Posloupnosti - základní pojmy a vlastnosti
Definice. Posloupností rozumíme funkci, jejímž definičním oborem je množina Z nebo její libovolná podmnožina. Prvky každé posloupnosti nazýváme jejími členy.
Poznámky.
1. Nejčastěji budeme pracovat s posloupnostmi, jejímiž definičními obory bude množina N.
2. Je-li definičním oborem posloupnosti konečná množina, hovoříme o konečné posloupnosti, v opačném případě říkáme, že posloupnost je nekonečná.
3. Místo obvyklého zápisu pro funkce tvaru a{n) v případě posloupností píšeme an. Posloupnost s definičním oborem N pak zapisujeme {an}^Li- V takové posloupnosti tedy an značí její n-tý člen.
4. Podobně jako u funkcí také u posloupností používáme pojmy: prostá posloupnost, monotonie, omezenost, obor hodnot, ... Tyto pojmy tedy nyní není třeba nově definovat.
5. Grafem jakékoliv posloupnosti je množina izolovaných bodů.
6. Posloupnost zpravidla zadáváme předpisem (tj. explicitním vzorcem pro n-tý člen), např. an = n2 — 3n + 2. Méně častým způsobem zadání posloupnosti je tabulka hodnot či graf, které můžeme použít spíše v případě konečných posloupností.
7. Na rozdíl od funkcí můžeme posloupnosti zadávat také rekurentně (viz dále). Úlohy.
1. Napište prvních pět členů posloupnosti {an}^Li a načrtněte její graf, je-li
(a) an = (n- 2)2,
(b) an = l.
2. Vyšetřete monotonii posloupností
(b) { [|] }™=1, kde [x] značí celou část čísla x, tj. nej větší celé číslo, které číslo x nepřevyšuje,
(c) {-s f Cr
3. Rozhodněte, zda jsou následující posloupnosti prosté
(a) {7-4,1}",,
C) {<=VL-(o) {(*)"}-.-
4. Rozhodněte, zda jsou následující posloupnosti omezené, případně alespoň jednostranně omezené
(a) {3sinn}~=1,
(c) {3-n2}~=1,
(d) {(-2)X=r
5. Vyšetřete obor hodnot následujících posloupností
(a) {2n-lC=1,
(b) {sin f }~r
6. Najděte všechna x E IR, pro něž je posloupnost
nx
n
n=l
klesající.
7. Vzorcem pro n-tý člen uveďte příklad posloupnosti následujících vlastností. Případně zdůvodněte, proč příslušná posloupnost nemůže existovat.
(a) Posloupnost {an}^Li je omezená hodnotami — 1 a 3, přičemž obě dvě patří do jejího oboru hodnot.
(b) Obor hodnot posloupnosti {&n}^Li je množina, která má právě 7 prvků.
(c) Posloupnost {c}^ je nerostoucí, ale není klesající.
(d) Posloupnost {d}™=1 je rostoucí a omezená.
(e) Posloupnost {en}™=1 je omezená a jejím oborem hodnot je nekonečná množina.
(f) Posloupnost {/n}^Li je klesající a není prostá.
(g) Posloupnost {(?n}^Li není ani jednostranně omezená a není ani prostá.
Návody a výsledky úloh.
1. Platí
(a) <2i = 1, (22 = 0, (23 = 1, (24 = 4, cl5 = 9,
(b) ax = 6, a2 = 3, a3 = 2, a4 = §, a5 = |.
2. Posloupnost
(a) je rostoucí (návod: an+1 - an =       - ^±
(b) je neklesající,
(c) není ani rostoucí ani klesající.
7
(n+2)(n+3)
> 0 pro všechna n E N),
3. Prosté jsou posloupnosti v (a) a (c). Je u nich třeba ukázat, že pro i ^ j je též a,j_ ^ clj. U (b) je např.
a2 = a3 = 4.
4. Posloupnosti v (a) a (b) jsou omezené, posloupnost v (c) je shora omezená, a posloupnost v (d) není omezená ani jednostranně.
5. Oborem hodnot je
(a) množina všech lichých přirozených čísel,
(b) {o^1;^}-
6. Ekvivalentními úpravami nerovnice
(n + 1) x nx
--— < -
n + 2       n + 1
vypočteme, že x < 0.
7. Neexistuje pouze posloupnost {/n}^Li, neboť každá klesající funkce (a tedy i posloupnost) je prostá. Vyhoví například
(_!)". 2 + 1, bn
cos ■
n
(-l)ř
.4.
Rekurentní určení posloupnosti
Rekurentní (slovo odvozeno z latiny) vzorec je takový vztah, pomocí něhož lze určit libovolný člen posloupnosti, „vrátíme-li" se na začátek a budeme-li postupně počítat následující členy. Rekurentní vzorec musí kromě jisté uvedené závislosti na předchozím členu (či více členech) obsahovat též příslušný počet počátečních podmínek (tolik o kolik členů zpět se rekurentní vyjádření vrací), aby bylo „odkud začít počítat".
Úlohy.
1. Napište prvních pět členů posloupnosti {an}^Li , Pro kterou platí
(a) an+i = 2an — 1, a\ = 2,
(b) an+2 = n + an, ax = 0, a2 = -1,
(c) an+2 = an+1 + an, ax = a2 = 1 - tzv. Fibonacciho posloupnost
(d) an+2 = 22±i, ai = 1, a2 = -2.
2. Pro každou z posloupností zadaných vzorcem pro n-tý člen najděte alespoň dva různé rekurentní vzorce tak, aby v prvním případě stačila jedna počáteční podmínka, ve druhém byly potřeba alespoň dvě počáteční podmínky.
(a) an = rj^-,
(b) bn = {n- l)2,
(c) cn = 2n.
3. Každou z uvedených konečných posloupností zapište vzorcem pro n-tý člen
(a) 9, 25, 49, 81, 121,
(b) -1,4, -7, 10, -13,
(c) 30, 20, 15, 12, 10.
4. Zamyslete se, zda jsou vámi nalezená řešení v předchozí úloze jednoznačná. Najděte vzorec pro n-tý člen posloupnosti, která má těchto prvních 6 členů
l;2;3;4;5;rr, kde x značí libovolné předem zvolené číslo.
5. Najděte vzorec pro n-tý člen každé z rekurentně zadaných posloupností. Své tvrzení dokažte.
(a) an+i = an + 2, a\ = 2,
(b) bn+1 = 2bn, &i = 3,
(c) Cn+i = — Cn(n+2) , Cl = 2-
6. Ukažte, že vzorec pro n-tý člen Fibonacciho posloupnosti je tvaru
1
71
VŠ\      (l - \/5N
Uhodli byste jej?