Teorie množin: otázky Helena Durnová Jaro 2017 Tento souhrn slouží k tomu, abyste si sami odpovědi na uvedené otázky našli, např. ve skriptech E. Fuchse Teorie množin pro učitele (v různých vydáních; můžete použít libovolné vydání). Jako pomůcka a uvedení do problematiky může dobře posloužit kniha Bedřicha Pospíšila Nekonoečno v matematice, ev. jiné populárně zaměřené knihy o nekonečnu. Pojmy a poznatky uvedené v závorkách jsou nepovinné. Pokud máte jakékoliv připomínky k textu, pište na adresu: h.durnova@ped. muni. cz 1 Vstupní test, aneb co byste už měli vědět • 0,99 periodických = 1,00 atp. • konstrukce číselných oborů (okruh ke SZZ (Bc.)) • definovat sjednocení, průnik, kartézskýc součin dvou množin, systém podmnožin 2A, odvodit vzorec pro výpočet počtu podmnožin dané (konečné) množiny • (samozřejmě) definovat pojem relace (jako podmožiny kartézského součinu) mezi množinami, inverzní relace, skládání relací; dále pro relace na množině a její vlastnosti: reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní; ekvivalence a rozklad, uspořádání (vč. hasseovských diagramů a ponětí, jak je konstruovat) • definovat homomorfismus (lineární zobrazení), dále izomorfismus dvou množin: zachování struktury operace (bijektivní lineární zobrazení) nebo relace - pořádkový izomorfismus) • definovat pojmy uspořádaná množina, úplně uspořádaná množina • (samozřejmě) neplést si pojmy asociativní a komutativní (operace!!!! nikoliv relace), distributivní zákon (ptáme se na jeho platnost, když máme dvě operace) • (samozřejmě) definovat zobrazení množiny na množinu a speciální případy: surjekce, injekce, bijekce; též inverzní zobrazení 1 • výroková logika: logické spojky "a zároveň" (konjunkce), "nebo" (disjunkce), "když - pak" (implikace), "právě tehdy když" (ekvivalence); negace složených výroků a výroků s kvantifikátory • důkazy: přímý, nepřímý, sporem, matematickou indukcí 2 Výstupní test, neboli zápočtový Definice: kromě přesné definice je žádoucí promyslet si vhodné příklady k jednotlivým pojmům: • sjednocení a průnik libovolného počtu množin (pomocí indexové množiny) • kartézský součin libovolného počtu množin (pomocí indexové množiny) • rovnost množin • ekvivalence množin • spočetná množina, nejvýše spočetná množina, nespočetná množina • součet uspořádaných množin • součin uspořádaných množin • součet kardinálních čísel • součin kardinálních čísel • uspořádání kardinálních čísel, relace < pro kardinální čísla • mocnina kardinálních čísel • dobře uspořádaná množina • řetězec, konečný řetězec • začátek, vlastní začátek • mohutnost kontinua (c := 2N°) • ordinální typ • součet ordinálních typů (jako součet uspořádaných množin) • součin ordinálních typů (jako součin uspořádaných množin) • mocnina ordinálního typu a její zpřesnění pomocí transfinitní indukce • ordinální číslo • uspořádání ordinálních čísel, relace < pro ordinální čísla 2 • množina všech ordinálních čísel menších než a • ordinální číslo limitní a izolované • množina všech spočetných ordinálních čísel (k tomu: počáteční ordinální číslo mohutnosti m) • (definice množiny W{a) jako množiny všech ordinálních čísel [3 takových, že f3 < a) • (alefy: definice 6.8 na str. 101) • (Z(m) - množina všech ordinálních čísel mohutnosti m; ui{m) -počáteční ordinální číslo mohutnosti m) - toto ord. číslo je vždy limitní) Věty: kromě přesného znění je dobré si promyslet vhodné příklady a protipříklady. • vlastnosti sjednocení a průnik libovolného počtu množin (analogie asociativního zákona, komutativního zákona, distributivních zákonů, de Morganových pravidel,...) • vlastnosti zobecněného kartézského součinu (např. vzhledem k průniku a sjednocení) • vlastnosti dobře uspořádaných množin (např. jednoačnost izomorfismu uspořádaných množin) • vlastnosti součtu a součinu uspořádaných množin (platí asociativní zákon? komutativní zákon? distributivní zákon? jsou relace G + H a G ■ H definované na množinách uspořádání? co je součtem a součinem řetězců?) • nekonečná množina obsahuje vlastní podmnožinu, která je nekonečná • nespočetná množina obsahuje spočetnou podmnožinu takovou, že rozdíl původní množiny a této podmnožiny je nespočetná množina • kartézský součin dvou (tří, ... spočetně mnoha) spočetných množin je spočetná množina - uveďte příklady množin, které jsou na základě platnosti této věty konečné, víte-li, že množina přirozených čísel je spočetná • porovnávání kardinálních čísel (Cantor-Bernsteinova věta; libovolnou množinu kardinálních čísel lze uspořádat; libovolná dvě kardinální čísla jsou srovnatelná, tedy každá množina kardinálních čísel tvoří řetězec) • Cantorova věta (k libovolnému kardinálnímu číslu existuje větší kardinální číslo) • množina všech reálných čísel v intervalu (0,1) je nespočetná; množina všech reálných čísel je s touto množinou ekvivalentní; POZOR, to neznamená, že neexistuje mohutnější množina než R 3 • sčítaní nekonečných kardinálních čísel (např. mohutnost sjednocení spočetné a nespočetné množiny); uveďte příklady nespočetných množin • množina je nekonečná právě tehdy, když obsahuje vlastní podmnožinu, která je s ní ekvivalentní • pro sčítání a násobení kardinálních čísel platí komutatovní a asociativní zákony a také distributivní zákony (pravý i levý) • vztahy pro "umocňování" kardinálních čísel a pravidla pro počítání s mocninami pro kardinální čísla • pro sčítání a násobení ordinálních typů platí asociativní zákony • sčítání a násobení ordinálních typů obecně není komutativní • pro sčítání a násobení ordinálních typů platí levý (ale ne pravý) distributivní zákon • množina M/(a)všech ordinálních čísel menších než a má ordinální typ a • každá množina ordinálních čísel je dobře uspořádaná • pro nerovnosti s ordinálními čísly platí obdobná pravidla jako pro nerovnosti s reálnými čísly (pozor, přičítat se musí z téže strany, protože sčítání ordinálních čísel obecně není komutativní) • (každé nekonečné číslo je některým alefem; každé ordinální číslo je indexem některého alefu) • každá množina kardinálních čísel je dobře uspořádaná • (Pro každé ordinální číslo a platí Na • Na = Na) • součet i součin dvou nekonečných kardinálních čísel je větší z těchto dvou kardinálních čísel. • (pro každé ordinální číslo a platí card(Z(^,a) = Na+1) • (množiny Z{$,a) a W{ujaipha+i) mají stejné kardinální číslo a stejný ordinální typ) Vysvětlete, co znamená: • "zákon vyloučeného třetího" (tertium non datur) • antinomie teorie množin • axiomatická metoda (axiomatická teorie) • naivní teorie množin 4 • transfinitní indukce (rozšíření matematické indukce pro dobře uspořádané množiny) • algebraické číslo • transcendentní číslo • řekneme-li, že neexistuje množina všech kardinálních čísel (a že tedy třída všech kardinálních čísel) • řekneme-li, že neexistuje množina všech ordinálních čísel (a že tedy třída všech ordinálních čísel) • řekneme-li "pohlcovací zákony" Vysvětlete, jaký je rozdíl mezi: • ekvivalencí a rovností množin • množinou a třídou • důkazem konstruktivním a existenčním • dobře uspořádanou množinou, úplně uspořádanou množinou, lineárně uspořádanou množinou, řetězcem • ordinálním číslem izolovaným a limitním • ordinálním číslem a ordinálním typem Okruhy k zápočtu • Jak se matematici v minulosti vajdařovali k nekonečnu a srovnávání nekonečně velkých množin? (Uveďte, co vám utkvělo v paměti - nápověda: Galileo, Spinoza, Bolzano, Cantor, Kronecker, ...) • Vysvětlete rozdíl mezi ekvivalencí a rovností množin (definujte oba pojmy, uveďte příklady). • Napište, co víte o nekonečných kardinálních číslech; zejména definujte pojmy spočetná a nespočetná množina. Dokažte spočetnost množin Z, Q a naznačte důkaz nespočetnosti množiny R. Uveďte, jaké znáte spočetné množiny. Jaké je největší kardinální číslo? • Napište, co víte o ordinálních typech a ordinálních číslech; zejména uveďte, jaký je mezi nimi rozdíl (ord. typ vs. ord. číslo, ....) • Axiom výběru a věty s ním ekvivalentní — Zermelova věta, Hausdorffova věta, Zornovo lemma — formulujte jejich znění 5 References [1] Bečvář, J. a kol. 1982. Seznamujeme se s množinami. Praha: SNTL [2] Bukovský, L. 1979. Množiny a všeličo okolo nich, Bratislava: Veda. [3] Fuchs, E. 2000. Teorie množin pro učitele, Brno: MU. [4] Pospíšil, B. 1949. Nekonečno v matematice. Praha: JCMF. Dostupné na DML.CZ 6