Homomorfismus a izomorfismus alg. struktur s jednou operací
Motto: Morfismus je zobrazení zachovávající operace.
Mějme dány dvě alg. struktury (G, ○), (H, □). Obě operace ○, □ musí mít vlastnost ND
(o ostatních vlastnostech nic prozatím nepředpokládáme), tzn. obě struktury jsou
minimálně grupoidy. Nechť f je zobrazení celé množiny G do množiny H. Uvažujme
následující situaci (sledujte průběžně obrázek).
V množině G zvolíme libovolné dva prvky x, y. Protože struktura (G, ○) je grupoid,
určitě existuje v množině G prvek x ○ y. Vzhledem k tomu, že f je zobrazení celé
množiny G, má každý prvek množiny G svůj obraz v množině H. Má ho tedy i prvek
x ○ y, označíme ho f (x ○ y). Z téhož důvodu mají v množině H své obrazy i prvky x, y,
označíme je f (x), f (y). V množině H je definována operace □, která je ND (struktura
(H, □) je grupoid). Pak v množině H existuje prvek f (x) □ f (y). Ten se může nebo
nemusí rovnat prvku f (x ○ y). Z obrázku je vidět, že rovnost
f (x ○ y) = f (x) □ f (y) (*)
vypadá i z geometrického pohledu „hezky“. Tato rovnost vyjadřuje to, co je mottem
tohoto textu: f je zobrazení zachovávající operace. Zobrazení f nazveme
homomorfismem, pokud výše uvedená rovnost (*) platí pro libovolnou dvojici prvků
množiny G. Nyní můžeme formulovat definici.
Definice 1: Nechť f je zobrazení množiny G do množiny H, nechť (G, ○), (H, □) jsou
alg. struktury (alespoň grupoidy). Pak zobrazení f nazveme homomorfismus (G, ○) do
(H, □), jestliže platí:
( x, y  G) f (x ○ y) = f (x) □ f (y) .
Poznámka 1: Existuje několik typů morfismů. Liší se podle typu zobrazení f (může být
do množiny H nebo na množinu H, může a nemusí být prosté, množiny G, H mohou
být různé nebo se mohou rovnat atd. Podle toho se před slovo morfismus dávají různé
předpony. Nejobecnějším názvem je homomorfismus, dále existuje monomorfismus,
□ 0
0 0
epimorfismus, automorfismus, izomorfismus atd. Pro naše potřeby budeme později
definovat pouze izomorfismus.
Nyní se budeme se zajímat o to, jaké jsou vlastnosti operací ○, □ v případě, že existuje
homomorfismus struktur (G, ○), (H, □). Máme definováno celkem šest vlastností
operací: ND, K, A, EN, EI, ZR, přičemž vlastnost ND se u obou operací předpokládá
podle definice homomorfismu. Problém jejich přenášení řeší následující věta:
Věta 1: Nechť f je homomorfismus alg. struktury (G, ○) do alg. struktury (H, □), tzn.
platí ( x, y  G) f (x ○ y) = f (x) □ f (y) . Pak platí: Jestliže operace ○ má některou z
vlastností K, A, EN, EI, ZR, pak má tuto vlastnost i operace □.
Tuto větu 1 nelze obrátit, vlastnosti obou alg. operací se tedy přenášejí pouze „zleva
doprava“, ze „vzorové“ struktury na „obrazovou“ strukturu. Všechny vlastnosti
operace ○ má tedy i operace □, ta jich však může mít i více. Uvedeme příklad.
Příklad 1: Nechť G = {a, b, c}, H ={0}. Operace ○, □ jsou na množinách G, H dány
tabulkami:
○ a b c
a
b
c
b b c
a c a
a c b
□ 0
0 0
Struktura (G, ○) je grupoid, operace ○ má jedinou vlastnost ND. Vlastnost A
vyloučíme protipříkladem a ○ (b ○ c)  (a ○ b) ○ c, neexistenci ostatních vlastností
ověříme pohledem na tabulku. Struktura (H, □) je komutativní grupa, přestože
obsahuje jediný početní spoj 0 □ 0 = 0. Platnost všech vlastností operace □ lze určit
přímo z tabulky. Definujeme-li nyní zobrazení f předpisem f(a) =0, f(b) = 0, f(c) = 0, je
zřejmé, že se jedná o homomorfismus, protože struktura (H, □) obsahuje pouze jediný
prvek. Vidíme, že může existovat homomorfismus „obyčejného“ grupoidu na
komutativní grupu.
Nyní uvedeme dvě věty upřesňující větu 1. Týkají se vlastností EN a EI.
Věta 2: Nechť f je homomorfismus alg. struktury (G, ○) do alg. struktury (H, □), tzn.
platí ( x, y  G) f (x ○ y) = f (x) □ f (y) . Jestliže operace ○ má vlastnost EN, pak má
tuto vlastnost i operace □. Označíme-li neutrální prvek operace ○ jako e1 a neutrální
prvek operace □ jako e2, platí f(e1) = e2. Obrazem neutrálního prvku operace ○ je
neutrální prvek operace □.
Věta 3: Nechť f je homomorfismus alg. struktury (G, ○) do alg. struktury (H, □), tzn.
platí ( x, y  G) f (x ○ y) = f (x) □ f (y) . Jestliže operace ○ má vlastnost EI, pak má
tuto vlastnost i operace □. Nechť a  G je libovolný prvek, nechť a−1
 G je inverzní
prvek k prvku a v operaci ○. Pak platí f (a−1
) = [f (a)]−1
. Obrazem inverzního prvku k
prvku a v operaci ○ je inverzní prvek k obrazu f(a) v operaci □.
Poznámka 2: Nyní již můžeme přistoupit k definici pojmu izomorfismus. Nejprve
připomeneme potřebné pojmy. Zobrazení f množiny G do množiny H se nazývá
vzájemně jednoznačné (bijektivní), jestliže je prostým zobrazením celé množiny G na
celou množinu H. Pokud takové prosté zobrazení množiny G na množinu H existuje,
říkáme, že množiny G, H jsou ekvivalentní a píšeme G  H. Připomeňme rovněž, že
ekvivalentní konečné množiny musí mít stejný počet prvků.
Nechť existuje prosté zobrazení f celé množiny G na celou množinu H. Potom
inverzní zobrazení f −1
je rovněž prostým zobrazením celé množiny H na množinu G
(odtud plyne název vzájemně jednoznačné zobrazení).
Definice 2: Nechť f je vzájemně jednoznačné zobrazení množiny G na množinu H,
nechť (G, ○), (H, □) jsou alg. struktury (alespoň grupoidy). Pak zobrazení f nazveme
izomorfismus (G, ○) na (H, □), jestliže platí: ( x, y  G) f (x ○ y) = f (x) □ f (y).
Píšeme (G, ○) ≅ (H, □).
Ve smyslu předchozí poznámky platí: Je-li f izomorfismus (G, ○) na (H, □), je také
zobrazení f −1
izomorfismem (H, □) na (G, ○). Proto u izomorfismu algebraických
struktur nezáleží na pořadí těchto struktur; říkáme, že algebraické struktury (G, ○) a
(H, □) jsou izomorfní.
Věta 4: Nechť (G, ○), (H, □) jsou struktury (alespoň grupoidy), nechť (G, ○) ≅ (H, □)
(tj. obě struktury jsou izomorfní). Pak platí:
1. G  H.
2. Má-li jedna z operací ○, □ některou z vlastností K, A, EN, EI, ZR, má tuto vlastnost
i druhá z těchto operací. Obě operace mají tedy tytéž vlastnosti.
3. Obě algebraické struktury (G, ○), (H, □) jsou téhož typu.
Příklad 2: Nechť G = {a, b, c, d}, H ={1, −1, i, −i}. Operace ○,  jsou na množinách
G, H dány tabulkami:
o a b c d
a
b
c
d
a b c d
b a d c
c d b a
d c a b
 1 −1 i −i
1
−1
i
−i
1 −1 i −i
−1 1 −i i
i −i −1 1
−i i 1 −1
Pro úplnost doplníme informaci, že množina H je množina všech řešení rovnice x4
= 1
v oboru komplexních čísel, tedy množina všech čtvrtých odmocnin z čísla 1. Operace
 na množině H je pak „obyčejné“ násobení v oboru komplexních čísel. Čtenáři, který
není seznámen s komplexními čísly, postačí vědět, že i  i = −1. Ostatní spoje v
tabulce alg. struktury (H, ) se již snadno doplní s využitím znalosti násobení v oboru
R reálných čísel.
Zkoumáním vlastností operací ○,  zjistíme, že obě tyto operace mají všechny
probrané vlastnosti K, A, EN, EI, ZR, tzn. obě algebraické struktury (G, ○), (H, ) jsou
komutativní grupy. Definujeme-li nyní vzájemně jednoznačné zobrazení f množiny G
na množinu H předpisem f (a) = 1, f (b) = −1, f (c) = i, f (d) = −i, snadno se
přesvědčíme pohledem na tabulky, že toto zobrazení je izomorfismus, tedy platí vztah
(G, ○) ≅ (H, ). Prvky v obou tabulkách jsou totiž „konfigurovány“ úplně stejně;
prvek a je na stejných místech jako číslo 1 (podle věty 2 je předpis f (a) = 1 vynucený,
oba prvky jsou ve svých strukturách neutrální), prvek b je na stejných místech jako
číslo −1, prvek c je na stejných místech jako číslo i a prvek d je na stejných místech
jako číslo −i. V tom mj. tkví podstata izomorfismu: i když obě algebraické struktury
jsou formálně různé (mají různé nosné množiny a různé operace), „počítá“ se v nich
přitom podle stejných pravidel, protože obě tabulky obsahují čtyři prvky rozmístěné
úplně stejně. Je to i další doklad toho, že obě izomorfní struktury musí být téhož typu.
Příklad 3: Nechť R+
označuje množinu všech kladných reálných čísel, nechť R je
množina všech reálných čísel. Uvažujme algebraické struktury (R+
,) (R, +) Obě tyto
struktury jsou komutativní grupy (operace  + jsou „obyčejné“ násobení a sčítání
reálných čísel). Zobrazením f množiny R+
na množinu R nechť je reálná funkce jedné
proměnné f(x) = ln x pro každé x R+
. Jak je známo ze střední školy, logaritmická
funkce je definována pro všechna kladná reálná čísla a jejím definičním oborem je
množina všech reálných čísel, přitom je prostá v celém definičním oboru. Pro funkci
f(x) = ln x platí vztah f (x  y) = ln (x  y) = ln x + ln y = f(x) + f(y). Logaritmická
funkce je tedy izomorfním zobrazením (R+
,) na (R, +) platí (R+
,) ≅ (R, +)
Jestliže existuje izomorfní zobrazení f(x) = ln x grupy (R+
,) na grupu (R,
+) existuje také inverzní izomorfní zobrazení f −
grupy (R, +) na grupu (R+
,) ímto
zobrazením je reálná funkce f(x) = ex
. Vskutku, exponenciální funkce je prostá a je
definována pro všechna reálná čísla a jejími funkčními hodnotami jsou pouze kladná
reálná čísla, přičemž platí vztah ex + y
= ex
 ey
.
Homomorfismus a izomorfismus alg. struktur se dvěma operacemi
Tato část bude velmi krátká. Stručně ji můžeme charakterizovat takto: Jedná-li se o
algebraické struktury se dvěma operacemi, musí být definice homomorfismu (resp.
izomorfismu) splněna pro obě dvě operace. Pro každou z nich pak platí všechno, co
bylo uvedeno v první části zaměřené na homomorfismus a izomorfismus struktur s
jednou operací. Proto uvedeme pouze definici, větu a příklad.
Definice 3: Nechť (G,⊕,⊙), (H, ⊞,⊡) jsou algebraické struktury se dvěma operacemi.
Nechť f je zobrazení množiny G do množiny H. Pak zobrazení f nazveme
homomorfismus (G,⊕,⊙) do (H, ⊞,⊡), jestliže současně platí:
(i) ( x, y  G) f (x ⊕ y) = f (x) ⊞ f (y) ,
(ii) ( x, y  G) f (x ⊙ y) = f (x) ⊡ f (y).
Je-li f vzájemně jednoznačné zobrazení množiny G na množinu H, nazývá se
izomorfismus (G,⊕,⊙) na (H, ⊞,⊡), píšeme (G,⊕,⊙) ≅ (H, ⊞,⊡).
Věta 5: Nechť (G,⊕,⊙), (H, ⊞,⊡) jsou algebraické struktury, nechť pro tyto struktury
platí (G,⊕,⊙) ≅ (H, ⊞,⊡) (tj. obě struktury jsou izomorfní). Pak platí:
1. G  H.
2. Obě algebraické struktury (G,⊕,⊙), (H, ⊞,⊡) jsou téhož typu.
Příklad 4: Nechť (Z, +, ) je obor integrity všech celých čísel s operacemi sčítání a
násobení, nechť (Q, +, ) je těleso všech racionálních čísel s operacemi sčítání a
násobení. Pro každé celé číslo n definujme zobrazení celé množiny Z do množiny Q
předpisem f(n) =
n
1
. Pak toto zobrazení je homomorfismem oboru integrity (Z, +, )
do tělesa (Q, +, ), o čemž se snadno přesvědčíte rozepsáním. Protože zobrazení f je
prosté, říká se tomuto homomorfismu též vnoření. Můžete se proto setkat i s tvrzením,
že se jedná o vnoření oboru integrity do tělesa.