0.1. KONVEXNÍ A NEKONVEXNÍ MNOŽINY BODŮ 1
0.1 Konvexní a nekonvexní množiny bodů
Definice 0.1 Množina bodů se nazývá konvexní, jestliže pro každé dva její body X,
Y platí, že úsečka XY je její podmnožinou. Prázdnou množinu a jednobodové množiny
považujeme také za konvexní.
Symbolicky zapsáno:
M je konvexní množina ⇔ (∀X, Y ∈ M)[XY ⊂ M ∨ M = ∅ ∨ M = {X}].
Množina bodů, která není konvexní se nazývá nekonvexní.
Příklad 0.1 Příklady konvexních množin bodů jsou znázorněny na obrázku 1. Příkladem
a) b) c)
Obr. 1
konvexní množiny bodů je také přímka, rovina, úsečka, polopřímka, polorovina a po-
loprostor.
Příklady nekonvexních množin bodů jsou znázorněny na obrázku 2.
a) b)
Obr. 2
2
Abychom dokázali, že daný geometrický útvar U je nekonvexní, stačí nalézt jedinou
jeho dvojici bodů X, Y takových, že úsečka XY není podmnožinou útvaru U, tj.
symbolicky zapsáno
U je nekonvexní množina bodů ⇔ (∃ X, Y ∈ U)[XY U].
Dokázat konvexnost útvaru bývá obtížnější. Někdy lze s výhodou užít následující větu:
Věta 0.1 Průnik dvou konvexních množin bodů je konvexní množina bodů.
Důkaz: Označme uvažované množiny M1, M2. Je-li M1 ∩ M2 = ∅ nebo je M1 ∩ M2
jednoprvková množina, je zřejmé, že věta platí. Nechť tedy M1 ∩ M2 obsahuje alespoň
dva různé body (viz obr. 3). Pak pro každé dva různé body X, Y ∈ M1 ∩ M2 platí:
X ∈ M1, Y ∈ M1, X ∈ M2, Y ∈ M2. Množiny M1, M2 jsou konvexní a tedy XY ⊂ M1
a XY ⊂ M2. Odtud plyne, že úsečka XY ⊂ M1 ∩ M2. Množina M1 ∩ M2 je tedy
konvexní.
M1 M2
X
Y
Obr. 3
Užitím věty 0.1 lze indukcí snadno dokázat, že průnik konečného počtu konvexních
množin je konvexní množina bodů.
0.2 Úhel, trojúhelník, čtyřstěn
V souladu s axiomatickou výstavbou geometrie užijeme dosud zavedených pojmů k
definicím konvexního a nekonvexního úhlu, trojúhelníku a čtyřštěnu.
Na střední škole jsme třídili úhly většinou podle jejich velikosti. Rozlišovali jsme
např. úhly duté, jejichž velikost byla větší než 0◦
a menší než 180◦
, úhly přímé, úhly o
velikosti větší než 180◦
a menší než 360◦
. Charakteristickými pojmy spojenými s úhlem
byly vrchol úhlu a ramena úhlu, pomocí nichž se úhel obvykle intuitivně zavádí.
V další textu budeme definovat konvexní a nekonvexní úhel a poznáme, že všechny
úhly patřící k některému dříve poznanému typu lze zařadit buď mezi konvexní nebo
mezi nekonvexní úhly.
0.2. ÚHEL, TROJÚHELNÍK, ČTYŘSTĚN 3
Definice 0.2 Nechť A, V, B jsou tři libovolné navzájem různé body. Konvexním
úhlem AVB pak nazýváme:
a. Průnik polorovnin AV B a BV A v případě, že body A, V , B neleží v přímce (viz
obr. 4 a).1
b. Leží-li body A, V , B v přímce a bod V leží mezi body A, B, lze za množinu všech
bodů konvexního úhlu AV B považovat každou polorovinu s hraniční přímkou AB
(viz obr. 4 b).2
c. Leží-li body A, V , B v přímce a bod V neleleží mezi body A, B, lze za množinu
všech bodů konvexního úhlu AV B považovat každou rovinu obsahující přímku
AB (viz obr. 4 c) i každou polopřímku V A (viz obr. 4 d).
Vrcholem konvexního úhlu AV B nazýváme ve všech případech bod V, rameny konvexního
úhlu nazýváme ve všech případech polopřímky V A, V B.
a) b)
c) d)
V
A
B
VA B
V A B V A B
Obr. 4
Pro konvexní úhel AV B užíváme označení AV B.
Konvexní úhly definované ve všech případech jsou konvexními množinami bodů,
což plyne z konvexnosti roviny, poloroviny, polopřímky a věty 0.1. Název konvexní úhel
tedy vyjadřuje, že se jedná o konvexní geometrický útvar.
Poznámka 0.1 Uvědomíme si, že v definici konvexního úhlu je obsažen úhel dutý –
viz případ a), úhel přímý – viz případ b), úhel plný – viz případ c) i úhel nulový – viz
případ d).
1
Je zřejmé, že takto lze definovat úhly ostré, pravé a tupé.
2
Je zřejmé, že v tomto případě jde o přímý úhel s vrcholem V a rameny V A, V B.
4
Poznámka 0.2 Konvexní úhel AV B, který je definován v případě a) definice 0.2, tj.
úhel dutý, jehož ramena leží v různoběžných přímkách, lze definovat také takto:
Neleží-li body A, V , B v přímce, nazýváme konvexním úhlem AV B množinu všech
bodů X roviny AV B, k nimž existuje bod Y úsečky AB takový, že X patří polopřímce
V Y (viz obr. 5).
V
A
B
X
Y
Obr. 5
Definice 0.3 Nechť A, V , B jsou tři body, které neleží v přímce. Potom sjednocení
doplňku konvexního úhlu AV B v rovině AV B a polopřímek V A a V B nazýváme
nekonvexním úhlem AV B (viz obr. 6).
V
A
B
Obr. 6
Pro nekonvexní úhel AV B užíváme označení  AV B.
Poznámka 0.3 Název nekonvexní úhel AV B vyjadřuje, že jde o nekonvexní množinu
bodů, což vyplývá např. z toho, že A ∈  AV B, B ∈  AV B a AB ⊂  AV B.
Sjednocením množiny všech konvexních a množiny všech nekonvexních úhlů je množina
všech úhlů.
0.2. ÚHEL, TROJÚHELNÍK, ČTYŘSTĚN 5
Definice 0.4 Úhly AV B, BV C nazýváme styčné právě tehdy, když jejich průnikem
je polopřímka V B a zároveň leží oba v téže rovině (viz obr. 7).
Definice 0.5 Dva styčné úhly, jejichž sjednocením je přímý úhel, nazýváme vedlejší
úhly (viz obr. 8).
V
A
B
C
Obr. 7
VA
B
C
Obr. 8
Definice 0.6 Nechť A, B, C jsou tři libovolné body neležící v přímce. Trojúhelníkem
ABC nazveme průnik polorovin ABC, ACB, BCA (viz obr. 9).
Symbolicky zapsáno:
ABC = → ABC ∩ → ACB ∩ → BCA.
A
C
B
Obr. 9
Body A, B, C nazýváme vrcholy trojúhelníka ABC,
úsečky AB, BC, CA nazýváme strany trojúhelníka
ABC a úhly BAC, ABC, ACB nazýváme
vnitřní úhly trojúhelníka ABC.
Poznámka 0.4 Z definice 0.6 a věty 0.1 vyplývá,
že trojúhelník je konvexní útvar, neboť je definován
jako průnik polorovin, což jsou konvexní množiny.
Uvedeme nyní ještě jinou možnost, jak definovat trojúhelník pomocí pojmů dříve
zavedených:
6
Definice 0.7 Nechť A, B, C jsou tři libovolné navzájem různé body neležící v přímce.
Trojúhelníkem ABC nazveme množinu všech bodů X prostoru, které patří všem
úsečkám AY , kde Y patří úsečce BC (viz obr. 10).
Symbolicky zapsáno:
ABC = {X ∈ Z; X ∈ AY ∧ Y ∈ BC}.
V
A
B
X
Y
Obr. 10
Definice 0.6 a 0.7 jsou příklady ekvivalentních definic
jednoho a téhož pojmu. Při zavedení trojúhelníku
definicí 0.7 je užito pouze pojmů bod,
úsečka a vztahu bod patřící úsečce. Tento princip
určení bodů náležících trojúhelníku může být užit
k prohloubení intuitivního chápání trojúhelníku na
1. stupni základních škol.
Trojúhelník je rovinný mnohoúhelník s nejmenším počtem vrcholů. V prostoru je
mnohostěn s nejmenším počtem vrcholů čtyřstěn. Jde tu o jistou analogii mezi těmito
dvěma útvary, která je patrná i při porovnání následujících dvou definic s definicemi
0.6 a 0.7 trojúhelníka.
Definice 0.8 Nechť A, B, C, D jsou čtyři body neležící v jedné rovině. Čtyřstěnem
ABCD nazveme průnik poloprostorů ABCD, ABDC, ACDB, CDBA.
Symbolicky zapsáno:
čtyřstěn ABCD = → ABCD ∩ → ABDC ∩ → ACDB ∩ → CDBA.
Body A, B, C, D nazýváme vrcholy čtyřstěnu ABCD, úsečky AB, BC, CA, AD,
BD, CD nazýváme hrany čtyřstěnu ABCD a trojúhelníky ABC, BCD, CDA,
ABD nazýváme stěny čtyřstěnu ABCD.
Definice 0.9 Nechť A, B, C, D jsou čtyři body neležící v jedné rovině. Čtyřstěnem
ABCD nazveme množinu všech bodů X prostoru, které patří všem úsečkám AY , kde
Y patří trojúhelníku BCD (viz obr. 11).
Symbolicky zapsáno:
čtyřstěn ABCD = {X ∈ Z; X ∈ AY ∧ Y ∈ BCD}.
0.2. ÚHEL, TROJÚHELNÍK, ČTYŘSTĚN 7
D
A
B C
Y
X
Obr. 11
Poznámka 0.5 Z definice 0.8 a věty 0.1 vyplývá,
že čtyřstěn je konvexní množina bodů, neboť je definován
jako průnik poloprostorů, což jsou konvexní
množiny.
Princip určení bodů náležejících čtyřstěnu v definici
0.9 může být užit k prohloubení intuitivního
chápání čtyřstěnu na 1. stupni základních škol
(podobně jako definice 0.7 k intuitivnímu chápání
pojmu trojúhelník). Neznamená to však, že by se
žáci seznamovali s těmito definicemi právě v této
podobě.
Cvičení:
0.1 Srovnejte zavedenou definici úhlu s definicí úhlu z Eukleidových základů na
straně ??, definice VIII. V čem se tyto definice liší?
0.2 Načrtněte dva konvexní rovinné útvary takové, že jejich
a) sjednocení je množina konvexní,
b) sjednocení je množina nekonvexní,
c) průnik je množina konvexní,
d) průnik je množina nekonvexní.
Totéž zadání a) – d) proveďte pro dva nekonvexní rovinné útvary.
0.3 Načrtněte a rozhodněte, zda se jedná o konvexní bodovou množinu:
a) trojúhelník ABC bez svých vrcholů,
b) trojúhelník KLM bez jednoho vnitřního bodu jedné své strany,
c) sjednocení vnitřku libovolného trojúhelníka a dvou různých bodů jeho obvodu,
d) rozdíl konvexního úhlu AV B a jeho ramene V A,
e) rozdíl čtverce ABCD a sjednocení dvou jeho stran,
f) sjednocení vnitřku čtverce ABCD a dvou jeho stran,
g) kružnice,
h) kruh.
0.4 Vyšetřete všechny geometrické útvary, které mohou vzniknout jako průnik dvou
trojúhelníků. Znázorněte a popište.
0.5 Volte dvojice konvexních úhlů (nikoliv úhly plné nebo nulové). Vyšetřete, které
geometrické útvary mohou vzniknout jako průnik těchto úhlů? všechny případy znázorněte
a popište.
0.6 Zopakujte si definici nekonvexního úhlu AV B a nekonvexní úhel AV B definujte
ještě jiným způsobem (ekvivalentní definicí). Lze definovat nekonvexní úhel jako
sjednocení nebo průnik dvou polorovin? Odpověď zdůvodněte.
8
0.7 Definujte trojúhelník KLM jako a) průnik tří polorovin,
b) průnik konvexního úhlu a poloroviny.
Znázorněte a definice symbolicky zapište.
0.8 V trojúhelníku ABC vyznačte vnitřní úhly. Ke každému z vnitřních úhlů určete
úhel vedlejší, tzv. vnější úhel trojúhelníku. Kolik existuje v každém trojúhelníku jeho
vnějších úhlů?
0.9 Zvolte různoběžné přímky p, q, jejich průsečík označte V . Na přímce p zvolte
bod P, na přmce q, bod Q. Každou z dvojic vrcholových a vedlejších úhlů určených
různoběžkami p, q definujte pomocí polorovin pQ, qP nebo polorovin k nim opačných.
Zapište symbolickým zápisem.
0.10 Na základě znalostí ze střední školy zobrazte: a) rovnoramenný trojúhelník,
b) rovnostranný trojúhelník, c) čtverec, d) pravidelný šestiúhelník, e) pravidelný pě-
tiúhelník.
0.11 Načrtněte pravidelný šestiúhelník ABCDEF se středem S a na obrázku vyznačte
dvojice úhlů a) styčných (nikoliv vedlejších), b) vedlejších, c) vrcholových, d)
souhlasných, e) střídavých, f) přilehlých.
0.12 Zobrazte čtyřstěn ABCD a určete jeho průnik s poloprostorem EFGH, jestliže
bod A leží mezi body E, C, bod B mezi body F, C a bod G mezi body D, C.
Literatura
[1] Francová, M., Matoušková, K., Vaňurová, M. Texty k základům elementární geometrie
pro studium učitelství 1. stupně základní školy, skriptum UJEP, Brno
1985.
[2] Francová, M., Matoušková, K., Vaňurová, M. Sbírka úloh z elementární geometrie,
skriptum MU, Brno 1996.
[3] Lomtatidze, L. Historický vývoj pojmu křivka, Scintilla Svazek 3, Brno 2007
[4] Vopěnka, P. Rozpravy s geometrií, Academia, Praha 1989
[5] Struik, D. J. Dějiny matematiky, Praha 1963. (z angl. originálu A concise History
of Mathematics, G. Bell and Sons Ltd., London 1956, přeložili Nový, L. - Folta,
J.)
[6] Katz, V. J. A history of mathematics: an introduction, Addison-Wesley Educational
Publishers, Inc., 2. vydání, 1998.
[7] Servít, F. Eukleidovy Základy (Elementa). Nákladem Jednoty českých matematiků
a fyziků, Praha, 1907.
[8] Bečvářová M., Eukleidovy Základy, jejich vydání a překlady Dějiny matematiky,
svazek 20. Prometheus, Praha, 2001.
9