ZLATÝ ŘEZ Rozdělení úsečky na dva díly tak, že poměr větší části k menší je týž jako poměr celé úsečky k větší části. "Geometrie má dva poklady: Pythagorovu větu a zlatý řez. První má cenu zlata, druhý připomíná spíše drahocenný kámen." Johannes Kepler Historie •Rhindův papyrus (Egypt) • „V pyramidách je utajen tajemný kvocient, nazývaný seqt.“ •Euklides (Řecko) Eukleides (kol. 340 – 287 př. n. l.) sepsal na tehdejši dobu velkolepe dilo „Zaklady“,ve kterém uvedl úlohu: „Rozdělte danou úsečku na dvě nestejné časti tak, aby čtverec sestrojeny nad větší časti měl stejný obsah jako pravoúhelník, jehož jedna strana má délku menši časti a druha má délku cele úsečky.“ Jak si později ukážeme, řešením teto úlohy je pravě rozděleni dané úsečky v poměru zlatého řezu. • - rozdělení úsečky „ve středním a krajním poměru“ •Luca Pacioli (rensance) • - pojednání „O božském poměru“ – 1509 •Albrecht Dürer • - rozvinutí teoretických problémů nauky o proporcích •19. století • - používání názvů „zlatý řez“ a „zlatý poměr“ Zlatý řez obr013 vztah013 • •= zlatý poměr (j) • a = 1 vztah023 vztah033 vztah043 vztah053 Vlastnosti • •j‘ = - 0,61803 •(převrácená hodnota x) • • • • Þ jediné kladné číslo • s touto vlastností vztah063 vztah073 Rozdělení úsečky •1. máme úsečku AB a chceme ji rozdělit v poměru ZŘ •Na kolmici v bodě B odměříme polovinu délky úsečky AB, •sestrojíme úsečku AM, okolo bodu M opíšeme kružnici o •poloměru MB, okolo bodu A opíšeme kružnici o poloměru •AN a pak je bod C bodem zlatého řezu úsečky AB. obr023 •2. známe delší díl (AC) úsečky AB •Nad úsečkou AC sestrojíme čtverec a opíšeme kružnici se •středem F o poloměru FD. Průsečík polopřímky AC a •kružnice je bod B. obr033 •3. známe kratší díl (CB) úsečky AB •Bod G určíme podobnou konstrukcí jako v předchozím •případě, kde jsme hledali bod B. Pomocí kružnice o •poloměru CG, zjistíme bod A. obr043 Zlatý obdélník •= obdélník, jehož strany jsou v poměru j * lze vepsat do čtverce tak, že jeho všechny vrcholy dělí strany čtverce ve zlatém poměru obr163 * oddělíme-li od zlatého obdélníka ABCD čtverec AEFD, bude zbývající část opět zlatým obdélníkem; jestliže od obdélníka EBCF oddělíme čtverec GHCF, bude zbytek EBHG opět zlatým obdélníkem atd. obr173 zlate-obdelniky.jpg zlate-obdelniky-2.jpg * body F, H, J, L, …, postupně vyznačující zlaté řezy, leží na zlaté spirále obr183 zlata-Fibonacciho-spirala.jpg Zlatá spirála •Logaritmická spirála * nemění tvar, roste stejně do délky i do šířky tak, že zachovává tvar a poměr částí * skutečná spirála se nedotýká stran čtverců, ale protíná je pod velmi malým úhlem obr193 Zlatý trojúhelník •= rovnoramenný trojúhelník, v němž je poměr délky ramene a základny roven j * úhly při základně jsou rovny 72° a úhel při hlavním úhlu 36° vztah413 obr213 * opět platí, že když do daného trojúhelníku ABC vepisujeme největší možné rovnoramenné trojúhelníky, které mají rameno rovno základně předcházejícího trojúhelníku obr223 * lze sestrojit logaritmickou spirálu * vrcholy zlatých trojúhelníků leží na spirále, která má střed v průsečíku těžnic AA1 a DD1 * středy jejich oskulačních kružnic leží v bodech D, E, F, … obr233 Pravidelný pětiúhelník * jediný mnohoúhelník, který má stejný počet úhlopříček jako stran * nejnižší mnohoúhelník, jehož strany i úhlopříčky lze nakreslit jediným tahem * pentagram - znak tajného bratrstva pythagorejců obr018 Pravidelný desetiúhelník obr133 vztah353 Zlatý řez v pětiúhelníku •1. úhlopříčky v pravidelném pětiúhelníku se protínají v poměru zlatého řezu obr113 ∆ABE ~ ∆FAE |BE| : |AB| = |AE| : |FA| |AE| = |AB| = |BF| |AF| = |EF| |BF| : |FE| = |BE| : |BF| = j •2. poměr úhlopříčky a strany pravidelného pětiúhelníka je zlatý |EB| : |AB| = j •3. jestliže sestrojíme všechny úhlopříčky, dostaneme pěticípou hvězdu, uvnitř které je opět pravidelný pětiúhelník (KLMNO) a poměr stran pětiúhelníků je roven j2 (a = 36°) obr123 vztah273 obr123 vztah293 vztah303 vztah313 obr123 • 4. délky úseček KO, AK, AO, AD jsou členy geometrické posloupnosti vztah323 Fibonacciho posloupnost * 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,… * Poměr dvou po sobě jdoucích členů Fib. posloupnosti konverguje k číslu φ Výskyt v přírodě * logaritmická spirála vyjadřuje růst neživých částí živého tvora (zuby, rohy, schránky měkkýšů,…) * rohy dobytku a ovcí jsou částí závitu spirály * ukázkou prostorové logaritmické spirály je africký kudu obr096 * sloní kel, zub samce narvala obr106 * schránka hlavonožců z rodu Nautilus obr116 ulita-spirala.jpg slunecnice-log-spirala.jpg Ananas.jpg kaktus-spirala.jpg fibonacci-romanesco-cauliflower[1].jpg monalisa.png Užití v umění •OBRAZY: * při tvorbě obrazových formátů, určení výšky a šířky * při umísťování hlavního motivu do plochy formátu * často v obrazech Bohumila Kubišty (obraz Žně), Leonarda da Vinci obr017 poslednivecere.jpg obr027 David-michelangelo.jpg PROPORCE LIDSKÉHO TĚLA: * renesance – nejkrásnější útvary jsou ty, v nichž lze najít zlatý řez •Zlatý řez: * v poměru délek nad pasem a pod pasem * od pasu ke krku a od pasu pod kolena Ondřejův kříž •= kánon (vzorové rozměry) římského stavitele Vitruvia * délka rozpjatých horních končetin se rovná výšce těla a tudíž lze lidské tělo zakreslit do čtverce * kolem figury je opsaná kružnice, která má přirozený střed v pupku * tuto tzv. Vitruviovu figuru používal Albrecht Dürer a Leonardo da Vinci, který ji trochu poupravil * vitruviova-figura-leonardo.jpg ARCHITEKTURA: * Egypt – Cheopsova pyramida v Gíze * Řecko – Panthenón na Akropoli • - průčelí – část pravidelného desetiúhelníku obr087 - půdorys – desetiúhelníky vepsané soustředným kružnicím obr097 Užití zlatého řezu v digitální fotografii * altán ve středové kompozici a ve zlatém řezu http://digi.zive.cz/Files/Obrazky/techtema/slavicek_zlatyrez/02_altan_stred_m.jpg http://digi.zive.cz/Files/Obrazky/techtema/slavicek_zlatyrez/03_altan_m.jpg [USEMAP] Nalezení zlatého řezu pomocí třetin http://digi.zive.cz/Files/Obrazky/techtema/slavicek_zlatyrez/06_zlaty_rez_m.jpg [USEMAP] Použití zlatého řezu v makrofotografii http://digi.zive.cz/Files/Obrazky/techtema/slavicek_zlatyrez/07_makro_m.jpg Pro ty, co toho pořád nemají dost creditcard[1].gif galaxie-spirala.jpg clovek-pomery na lidskem-tele-2.gif clovek-pomery na lidskem-tele.gif Neveříte? J rtg-ruka.jpg zuby.jpg Pro ty, co chtějí objevovat další „Božské proporce“ Vzdálenosti planet Sluneční soustavy v jednotkách AU Merkur 0.371 AU Venuše 0.726 AU Země 1 AU Mars 1.512 AU Jupiter 4.956 AU Saturn 9.559 AU Uran 20.091 AU Neptun 30.017AU Pluto 39.5 AU Vypočtěte průměrnou hodnotu poměrů mezi sousedními planetami, např Venuše/mars + země/venuše + … housle.jpg Hudba sfér Hudba je tajné aritmetické cvičení, a ten, kdo se jí oddává, si neuvědomuje, že manipuluje s čísly. G.W. Leibniz (1646-1716), německý filozof Housle – Stradivari – dolní oblouk má střed v bodě, kde leží zlatý řez středové čáry; oka otvorů tvaru f jsou geometricky na místech určených zlatým řezem Piano – Oktáva má 13 kláves: 5 črných, 8 bílých, 5 černých je uspořádáno po 2 a po 3 Ladění: tón A = 440 Hz, velká sexta AC je pro C = 264 Hz, poměr 264/440 = 5/3 = Fb.č. Malá sexta: vyoké C = 528 Hz a E = 330 Hz, poměr 528/330 = 8/5 = Fb.č. klaviatura.jpg Najděte číslo φ Najděte další přírodní nebo člověkem vytvořené věci, na kterých lze změřit poměr 1: 1,618 Např. na klávesnici pc, na talíři v jídelně apod J This is The End