1. Souřadnice, vektory
Def. 1.1.
Uspořádané n-tice reálných čísel (a1,…,an) se nazývají n-rozměrné vektory
)a,...,a(a n1

,když jsou pro ně definovány právě:
a) rovnost a b
 

je právě když ai = bi pro každé i = 1, …, n
b) součet c a b
  
 
pak ci = ai + bi pro každé i = 1, …, n
c) násobení skalárem d k a
 
 .
pak di = k.ai pro každé i = 1, …, n
d) nulový vektor 0 0 0 0

 ( , ,..., )
opačný vektor   
 
a a( ).1
Čísla ai se nazývají souřadnicemi vektoru a

.
Věta 1.1.
Pro počítání s n-rozměrnými vektory platí tato pravidla.
a b b a
   
   komutativnost
a b c a b c
     
    ( ) ( ) asociativnost
a a
  
 0
k k a k k a1 2 1 2.( ) ( . ).
 
 asociativnost násobení skalárem
k a b k a k b.( ) . .
   
   distributivnost
( ). . .k k a k a k a1 2 1 2  
  
distributivnost
k a.
 
 0 platí když 1. k  0 a
 
 0
2. k  0 a
 
 0
3. k  0 a
 
 0
Def. 1.2.
Množina všech n-rozměrných vektorů s operacemi sčítání vektorů a násobením
vektoru se skalárem se nazývá n-rozměrný vektorový prostor Vn .
Def. 1.3.
Řekneme , že vektor b

Vn je lineární kombinací vektorů a ap
 
1,..., , když jej lze
vyjádřit ve tvaru : b k a k ap p
  
  1 1. ... .
kde ki jsou vhodná čísla, tzv. koeficienty lineární kombinace.
Není-li možno žádný z vektorů a ap
 
1,..., Vn vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních
vektorů, říkáme, že tyto vektory jsou lineárně nezávislé.
Věta 1.2.
Je-li v soustavě n-dim. vektorů i vektor 0

, pak je tato soustava lineárně závislá.
Věta 1.3.
Soustava vektorů a ap
 
1,..., Vn je lineárně závislá právě tehdy když
k a k a k ap p1 1 2 2 0. . ... .
   
    ; a alespoň jeden z koeficientů ki je různé od nuly.
Def. 1.4.
Každá soustava n lineárně nezávislých vektorů a a n
 
1,..., Vn se nazývá báze
vektorového prostoru Vn.
Věta 1.4.
Každý vektorový prostor má aspoň jednu bázi.
Každý vektor a

 Vn lze vyjádřit jako lineární kombinací vektorů báze. Každá
soustava n + 1 vektorů v prostoru Vn je lineárně závislá.
Příklad: báze
e
e
e
e
n
n









1
2
1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
( , , ,..., , )
( , , ,..., , )
.
.
( , , ,..., , )
( , , ,..., , )
.
kde ie

jsou tzv. základní jednotkové vektory.
Def. 1.5.
Vektorový prostor En. nazveme Euklidovským je-li navíc definována operace
skalárního násobení vektorů u v
 
.  ,  R a platí
u v v u
   
. . komutativnost
k).v.u()u.k.(vv.)u.k(

 asociativnost
( ). . .u v z u z v z
      
   distributivnost
v v
 
. 0 v
 2
Velikost vektoru

 u.uuu

Pokud │u

│= 1, nazveme vektor u

jednotkový.
Vektory u

a v

jsou navzájem kolmé (ortogonální), je-li u

. v

= 0.
Operaci u

. v

definujeme vztahem
u

. v

= 
n
i 1
ui vi
Pozn. geometrický popis
u

. v

= u . v . cosφ
φ