Rozvoj geometrických představ – sbírka příkladů Studijní opora DiV Jitka Panáčová, Eva Nováková Obsah 1. Geometrická komponenta matematické pregramotnosti - „geometrické představy dítěte předškolního věku“ 2. Základní geometrické pojmy v historických souvislostech 3. Geometrické útvary a jejich vlastnosti - (teoretické základy) 3.1 Úsečka, polopřímka, přímka, lomená čára 3.2 Rovinné útvary 3.3 Polohové vlastnosti přímek a rovin 3.4 Tělesa 4. Shodnost 4.1 Shodnost úseček, grafický součet, grafický rozdíl a násobek úsečky 4.2 Shodná zobrazení v rovině 5. Měření geometrických útvarů 5.1 Délka úsečky 5.2 Obsah rovinného útvaru. Čtvercová síť 5.3 Objem tělesa. Stavby z krychlí 5.4 Jednotky míry Úvod Předkládaný učební text je určen studentům učitelství pro mateřské školy v prezenční i kombinované formě. Je sbírkou úloh k učivu předmětu „Rozvoj geometrických představ“. Svým pojetím navazuje na studijní oporu k tomuto předmětu. Sbírka obsahuje otázky a příklady, které by měly sloužit k ověření, procvičení, rozšíření a prohloubení Vašich potřebných oborově předmětových kompetencí k rozvíjení matematické pregramotnosti - matematických představ a zkušeností z reálného života dítěte v prostředí mateřské školy. Problematika je rozdělena do pěti oddílů. Do prvního z nich jsou zařazeny otázky zaměřené na téma geometrických komponent matematické pregramotnosti. Jejich řešení by mělo přispět k uchopení termínu „geometrické představy dítěte předškolního věku“. Druhý oddíl sbírky shrnuje otázky k základním geometrickým pojmům v historických souvislostech. Další oddíly nabízí úlohy o rovinných a prostorových geometrických útvarech, jejich vlastnostech, o shodnostech v rovině a o měření geometrických útvarů. Součástí jednotlivých oddílů jsou i otázky zaměřené na připomenutí pojmů, jejichž znalost a správné pochopení jsou klíčové pro správné řešení dalších úloh. Náměty pro jednotlivé úlohy byly převzaty z literatury, jejíž seznam naleznete na konci této sbírky. 1. Geometrická komponenta matematické pregramotnosti - „geometrické představy dítěte předškolního věku“ 1. Formulujte, jak chápeme matematickou gramotnost. 2. Formulujte, jak chápeme matematickou pregramotnost. Jaké aspekty jsou u dětí uplatňovány v rámci matematické pregramotnosti v praktickém životě, při hrách apod.? 3. Co rozumíte pod pojmem geometrické představy dítěte? 4. Jaké položky zahrnuje geometrická komponenta matematické pregramotnosti? 5. Jakým způsobem lze u dítěte rozvíjet geometrickou komponentu matematické pregramotnosti? 6. Uveďte příklady aktivit, jimiž lze v rámci geometrické představy u dítěte rozvíjet vnímání prostoru, určování směru a orientace v prostoru a v rovině. 7. Uveďte příklady aktivit, jimiž lze v rámci geometrické představy u dítěte rozvíjet chápání elementárních geometrických tvarů prostorových a rovinných. 8. Uveďte příklady aktivit, jimiž lze u dítěte rozvíjet představu o velikosti objektů. 9. Uveďte příklady aktivit, jimiž lze u dítěte rozvíjet představu o shodnosti, podobnosti a pravidelnosti útvarů. 2. Základní geometrické pojmy v historických souvislostech 10. Jakým způsobem se geometrie jako nejstarší matematická disciplína v dávné minulosti začínala vytvářet? 11. Jmenujte významné učence starověkého Řecka, kteří měli největší vliv na rozvoj geometrie. 12. Formulujte Pythagorovu větu. 13. Formulujte Thaletovu větu. 14. Co je náplní geometrie? 15. Co rozumíme pod pojmem elementární geometrie neboli euklidovská geometrie? 16. Co rozumíme pod pojmem geometrický útvar? 17. Co znamená termín planimetrie? 18. Co znamená termín stereometrie? 19. Jaké jsou základní geometrické útvary, na kterých je vybudována celá geometrie? 20. Co označuje termín axiomatická soustava geometrie? 3. Geometrické útvary a jejich vlastnosti - (teoretické základy) 3.1 Úsečka, polopřímka, přímka, lomená čára 21. Charakterizujte pojem úsečka AB. 22. Charakterizujte pojem vnitřní bod úsečky AB. 23. Charakterizujte pojem polopřímky ®AB a zapište symbolicky. 24. Charakterizujte pojem kolineární body. 25. Charakterizujte pojem lomená čára/jednoduchá lomená čára/uzavřená lomená čára. 26. Narýsujte úsečku AB. Na přímce AB vyznačte: a) bod C tak, aby bod A ležel mezi body C a B, b) bod D, aby B ležel mezi A a D, c) bod P, který neleží na úsečce AB, ale leží na polopřímce AD. 27. Na obrázku z předchozího příkladu a) vyznačte a vypište všechny dvojice opačných polopřímek, b) vypište všechny úsečky. 28. Jsou dány tři různé body K, L, M. a) Zapište všechny úsečky, polopřímky a přímky určené těmito body? Jak závisí počet těchto útvarů na poloze jednotlivých bodů?, b) Které bodové množiny mohou být průnikem (sjednocením) dvou z těchto úseček (polopřímek, přímek)? 29. Je dána přímka p a bod A, který na ní neleží. Zakreslete bod M tak, aby platilo: a) bod M náleží polorovině pA, b) bod M leží v obou polorovinách určených přímkou p, c) bod M leží v opačné polorovině k polorovině pA. 30. Rozhodněte, který z geometrických útvarů na obrázku je lomená čára. 31. V případě lomené čáry z minulého příkladu rozhodněte, který útvar je či není uzavřená lomená čára. Ve kterém případě lomené čáry se jedná o jednoduchou lomenou čáru? 32. Vyhledejte a zapište všechny úsečky uvedených geometrických útvarů na obrázku níže. T S R Q P M L K N C B A 33. Rozhodněte a zapište symbolicky s ohledem na obrázek níže: a) Které zakreslené body leží na úsečce AB? b) Které zakreslené body leží na úsečce MB? c) Které zakreslené body neleží na úsečce MB? d) Které zakreslené body leží na úsečce AN? N P M B A 3.2 Rovinné útvary 34. Definujte pojem trojúhelníka ABC. Připomeňte si zároveň následující pojmy: výška, těžnice, střední příčka trojúhelníku a těžiště trojúhelníka ABC, kružnice opsaná a kružnice vepsaná trojúhelníku. 35. Definujte pojem konvexní a nekonvexní množina. 36. Definujte pojem konvexní úhel AVB. Doplňte obrázkem. 37. Definujte pojem nekonvexní úhel AVB. Doplňte obrázkem. 38. Definujte pojem ramena a vrchol konvexního úhlu AVB. 39. Co je to přímý úhel? Co je to plný úhel? Je plný, resp. přímý úhel konvexní nebo nekonvexní množina? Doplňte obrázkem. 40. Dokažte, že součet vnitřních úhlů libovolného trojúhelníka je 180°. 41. Rozhodněte, který z geometrických útvarů na obrázku níže je konvexní, resp. nekonvexní množina. B A 42. Uveďte sami alespoň dva případy konvexní případně nekonvexní množiny. 43. Uveďte příklad dvou polorovin, jejichž sjednocením je: a) konvexní množina, b) nekonvexní množina. 44. Definujte pojem n-úhelník. 45. Co rozumíme pojmem různoběžník, lichoběžník, různoběžník, obdélník, kosoúhelník, čtverec a kosočtverec? 46. Pojmenujte všechny čtyřúhelníky na obrázku: 47. Rozhodněte, o který čtyřúhelník se jedná, jestliže má: a) všechny strany stejně dlouhé a vnitřní úhly pravé, b) dvě shodná různoběžná ramena a dvě základny, které jsou rovnoběžné, c) dvě rovnoběžné základny a jedno z ramen je kolmé k základnám, d) stejně dlouhé na sebe kolmé úhlopříčky, vnitřní úhly má pravé, e) protější strany rovnoběžné, úhlopříčky na sebe nejsou kolmé a jeden vnitřní úhel má velikost 37°, f) na sebe kolmé úhlopříčky, vnitřní úhly nemá pravé, g) stejně dlouhé strany a vnitřní úhly jsou ostré nebo tupé. 48. Zjistěte, zda je konvexní množinou: a) trojúhelník bez svých vrcholů, b) trojúhelník bez jednoho vnitřního bodu jedné strany, d) rozdíl konvexního úhlu AVB a jeho ramene VA, 49. Zapište, kolik je na každém obrázku čtverců a kolik trojúhelníků. 50. Zapište, kolik je na každém obrázku čtverců, obdélníků a trojúhelníků. 51. Z obrázku níže vypište všechny rovnoramenné trojúhelníky: S C D B A 52. Z obrázku níže vypište všechny rovnoramenné trojúhelníky: B A F E D 53. V trojúhelníku ABC vyznačte výšku v[c]. C C A C B B A A B 54. Vyberte trojúhelníky, které nelze sestrojit: a) KLM: k = 8 cm, l = 45 mm, m = 3,5 cm, b) PQR: p = 7 cm, q = 35 mm, r = 25 mm, c) ABC: a = 9 cm, b = 4 cm, c = 6 cm. 55. Rozhodněte, zda je možné sestrojit trojúhelník MNO, jestliže jeho úhel OMN má velikost 98° a velikosti zbylých vnitřních úhlů jsou rovny: a) 41° a 41°, b) 52° a 50°, c) 48° a 34°. 56. Narýsujte (podle věty sss) trojúhelník ABC, je-li dáno: a = 4 cm, b = 3 cm, c = 5 cm. Jaké má trojúhelník ABC vlastnosti? 57. Narýsujte (podle věty sus) trojúhelník ABC, je-li dáno: b = 5 cm, c = 6,5 cm, α = 35°. 58. Narýsujte trojúhelník ABC, je-li dáno: α = 55°, b = 4 cm, t[a] = 6 cm. 59. Určete velikost všech úhlů vyznačených obloučky: 60. Určete velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku, který je a) rovnostranný, b) pravoúhlý rovnoramenný, c) pravoúhlý s jedním ostrým úhlem dvakrát větším než druhým. 61. Rozhodněte, zda jsou daná tvrzení pravdivá. Chybná tvrzení opravte: a) V ostroúhlém trojúhelníku leží výšky uvnitř trojúhelníku. b) V pravoúhlém trojúhelníku leží průsečík výšek vždy ve vrcholu pravého úhlu. c) V tupoúhlém trojúhelníku leží výšky uvnitř trojúhelníku. d) V ostroúhlém trojúhelníku leží průsečík výšek vždy mimo trojúhelník. e) V pravoúhlém trojúhelníku splývají všechny výšky se stranami trojúhelníku. 62. Určete, které útvary mohou vzniknout průnikem: a) úsečky a poloroviny, b) polopřímky a poloroviny, c) přímky a poloroviny. Všechny případy uvažujte v jedné rovině. Znázorněte a popište. 63. Určete, které útvary mohou vzniknout průnikem dvou polorovin. Obě poloroviny uvažujte v jedné rovině. Znázorněte a popište. 64. Určete, jaké útvary mohou vzniknout průnikem dvou konvexních úhlů (nikoli úhly plné nebo nulové). Všechny případy znázorněte a popište. 65. Vyšetřete, jaký útvar může být průnikem dvou trojúhelníků. Načrtněte všechny možnosti. 66. Na základě znalostí ze střední školy narýsujte: a) rovnostranný trojúhelník, b) čtverec, c) pravidelný šestiúhelník, 67. Definujte pojem kruh a kružnice. 68. Je průnikem dvou libovolných kruhů konvexní nebo nekonvexní množina? Vyšetřete jednotlivé typy možností. 69. Je průnikem dvou libovolných kružnic konvexní nebo nekonvexní množina? Vyšetřete jednotlivé typy možností. 3.3 Polohové vlastnosti přímek a rovin 70. Formulujte termín: a) přímka je rovnoběžná s rovinou, b) přímka je různoběžná s rovinou, c) dvě roviny jsou rovnoběžné, c) dvě roviny jsou různoběžné. 71. Na obrázku je krychle ABCDEFGH. Určete průsečnice rovin: a) ABF a EGB, b) EFG a EGB. 72. Na obrázku je krychle ABCDEFGH. Určete průsečnice rovin: a) ABC a ADG, b) CDG a ADG. 73. Zapište pomocí symbolů tyto výroky o útvarech na obrázku: a) polopřímka CD leží v polorovině pF, b) polopřímka EC neleží v polorovině ABE, c) polorovina ACD splývá s polorovinou BCF, d) přímka q není průnikem polorovin ABD, ABE, e) bod B patří průniku poloroviny qF a polopřímky CB, f) bod E patří polopřímce opačné k polopřímce CD. F B C E D A 3.4 Tělesa 74. Narýsujte ve volném rovnoběžném promítání: a) krychli o délce hrany 3 cm, b) kvádr o délkách hran 5 cm, 3 cm a 2 cm. 75. Narýsujte síť krychle o délce hrany 4 cm, síť vystřihněte a o správnosti se přesvědčte složením krychle. 76. Napište alespoň čtyři předměty z reálného života, které mají tvar hranolu, a upřesněte, o jaký hranol se jedná. 77. Určete název všech těles na obrázcích: 78. Určete všechny kolmé hranoly na obrázcích: 79. Zakroužkujte obrázky, na kterých není síť krychle: 80. Existuje 11 sítí krychle. Dokážete je všechny najít a načrtnout? 81. Na obrázku je síť krychle, kterou vybarvily děti. Kolik procent povrchu krychle je vybarveno? 82. Na stěnách krychle jsou nakresleny šachové figurky. Jejich polohu vidíte v zobrazené síti. Určete, které figurky patří na místa otazníků. 83. Je dána krychle, která má na stěnách tečky. Je zobrazena ve třech různých polohách. Načrtněte její síť. 84. Která z kostek odpovídá zobrazení v síti? 85. Určete název tělesa, jehož síť je na obrázku: 86. Určete název tělesa, jehož síť je na obrázku. O správnosti vašeho výsledku se přesvědčíte tím, že si obrázek překreslíte na papír, vystřihnete a slepíte. 87. Určete název tělesa, jehož síť je na obrázku. O správnosti vašeho výsledku se přesvědčíte tím, že si obrázek překreslíte na papír, vystřihnete a slepíte. 88. Caesarova šifra: Takto je nazývána šifra, kterou používal Julius Caesar. Šifra spočívá v tom, že každé písmeno v textu zprávy je nahrazeno jiným písmenem na základě posunu v abecedě. Pokud byl posun o jedno místo, pak A bylo nahrazeno písmenem B, B pak písmenem C, C písmenem D atd. Caesar používal posun o tři místa doprava. V šifrování se vždy používá abeceda bez diakritiky a bez písmene Ch. Například, když zašifrujeme slovo VYSKA (tedy výška) posuneme o dvě místa doprava, získáme XAUMC. Abychom získali původní text, musíme postupovat obráceně – každé písmeno tedy nahradíme písmenem, které je v abecedě o dvě místa vlevo. Pomocí Caesarovy šifry je zakódováno šest geometrických pojmů. Pokuste se je rozšifrovat, v dešifrovaných pojmech si doplňte diakritiku. WURMXKHOQLN NUXCQLFH RSVDQD WHCLVWH SUXVHFLN SRORPHU NROPLFH 4. Shodnost 4.1 Shodnost úseček, grafický součet, grafický rozdíl a násobek úsečky 89. Narýsujte úsečku AB. Dále narýsujte osu úsečky AB a její střed S. 90. Narýsujte libovolný ostroúhlý trojúhelník ABC. Sestrojte k němu: a) výšku na stranu AB, b) těžnici na stranu AC, c) těžiště T, d) kružnici vepsanou, e) střední příčky. 91. Narýsujte libovolný tupoúhlý trojúhelník KLM s tupým úhlem u vrcholu L. Sestrojte k němu: a) výšku na stranu LM, b) těžnici na stranu LM, c) těžiště T, d) kružnici opsanou. 92. Definujte pojem geometrického zobrazení v rovině. 93. Definujte pojem shodného zobrazení v rovině. 94. Definujte pojem samodružného bodu shodného zobrazení v rovině. 95. Porovnejte graficky úsečky AB, CD a CD, EF na obrázku níže. F E D C B A 96. Proveďte grafický součet a rozdíl úseček AB, CD a EF, CD na obrázku výše. 97. Pomocí grafického součtu určete dvojnásobek úsečky AB a trojnásobek úsečky CD, viz obrázek výše. 98. Porovnejte graficky úhly AVB a CUD na obrázku níže. A B V C D U 99. Proveďte grafický součet a rozdíl úhlů AVB a CUD na obrázku výše. 100. Pomocí grafického součtu určete dvojnásobek úhlu AVB na obrázku výše. 4.2 Shodná zobrazení v rovině 101. Definujte zobrazení osovou souměrnost v rovině. 102. Rozhodněte, zda má osová souměrnost v rovině nějaké samodružné body. 103. Je dán čtverec ABCD a přímka o. Sestrojte obraz čtverce A´B´C´D´ v osové souměrnosti určené přímkou o. Rozlišujte přitom následující případy: a) přímka o nemá se čtvercem ABCD žádný společný bod, b) přímka o má se čtvercem ABCD právě jeden společný bod, c) přímka o má se čtvercem ABCD právě dva společné body, d) přímka o prochází současně vrcholy B, C. 104. Která z velkých tiskacích písmen abecedy A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z lze zakreslit tak, že jsou osově souměrná? 105. Které z útvarů na obrázku níže jsou osově souměrné? 106. U osově souměrných útvarů z předchozího příkladu určete všechny jejich osy souměrnosti. 107. Překreslete n-úhelník M a osu o na čtverečkovaný papír podle obrázku níže. Načrtněte obraz M´ útvaru M v osové souměrnosti s osou o. o M 108. V osové souměrnosti s osou o sestrojte obraz krychle: o 109. Definujte zobrazení středovou souměrnost v rovině. 110. Rozhodněte, zda má středová souměrnost v rovině nějaké samodružné body. 111. Je dán čtverec ABCD a bod S. Sestrojte obraz čtverce A´B´C´D´ ve středové souměrnosti určené středem S. Rozlišujte přitom následující případy: a) A = S, b) bod S je středem strany AB, c) bod S je průsečíkem úhlopříček čtverce ABCD. 112. Které z útvarů na obrázku níže jsou středově souměrné? 113. Ve čtvercové síti sestrojte obraz daného útvaru ve středové souměrnosti podle středu S. S 114. Ve čtvercové síti sestrojte obraz jehlanu ve středové souměrnosti se středem S. S 115. Které z dopravních značek na obrázku je středově souměrných? 116. Rozhodněte, které karty na obrázku jsou osově nebo středově souměrné. 117. Nalezněte možné osy souměrnosti na fotografii budovy z období klasicismu (Malý Trianon ve Versailles). 118. Uvažujte v rovině tyto geometrické útvary: kružnice, rovnostranný trojúhelník, dvojice rovnoběžek, přímka, obdélník, čtverec, pravidelný šestiúhelník. a) Které z těchto útvarů jsou souměrné alespoň podle tří přímek? b) Které z těchto útvarů jsou souměrné alespoň podle jednoho bodu? 119. Definujte zobrazení posunutí v rovině. 120. Rozhodněte, zda má posunutí v rovině nějaké samodružné body. 121. Ve čtvercové síti sestrojte obraz obdélníku ABCD v posunutí určeném orientovanou úsečkou [M, M´]. D C M´ A B M 122. Ve čtvercové síti sestrojte obraz hranolu v posunutí určeném orientovanou úsečkou [M, M´]. M M´ 123. Definujte zobrazení otáčení v rovině. 124. Rozhodněte, zda má otáčení v rovině nějaké samodružné body. 125. Sestrojte trojúhelník ABC a pak jej otočte o 65° kolem středu otáčení S, kde: a) S je střed strany AB, b) S = B. 126. Ve čtvercové síti sestrojte obraz lichoběžníku ABCD v otáčení kolem středu S o 30°. C S D B A 127. Rozhodněte, zda má identita v rovině nějaké samodružné body. 128. Jsou dány dva různé body P, P´ v rovině. Určete alespoň jedno shodné zobrazení, ve kterém je obrazem bodu P bod P´. 129. Určete shodné zobrazení v rovině, v němž je obrazem rovnostranného trojúhelníka ABC šrafovaný trojúhelník, viz obrázek níže (bod O je střed úsečky BC i AD). Vrcholy daného trojúhelníka ABC se zobrazí takto: a) A → D, B → B, C → C, b) A → D, B → C, C → B, c) A → C, B → B, C → D, B D O C A 5. Měření geometrických útvarů 5.1 Délka úsečky 130. Formulujte termín velikost úsečky. 131. Sestrojte geometrický útvar, jehož každé dva body mají vzdálenost d = 5 cm. Úlohu řešte zvlášť v přímce, rovině a v prostoru. 5.2 Obsah rovinného útvaru. Čtvercová síť 132. Definujte pojem vnitřní bod útvaru U. 133. Definujte pojem vnější bod útvaru U. 134. Definujte pojem hraniční bod útvaru U. 135. Definujte pojem omezený rovinný útvar U. 136. Uveďte příklad: a) omezeného rovinného útvaru U, b) neomezeného rovinného útvaru U. 137. Uveďte příklad: a) dvou rovinných útvarů, které se nepřekrývají, b) dvou rovinných útvarů, které se překrývají. 138. Určete několik geometrických útvarů v rovině, které jsou měřitelné, popřípadě nejsou měřitelné. 139. Určete jádro a obal rovinného útvaru U ve čtvercové síti: U 140. Určete velikost jádra a velikost obalu rovinného útvaru U z minulého příkladu. 141. Rozhodněte, které z dvojic rovinných útvarů na obrázku se překrývají, popřípadě nepřekrývají. 142. Co je hranicí kruhu vzhledem k rovině, ve které leží? Co je obvod kruhu? 143. Co je hranicí čtverce, resp. obdélníka, resp. trojúhelníka vzhledem k rovině, ve které tyto útvary leží? Co je obvod čtverce, resp. obdélníka, resp. trojúhelníka a jak se spočítají? 144. Je dán čtverec ABCD o délce strany a = 6 cm. Určete alespoň tři různé obdélníky, které mají stejný obsah jako čtverec ABCD. 145. Narýsujte dva útvary, které nejsou shodné, ale mají stejný obsah (tzv. rovnoploché). 146. Z úlohy 53 určete obsah každého z trojúhelníků ABC. 147. Určete obsahy rovnoběžníků ve čtvercové síti: 148. Určete obsahy rovinných útvarů ve čtvercové síti: 149. Na obrázku jsou rovinné útvary O[1], O[2][. ]Který z nich má větší obvod a který obsah? 150. Určete, kolik čtvercových dlaždiček o straně 5 cm je třeba k vydláždění dna a stěn zahradního bazénu tvaru kvádru. Hloubka bazénu je 1,5 m, šířka 2,5 m a délka 5 m. Spáry mezi dlaždičkami zanedbejte. 5.3 Objem tělesa. Stavby z krychlí 151. Definujte pojem jádro J prostorového útvaru U. 152. Definujte pojem obal O prostorového útvaru U. 153. Tělesa T[2] a T[3] vznikla z krychle T[1] složené z 27 stejných kostek (délka hrany jedné kostky je 1 cm) tak, že jsme několik kostek odebrali. Na obrázku je vidíte zepředu, při pohledu zezadu vypadají stejně. Určete: a) jaký mají tělesa T[2] a T[3][ ]objem, b) jaký mají tělesa T[2] a T[3][ ]povrch. 154. Určete povrchy těles, která vznikla slepením z krychlí o hraně 1 cm. 155. V dřevěné krabici jsou kostky o hraně 1 cm. Adam z těchto kostek postavil hrad, který vidíte na obrázku. Není v něm žádný otvor. Vypočtete objem a povrch sestaveného tělesa. 156. Na obrázku je nakreslena tříposchoďová pyramida složená ze stejných kostek o hraně 1 cm. a) Jaký má toto těleso objem? b) Jaký má toto těleso povrch? Použitá literatura: 1. Francová, M., Matoušková, K., Vaňurová, M.: Texty k základům elementární geometrie pro studium učitelství pro 1. st. ZŠ. 2. opr. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 1994. 2. POTŮČKOVÁ, J.: Matematika pro 2. ročník základní školy. Brno: Studio 1+1, 1999. 3. KOLEKTIV: Matematika pro 2. ročník. Praha: Alter, 2001 4. HERMAN, J., CHRÁPAVÁ, V., JANKOVIČOVÁ, E., ŠIMŠA, J.: Matematika. Jehlany a kužely. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2010. 5. HERMAN, J., CHRÁPAVÁ, V., JANKOVIČOVÁ, E., ŠIMŠA, J.: Matematika. Hranoly. 2. vyd. Praha: Prometheus, 2012. 6. HERMAN, J., CHRÁPAVÁ, V., JANKOVIČOVÁ, E., ŠIMŠA, J.: Matematika. Kruhy a válce. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2015. 7. HERMAN, J., CHRÁPAVÁ, V., JANKOVIČOVÁ, E., ŠIMŠA, J.: Matematika. Osová a středová souměrnost. 2. vyd. Praha: Prometheus, 2014. 8. JEDLIČKOVÁ, M., KRUPKA, P., NECHVÁTALOVÁ, J.: Pracovní sešit. Matematika. Hranoly a válce. Brno: Nová škola, 2016. 9. JEDLIČKOVÁ, M., KRUPKA, P., NECHVÁTALOVÁ, J.: Pracovní sešit. Matematika. Rovinné útvary. Brno: Nová škola, 2015. 10. JEDLIČKOVÁ, M., KRUPKA, P., NECHVÁTALOVÁ, J.: Pracovní sešit. Matematika. Shodnost geometrických útvarů, souměrnosti. Brno: Nová škola, 2014. 11. KOUŘIM, J., HEJL, J., KUČEROVÁ, J., KUŘINA, F., ŠEDIVÝ, O.: Základy elementární geometrie pro učitelství 1. stupně ZŠ. 1. vyd. Praha: SPN, 1985. 12. Francová, M., Matoušková, K., Vaňurová, M.: Sbírka úloh z elementární geometrie. 1. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 1992. ≐