Opakování - relace
Příklad 1. Jsou dány množiny A = {1, 2} a B = {1, −2}. Určete kartézský
součin A × A, A × B, B × A a zakreslete jeho kartézský graf
Příklad 2. V množině A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} jsou deﬁnovány binární relace
R = {[x, y] ∈ A × A; y = 2x − 4},
S = {[x, y] ∈ A × A; x2
< y},
T = {[x, y] ∈ A × A; x + y < 5}.
Zapište tyto relace výčtem prvků. Vytvořte relace R−1
, S−1
, T−1
, S∩T,
R ∩ T−1
, S ∪ R a zapište je výčtem prvků. Zapište symtolicky relace
R , S , T , R ∩ T .
Příklad 3. V množině M = {1, 2, 3} je deﬁnována binární relace
a) R1 = {[x, y] ∈ M × M; x < 3 ⇒ x + y = 3},
b) R2 = {[x, y] ∈ M × M; x = y ⇒ x = y},
c) R3 = {[x, y] ∈ M × M; x = y ⇒ x + y = 3},
d) R4 = {[x, y] ∈ M × M; x < y ⇔ x = y},
e) R5 = {[x, y] ∈ M × M; x = 2 ∨ y > x + 2},
f) R6 = {[x, y] ∈ M × M; x < y ∧ x|y}.
Zapište tyto relace výčtem prvků, určete jejich kartézské a uzlové grafy,
určete jejich vlastnosti.
Příklad 4. Je dána množina A = {a, b, c, d}. Určete některý z jejích rozkladů,
který má 2 třídy. Zapište výčtem prvků relaci ekvivalence R,
která je tímto rozkladem určena. Sestrojte uzlový graf relace R. Jaké
má relace R další vlastnosti?
Příklad 5. Určete vlastnosti binárních relací daných v množině všech žijících
lidí následujícími výrokovými formami:
a) „x je starší než y ,
b) „x se narodil v týž den jako y ,
c) „x je bratrem y ,
1
d) „x je synem y ,
e) „x bydlí ve stejném městě jako y .
Příklad 6. Určete vlastnosti binárních relací deﬁnovaných v množině všech
přímek roviny ρ:
a) R1 = {[x, y] ∈ ρ; x y},
b) R2 = {[x, y] ∈ ρ; x ⊥ y},
c) R1 = {[x, y] ∈ ρ; x, y mají společný alespoň jeden bod}.
Příklad 6. Určete vlastnosti binárních relací deﬁnovaných v množině trojúhelníků
roviny ρ:
a) R1 = {[x, y] ∈ ρ; x je shodný s y},
b) R2 = {[x, y] ∈ ρ; x má stejný obsah jako y}.
Příklad 7. Určete vlastnosti relace dané následujícími výrokovými formami
v množině všech podmnožin libovolné neprázdné množiny.
a) „množina X je podmnožinou množiny Y ,
b) „množina X se rovná množině Y ,
c) „množina X se nerovná množině Y .
Příklad 8. V množině A = {a, b} určete všechny neprázdné binární relace,
které jsou
a) antireﬂexivní,
b) symetrické,
c) antireﬂexivní a symetrické.
Příklad 9. V množině A = {a, b, c, d} utvořte alespoň jednu binární relaci,
která je tranzitivní, přitom však není reﬂexivní ani symetrická.
Příklad 10. Je dána množina A pěti chlapců: Filip, Pavel, Tomáš, Adam,
David. Určete výčtem prvků libovolnou binární relaci danou výrokovou
formou
R = {[x, y] ∈ A × A; x se kamarádí s y}.
Rozhodněte o vlastnostech relace R.
2
Opakování - zobrazení
Příklad 1. Jsou dány množiny Jsou dány množiny A = {x, y, z}, B =
{a, b}. Rozhodněte, zda dané relace z množiny A do množiny B jsou
zobrazení, případně určete deﬁniční obor a obor hodnot zobrazení.
a) R1 = {[x, a], [y, b], [z, a], [z, b]},
b) R2 = {[x, a], [z, b]},
c) R3 = {[x, a], [y, a], [z, a]}.
Příklad 2. Jsou dány množiny A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d}. Rozhodněte,
o jaký typ zobrazení se jedná a zda je toto zobrazení prosté:
a) R1 = {[1, a], [2, c], [3, d]},
b) R2 = {[1, a], [2, c], [3, d], [4, a]},
c) R3 = {[2, a], [1, c], [3, b], [4, d]}.
Příklad 3. Jsou dány množiny A = {1, 2, 3, 4, 5} a B = {1, 2, a, b}. Určete
výčtem prvků jednu binární relaci
1. R1, která není zobrazením,
2. R2, která je zobrazením z množiny A do množiny B,
3. R3, která je zobrazením množiny A do množiny B,
4. R4, která je zobrazením množiny A na množinu B,
5. R5, která je zobrazením z množiny A na množinu B.
Příklad 4. Jsou dány množiny A = {1, 2, 3, 4} a B = {a, b}. Určete výčtem
prvků jednu binární relaci, která
1. je zobrazením z množiny A do množiny B, které je prosté,
2. je zobrazením z množiny A na množinu B, které je prosté,
3. je zobrazením z množiny A na množinu B, které není prosté,
4. je zobrazením z množiny A do množiny B, které není prosté,
5. je zobrazením množiny A do množiny B, které je prosté.
Příklad 5. Jsou dány množiny A = {a, b, c}, B = {x, y, z}, C = {x, y}.
Rozhodněte, které dvojice zadaných množin jsou ekvivalentní.
3
Příklad 6. Je dán systém množin M = {A, B, C, D, E, F, G, H}, kde A =
{a, b, c}, B = {1, 2}, C = {x, y}, D = {◦, ◦, ◦, ◦}, E = { , , },
F = { , }, G = {♥}, H = {♠, ♠, ♠, ♠}. Rozhodněte, které množiny
ze systému M jsou ekvivalentní.
Opakování - binární operace a algebraické struk-
tury
Příklad 1. Určete typ algebraické struktury s jednou operací (N, +), (N, ·),
(Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·).
Příklad 2. Určete typ algebraické struktury se dvěma operacemi (N, +, ·),
(Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·).
Poznámka: Je dána algebraická struktura (M, ⊕, ) se dvěma operacemi.
Přehled algebraických struktur se dvěma operacemi je uveden v tabulkce
níže:
operace s vlastností název algebraické struktury
⊕ : ND ∧ K ∧ A
(M, ⊕, ) : ND ∧ (K) ∧ A polookruh (komutativní)
D⊕
⊕ : ND ∧ K ∧ A ∧ EN ∧ EI
(M, ⊕, ) : ND ∧ (K) ∧ A okruh (komutativní)
D⊕
⊕ : ND ∧ K ∧ A ∧ EN ∧ EI
: ND ∧ K ∧ A komutativní okruh bez dělitelů
(M, ⊕, ) D⊕ nuly = obor integrity
Neexistují a = 0, b = 0, a, b ∈ M,
kde a b = 0
⊕ : ND ∧ K ∧ A ∧ EN ∧ EI
(M, ⊕, ) : ND ∧ (K) ∧ A těleso (komutativní)
D⊕
(M − {0}, ) je grupa
4
Číselné soustavy
Příklad 1. Trojciferné číslo zapsané v desítkové soustavě je zakončeno číslicí
4. Přesuneme-li ji na první místo a ostatní dvě číslice ponecháme beze
změny, dostaneme číslo, které je o 81 menší než původní číslo. Určete
původní číslo.
Příklad 2. Které dvojciferné číslo zapsané v desítkové soustavě se po vzájemné
výměně cifer zmenší o 36?
Příklad 3. Převeďte zadaná čísla do zápisu v desítkové soustavě:
a) 102013 b) 1758 c) A5C16
Příklad 4. Zapište číslo a v soustavě o základu z:
a) a = 17, z = 3 b) a = 9, z = 2 c) a = 561, z = 4
d) a = 102, z = 8 e) a = 12477, z = 16 f) a = 197, z = 12.
Příklad 5. Zapište číslo 197 v soustavě o základu z:
a) z = 2 b) z = 3 c) z = 4 d) z = 8 e) z = 9.
Příklad 6. Převeďte číslo 1223 do soustavy o základu z = 8.
Příklad 7. Převeďte číslo 110001102 do soustavy o základu z = 4.
Příklad 8. Převeďte číslo 11100111012 do soustavy o základu z = 8.
Příklad 9. Vypočítejte základ číselné soustavy, platí-li:
a) 243z = 99 b) 21z = 9 c) 120z = 35
Příklad 10. Určete součet čísel:
a) 3367 a 3557 b) 52748 a 7568 c) 4257 a 5627
d) AC216 a 2BA16 e) BDF16 a BCA16 c) A1B216 a F3E416
Příklad 11. Určete rozdíl čísel:
a) 6147 a 3257 b) 3547 a 1357 c) 34126 a 5436
d) AE316 a 1A416 e) 341216 a 54316
5
Příklad 12. Určete předchůdce a následovníka čísel:
a) 9910 b) 332034 c) 11001012 d) 1667 e) 7778
Příklad 13. Určete součin čísel:
a) 3257 a 1247 b) 3547 a 1357 c) 34126 a 5436
d) AE316 a 1A416 e) 341216 a 54316 f) 10110112 a 110012
Příklad 14. Určete podíl čísel:
a) 306327 a 57 b) 404325 a 35 c) 2120113 a 23
Kardinální čísla
Příklad 1. Je dán systém množin M = {A, B, C, D, E, F, G, H, N, P, K},
kde kde A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c}, C = {t, u}, D = {1, a, x, y},
E = {a}, F = {o, x}, G = {x, y, z}, H = {[1, d], [2, r]}, K = {o}, N =
{1, 2, 3, 4, 5, ...}, P = {5, 10, 15, 20, 25, ...}. Rozhodněte, které množiny
ze systému M mají stejné kardinální číslo.
Příklad 2. Uvažujme systém všech množin.
a) Zapište výčtem prvků alespoň dvě množiny, které mají stejné kardinální
číslo jako množina D z Příkladu 1.
b) Zapište výčtem prvků množinu R tak, aby |R| = |L|, kde L =
{t, u, v, x, z}.
Příklad 3. Vypočtěte součet kardinálních čísel množin A, B, kde
a) A = {a, b, c} a B = {1, 2, 3, 4},
b) A = {a, b, c} a B = {a, b, 1, 2}.
Příklad 4. Vypočtěte součin kardinálních čísel množin A, B, kde A =
{a, b, c} a B = {1, 2, 3, 4}.
6
Celá čísla
Příklad 1. Zapište tři uspořádané dvojice přirozených čísel, které jsou ekvivalentní
s uspořádanou dvojicí [4, 1].
Příklad 2. Vyjádřete celá čísla A = ˙[8, 5], B = ˙[1, 9] pomocí alespoň dvou
reprezentantů a vypočítejte A + B. Určete −A, −B.
Příklad 3. Jsou dána celá čísla A = ˙[8, 2], B = ˙[1, 4].
Určete celé číslo X = ˙[x, y], pro které platí A = B + X.
Příklad 4. Jsou dána celá čísla A = ˙[4, 2], B = ˙[1, 5].
Určete A − B, B − A.
Příklad 5. Jsou dána celá čísla A = ˙[8, 5], B = ˙[1, 9]. Určete A · B, B · A.
Příklad 6. Jsou dána celá čísla A = ˙[8, 2], B = ˙[1, 4].
Určete celé číslo X = ˙[x, y], pro které platí A = B · X.
Příklad 7. Dokažte, že rovnice A = B · X nemá pro celá čísla A = ˙[0, 2],
B = ˙[3, 0] řešení.
Příklad 8. Dokažte, že celé číslo ˙[1, 0] je neutrální prvek vzhledem k násobení
celých čísel (tzv. jednotkový prvek).
Příklad 9. Dokažte, že pro každá tři celá čísla A, B, C platí:
(−A)· (C - B) = A·B - A·C.
Příklad 10. Dokažte, že pro každá tři celá čísla A, B, C platí:
C·[(-A)−(-B)] = C·B - A·C.
Příklad 11. Dokažte, že v množině všech celých čísel platí distributivní zákon
pro násobení vzhledem ke sčítání.
Příklad 12. Porovnejte celá čísla
a) A = ˙[4, 1], B = ˙[3, 5],
b) A = ˙[4, 1], B = ˙[2, 1].
7
Příklad 13. Dokažte, že celé číslo O = ˙[0, 0] je neutrální prvek vzhledem ke
sčítání celých čísel (tzv. nulový prvek).
Příklad 14. Dokažte, že celé číslo O = ˙[0, 0] je agresivní prvek vzhledem k
násobení celých čísel.
Příklad 15. Vypočtěte
a) b · |a| + |a| · |b| − |a|2
− |b
a
|, kde a = 3, b = −6,
b) |a + b| : |a − b|, kde a = −5, b = −4.
Příklad 16. Vypočtěte neúplný podíl a zbytek při dělení čísla a číslem b,
kde
a) a = 38, b = 5,
b) a = 38, b = −5,
c) a = −23, b = −4,
d) a = −19, b = 7.
Racionální čísla
Příklad 1. Rozhodněte, kolik tříd reprezentují následující zlomky:
−3
8
, 3
−5
, −4
2
, 6
−16
, −9
15
, −9
24
, 8
−4
.
Příklad 2. Vypočtěte součet a součin racionálních čísel 9
4
a 7
6
.
8