00 /185/.přiklad. Užitím součtu S vyšetřit! konvergenci řady \ n (2n*l) át 10 (n+lK£n-l) am= ln S^B + ln(2n+l) - ln(n+l) - ln(2n-l) Pro □ = 1, 2, 3, ...........vytvoríme členy řady a^, a2,......... Po sečteni obdržíme vyjádřené algebraickým součtem o malém počtu členů. Vypočteme lim s = s n=l af= O n=2 n=3 n=4 n=5 J»^J - lj/2 - O 0^2 + 1^5 - l^ - 1^3 a* «1^3 + lp^T - I9/4 - 1^/5 a4 =1^4 + lí/9 - li/í - Íf/Í a, =Xp^5 + ln 11 - ln 6 - lj/9 ln(p4.) + ln(2^1)-lr>/h - ln(^3) aa = ln/ž + ,]j3(2n+l)-ln(n+l)-ln(2^1) ln(2n+l)-ln(n+l) ln lim en = lim ( ln Dané řada je konvergentní. In (lim -|S±1 ) = ln 2 = S 242.cvičeni. Užitím eoučtu S vyšetřiti konvergenci řady : co a) S (Vn+2 - 2.VĎ+1 + Vň") , b) ' ^— 1 (odstraňte odmocniny n=l ^T- \/ň" +Vň^I3 z jmenovatele) y_ n=l ^"S = 1 - V2i konverg. _7 ^~s= iijnVn~ = +00, řada diverg. _7 Součet některých nekonečných řad..jejichž n-tj člen lze rozložit ha parciální zlomky. ~2_ Často jsou to řady typu ( ^ je celé(kladné CÍ3i0 /186/.přiklad. Vypočítati součet S nekonečné řady 1 .1,1 _1_ ! Bn " n.(n+2) " 2** n " n+2 ' 2an -\ Čili n=l n=2 n=3 n=4 n=5 n+2 » 2a1 = 1 2a0 X 2a c ^.2 - % -M 2an-i = Ä - sir 2an =^ " ň+2 . = i + 1 - i ( -i- + -±- 1 sn 2.4 2*1 n+1 n+2 ' lim sn » § S * í b 4 V obecném případě 1 n.(n+k) Daná řada je konvergentní, k 1 k n=l _1_ n - 192 - cvičeni. Užitím součtu S vyšetřit! konvergenci řaáy a) b) O d) Jl~n.(n+i) ' ^ sn = 1 " n5T » s = lim sn = řada Je ^onverg. J n^T oo n=l oo (n+lh(n+4) • <\ = Z + Í* kŕ - 3(nfe + A + Ä>'S = P konv' -7 e) 3> -*- i /~ar, ■ T< 1 - r^TT 5 , S s i ; konvergentní / (3n-2>(3n+l) " n 3n+1 3 n=J oo J ^ -«i- ' L an = ?C 1 " Zn+T ^ , S = i ; konvergentní 7 4iT - 1 3 A 2^ r ^"sn = Kí " (n+l)(n+2T ) • S " í konvergentní./ n=T g) h) rrSfi 2n+l /~a„ * 1--*—s- » S = 1 ; konvergentní 7 n= k) p*-*>t K, - h ( 1--i—? } . s * 5 i konvergentní 7 ^> (2n-l)Z(2n+l)Z n 5 (2n+l)2 ' 8 P_o_d_m_^n_k_r_-_k_^_n_v_e_r_g_e_n_c_e___££kor ^čn^chjSadj. llé-li řada konvergovat,musí lim a_ = 0 (podmínka n u t n á).To znamená,že je-li lim a^sO, lze říci,že řada mize konvergovat.Je-li lim a^ ^ 0, řada diverguje. Pro další úvahy je důležité tzv. harmonické řada. £? i ■ ********.........*♦...... I • * u níž lim O , avšak o řadě se dokazuje,že je divergentní. Existuje i podmínka .nutná a postačujíc^ ke konvergenci nekonečné řady( Bolzano- Cauchyův konvergentní princip),které se užívá k odvozeni konvergenčních vět (kriterií) a kterou lze někdy vyšetřit konvergenci nekonečné rady,když selhávají jednoduěší prostředky. II. raiTORIA__KOOTERGBNCT__NEKONEČNÝCH^ _ŘADi (Podmínky postačující) Užijeme několika základních kriterií pro konvergenci nekonečných řad s n_^_m_i___iLl_£~2_yt 1. KMr i t e r 1 um___s_r_o_v_n_á_v_a_c_í_i Nechí \ aQ f \ bn jsou řady s kladnými členy a neehí n=l n=l od určitého indexu počínaje jest = bn.(Sada ^> &n je majorántou k řadě an, řada } an je minorantom k řadě } &n.) Pak platí: ?4 904 P13 - 195 - a) Je-li řada \ bn konvergentní, je také řada N^" an konvergentní. ( Konverguje-li řada s většími členy, konverguje i řada s menšími členy.) b) Je-li řada ^> &n divergentní, je také řada bn divergentní. (Diverguje-li řada s menšími členy,diverguje i řada s většími Sieny.) Poznámka r K zjištění konvergence nebo divergence řady tímto kriteriem,musíme ■ užít pomocné řady, o níž vine,že je konvergentní nebo divergentní. 7187/.příklad. Vyšetřiti konvergencí nebo divergenci řady i a) V2 -4- = l*i2 + V+ i7+............ ' an = *"T~ VysetřujSie konvergenci ; Pomocná konvergentní řada : oo i—lil 1 1 >" Tíi^nň " ~Tľ2 + 27J + 5ľ4 ++ Tn^Dň + ""V IRH Ukážeme,že platí —;j =--čili, že zvolená řada je majorantou . n (n-l)n Platí pro každá n : n ~p~ (n-l).n a tedy -4""^- - Pr° n ^ 2 ( jak bylo dokazati ) tl (n-l).n Daná řada ( a menšími členy) je konvergentní. Konvergují také řadyr \ —■—*— ,kde k je celé číslo. b) \ 1 pro p = 2 ,P n=l nx n 2" 1 ^ 1 Je-li p>-2 , jest nO-n a tedy np ^ n2 Poněvadž řada ^ ~9 ( s většími členy) je konvergentní,konverguj 3 1 i řada j£ C a menšími členy) pro p 7" 2, Konvergentní jsou také řady \" —1 ■■ , p 'Z 2, k celé číslo. — (n+k)p Některé řady pro srovnávání řad 00 , Řj^r J^, a. q , geometrická řada o jqj< 1 (konverg.) |q.|>l (diverg.) i 2! JET ňTn+TT = + 275" + TTT ++ TOU +• (konverg. J n=l V ^ -~ = 1 + -~- * "™ +.....+ -~- + P > lj (konverg,) SX # 2P 3p n? *p< l, (diverg.) a pro p=l (řada harmonická): \l y± I = 1 + j + ^ + | + ........+ 1 + ..... (diverg.) Týž konvergenčni charakter mají i řady,jež vsniknou,když do n-tého členu za n dosadíme (n+k),kde k je celé číslo;. - 194 - 24904 Z13 yšetřeni konvergence nek.řady srovnáním s geometrickou řadou. '188/. příklad. Dokázat! konvergenci řady: a) 0<: i- *■ JL + n=T" n.21 1.2 2.4 3.8 Pro n 3* 1 platí : 2n <~ n.2n čili ' n.2n 2n n.2n Geoia.konverg.řada je majorantou k řadě , které je tedy také konvergentní, oo 00 1 1 b) ^JJT sin -~j = sin ^ + n=l + sin ^ + sin g + Ze vztahu ^ y sin áU ,0, plyne ~ > sin ■=— Sr 2n pí. oo Geom.konverg.řads ^ -i- je majorantou k řadě ^> sin -~ , n=l je teké konvergentní. 244.cvičeni. Dokázati konvergenci řad 2n které d) oo a- (2n ■ . n=T n'5 m n-3 n=T n ; oo_ oo 1 g- i , e) > - , f) y sin JL VySetření konvergence ŕBdy srovnáním s konvergentní řadou \ g (n+l) * p~*p* r- r á Viz příklad 5ís./3°í/. u-2 o« oo 245.cvičení. Dokázati konvergenci ředy : a) <* Žíl ^ ín+l)2 c) ^ (n+l)(n+4> * d) rr+ 2n - 3 n=l n=2 ~ ' _ * oo Vyšetření konvergence řady srovnáním s konvergentní řadou oo n= 5~ -» PriP* (n-ir , případně n=2 n=3 (n-2) 2 * /18Q/.příklad. Vyšetřit! konvergenci řa Pro ta ždé n platí : nTT n + n4+ 3 _ 1 Konverg.řada \ —j je majorantou k řadě — , které je tedy n n + 3 n=l n »2 ta ké konverfp ntni. oo A90/.Příklad. Vyšetřiti konvergenci fedy J> —— -rj n - 4a ♦ 5 . Platí: n2- 4n + 5 (n-2)2 a tedy -5-*- — n - 4n + 5 (n-2) 00 2 » Konvergentní řada 00 00 \ —-—5 je majorantou k fedě \ —*-i— n^ (n-2)Z n^4n ♦ kter^je tedy také konvergentní. - 195 - m I 246.cvičeni. Dokažte konvergenci řad i oc 00 oc Čt) ) \^-i—5 » b) \ — » ^~majorantní řada \ -^ / , n^r n + 4 ^ n ) \ -5--- , /"as jorantni řada J> -, 7 £=I n2-2n+2 ^ (n+l)S+2)(p+;» • r^áorartní řada >~ 2 _7 n=l oo Vyšetření divergence srovnáním s harmonickou řadou ~— , připadne oo po n=l 0=1 n_2 /191/.PŤiklad. Dokažte divergenci řady : co S) <~_i___1- * -i- * *......... * —-i- * ^ log(n+l) log 2 log 3 log 4 log(r.+l) Pro každé n platí : n + 1 7" log(n+l) a tedy <■ log|R+1^ oo oo Divergentní řada ^> n^ je mincrantou k dané řadě l0g(n+l? n=T n»I která je tedy také divergentní, oo b) > 1 = -i- * -i- + +.........* _i- + n= /n(n+2) VTT5 V2.4 V3.5 Vn(n+2) Platí: (n-t-2)(n+2) 7- n(n+2) , VCn+2)(n+2)^- Vn(n+2) , n+2^Vn(n+2) -i—<-. 1 2=- n+2 Vn(n+2) Divergentní řada J> <3e minorantou k dané řadě,která je také divergent. 247.cvičení. DokaJfcte divergenci řady : 00 o-_ 00 00 jy a) V r. _ oq_ a f) \ —i— , g) 31 n/ 1 » ťfn^l°g n>Vlog n _7 n=2 los n WI- V loě n 2. Kriterium podílové ( iAlembertovo). Vyslovíme přímo tzv. limitní podílové kriterium : a . Kechí ^ s„ je řada s kladnými Cleny .Existuje-li lim -—- = L , n an pak daná řada konverguje , je-li L^l 1, diverguje , je-li 1 , Je-li L = 1 , nelze tímto kriteriem o konvergenci řady rozhodnout . - 196 - /192/.příklad. Vyšetřit! konvergenci řady : oc _ a) \ _a_ = 1 + _2_ + ? + ____+ -2- +..... -4 2n 2 22 23 2n n+1 ~? ,. Daná řada je konvergentní. oo np 2P 3P np n=l 1 "7 O konvergenci dané řady neize tímto '.teriem rozhodnout. Podílové kriterium selhává u dalších základních nekonečných je d \ 1 1 'V -K- a jiných . n bT Daná řada je konvergentní. ££- n 2 T d) > -|- = a + -S- + -fr- + ...........+ -j— + ...,kde a je konstanta,870 L - lira J** - lim • lim g$ - a.li- ^ = a.l = a n a n Daná řada konverguje pro a *C 1, diverguje pro a ^-1, oo T" 1T "íT "ÍT" T" g) ^"n.tg^T = tg 4 + 2-tfi 8 + 3*tg T5- + + n=l ^ konverg. 7©' V ^ , flm*&jt c> ,h ,^onver6._7 d) J> ——, /"diverg. 7 e) ÍJň-l- • ^ divergentní _7 -jgj 2n(2n+l) ' - 2 oo f) V" ■4E=2- , C konverg. 7 - 197 - í příkladech dalšího cvičeni užijte při úpravě vztahu : k I = k.(k-l)t Napříklod : (n+l)I ■ (n+1). ni <2n+2)l = <2n+2).(2n+l>t = 2.(n+l).<2n-H).(2n)l 249. cvi žení.Vyšetřiti. aä a daná řada konverguje nebo divergují : fy » a > 0 , / konverg. pro každé a . nsn « c) \~ lQOcfi ^"konverg._7 » d) BJL f /" divergentní 7 , e) jj" _2^_ , ^onverg.,7, » ^> T2nTl • A-vergentní .7 , ^ 2 oo _ 6> V" -[f^y , Aonverg.J h) t /"konvergentní .7 , n=l n=l 250. cvičeni. Vyšetřiti,zda * řada konverguje nebo diverguje : oo oo_ n a> > ^ , konverguje J , b) > ^- , ^diverguj* J -~ n ^rr nl c) V* 2^Slt ^-konvergu* 7 , a) J5" n2*sin » r^<^v*reuje _7 nŽľ * n€ 2. Kriterium odmocninová (Caoch.yovo). Opět vyslovíme přímo tzv. limitní odmocninové kriterium : Nechí ^> aQ je řada s kladnými členy .Existuje -li limVä^ = L pak daná řada konverguje , je-li 1, diverguje , je -li L > 1 . Je-li L = 1 , nelze tímto kriteriem o konvergenci la dy rozhodnout. Odmocninového kriteria užívané ,když člen an je n-tou mocninou výrazu sávislého na n nebo takovou mocninu obsahuje činitele. /193/. příklad. Vyšetřiti konvergenci řs dy : n=l Pf— 1 L = lim V an = lim ň = °* Danó isda je konvergentní. ~ a* - - a . a2 . b) \ — arctg n arctg 1 erctg^ arctg n n=l L = limV^ =11» arc*g g - á.li» 5rcTg-5 = 8 ■ "F = ^ 2" 2" je-li a Utijte tohoto kriteria k vyšetření konvergence v příkladech cvičeni 248ibc. 4. K r i t e r i u .m__i _n_t_e _g_r_á _l^_í _I_Gauc^ _-_Maclaurin o vo Necht y a^ Je řada a kladnými členy «n * f (n) , přičemž funkce f (x) k 0 je spojitá a nerostouc! pro x > ot 4 °- pak řada ^ f(n> má týž konvergenčni charakter jako nevlastní integrál 00 J f(x) dx. * f Při uäSití ae zřejmě předpokládá, že výpočet integrálu / f(x) dx nebude činit zvláštních potíží. příklad. Integrálním kriteriem vyšetřiti konvergenci řady : a) } ňTíň+TT = T7Z + 27T +.........+ n.(n+l ) +...... 1 Funkce xTTx+T) je spojitá a nerostoucí pro x>l . Určujeme proto konvergenci nebo divergenci nevlastního integrálu /oo r 00 tX = lim I lni - ln(x+l) ['" = lim I In ~- P -t-* co 1 'j t-^oo I xfl '1 = lim {ln -ln ^J= ln 1 + ln 2 = ln 2 - 199 - VySetřovaný nevlastni integrál konverguje a tedy konverguje i daná řada. Konvergence dané řady byla vyšetřována užitím součtu S.Viz cvič.24-3a. ») Jl* - 1 * -ir * i ♦ >......+ ■h Funkcs - - je spojitá a nerostoucí pro x > O. -gž— ,1 Z00 i" 3dz s i. lim / z ? da = i.lim|2.1^| = / lftí+l * 4 * t*oo [ 4t*-i 1 = kim ( »T- 1) = + c» Nevlastni integrál diverguje,proto diverguje i daná řada. 252. cvičení. Integrálním kriteriem rozhodněte o konvergenci řady : a) » /"konvergentní / , b) -4— , L konvergentní J c) \ —, Ĺ konvergentní / , ä) \ -, / divergentní _/ •j* " ér 1 + n e) y -—.Aonvergentní /, f) ) J , i konvergentní./ t& (2n-l) -1 - H=T (n+1) g) > *■ 1 -■ ,/"divergentní/, h)--- ,£ konvergentní./ '(2n-3) (n+lí.yn k) Y22" -K~ , /"konvergentní./, m) _> ---5- , / konvergen._7 <~g n.lnJn (n+l).ln*(n+l) V následujícím cvičení volte vhodné kriterium k vyšetření konvergence řady. 253. cvičení.. Vyšetřiti konvergenci dané rady : r92 n3 n ■ a)> ľn , Z konvergentní _/, &)> xoOGn + 1 * í divergentní J n=l n=T ■ n^t 00 , _ 00 c) J~ _ 3 ■ ^"konvergentní / a>>~ arctg11 J, /"konvergentní J £32 n*ln - n=l n - ) fomžl /"konvergentní./ . f) "I3— 1 Z konvergentní _/ ér 2n-° i n " 9 &)Y , /"konvergentní./, h) 5 ^ , / divergentní _/ n-1 3 n=l n 00 _ oe k) 5 3~i".' /"divergentní / m)J--- / divergentní J nVr nn " (n+l).Ui(n+l) »)iT (1J^ 5 ,^onverg._/ o>iT „ \ , » i k°™rSentnl tři 1 + n 5=2 (log n) e - 200 - oa n - - QO p)^ n + 1 , / divergentní /, q)>^ 2n * - , / konvergentní _/ 551 521 vCi" £_a_d_y____s__t_l_a_d_n_^_m_I___i___z_á_2_o_r_n_1f_m_i___č_l_e__n_jt Síselná řada může obsahovat záporná členy. Jsou-li její členy střídavě kladné a záporné, nazývá se řada a_l_t_e_r_n_u_,i_í_c_ít Má-li řada x y_ & = a, * a, * a, £t n 1 2 3 - a, +a-,+aT+....... 4 an + **** některé Cleny záporné, pak řada Ianl = 'al' * laž' + I a3 í ++ laJ + všechny Sieny kladné. Platí : oo Jestliže konverguje řada s absolutními hodnotami,tj.rada^ Jan| , pak konver- guje i řada bez absolutních hodnot, tj.řada \ an * 7 takovém případě o řadě n=l al + *2 + a3 +pravíme, že konverguje absolutně. /195/.uriklad. Vyšetřiti konvergaci řady : n-1 _1_ _ ! _ 1_ * 1_ _ i_ * ... * r_,vtt-1 JL. a) J <-D »-±z = 1- ^ + ^- ^+........ + (-1) + Daná řada konverguje, a to absolutně, poněvadž konverguje příslušná řada z absolutních hodnot ,tj, řada 11 1 1 + -A*- + ■*- + + ..... * + 2d T ť n b) ^ cos_jia. = cos_« + eoa 2« +......+ cps nC +......kde «. jť r- cos ér libovolné . Vyšetřujeme konvergenci řady z absolutních hodnot ,tj.řady 3 |eos n<*l . 2 2^ 2* libovolné číslo. oo . y Icoa n«l , , Platí |cos n*l S 1 a ^eá7 ^aké 2n < -jj- Konvergentní geometrická řada^^ je majorantou k řadě J °^ Icos n«cl 2n n=l h^T * která je tedy také konvergentní. Daná řada konverguje absolutně. Alter""-'-''"' můŽe někdy konvergovat,! když příslušná řada z absolut- ních hodnot diverguje.Pak pravíme,že taková řada konverguje relativně (neabsolutně) Viz následující příklad. Pro konvergenci alternující řady se uživá tav. kriteria Leibnizova: Alternující řada X an konverguje, je-li splněno : 1) od určitého indexu pro každé n platí I an+l I = lan I 2) lim |aj . o - 201 -