Def.1.6.
Báze  e1,....,en Eukl. vektorového prostoru nazveme ortonormální pokud platí:
ei.ej=0   pro  i* j ei.ei =1    pro V i
Pozn.
Vektor ú = (ui, U2, U3) v E3 je možno v ortonormální bázi vyjádřit
u = iVíěj + U2e2 + U3Q3
e, = (1, 0, 0) 52 = (0, 1, 0) ě3=rO, 0, 1)
Vektory e1; e2, e3 obvykle značíme T, ], k.     (v Kartézském souř. systému)
Pak u = ui i + U2] + U3k,       kde   ui i, U2 j, U3k .. .ozn. složky vektoru. Koeficienty lin. kombinace ui, u2, U3 ozn. jako souřadnice vektoru. Pravotočivá (kladná), levotočivá (záporná) báze.
VEKTORY V GEOMETRII
Geom. vektor - množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou délku a jsou souhlasně rovnoběžné.
Def. 1.7.
Dva nenulové vektory a ,b se nazývají kolineární, jestliže jejich umístění jsou rovnoběžná.
Def. 1.8.
Tři nebo více nenulových vektorů se nazývají koplanární, jestliže každý z nich je rovnoběžný s touž rovinou.
Věta 1.6.
Dva nenulové vektory ä ,b jsou lineárně závislé, právě když jsou kolineární. Věta 1.7.
Tři nenulové vektory v prostoru jsou lineárně závislé, právě když jsou koplanární. Def. 1.9.
Úhlem <p dvou nenulových nekolineárních vektorů a , b nazýváme dutý úhel polopřímek O A, OB .
Def. 1.10.
Skalárním součinem ä. b definujeme výraz a.b=|a|.|b|. coscp.
Def. 1.11.
Vektorový součin ä * b je vektor Č, pro který platí:
a) |ä|.|b|=a.Ď. sincp
b) c-ĺ a , Č-ĺ b
c) vektor c je orientován tak, že vektory ä , b, Č tvoří kladnou (pravotočivou) bázi.
Věta 1.8.
Pro vektorový součin č = a x b daných souřadnicemi v ortonormální bázi platí:
—» c
r r
k (t?
bs   l>2 b3
a2 a,
b2 l>3
i +
a3 a,
b3 b,
"í <*2
= (a2b3- a3b2J i + (a3bi - aib3J j + (aib2-a2bi) k
Věta 1.9.
Vektorový součin má tyto vlastnosti: a x b = - b . a
k. (axb) = (k. a) x b = a* (k. b) fa+bjxc=axc+bxc
Def.1.12
Smíšeným součinem 3 vektorů  a , b , c nazýváme [abc] = (a*b). c.
Věta 1.10.
Pro smíšený součin daných vektorů v ortonormální bázi platí:
abc
a^ a^ a^ bi b2 b3
Def. 1.13.
Dvojným součinem tří vektorů a,b,Č nazýváme vektor:
axb xc = b(a ■ c)-c(a ■ bj = = b(a- c)-a(p ■ c)
Pozn. Transformace souřadnic vektoru - máme
v = (vi,V2,V3)     v bázi (ui,u2,m)    (souřadnice vektoru v bázi nečárkované) v = (vi',V2',V3r) v bázi (u\,u2,u3)  (souřadnice toho stejného vektoru v bázi
čárkované)
Nyní souřadnice vektorů čárkované báze v nečárkované bázi:
Ul',U2',U3' V bázi (ui,U2,U3) .' Ul'= (U11, U12, U13)
U2'= (U21, U22, U23)
U3'= (U31, U32, U33)
Pak pro přechod mezi souřadnicemi nečárkovanými a čárkovanými vektoru v platí:
V1 = Vi'Un+ V2U21 + V3 U31 V2 = Vi'U12+ V2U22 + V3 U32 V3 = Vi'U13+ V2U23 + V3 U33