a při určení úhlu, který je grafickým součtem nebo
rozdílem dvou úhlů, je základem úloha přenést daný úhel k dané polopřímce do dané
poloroviny. Přitom jde o následující konstrukci úhlu shodného s daným konvexním
úhlem:
Nechť je dán AV B a polorovina KLM. Na polopřímce KL sestrojíme bod A tak,
že KA ∼= V A. V polorovině KLM sestrojíme bod B tak, že KB ∼= V B a AB ∼= A B
(viz obr. 1.5).
V A
B
K A
B
L
M+
Obr. 1.5
Podle definice shodnosti dvou konvexních úhlů je A KB ∼= AV B. Sestrojení
A KB nazýváme přenesením AV B k polopřímce KL do poloroviny KLM. Přitom,
je-li úhel AV B přímý, splývá A KB s polorovinou KLM (viz obr. 1.6).
V AB K AB L
Obr. 1.6
Uvedená konstrukce nám umožňuje též přenesení nekonvexního úhlu. Na obrázku 1.5
je  A KB ∼= AV B. Konstrukce nekonvexního úhlu A KB je shodná s konstrukcí
konvexního úhlu A KB . Přenášíme-li však nekonvexní úhel, je třeba formulovat úlohu
např. takto: Přenést daný úhel k dané polopřímce KL tak, aby obě jeho ramena patřila
dané polorovině KLM. Tato formulace úlohy vyhovuje i pro přenášení konvexních
úhlů. Přitom je však třeba mít na zřeteli, že úhel daný a přenesený musejí být shodné.
Přenést daný úhel tedy především znamená sestrojit úhel shodný s daným úhlem.
Porovnávání úhlů
Při porovnávání dvou úhlů využíváme přenášení úhlů. Postupujeme při tom takto:
Nechť jsou dány dva úhly AV B a CUD, které nejsou shodné. Je-li možné přenést
daný úhel CUD tak, že rameno U C přeneseného úhlu C U D splývá s ramenem
V A úhlu AV B a průnikem tohoto přeneseného úhlu s daným úhlem AV B je tento
přenesený úhel, je daný úhel CUD menší než daný úhel AV B (viz obr. 1.7). Je-li
možné úhel CUD přenést tak, že rameno U C úhlu C U D splývá s ramenem V A
6 KAPITOLA 1. SHODNOST
úhlu AV B tak, že AV B ∩ C U D je AV B, je úhel CUD větší než daný úhel
AV B.
CU
D
AV
B D
C
Obr. 1.7
Grafický součet dvou konvexních úhlů
Nechť jsou dány dva konvexní úhly AV B a CUD, z nichž žádný není plný. Sestrojíme
úhel C V D ∼= CUD tak, že AV B a C V D jsou úhly styčné. Úhel, který
je sjednocením těchto dvou styčných úhlů nazýváme grafický součet úhlů AV B a
CUD.
CU
D
AV
B
D
C
Obr. 1.8
V obrázku 1.8 je úhel AV D grafickým součtem AV B a CUD. Zapisujeme:
AV D = AV B + CUD.
Poznámka 1.2 Uvědomme si, že při sestrojení C V D jde o přenesení CUD k
polopřímce V B do poloroviny opačné k polorovině, v níž leží AV B.
Jsou-li oba úhly AV B, CUD přímé, je jejich grafickým součtem úhel plný. V
obrázku 1.9 je součtem daných přímých úhlů AV B, CUD plný úhel AV D .
Je zřejmé, že grafickým součtem dvou konvexních úhlů nemusí být konvexní úhel.
1.4. POROVNÁVÁNÍ, GRAFICKÝ SOUČET A ROZDÍL ÚHLŮ 7
CUD AVB D C
Obr. 1.9
Grafický rozdíl dvou konvexních úhlů
Úhel DUE nazýváme grafickým rozdílem konvexních úhlů β, α právě tehdy, když
α + DUE = β.
Zapisujeme: DUE = β − α (viz obr. 1.10).
C
U
D
E
CUD ∼= α
CUE ∼= β
DUD ∼= β − α
Obr. 1.10
Poznámka 1.3 Platí-li, že α + α = β, nazýváme úhel β dvojnásobkem úhlu α, což
zapisujeme β = 2α. Analogicky jako při násobku úsečky definujeme trojnásobek úhlu
α jako grafický součet dvojnásobku úhlu α a úhlu α, tj. 3α = 2α + α atd.
Je zřejmé, že existence n-násobku daného úhlu není zaručena ani pro n = 2, n ∈ N.
Cvičení:
1.3 Uvažujte o operaci grafické sčítání dvou úhlů v množině všech konvexních úhlů
a určete její vlastnosti.
1.4 Uvažujte o operaci grafické sčítání dvou úhlů v množině všech úhlů a určete
zde její vlastnosti. Jak se budou lišit vzhledem k vlastnostem operace ze cvičení ?
8 KAPITOLA 1. SHODNOST
1.5 Shodnost trojúhelníků
Shodnost úseček umožňuje též definovat shodnost trojúhelníků.
Definice 1.3 Trojúhelníky ABC, A B C se nazývají shodné (v tomto pořadí vrcholů),
jestliže platí AB ∼= A B , BC ∼= B C , CA ∼= C A .
Shodnost trojúhelníků ABC, A B C zapisujeme ABC ∼= A B C . Dvojice vrcholů
A, A ; B, B ; C, C nazýváme vrcholy k sobě příslušné. Termín k sobě příslušné používáme
též pro strany, vnitřní úhly, příčky atd. obou trojúhelníků. Definice shodnosti
dvou trojúhelníků vyžaduje shodnost všech dvojic k sobě příslušných stran.
Z definice 1.1 shodnosti konvexních úhlů plyne, že také dvojice k sobě příslušných
vnitřních úhlů obou trojúhelníků jsou dvojice shodných úhlů, tj. ABC ∼= A B C ,
BCA ∼= B C A a BAC ∼= B A C .
V učebnicích elementární geometrie se někdy v definici shodných trojúhelníků požaduje
shodnost všech k sobě příslušných stran i vnitřních úhlů. Při našem postupu
však je zřejmé, že by šlo o nadbytečnou definici.
Strany a vnitřní úhly trojúhelníka (případně jejich velikosti) nazýváme základní
prvky trojúhelníka. Ze střední školy víme, že pro zjištění shodnosti trojúhelníků stačí
zjistit shodnost jen některých základních prvků těchto trojúhelníků. Tyto postačující
podmínky pro shodnost dvou trojúhelníků vyjadřují věty, které nazýváme věty o
shodnosti trojúhelníků. Stručně se označují sss, sus, usu, Ssu, přičemž věta sss je
vlastně definicí 1.3. V rámci cvičení 1.5 si všechny věty důsledně zopakujte.
Věty o shodnosti trojúhelníků se v elementární geometrii velmi často využívají k
důkazům a jsou základem pro většinu metrických vztahů elementární geometrie (viz
např. důkazy vět 1.1, ??, ??).
1.6 Osa úhlu, pravý úhel, střed a osa úsečky
Užitím shodnosti úseček a úhlů budeme nyní definovat další geometrické pojmy: osu
úhlu, pravý úhel, kolmost přímek a rovin, střed a osu úsečky. I když nejsou tyto pojmy
pro absolventa střední školy nové, jde o to, abychom vyslovili a osvojili si jejich přesné
definice. Tyto definice jsou také ukázkou systematického budování nových pojmů v
geometrii užitím pojmů dříve zavedených.
Definice 1.4 Nechť AV B je úhel, který není plný ani nulový. Pak osou úhlu AV B
nazýváme přímku V X právě tehdy, když bod X leží v téže rovině jako úhel AV B a
platí, že konvexní úhel AV X je shodný s konvexním úhlem BV X (viz obr. 1.11a). Osou
plného nebo nulového úhlu AV B rozumíme přímku V A, resp. V B (viz obr. 1.11b).
1.6. OSA ÚHLU, PRAVÝ ÚHEL, STŘED A OSA ÚSEČKY 9
Definice 1.5 (1.4*) Nechť AV B je úhel, který není plný ani nulový. Pak osou úhlu
AV B nazýváme polopřímku V X právě tehdy, když bod X je bodem úhlu AV B a
platí, že konvexní úhel AV X je shodný s konvexním úhlem BV X. Osou nulového úhlu
AV B je pak polo přímka V A, resp. V B, osou plného úhlu je polopřímka opačná k
polopřímce V A, resp. V B (viz obr. 1.11b).
a)
V
A
X
B
b)
V A B
Obr. 1.11
Poznámka 1.4 Přímka V X v definici 1.4 je osou jak konvexního, tak i nekonvexního
úhlu AV B.
Osy konvexního a nekonvexního úhlu AV B jsou dle 1.5 navzájem opačné polo-
přímky.
Definice 1.6 Úhel, který je shodný s úhlem k němu vedlejším, nazýváme pravý úhel.
Uvědomme si, že k definici pravého úhlu není třeba užít jeho velikost. Je-li přímka V X
osou přímého úhlu AV B, jsou úhly AV X a XV B shodné vedlejší úhly a tedy jsou oba
pravé (viz obr. 1.12). Tato skutečnost bývá často vyjadřována takto: Osa přímého
úhlu dělí tento úhel na dva úhly pravé.
Definice 1.7 Dvě různoběžné přímky AP a BP nazýváme kolmé právě tehdy, když
úhel APB je pravý (viz obr. 1.13).
O dvou kolmých různoběžných přímkách říkáme, že svírají pravý úhel. Vztah kolmosti
je definován i pro mimoběžné přímky.
10 KAPITOLA 1. SHODNOST
VA
X
B
Obr. 1.12
P A
B
Obr. 1.13
Definice 1.8 Mimoběžné přímky a, b jsou kolmé právě tehdy, když existuje taková
přímka a , a a, že přímky a , b jsou kolmé různoběžky.
Jsou-li a, b kolmé přímky, říkáme též, že přímka a je kolmá k přímce b nebo že přímka
b je kolmá k přímce a. Jde o symetrický vztah, což je patrno i z obvyklého vyjádření:
přímky a, b jsou k sobě kolmé nebo navzájem kolmé.
Definice 1.9 Středem S úsečky AB nazýváme takový bod úsečky AB, pro který
platí AS ∼= SB.
Definice 1.10 Přímku o nazýváme osa úsečky AB(A = B) právě tehdy, když jsou
přímky AB a o navzájem kolmé a přímka o prochází středem úsečky AB.
Symbolicky:
o je osa úsečky AB ⇔ A = B ∧ o⊥AB ∧ o ∩ AB = {S} ∧ SA ∼= BS.
Z definice 1.10 je zřejmé, že osa úsečky je definována jen pro nenulové úsečky. (Zdůvodněte
proč!) V definici 1.9 středu úsečky toto omezení není. Který bod je středem
nulové úsečky?
Definicemi 1.7 a 1.8 jsme zavedli kolmost dvou přímek. Tento pojem je východiskem i
k zavedení pojmu kolmost přímky a roviny.
Definice 1.11 Přímka p a rovina ρ se nazývají navzájem kolmé, jestliže je přímka
p kolmá ke všem přímkám roviny ρ.
Termín navzájem kolmé znamená, že přímka p je kolmá k rovině ρ a také, že rovina
ρ je kolmá k přímce p. Při zjišťování kolmosti přímky p a roviny ρ nelze prakticky
prověřit kolmost přímky p ke všem přímkám roviny ρ. Ke zjištění kolmosti přímky p
a roviny ρ, případně k určení roviny kolmé k přímce p, užíváme kritérium kolmosti
přímky a roviny uvedené ve větě 1.1.
1.6. OSA ÚHLU, PRAVÝ ÚHEL, STŘED A OSA ÚSEČKY 11
Věta 1.1 (Kriterium kolmosti přímky a roviny)
Je-li přímka p kolmá ke dvěma různoběžkám a, b roviny ρ, pak je kolmá k rovině ρ.
Důkaz: Označme P průsečík přímky p s rovinou ρ. Bodem P veďme přímky a a,
b b. Přímky a , b zřejmě leží v rovině ρ a p⊥a , p⊥b . Zvolme dále libovolnou přímku
r ⊂ ρ a ukažme, že p⊥r. Sestrojíme přímku r tak, že P ∈ r a r r a nechť r = a ,
r = b (viz obr. 1.14). Na přímce p zvolme body C, D tak, že P je střed CD. Na přímce
a zvolme bod A, na přímce b bod B tak, aby body A, B byly odděleny přímkou r .
Označme R ∈ AB ∩ r .
Platí: CB ∼= DB, CA ∼= AD ⇒ CBA ∼= DBA podle věty sss. Ze shodnosti těchto
b
a B
A
r
ρ
P
C
D
R
Obr. 1.14
trojúhelníků plyne shodnost jejich příček RD, RC, tj. RD ∼= RC. Vzhledem k tomu, že
CP ∼= DP, RD ∼= RC a RP ∼= RP, je PDR ∼= PCR podle věty sss. Ze shodností
těchto trojúhelníků plyne, že CPR ∼= DPR. Protože se jedná o vedlejší úhly, jsou
oba pravé. Z toho plyne, že přímka p je kolmá k přímce r , a tedy také k přímce r.
Užitím vztahu kolmosti přímky a roviny je možné též definovat kolmost dvou rovin.
Definice 1.12 Dvě roviny jsou k sobě kolmé právě tehdy, když v jedné z těchto
dvou rovin existuje přímka, která je kolmá ke druhé z těchto rovin.
Cvičení:
1.5 Zopakujte si věty o shodnosti trojúhelníků, důsledně je sformulujte a pokuste
se je symbolicky zapsat.
1.6 Uvažujte relaci přímka x je kolmá k přímce y v množině všech přímek a určete
vlastnosti této relace.
1.7 Nad stranami ostroúhlého trojúhelníku ABC jsou setrojeny rovnostranné trojúhelníky
ABH a ACK. Dokožte shodnost úseček CH a BK.
12 KAPITOLA 1. SHODNOST
1.8 Je dán trojúhelník ABC. Nad jeho stranami AB, AC jsou vně setrojeny čtverce
ABGF a ACDE. Dokožte shodnost úseček EB a CF.
1.9 Uvnitř trojúhelníku ABC zvolte bod S. Dokažte, že součet úseček SA, SB,
SC je větší než poloviční součet stran daného trojúhelníku, tj. že
SA + SB + SC >
1
2
(AB + BC + CA).
1.10 Dakažte, že součet úseček, které spojují vnitřní bod P trojúhelníku s krajními
body jedné jeho strany, je menší než součet zbývajících dvou stran daného trojúhelníku.
1.11 Přímka o je osou úsečky AB. Bod X je libovolný vnitřní bod poloroviny oA.
Dokažte, že platí: AX < BX.
1.12 Bod U je vnitřním bodem trojúhelníku ABC.
Dokažte, že platí: AUB > ACB, BUC > BAC a AUC > ABC.
Literatura
[1] Francová, M., Matoušková, K., Vaňurová, M. Texty k základům elementární geometrie
pro studium učitelství 1. stupně základní školy, skriptum UJEP, Brno
1985.
[2] Francová, M., Matoušková, K., Vaňurová, M. Sbírka úloh z elementární geometrie,
skriptum MU, Brno 1996.
[3] Lomtatidze, L. Historický vývoj pojmu křivka, Scintilla Svazek 3, Brno 2007
[4] Vopěnka, P. Rozpravy s geometrií, Academia, Praha 1989
[5] Struik, D. J. Dějiny matematiky, Praha 1963. (z angl. originálu A concise History
of Mathematics, G. Bell and Sons Ltd., London 1956, přeložili Nový, L. - Folta,
J.)
[6] Katz, V. J. A history of mathematics: an introduction, Addison-Wesley Educational
Publishers, Inc., 2. vydání, 1998.
[7] Servít, F. Eukleidovy Základy (Elementa). Nákladem Jednoty českých matematiků
a fyziků, Praha, 1907.
[8] Bečvářová M., Eukleidovy Základy, jejich vydání a překlady Dějiny matematiky,
svazek 20. Prometheus, Praha, 2001.
13