IMAk13   Matematika 3
1. konzultace


Binární relace z A do B
uKartézský součin množin A x B
uje množina všech uspořádaných dvojic, kde 1. složka je z množiny A a 2. složka z množiny B.
uBinární relace z množiny A do množiny B
uje kterákoliv množina R, která je podmnožinou kartézského součinu A x B.
u
uPrvní obor relace O1(R)
uje množina všech prvních složek uspořádaných dvojic z relace R.
uDruhý obor relace O2(R)
uje množina všech prvních složek uspořádaných dvojic z relace R.
u
u

Zobrazení z A do B
uRelace R z množiny A do množiny B se nazývá zobrazením z A do B, právě když ke každému prvku a z
množiny A existuje nejvýše jeden prvek b z množiny B, takový, že platí
u(Tedy každý prvek z množiny A se může vyskytnout jako první složka  uspořádané dvojice v relaci R
nejvýše jednou.)
uJestliže              , pak prvek a nazýváme vzorem prvku b a prvek b obrazem prvku a  v zobrazení
R  (nebo že zobrazení R přiřazuje prvku a prvek b).
u
u

Zobrazením jsou relace R1, R3,  R4,  R5
R1   - prosté zobrazení z A na B
R3  - zobrazení A na B, které není prosté
R4  - prosté zobrazení z A do B
R5  - zobrazení A na B, které není prosté

uVzájemně jednoznačné zobrazení (bijekce)
uje prosté zobrazení celé množiny na celou množinu
u
uMnožina A je ekvivalentní s množinou B  (A ~ B),
uprávě když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení množiny A na množinu B
u
uÚkol:
u1. Uveďte několik množin, které jsou ekvivalentní s množinou A = {a, b, c, d}.
u2. Zdůvodněte, že množina N = {1, 2, 3, 4, ….} všech přirozených čísel je ekvivalentní s množinou
S = {2, 4, 6, ….} všech sudých čísel.

Binární relace v množině, vlastnosti
uBinární relace v množině M.
uje kterákoliv podmnožina kartézského součinu M x M.
u
uZnároznění binárních relací
uUzlový graf
uKartézský graf
u
u

Binární relace v množině, vlastnosti
uBinární relace R v množině M je reflexivní  právě tehdy, když
u
utzn. obsahuje všechny uspořádané dvojice [x,x], kde xÎM
u
uBinární relace R v množině M je antireflexivní právě tehdy,  když
u
utzn. neobsahuje žádnou uspořádanou dvojici typu [x,x], kde xÎM.
u
uBinární relace R v množině M je symetrická právě tehdy, když
u
utzn. s každou uspořádanou dvojicí [x,y] obsahuje i dvojici [y,x].
u
uBinární relace R v množině M je antisymetrická, právě tehdy,  když
u
utzn. s žádnou dvojicí [x,y] různých prvků neobsahuje dvojici [y,x].
u
u

Binární relace v množině, vlastnosti
uBinární relace R v množině M je tranzitivní právě tehdy, když
u
utzn. jestliže se v relaci vyskytují „na sebe navazující dvojice“ (tj. druhá složka první dvojice
je první složkou druhé dvojice), pak musí relace obsahovat i dvojici, jejíž první složkou je 1.
složka z první dvojice a druhou složkou je 2. složka z druhé dvojice.
u
uBinární relace R v množině M je souvislá právě tehdy, když
u                                                )
utzn. každé dva různé prvky z množiny M musí být „spolu v relaci“.
u
u
u
u

Binární relace ekvivalence a rozklad množiny
uBinární relaci R v množině M nazýváme relací ekvivalence na M, právě když
uje reflexivní, symetrická a tranzitivní.
u
uKaždá relace ekvivalence na množině M vytváří rozklad této množiny, což je systém neprázdných
podmnožin (tzv. tříd rozkladu) množiny M takových, že průnik každých dvou tříd je prázdná množina a
sjednocení všech tříd rozkladu tvoří množinu M.
uJinak lze také říci, že říci, že rozklad množiny M je systém neprázdných podmnožin (tzv. tříd
rozkladu) množiny M takových, že každý prvek množiny M patří právě do jedné z těchto tříd.
u
u
u
u

Uspořádání v M
uBinární relace U v množině M je
uuspořádání (částečné) v M, právě když je AS a T;
ulineární uspořádání v M, právě když je AS a T a SO;
uostré lineární uspořádání v M, právě když je AS a T a SO a AR.
u
u
u
u
u
u
u

Úkol
uRozhodněte, jaké vlastnosti mají následující binární relace v množině M = {a, b, c, d}
uR1 = {[c,b], [b,c], [a,a], [b,b], [c,c], [d,d]}
uR2 = {[a,b], [c,d], [a,a], [b,b]}
uR3 = {[a,b], [d,c],[b,d],[a,c], [a,d], [b,c]}
uR4 = {[c,b], [b,c],[b,a]}
uR5 = {[a,a], [b,b], [c,c], [c,b], [b,c],[b,a],[a,b],[a,c], [c,a], [d,d]}
uR6 = {[c,a], [d,b]}
uR7 = {[a,a]}
u
u
u
u

Cvičení
u3. Rozhodněte o vlastnostech následujících relací:
ua) rovnost v množině přirozených čísel
ub) relace „být menší“ v množině přirozených čísel
uc) relace „být podmnožinou“ v libovolném systému množin
ud) kolmost přímek v množině všech přímek roviny
ue) rovnoběžnost přímek v množině všech přímek roviny
uf) shodnost úseček v množině všech úseček roviny
ug) relace „být sourozencem“ v množině lidí
uh) relace „být otcem“ ve vaší rodině
ui) relace „narodit se ve stejném měsíci“ v množině lidí v této místnosti
uj) relace „dávat stejný zbytek při dělení číslem 3“ v množině přirozených čísel.
u
uPokud je některá z výše uvedených relací relace ekvivalence, určete příslušný rozklad množiny.
u
u
u
u

uRozhodněte, které množiny tvarů jsou navzájem ekvivalentní.
u
Kardinální čísla

uRozhodněte, které množiny tvarů jsou navzájem ekvivalentní.
u
Kardinální čísla

u
uEkvivalence množin je binární relace na systému množin, je reflexivní, symetrická a tranzitivní,
je to tedy relace ekvivalence.
uVytváří rozklad zadaného systému množin na třídy (podmnožiny) navzájem ekvivalentních množin.
u(Vyznačte v obrázku tento rozklad.)
u
uTřídy rozkladu se nazývají kardinální čísla.
u
Kardinální čísla

Kardinální čísla

M

u
uKardinální číslo množiny A (ozn. │A│) z neprázdného systému množin  M je třída, do které patří
množina A a všechny množiny ze systému množin M, které jsou s množinou A ekvivalentní.
u
uKardinální čísla jsou tedy třídy navzájem ekvivalentních množin. Místo pojmu „kardinální číslo“ se
též užívá pojem „mohutnost množiny“, což vystihuje společnou vlastnost navzájem ekvivalentních
množin.
u
u
Kardinální čísla

Kardinální čísla
         |A|

 |B|
M

Přirozená čísla jako kardinální čísla
                                                           |B| =  7                               M
 1                                3                    6
                                      2
Kardinální čísla konečných množin jsou přirozená čísla.
|A| = 4

Nerovnost mezi kardinálními čísly



Sčítání kardinálních čísel
Vlastnosti sčítání kardinálních čísel:    ND, A, K, EN
                         Kardinální číslo prázdné množiny       |{}|

Násobení kardinálních čísel
Vlastnosti násobení kardinálních čísel:    ND, A, K, EN
               Kardinální číslo jednoprvkové množiny     -    |{o}|

Úkoly
1. Jsou dány množiny A = { a, b, c } ,  B  = {1, 2, 3, 4, 5}  a  C = { c, d } .

 a) Porovnejte kardinální čísla množin A a B a své tvrzení zdůvodněte podle definice nerovnosti
mezi kardinálními čísly.

b) Sečtěte kardinální čísla množin A a B.

c) Sečtěte kardinální čísla množin A a C.

d) Vynásobte kardinální čísla množin A a B.