Def. 2.14.
Existuje-li vlastní limita
rU) = ]im f(Xo+Ax)-f(x0)
Je-li f{x) definována na okolí bodu xo, říkáme, že funkce ŕ má derivaci v bodě xo. Funkce f, která má v bodě xo derivaci, se nazývá diferencovatelná.
Věta 2.9.
Má-li funkce fy bodě xo vlastní derivaci, pak funkce ŕje spojitá v bodě xo. Def. 2.15.
Má-li funkce řderivaci v každém bodě intervalu (a, b) říkáme, že funkce ŕ má derivaci na intervalu (a, b). Funkce, která je definována v každém bodě x intervalu (a, b) a jejíž funkční hodnota v bodě x e (a, b) je f '(x) se nazývá derivace funkce ŕ na intervalu (a, b) a značí se f'.
Věta 2.10.
Derivace konstanty (tj. f{x) = k) je rovna nule (tj. f' (x) = 0). Věta 2.11.
Mají-li funkce u, v v bodě xo derivaci pak současně platí:
(u + v)' = u' + v'
pro V ( xo) ž 0.
(u i v )' = u'v + uv' Věta 2.12.
Jestliže funkce u = g{x) má derivaci v bodě xo a funkce y = f(u) má derivaci v bodě uo= g (xo), pak složená funkce y = f{g{x)) má derivaci v bodě xo a platí:
y'= f'(g(x))-g'{x)
Věta 2.13.
Jestliže funkce y = f(x) má derivaci v bodě x0, pak přírůstek Ay funkce lze vyjádřit ve tvaru Ay = f '(*0)Ax + uj(Ax )■ Ax , kde oj je funkce pro níž lim oj( Ax) = 0.
Ax->0
Def. 2.16. Funkci f'(x0) Ax proměnné Ax nazýváme diferenciálem funkce f v bodě x{ a označujeme df(x)/ x0.
Funkce	Derivace funkce	Podmínky
k	0	k = konst
x	1	xeR
n x	ji-i nx	xeR
-n x	-ji-i - nx	x? 0
x a	x a ln a	a> 0
x e	x e	xeR
log" x	1 xln a	x>0, a>0, a?0
ln x	1 x	x > 0
sin x	cos x	xeR
cos x	- sin x	xeR
tgx	1 cos2 x	71 x ? (2k £ 1) k = 0,± 1,...
cotg x	1 " sin2 x	n x^2k
arcsin x	± Vl-x2 1	xe(-l, 1)
arccos x	1 -Vl-x2	xe(-l, 1)
arctg x	1 1 + x2	xeR
arccotg x	1 - 1 + x2	xeR
Věta 2.14. Rollova věta
Nechť funkce ŕ má tyto vlastnosti:
a) je spojitá na uzavřeném intervalu <a, b>
b) v každém bodě <a, b> má derivaci
c) v krajních bodech f(a) = f(b) pak existuje v (a, b) aspoň jeden bod %, pro nějž f '(š) = 0.
Věta 2.15. Lagrangeova věta o střední hodnotě
Nechť funkce ŕ má tyto vlastnosti
a) je spojitá v <a, b>
b) v každém bodě <a, b> má derivaci
Pak v intervalu (a,b) existuje aspoň jeden bod % pro nějž f'(%)
= /(b)-/(a) b- a
Věta 2.16.
Má-li funkce fy bodě xo kladnou, respektive zápornou derivaci, pak je v tomto bodě rostoucí, respektive klesající.
Def. 2.17.
Říkáme, že funkce ŕ má v bodě x0 lokální maximum (resp, lokální minimum), existuje takové 5 - okolí bodu x0, že pro všechny body x + xo z tohoto okolí platí f(x) <f(x0), (resp. f(x) > Uxó)).
Pokud je splněna ostrá nerovnost, nazýváme extrém ostrým. Věta 2.17.
Má-li funkce fy bodě x0 lokální extrém a existuje v tomto bodě derivace, pak platí f'(x0) = 0.
Věta 2.18.
Má-li funkce fy bodě xo n-tou derivaci (n > 1) a platí-li
f'(xo) = f"(x0) = ....= /M(i0)=0a/w(x„) * 0.
Pak je-li
a) je-li n-sudé a f (n)(x0) > 0 má funkce f v bodě xo ostré lokální minimum,
f (n)(x0) < 0 má funkce f v bodě xo ostré lokální maximum.
b) je-li n-liché a f(n)(x0) > 0 je funkce f v bodě xo rostoucí,
f(n)(x0) < 0 je funkce f v bodě xo klesající.
Def. 2.18.
Říkáme, že funkce ŕ má v bodě xo inflexní (sedlový) bod, mění-li se v něm funkce z konkávni na konvexní nebo naopak.
Věta 2.19.
Je-li xo inflexní (sedlový) bod funkce f a má-li funkce f v tomto bodě druhou derivaci, pakV(xó) = 0.
Věta 2.20.
Jestliže na celém okolí bodu xo je f"(x0) > 0 pak je funkce f v bodě xo ryze konvexní, je-li f"(x0) < 0 je funkce f v bodě xo ryze konkávni.
Pozn.:
Přímka y = kx +q je asymptotou funkce f v bodě +°° (-<*>), právě když existují konenčné limity lim {f{x)-kx)= q , (resp. lim {f{x)-kx)= q).
x—>+co x—>-co
Věta 2.21. LHospitalovo pravidlo
a) Nechť lim f(x) = 0, lim g (x) = 0 nebo lim g (x) = 00.
X—>C X—>C X—>c
f (x)
b) Nechť existuje lim —— = A.
x^c g'(x)
Pak platí  lim ^ = lim
X^c g(x)        x^c g'(x)